ขอสอบคณตศาสตรเขามหาวทยาลย ปการศกษา 2534

ตอนท 11. ให p และ q เปนประพจน ถา p * q เปนพจนทมคาความจรงตามตารางขางลางน

p q p * qTTFF

TFTF

FFFT

แลวประพจน p * q สมมลกบประพจนในขอใดตอไปน1. ~ (~p q) 2. ~p q3. ~(q ~p) 4. q ~p

2. กำาหนดเอกภพสมพทธ U = {1, -1, i, -i} โดยท i = ขอใดมคาความจรงเปนเทจ

1. z [z2 = 1] 2. z [z36 = 1]3. z 4. z [z3 – z = 0]

3. ให A = {1, a, 2, b, 3, c} , B = {1, 2}จำานวนสบเซต S ของ A ซง S B เทากบคาในขอใดตอไปน

1. 48 2. 32 3. 244. 16

4. กำาหนดให f (x) = g (x) = h (x) =

ถา U = แลว Rf Du เปนสบเซตของเซตในขอใดดงตอไปน1. (-4, 1) 2. (-1, 5) 3. (2, 7)

4. (4, 8)

5. กำาหนดฟงกชน f และ g จากเซตของจำานวนจรง R ไปยง R โดยf (x) = 1 + g (x) =

(gof)(x) มคาเทากบขอใดตอไปน1. 1 + 2. 2 +

3. 4.

6. ถา f(x) = 1 – x + x2 – x3 + ... ทกจำานวนจรง x ซงทำาใหอนกรมคอนเวอรจ และ g(x) = 1 – x2

ทกจำานวนจรง x แลว ขอใดตอไปนจรง เมอ D เปนโดเมนของ f g1. D = (- , ) และ (f g)(x) = 1 + x

ทก x D2. D = (- 1, 1) และ (f g)(x) = 1 + x ท ก

x D3. D = (- , ) และ (f g)(x) = 1 - x

ทก x D4. D = (- 1, 1) และ (f g)(x) = 1 - x ท ก

x D 7. กำาหนดให a และ b เปนจำานวนจรงลบทงค ถา a < x < b แลวขอใดตอไปนเปนจรง

1. x + a > 0 2. x + b < 03. < 4. <

8. กำาหนดใหp คอประพจน ถา “ a, b และ c เปนจำานวน ab < ac แลว b

< c”และ q คอประพจน ถา “ x และ y เปนจำานวนอตรรยะ แลว x + y

เปนจำานวนอตรรกยะ”ประพจนใดตอไปนมความจรงเปนจรง

1. p ~q 2. p q3. ~p ~q 4. ~p q

9. ถา k เปนจำานวนเตมบวกทใหญทสดททำาใหเสนตรง y = kx + 1 ตดกบไฮเปอรโบลา

แลว k เปนจำานวนทอยในชวงใดตอไปน

1. (2.5, 5] 2. (5, 7.5] 3. (7.5, 10]4. (10, 12.5]

10. สบเซตของจำานวนเชงซอนในขอใดตอไปนทสมาชกทกตวมอนเวอร สมการคณอยในเซตนน

1. {1, 1 – i, 1 + i} 2.

3. 4.

11. จากพาราโบลาทกำาหนดใหดงในรปความยาวของ AB เทากบขอใดตอไปน

1. 3.002. 3.253. 3.504. 3.75

12. ถา F เปนจดโฟกสของไฮเพอรโบลา 6x2 – 10y2 – 12x – 40y – 94 = 0 อยในควอดแรนททส

แลวสมการของพาราโบลาทมจดยอดท F และมแกนสงยคของไฮเพอรโบลาเปนเสนไดเรกตรกซ

คอสมการในขอใดตอไปน1. y2 + 4y - 4x = 0 2. y2 + 4y - 4x

+ 24 = 03. y2 + 4y - 16x - 44 = 0 4. y2 + 4y -

16x + 84 = 0

13. กำาหนดใหเสนตรง L1 ลากผานจดกำาเนด และทำามม 60 ตดกบแกน x ทางดานบวก

ถาเสนตรง L2 หางจากจดกำาเนด 6 หนวย และตงฉากกบเสนตรง L1

ในควอดเรนททหนงแลวสมการของเสนตรง L2 คอสมการในขอใดตอไปน

1. x + + 12 = 0 2. + y + 12 = 03. x + - 12 = 0 4. + y – 12

= 0

14. พาราโบลารปหนง จดโฟกสอยท (5, -1) จดยอดอยบนเสนตรง y = เสนไดเรกตรกซ

ขนานกบแกน x สมการของเสนไดเรกตรกซของพาราโบลารปนคอสมการในขอใดตอไปน

1. y = 7 2. y 3. y = 4. y = 6

15. จำานวนจรง x ทงหมดในชวง [0, 2] ซงสอดคลองกบสมการ1. [0, ] 2. 3. [, 2] 4.

16. ให a, b เปนคาคงท และ f (x) = a sin x + bx cos x + x2

สำาหรบทกคา x Rถา f (x) = 3 แลว f (-2) เทากบคาในขอใดตอไปน

1. –3 2. –13. 1 4. 5

17. ถ า A(1, 2) , B (4, 3) และ C (3, 5) เป นจ ดยอดของสามเหลยม ABC แลว sin

มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 2.

3. 4.

18. คาของ sin + cos เทากบขอใดตอไปน

1. 2. 3. 4.

19. สดายนอยทางทศตะวนออกของตกหลงหนง มองเหนยอดตกเปนมมเงย 45 จากจดนสดา เดนไปทางทศใตเปนระยะ 100 เมตร จะมองเหนยอดตก (ทตำาแหนงเดม) เปนมมเงย 30 ความสงของตกเทากบขอใดตอไปน

1. 100 2. 50 3. 50 4.

20. ฟงกชนทนยามในขอใดตอไปนเปนฟงกชนลด1. f(x) = (sin 45) – x 2. g (x) =

(log7) x

3. h(x) = 4. r (x) = x

21. ถา x และ y สอดคลองสมการ logk x log5 k = 1 เมอ k > 1 และ 102y = 625

ตามลำาดบ แลวขอใดตอไปนผด1. 5 < x + y < 7 2. 3 < x – 7 < 43. 0 < xy < 10 4. 0 < <

22. คำาตอบของอสมการ คอขอใดตอไปน1. 2. 3. 4.

23. กำาหนดให x = log

y = log - 2 log + log คาของ ทไดจากสมการทกำาหนดใหคอคาในขอใดตอไปน

1. –2 2. – 13. 1 2. 2

24. ผลบวก 10 พจนแรกของอนกรมเลขคณตอนกรมหนงเทากบ 430 ถาพจนท 10 ของอนกรมน

คอ 79 แลวผลบวก 3 พจนแรกมคาเทากบขอใดตอไปน1. 44 2. 45

3. 46 4. 4725. สำาหรบจำานวนเตมบวก n > 1 ใด ๆ

ให an เปนสมประสทธของ xn + 2 ในการกระจาย (1 + 2x) 2n

และ bn เปนสมประสทธของ xn ในการกระจาย (2 + 3x)2n

ลำาดบ 3n เปนจรงตามขอใดตอไปน

1. มลมตเปน 0 2. มลมตเปน 3. มลมตเปน 4 4. เปนลำาดบไดเวอรเจนต

26. ถาอตราการเปลยนแปลงของความชนของเสนโคง y = f (x) ณ จดใด ๆ มคาเปน x –1 และ

เสนโคงนมความชนเปน 1 ณ จด (-1, 0) แลวสมการของเสนโคงนคอขอใดตอไปน

1. y = 2. y = 3. y = 4. y =

27. กำาหนดใหฟงกชน f(x) = คาของ

เมอ x = 8เทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 13. 2 4. 3

28. ให A และ B เปนเมตรกซมต 2 2 จงพจารณาขอความตอไปน

ก. ถา A = -At แลวสมาชกในแนวทแยงมมจากบนซายถงลางขวาของ A เปน 0 ทงหมด

ข.ถา A2 = B และ B เปนนอนซงกลารเมตรกซ แลว A เปนนอนซงกลารเมตรกดวย

ขอใดตอไปนถก1. ก. ถก ข. ถก 2. ก. ถก ข. ผด3. ก. ผด ข. ถก 4. ก. ผด ข. ผด

29. ให = 2 + 3 ถา มจดเรมตนท (0, 0) และตงฉากกบ แลวเสนตรงทลากทบ

เวกเตอร จะผานจดทกจดทกำาหนดใหในขอใดตอไปน1. {(2, 4), (3, -2), (6, -4)} 2. {(-4, 1), (-1,

-1), (2, -3)}3. {(-4, -6), (-2, -3), (0, 0)} 4. {(2, 3), (0,

0) , (2, -3)}

30. ให ABCD เปนสเหลยมดานขนานทมพกดของจด A เปน (-1, 2) และกำาหนด

= 9 + 4 , = - + 5อยากทราบวาพกดของจด C เทากบขอใดตอไปน

1. (7, 11) 2. (8, 11) 3. (9, 11) 4. (8, 9)

31. ให a และ b เปนจำานวนจรงใด ๆ ทไมเปนศนยพรอมกนกำาหนดเมตรกซ A = , B =

คาของมม ในชวง ทจะทำาใหเมตรกซผลคณ At BA เปนเมตรกซศนยคอ คาในขอใดตอไปน

1. 2. 3. 4.

32. กำาหนดใหเซต A มสมาชก 4 ตว และเซต B มสมาชก 5 ตว ถาสรางฟงกชนจาก A ไป B

แลวความนาจะเปนทจะไดฟงกชน 1 – 1 มคาเทากบขอใดตอไปน1. 2. 3. 4.

33. นาย ก. ข. และ ค. จะขนลฟทซงมทงหมด 3 ตว จำานวนวธทนาย ก. และ ข. ขนดวยกน

แตนาย ค. ขนคนเดยวมคาเทากบขอใดตอไปน1. 6 2. 73. 8 4. 9

34. ตใบหนงมเสอสแดงแบบตาง ๆ กน 6 ตว และเสอสขาวแบบตาง ๆ กน 4 ตว ถาสมหยบเสอ จากตใบนมา 5 ตว ใหมสคละกนแลว จำานวนวธทจะหยบไดเสอสแดงมากกวาเสอสขาว

คอขอใดตอไปน1. 60 วธ 2. 120 วธ3. 180 วธ 4. 240 วธ

35. เลอกจำานวนเตมซ งหารดวย 3 ลงตวมาหนงจ ำานวนใหมคาอยในระหวาง 10 ถง 200

ความนาจะเปนทจำานวนทเลอกมานจะหารดวย 7 ลงตวเทากบขอใดตอไปน

1. 2.

3. 4.

36. กลองใบหนงบรรจปากกา 1 โหล เปนปากกาสแดง 3 ดาน สเขยว 4 ดาน ทเหลอเปนสนำาเงน ความนาจะเปนทสมหยบปากกามา 3 ดาม แลวไดครบทกสมคาเทากบในขอใดตอไปน

1. 2. 3. 4.

37. ถาเสนโคงของการแจกแจงความถสะสมสมพทธของตวแปร x ม สมการ y = 1 -

ดงแสดงในรป แลวมธยฐานของตวแปร x เทากบคาในขอใดตอไปน

1. 1 + ln22. 1 – ln2 3. 1 - 4. 1 +

38. ปจจบน ความแปรปรวนของอายของสมาชกครอบครวหนงซงม 4 คน เทากบ 9 (ป)2 และ

ความแปรปรวนของอายของสมาชกอกครอบครวหนงซ งม 6 คน เทากบ 4 (ป)2 ถา คาเฉลยเลขคณตของอายของสมาชกทงสองครอบครวนเทากนแลว อก 2 ป ขางหนา ความแปรปรวนรวมของอายของสมาชกทงสองครอบครวน คอขอใดตอไปน

1. 6 (ป)2 2. 8 (ป)2

3. 10 (ป)2 4. 12 (ป)2

39. นกเรยนหองหนงม 40 คน เปนชายและหญงจำานวนเทากน ในการสอบวชาหนงคะแนนของกลม นกเรยนชายและกลมนกเรยนหญงมคาเฉลยเทากน แตมสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน 4 และ 3 ตามลำาดบถาคะแนนของแตละกลมมการแจกแจกปกต และให x1 , x2 , x3 แทนคะแนนทเปนตำาแหนงเปอรเซนไทลท 95 ของคะแนนของนกเรยนทงหองของกลมนกเรยนชาย และของกลมนกเรยนหญงตามลำาดบแลว ขอใดตอไปนถก

1. x1 < x2 < x3 2. x1 < x3 < x23. x2 < x3 < x1 4. x3 < x1 < x2

40. กำาหนดใหตารางแสดงพนท (A) ใตเสนโคงปกตดงนz = 0.67 A = 0.2486z = 0.68 A = 0.2518

การแจกแจงของคะแนนสอบครงหนง เปนการแจกแจงปกต โดยมคาเฉลยเลขคณต 60 คะแนน

และสวนเบยงเบนมาตรฐาน 10 คะแนน คะแนนทเปนควอรไทลท 3 (Q3) เทากบขอใดตอไปน

1. 65.4 2. 66.73. 67.5 4. 69.8

41. จากขอมลอนกรมเวลา (Y) มคาแสดงในตารางขางลางน

พ.ศ.

2526

2527

2528

2529

2530

Y 20 30 20 40 60

ถา Y มความสมพนธเชงฟงกชนกบเวลา (X) ในลกษณะเสนตรง แลวสามารถทำานายคาของ Y

ในป 2535 ไดเทากบขอใดตอไปน1. 97 2. 1063. 110 4. 120

ตอนท 21. จากการสอบถามผดมกาแฟ 20 คน พบวา

ก. จำานวนผท ใสครมในกาแฟนอยกวาสองเทาของจ ำานวนผท ใส นำาตาลในกาแฟอย 7 คน

ข.จำานวนผทใสทงครมและนำาตาลในกาแฟเทากบจำานวนผทไมใสครมและไมใสนำาตาล

ในกาแฟจำานวนผทใสครมในกาแฟมอยกคน

2. จำานวนจรง x ทเปนคำาตอบของสมการ =

มคาเทากบเทาใด

3. ผลบวกของระยะทางทยาวทสด และสนทสดจากจด (10, 7) ไปยงกราฟซงมสมการ

5x2 + 5y2 – 20x – 10y – 100 = 0มคาเทากบเทาใด

4. คาสมบรณของผลตางของทกคำาตอบของสมการ + 9 = 28 มคาเทากบเทาใด

5. ถาความชนของเสนสมผสของเสนโคง y = x4 - 2x2 + kx + 4, k เปนจำานวนจรงคงท

ทจด x = 2 มคาเทากบ 24 แลวคาตำาสดของ y มคาเทากบเทาใด

6. คะแนนสอบของนกเรยน 15 คน คำานวณได = 50 และคำานวณคา

S จากสตร

ได S2 = 10 แตเมอทราบภายหลงวา ทถกตองคอ 51 คา S2 ทถกตองจะเทากบเทาใด (S2 = ความแปรปรวน)

5. ให b และ c เปนจำานวนจรงคงทสองจำานวนนยาม ลำาดบ โดยให และสำาหรบจำานวนเตมบวก n ใดๆ

ถาลำาดบ มลมตรเทากบ 2 และ แลว | c - 2b | มคาเทาใด (En33)

เฉลยขอสอบ Entrance ปการศกษา 2534ตอนท 11. ตอบขอ 1

p q ~p ~p q ~(~p q) q ~p ~(q ~p)

TTFF

TFTF

FFTT

TTTF

FFFT

FTTT

TFFF p * q ~ (~p q) ~(p q)

2. ตอบขอ 4 1. z [z2 = 1] มคาความจรงเปนจรง (เ ม อแทน z ดวย 1, -1)

2. z [z36 = 1] มคาความจรงเปนจรง (เ ม อ แ ท น z ดวย i – i , 1, -1)

3. z มคาความจรงเปนจรง (เ ม อ แ ท น z ดวย 1, i)

4. z [z3 – z = 0] มคาความจรงเปนเทจ (เ ม อ แ ท น z ดวย i)

3. ตอบขอ 1 A มสมาชก 6 สมาชก สบเซตทงหมดของเซต A ม 26 = 64 เซต

แต S A และ S B S {a, b, c, 3}

ซงสบเซตของ {a, b, c, 3} มเทากบ 24 = 16 เซต จำานวนสบเซต S ของ A ซง S B เทากบ 64 –

16 = 48

4. ตอบขอ 2 f(x) = 3x2 0 ทก ๆ x R

3x2 + 1 1

Rf =

g (x) = 3 – x 0 หรอ x 3 Dg =

h (x) = - x2 + 5x + 6 0

x2 – 5x – 6 0(x + 1) (x – 6) 0-1 x 6Dh = [-1, 6]

แตh(x) = 0 เมอ = 0

- x2 + 5x + 6 = 0 x2 – 5x – 6 = 0 (x + 1) (x – 6) = 0

Du = (Du Dh) - {xh(x) = 0}= ((-, 3] [-1, 6]) – {-1, 6}= (-, 3] (-1, 6) = (-1, 3]

Rf Du = (-1, 3] = (-1, 5)

5. ตอบขอ 4 f (x) = 1 + , g (x) = (gof) (x) = g (f(x)) = g (1 + x)

= = = =

6. ตอบขอ 4 f (x) = 1 - x + x2 – x3 + ... = เมอ 1 หรอ -1 < x < 1

g(x) = 1 – x2 : x Rf(x) g(x) = 1 – x2 = 1 – xD = = Df Dg = R (-1, 1) = (-1,

1) D = (-1, 1) และ (g f) (x) = 1 – x

7. ตอบขอ 3 a < x < b < < < <

8. ตอบขอ 3 p มคาความจรงเปนเทจ q มคาความจรงเปนเทจ

1. p ~q 2. p qF T F F F F

3. ~p ~q 4. ~p qT T T F

T F

9. = 1 10 x2 – y2 = 40แทน y = kx + 1 ได 10x2 - (kx + 1)2 = 40

10x2 – (k2x2 + 2kx + 1) = 40 10x2 – k2x2 – 2kx – 1 = 40

(10 – k2) x2 – 2kx – 41 = 0

จะหา k ไดเมอ (-2k)2 - 4(10 – k2) (- 41) 0 4k2 + 164 (10 - k2) 0 4k2 + 1640 – 164k2 0 1640 – 160k2 0 164 – 16k2 0 16k2 – 164 0 k2 - 0 k2 - 0

0 k

k 3.2 k = 3

10. ตอบขอ 4

11. ตอบขอ 2 เปนกราฟพาราโบลาทมจดยอดอยท (1, 1) และผานจด (5, 5)

พาราโบลาน คอ (x – 1)2 = 4c (y – 1)ผานจด (5, 5) ได (5 – 1)2 = 4c (5 – 1)

16 = 16 c c = 1

พาราโบลาน คอ (x – 1)2 = 4(y – 1)เมอแทน x = 4 แทนคาได (4 –1)2 = 4(y – 1)

9 = 4y – 4

13 = 4y y = = 3.25 AB = 3.25

12. ตอบขอ 4 6x2 – 10y2 – 12x – 40y – 94 = 0

(6x2 – 12x) – (10y2 + 40y) = 94

6 (x2 – 2x) – 10 (y2 – 4y) = 946 (x2 – 2x + 1) – 10 (y2 + 4y + 4) =

94 + 6 – 406 (x – 1)2 – 10 (y + 2)2 = 60

= 1ไฮเพอรโบลานมแกนตามขวางขนานกบแกน x คอเสนตรง y

= -2จดศนยกลางอยท (1, -2)และ a2 = 10, b2 = 6 c2 = a2 + b2

= 16 c = 4 F (1 – 4, - 2) และ F (1 + 4, - 2) F (5, - 2)

และมแกนสงยค คอ เสนตรง x = 1

พาราโบลาน คอ (y + 2)2 = 4c (x – 5) (y + 2)2 = 4 4 (x – 5)

y2 + 4y + 4 = 16x – 80y2 + 4y – 16x + 84 = 0

13. ตอบขอ 3 เสนตรง L1 ผานจด (0, 0) และมความชน = tan 60 =

สมการเสนตรง L1 คอ y – 0 = (x – 0) y = x

x – y = 0 สมการเสนตรง L2 คอ x + y + C = 0

เสนตรงนหางจากจด (0, 0) เทากบ 6 หนวย

= 6 = 6 = 12 C = 12

สมการเสนตรง L2 คอ x + y + 12 = 0 หรอ x + y – 12 = 0 แตเสนตรง L2 + L1 ในควอดรนตท 1

สมการเสนตรง L2 คอ x + y – 12 = 0

14. ตอบขอ 4 ไดเรกตรกซขนานกบแกน x แกนพาราโบลาขนานกบแกน y

จดโฟกสอยท (5, -1) แกนพาราโบลา คอ เสนตรง x = 5 จดยอดอยท x = 5, y = = 2.5

จดยอดอยท (5, 2.5) ระยะระหวางจดยอด และโฟกสเทากบ 3.5 หนวย ระยะไดเรคตรกซกบจดยอด เทากบ 3.5 สมการไดเรคตรกซ คอ y = 6

15. ไมมคำาตอบ 2sin2 x + 1 = -sin x + 2

(2sin2 x + sin x) – 2 +1 = 0( -1)2 = 0 -1 = 0

= 1 2 sin2 x + sin x = 1

2 sin2 x + sin x – 1 = 0 (2 sin x – 1) (sin x + 1) = 0

2 sin x – 1 = 0 หรอ sin x + 1 = 0

sin x = หรอ sin x = - 1 x = หรอ หรอ

16. ตอบขอ 4 f (x) = a sin x + bx cos x + x2

f (2) = a sin 2 + 2b cos2 + 4 3 = a sin 2 + 2b cos2 + 4

a sin 2 + 2b cos 2 = -1และ f ( -2) = a sin (-2) – 2b cos (-2) + 4

= -a sin 2 – 2b cos 2 + 4= - (a sin2 + 2b sin 2) + 4= - (-1) + 4 = 5

17. ตอบขอ 4 AB = = = BC = = = CA = = = a = , b = และ c =

sin = เมอ s = s – a = = s – a = =

sin =

= = =

18. ตอบขอ 3 ให arctan = A

tan A = sin A =

A = arcsin cos A =

sin + cos = sin + cos 2 A

=

=

= =

19. ตอบขอ 2 ให AB เปนความสงของตก = x เมตร

P, Q เปนตำาแหนงของผสงเกตPQ = 100 เมตร

PAB : PB = x cot 45 = xQAB : QB = x cot 30 = xPQB : QB2 = PB2 + PQ2

3x 2 = x2 + (100)2

2x 2 = (100)2

x 2 = 100 50 x = 100 2 25 =

50ความสงของตก = 50 เมตร

20. ตอบขอ 2 ฟงกชนทนยามในขอใดตอไปนเปนฟงกชนลด1. f (x) = (sin 45)- x =

เปนฟงกชนเพม 0 < sin 45 < 1 > 12. g (x) = (log 7)x เปนฟงกชนลด 0 < log 7 < 13. h (x) = = 2z เปนฟงกชนเพม 2 > 14. r (x) = x เปนฟงกชนเพม > 1

21. ตอบขอ 4 logk x log5 k = 1log5 x = 1 x = 5

และ 102 = 625 2y = log10 625 2y = 4log105 y = 2 (1 - log2) = 2 (1 – 0.3010)

= 2 0.699 = 1.398

22. ไมมคำาตอบ ln 2 < 2x

< 2x

x2 < xx2 – x < 0

x (x – 1) < 00 < x < 1

23. ตอบขอ 1 X = log3 = log = log

= log = log = -2 log3Y = log - 2 log + log = log = log 3

= = -2

24. ตอบขอ 2 Sn = (2a1 + (n – 1) d )S10 = (2a1 + 9d) = 10a1 + 45d

10a1 + 45d = 430 2a1 + 9d = 86

-------------------- an = a1 + (n – 1) d a10 = a1 + 9d

a1 + 9d = 79--------------------

– ได a1 = 7 แทนใน ได7 + 9 ก = 79 9d = 72 d = 8

a1 7, a2 = 15, a3 = 23 a1 + a2 + a3 = 7 + 15 + 23 = 45

25. ตอบขอ 3 an = 2 n + 2

= bn = 2n 3n

= 3n = 3n

= =

3n = 426. ตอบขอ 3 f (x) = x – 1

f (x) = f (x) = 1 ณ จด (-1, 0) แทนคาได 1 =

1 = C1 = f (x) = f (x) = f (x) ผานจด (-1, 0) แทนคาได

0 = 0 =

C2 = f (x) =

27. ตอบขอ 2 = f (x)ดงนน คำาถามจงตองการใหเราหา f (8) = ? f (x) =

f (x) = f (x) = f (8) =

= = 2-2 + 4 2-4 + 16 2-5

= = = 1

28. ตอบขอ 1 ขอ ก. ถก เชน ให A = At =

- At = A = - At

= ขอ ข. ถก a = - a = 0

d = -d = 0

29. ไมมคำาตอบ = 2 + 3 ความชนของ = เสนตรงทลากทบ มความชน = -

และเสนตรงนผานจด (0, 0) สมการเสนตรงทลากทบ คอ = - x

คำาตอบทใหมาไมถกตอง

30. ตอบขอ 1 A (-1, 2)

= 9 + 4 = - + 5

B (8, 6) และ D (-2, 7)ABCD เปน ดานขนาน

= ให C มโคออรดเนท (x, y)

= (x+2) + (y – 7) 4

(x+2) + (y – 7) 4 = 9 + 4 x + 2 = 9

x = 7 x – 7 = 4

y = 1131. ตอบขอ 3 A =

At = B =

AtB = [a cos2 - b sin2 a sin2 + b cos2]

AtBA = [a2 cos2 - ab sin2 + ab sin 2 + b2 cos2]

= [(a2 + b2) cos2] = 0(a2 + b2) cos 2 = 0

a2 + b2 0 cos 2 = 0 = cos 2 =

=

32 ตอบขอ 2 n(A)= 4n(B) = 5

จำานวนฟงกชนจาก A ไป B = 5 5 5 5 = 54 = 625 ฟงกชน

จำานวนฟงกชน 1 – 1 จาก A ไป B = 5 4 3 2 = 120 ฟงกชน

n(S) = 625n(E) = 120

P(E) = =

สตรลด 1. จำานวนฟงกชนจาก A ไป B = n(B)n (A)

2. จำานวนฟงกชนชนด 1 – 1 จาก A ไป B = n (B) Pn (A)

33. ตอบขอ 1 จำานวนวธท ก และ ข ขนดวยกน = 3 1 = 3 วธ

และจำานวนวธท ค ขน = 2 วธ จำานวนวธทงหมด = 3 2 = 6 วธ

34. ตอบขอ 3 มเสอสแดง 6 ตว ตาง ๆ กนและ มเสอสขาว 4 ตว ตาง ๆ กนสมหยบมา 5 ตว คละกน ใหไดสแดงมากกวาสขาว สมหยบได

ดงนสมไดเสอสแดง 4 ตว และสขาว 1 ตว

หรอ จะสมหยบได = = = 15 4 = 60 วธ

สมไดเสอแดง 3 ตว และสขาว 2 ตวจะสมหยบได = = = 20 6 =

10 วธ จำานวนวธทงหมด = 60 + 120 = 180 วธ

35. ตอบขอ 1 S = {12, 15, 18,..., 198}an = a1 + (n – 1) d198 = 12 + (n – 1) (3)198 = 12 + 3n – 3198 = 9 + 3nn = 63

n(S) = 63E = {21, 42, 63, 84, 105, 126, 147,

168, 189}n(E) = 9

P(E) = = =

36. ตอบขอ 3 กลองใบหนงมปากกาสแดง 3 ดาม สเขยว 4 ดาม และสนำาเงน 5 ดาม

สมมา 3 ดาน จำานวนวธทเปนไปไดทงหมด = = =

220 n(S) = 220

สมมา 3 ดาม ใหไดครบทกส จะสมได = = 3 4 5

= 60 วธ n(E) = 60 P(E) = =

37. ตอบขอ 1 ตำาแหนงมธยฐาน= y = l – e(- x + 1)

แทน y = ได = 1 – e(- x + 1)

e(- x + 1) = -x + 1 = ln = -ln2 x = 1 + ln2

มธยฐานของตวแปร x = 1 + ln2

สตรลด 1. ถาโจทยเปนความถสะสม ใหแทน y = 2. ถาโจทยเปนความถสะสมสมพทธ ใหแทน y =

38. ตอบขอ 1 N1 = 4, = 9N2 = 6, = 4

เทากน

= = = = = 6 (ป)

อก 2 ปขางหนา ความแปรปรวนรวมของอายของครอบครวทงสองเทากบ

39. ตอบขอ 4 S รวม =

= = = = = = 3.535

คา Z และ Z =

3.535Z = X1 - X1 = 3.535Z + และ Z=

4Z = X2 - X2 = 4Z + และ Z=

3Z = X3 - X3 = 3Z -

X3 < X1 < X2

40. ตอบขอ 2 พนทใตโคงปกตตางกน 0.0032 Z ตางกน 0.01

พนทใตโคงปกตตางกน 0.25 – 0.2486 = .0014

Z ตางกน = = 0.004375

พนทใตโคงปกต = 0.25 ตรงกบ Z = 0.674375

Z = 0.674375 = 6.74375 = X – 60 X = 66.74375 = 66.7

41. ตอบขอ 1 พ.ศ. x y = xy x2

2526

2527

2528

2529

2530

-2-1012

23246

-4-304

12

41014

0 17 9 10

y มความสมพนธเชงฟงกชนกบเวลา (x) ในลกษณะเสนตรง

สมการทำานาย y = ax + b เมอ a, b คอ คาคงทหา a และ b ไดดวยสมการปกต

y = a x + Nb --------------------

xy = a x2 + bx -------------------- แทนคาใน ได 17 = 0 + 5b

b = แทนคาใน ได 9 = 10a + 0

a = สมการทำานาย y = x +

ป 2535 แทน x = 7 ; y = 7 + = =

= Y = 97

ตอนท 21. ตอบ 11 ให A เปนเซตของผทใสครม

B เปนเซตของผทใสนำาตาลให n (A B) = x

n = xให n (A – B) = yและ n (A – B) = z

n(A) = x + y และ n (B) = x + z

x + y = 2(x + z) – 7 x + y = 2x + 2z – 7

x – y + 2x = 7--------------------

และ 2x + y + z = 20--------------------

+ ได 3x + 3z = 27 x + z = 9

-------------------- - ได x + y = 11 ผทใสครมในกาแฟม 11 คน

2. ตอบ 7 = = = =

= x = 7

3. ตอบ 20 5x2 + 5y2 - 20x - 10y - 100 = 0x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0(x2 – 4x) + (y2 – 2y) = 0(x2 – 4x + 4) + (y2 – 2y + 1) = 20 + 4

+ 1(x – 2)2 + (y – 1)2 = 25(x – 2)2 + (y – 1)2 = 52

วงกลมนมจดศนยกลางอยท (2, 1) และมรศมเทากบ 5 ระยะจากจด (2, 1) ถงจด (10, 7) =

= = = 10

ระยะทยาวทสด = 10 + 5 = 15และ ระยะทสนทสด = 10 – 5 = 5 ผลบวกของระยะทยาวทสดและสนทสด = 15 + 5 =

20

4. ตอบ 5 + 9 = 28

3 + = 28เอา คณทงสองขางได3 + 9 = 28 3 - 28 +9 = 0(3 - 1)( - 9 ) = 03 - 1 = 0 หรอ - 9 = 0

= = 3 –1 หรอ = 9 = 32

= - 1 ซงเปนไปไมได = 2x2 + x – 2 = 4 ** x2 + x – 6 = 0(x + 2) (x – 3) = 0

x = -2, 3 คาสมบรณของผลตาง = = = 5

วธลด ใชหลกในการมอง มองเหนแลวพบวา x2 + x - 2 ควรเปน 4ลองแทนคาด

= 2833 + 9 = 28

สวนวธการมอง คงตองเรยนเทคนคจากอาจารยโดยตรง

5. ตอบ 3 y = f(x) = x4 - 2x2 + kx + 4 f(x) = 4x3 - 4x + k f(2) = 4(2)3 - 4(2) + k

24 = 32 – 8 + k 24 = 24 + k

k = 0 y = f(x) = x4 - 2x2 + 4 f(x) = 4x3 - 4x f(x) = 0 เมอ 4x3 - 4x = 0

4x(x2 – 1) = 0

4x(x + 1) (x – 1) = 0 x = 0, -1, 1

f(x) = 12x2 - 4 f (0) = 0 - < 0 ท x = 0 f(x) สงสด

f(- 1) = 12 (-1)2 – 4 = 12 – 4 = 8 > 0 ท x = -1 f(x) ตำาสด และ f(x) ตำาสด = 3

f(1) = 12 (1)2 – 4 = 8 > 0 ท x = 1 f(x) ตำาสด และ f(x) ตำาสด = 3 คาตำาสดของ y = 3

6. ตอบ 9 = 10

= 10

= 10

= 10

+ 1 = 10

= 9

คา S2 ทถกตองคอ 9

สตร 1. (X - ) = 0

2. C =