Math1 By พ่ีทรติวเตอร์

1

Chapter 4

อนุพนัธ ์

4.1 การใช้สูตรและกฎลูกโซ่

4.2 อนุพันธ์อันดับสูง

4.3 การหาอนุพันธ์ของฟังชันก์โดยปริยาย

4.4 การหาอนุพันธ์ของสมการอิงตัวแปรเสริม

4.5 การหาอนุพันธ์โดยการใช้เทคนิคการใส่ ln ( take ln )

…………………………………………………………………………………..

อนุพันธ์ของ y = f (x) ที่จุด x = a เขียนแทนด้วย 𝑑𝑦

𝑑𝑥|

𝑥=𝑎 , 𝑑𝑓(𝑥)

𝑑𝑥|

𝑥=𝑎 , 𝑓(𝑎)′

𝑓′(𝑎) = limx→𝑎

f(x) − 𝑓(𝑎)x − a

Ex. จาก 𝑦 = 𝑥2 − 4 จงหา 𝑑𝑦

𝑑𝑥|

𝑥=2

วิธีท า

จาก 𝑓′(𝑎) = limx→𝑎

f(x)−𝑓(𝑎)

x−a

𝑓′(2) = limx→2

(x2−4)−(22−4)

x−2 = lim

x→2

(x2−4)

x−2

= limx→2

(x − 2)(𝑥 + 2)x − 2

= lim

x→2 (𝑥 + 2)

= 4

บทนิยาม

ให้ f เป็นฟังก์ชันใด ๆ เราสามารถหา 𝑓′ โดย

𝑓′(𝑥) = 𝑑𝑦𝑑𝑥

= limΔ𝑥→0

Δ𝑦Δ𝑥

= limΔ𝑥→0

f(x + Δ𝑥) − 𝑓(𝑥)

Δ𝑥

และเรียกฟังก์ชัน 𝑓′ ว่าเป็นอนุพันธ์ (derivative) ของฟังก์ชัน f

Math1 By พ่ีทรติวเตอร์

2

Ex2. 𝑓(𝑥) = {𝑥2 , 𝑥 ≤ 12𝑥 , 𝑥 > 1

จงหา 𝑓′(1) และ f ต่อเนื่องที่จุด x = 1 ไหม

วิธีท า

𝑓′(1) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→1

𝑓(𝑥)−𝑓(1)

𝑥−1

พิจารณา

𝑙𝑖𝑚𝑥→1−

𝑓(𝑥) − 𝑓(1)

𝑥 − 1 = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→1−

𝑥2 − 12

𝑥 − 1 = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→1−

(𝑥2 − 1)(𝑥2 + 1)

𝑥 − 1= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→1− (𝑥2 + 1) = 2

𝑙𝑖𝑚𝑥→1+

𝑓(𝑥)−𝑓(1)

𝑥−1 = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→1+

2𝑥−1

𝑥−1 =

2−1

0 = ∞ = หาค่าไม่ได้

ดังนั้น 𝑓′(1) หาค่าไม่ได้

..................................................................................................................

วิธีที่ 2

พิจารณา ความต่อเนื่องของ f(x) ที่ x = 1

1. 𝑓(1) = 𝟏𝟐 = 𝟏

2. 𝑙𝑖𝑚𝑥→1

𝑓(𝑥) โดยพิจารณาทางซ้ายและขวา

𝑙𝑖𝑚𝑥→1+

𝑓(𝑥) = 2𝑥 = 2

𝑙𝑖𝑚𝑥→1−

𝑓(𝑥) = 𝑥2 = 1

𝑙𝑖𝑚𝑥→1

𝑓(𝑥) หาค่าไม่ได ้

ดังนั้น 𝑓(1) ≠ 𝑙𝑖𝑚𝑥→1

𝑓(𝑥) จะได้ว่า f(x) ไม่ต่อเนื่องที่ x = 1

จากทบ.กลับ 𝒇′(𝟏) หาค่าไม่ได้

ทบ : ถ้า 𝑓′(𝑎) หาค่าได้ แล้ว f จะต่อเนื่องที่ x = a

ทบ.กลับ : ถ้า f ไม่ต่อเนื่องที่ x = a แล้ว 𝑓′(𝑎) หาค่าไม่ได้

ถ้า f ต่อเนื่องที่ x = a แล้ว 𝑓′(𝑎) หาค่าได้ หรือไม่