ชื่องาน อนุพันธ์ จงหาอนุพันธ์...

ใบงานท 3

ชองาน อนพนธ

จงหาอนพนธของฟงกชนทก าหนดให

1. y = 3x5

2. y = 6x2 – 6x + 5

3. y = x2(2 + 3x)4

4. y = (x3 – 6x)(2 – 4x3)

5. y =x+2

x+3

6. y = 8x5 + 5 x - 3

ใบความร

ชอเรอง อนพนธ (ตอ)

1. 𝑑

𝑑𝑥sin𝑢 = cos𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥

2. 𝑑

𝑑𝑥cos𝑢 = − sin𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥

3. 𝑑

𝑑𝑥tan 𝑢 = sec2 𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥

4. 𝑑

𝑑𝑥cot𝑢 = − cosec𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥

5. 𝑑

𝑑𝑥sec𝑢 = sec𝑢 tan𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥

6. 𝑑

𝑑𝑥cosec𝑢 = − cosec𝑢 cot𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥

ตวอยาง ก าหนดให y = sin3x + cos 2x จงหาdy

dx

Y = sin 3x + cos 2x

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

𝑑

𝑑𝑥( sin 3x + cos 2x )

= 𝑑

𝑑𝑥sin 3𝑥 +

𝑑

𝑑𝑥cos 2𝑥

= cos 3x 𝑑3𝑥

𝑑𝑥 + ( - sin 2x

𝑑2𝑥

𝑑𝑥)

= 3cos 3x - 2 sin 2x

ตวอยาง ก าหนดให y = x sin x จงหา 𝑑𝑦

𝑑𝑥

y = x sin x

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

𝑑

𝑑𝑥 ( xsin x)

= x 𝑑

𝑑𝑥 sin x + sin x

𝑑𝑥

𝑑𝑥

= x cos x + sin x



จงหาอนพนธของฟงกชนทก าหนดให

1. y = 3 sin 2 x

2. y = 4 tan 5 x 3. y = sin x - x cos x + x 3 - 4 x +3

4. y = cos 𝑥

𝑥

5. y = ( cos x - 1 )3

6. y = sin x cos x


ชอเรอง อนพนธ( ตอ ) 2.4 การหาอนพนธของฟงกชนอนเวอรสของฟงกชนตรโกณมต

1. 𝑑

𝑑𝑥sin−1 𝑢 =

1

1− 𝑢2

𝑑𝑢

𝑑𝑥

2. 𝑑

𝑑𝑥 cos -1 u =

−1

1− 𝑢2

𝑑𝑢

𝑑𝑥

3. 𝑑

𝑑𝑥 tan-1 u =

1

1+𝑢2

𝑑𝑢

𝑑𝑥

4. 𝑑

𝑑𝑥 cot-1 u =

−1

1+𝑢2

𝑑𝑢

𝑑𝑥

5. 𝑑

𝑑𝑥 sec-1 u =

1

u 1− 𝑢2

𝑑𝑢

𝑑𝑥

6. 𝑑

𝑑𝑥 cosec-1 u =

−1

u 1− 𝑢2

𝑑𝑢

𝑑𝑥

ตวอยาง ก าหนดให y = tan-1 3x จงหาอนพนธ 𝑑𝑦

𝑑𝑥

y = tan -1 3x

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

𝑑

𝑑𝑥 tan -1 3x

= 1

12+(3𝑥)2

𝑑3𝑥

𝑑𝑥

= 3

1+9𝑥2



จงหาอนพนธจากฟงกชนทก าหนดให

1. y = sin -1 x

2. y = x 2 sec -1 x

3. y = tan -1 3

𝑥

4. y = tan -1 ( ln 5 x)

5. y = x 2 cos -1 2

𝑥

ใบความร ชอเรอง อนพนธ ( ตอ ) 2.5 การหาอนพ นธของฟงกชนเอกซโปเนนเชยล

1. 𝑑

𝑑𝑥 log u = 1

𝑢log a e

𝑑𝑢

𝑑𝑥 ( a > 0 , a ≠ 1)

2. 𝑑

𝑑𝑥 ln u = 1

𝑢 𝑑𝑢

𝑑𝑥

ตวอยาง ก าหนดให y = log 3 (3 x - 5) จงหาอนพนธ

y = log 3 (3 x - 5)

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

𝑑

𝑑𝑥 log 3 (3 x - 5)

= 1

3𝑥−5 log 3 e

𝑑

𝑑𝑥 ( 3x - 5)

= (1)

3𝑥−5 (3 log3 e)

ตวอยาง ก าหนดให y = ln sin 3 x จงหาอนพนธ

y = ln sin 3 x

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

𝑑

𝑑𝑥 ln sin 3 x

= 1

sin 3𝑥 𝑑

𝑑𝑥 sin 3x

= 1

sin 3𝑥 (cos 3x

𝑑

𝑑𝑥 3 x)

= 3 cos 3𝑥

sin 3𝑥

= 3 cot 3 x

2.6 การหาอนพนธของฟงกชนลอการทม

1. 𝑑𝑎𝑢

𝑑𝑥 = 𝑎𝑢 ln a

𝑑𝑢

𝑑𝑥

2. 𝑑𝑒𝑢

𝑑𝑥 = 𝑒𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥

ตวอยาง ก าหนดให y = 𝑒𝑥 , y = 𝑎3𝑥จงหาอนพนธ

y = 𝑒𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

𝑑𝑒𝑥

𝑑𝑥

= 𝑒𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑥

= 𝑒𝑥 y = 𝑎3𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

𝑑𝑎3𝑥

𝑑𝑥

= 𝑎3𝑥 ln 𝑎 𝑑3𝑥

𝑑𝑥

= 3 𝑎3𝑥 ln𝑎



จงหาอนพนธของอนพนธจากฟงกชนทก าหนดให

1. y = ln( 4𝑥 − 5)

2. y = 𝑒5𝑥 3. y = tan x ( e )3x

4. y = 𝑒𝑥 ln x2

5. y = 32x

6. y = x 2 e 2x

ใบความร ชองาน อนพนธ ( ตอ ) 2.7 การหาอนพนธอนดบสง ตวอยาง ให y = 2x3 -3 x2 +5 จงหา y4

y = 2x3 -3 x2 +5

𝑦′ = 𝑑

𝑑𝑥( 2x 3 -3 x2 +5 ) = 6x2 -6x + 0

𝑦′′ = 𝑑

𝑑𝑥( 6x2 -6x) = 12x – 6

𝑦′′′ = 𝑑

𝑑𝑥( 12x - 6) = 12 – 0

𝑦4= 𝑑

𝑑𝑥( 12 ) = 0


ชองาน อนพนธ 2.8 กฎลกโซ ถา y = F (u) เปนฟงกชนทมอนพนธท u และ u = f(x) เปนฟงกชนทมอนพนธท x แลว y = F ( f ( A) )จะเปนฟงกชนทมอนพนธท x

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

𝑑𝑦

𝑑𝑢 𝑑𝑢

𝑑𝑥

ตวอยาง ก าหนดให y = u 3, u = ( 3x2 + 5) จงหาอนพนธ

y = u3

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

𝑑𝑢3

𝑑𝑥 = 3u

u = ( 3x2 + 5)

𝑑𝑢

𝑑𝑥 =

𝑑

𝑑𝑥( 3x2 + 5) = 6x + 0

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

𝑑𝑦

𝑑𝑢 𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 3 u ( 6x )

= 3 (3 x 2 + 5 ) ( 6x ) = ( 9 x2 +15) (6x) = 5x3+90x

2.9 การหาอนพนธโดยปรยาย

ตวอยาง จงหาอนพนธเมอก าหนดให x2+ y 2 = 4

x2+ y2 = 4

𝑑

𝑑𝑥( x2 + y2 ) =

𝑑4

𝑑𝑥

𝑑𝑥2

𝑑𝑥 +𝑑𝑦2

𝑑𝑥 = 0

2x + 2y𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 0

2y𝑑𝑦

𝑑𝑥 = -2x

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = −2𝑥

2𝑦

= −𝑥

𝑦



1. ก าหนดให y = 2u , u = 5x จงหา dy

dx

2. ก าหนดให y = u 2 + 2u , u = x2 - 1 จงหา dy

dx

3. ก าหนดให x 2 + 3 y3 = 3 จงหา dy

dx

4. ก าหนดให x 3 + 6 x y2 +3 y 2 = 6 จงหา dy

dx

ใบความร ชอเรอง อนพนธ (ตอ) 2.10 ความเรวและความเรง

เมอวตถชนหนงเคลอนทตามแนวเสนตรงให S เปนระยะทาง t เปนเวลา จะมสมการ s = f(t)

ความเรว v , d𝑠

dt = v

ความเรง a , 𝑑𝑣

𝑑𝑡 = a

ตวอยาง ยงลกปนขนไปในแนวดงดวยความเรว 160 เมตร/วนาท ลกหนเคลอนทตามสมการ S = 160 t – 16t2 จงหาวาลกหนขนไปไดสงทสดเทาใด เพราะวาวตถขนไปไดสงทสด จะหยดนง แสดงวา v = 0

ความเรวขณะเวลา t v = 𝑑𝑣

𝑑𝑡

S = 160 t – 16 t2 ---------- 1

𝑑𝑣

𝑑𝑡 =

𝑑

𝑑𝑡( 160 t - 16 t2)

v = 160 – 32 t ---------- 2

แทนคา v = 0 , ใน 2 , 0 = 160 - 32t 32 t = 160 t = 160

32 = 5

ลกหนขนไปสงสด t = 5 วนาท แทน t = 5 , ใน 1 , s = 160( 5 ) – 16( 5)2

= 800 - 400 ลกหนขนไปไดสงสด = 400 เมตร

2.11 การประยกตอนพนธ ความชนของเสนโคง

อนพนธของฟงกชน y = f (x) ทจดสมผส หรอ m = 𝑓 ′ (x) 1 ความชนของเสนสมผสทจด p1 เทากบ 𝑝′ (x) 2 สมการเสนสมผสทจด p1 ในรปสมการเสนตรง y – y1 = 𝑓 ′ (x1) (x – x1)

ตวอยาง ก าหนดเสนโคง y = x2 – 3x จงหา 1. ความชนของเสนสมผสเสนโคงทจด ( 3, 0) 2. สมการของเสนสมผสเสนโคงทจด ( 3, 0) 1. y = f( x ) = x2 – 3 x f( x ) = 2 x – 3 x =3, f( 3 ) = 2( 3 ) - 3 ความชนของเสนสมผสเสนโคงทจด ( 3, 0) จะเทากบ f ( 3 ) = 3

2. สมการของเสนสมผสเสนโคง

y - y 1 = f (x1 ) ( x – x1 ) f ( x) = f ( 3) = 3 x = 3, y = 0 y - 0 = 3 ( x - 3) y = 3 x - 9 สมการของเสนสมผส 3 x - y - 9 =

ใบงานท 9 ชองาน อนพนธ

1. จงหาความเรวและความเรงของวตถทเคลอนไปตามแนวนอน โดยมสมการของการ

เคลอนไหว เปน s = 2 t2 +2 เมอเวลา t = 2 วนาท เมอ s เปนระยะทาง (เมตร)และ t เปนเวลา(วนาท)

2. จงหาสมการของเสนสวนโคง y = 1 – 2 x 2 ทจด ( 2, - 7)

3. จงหาสมการของเสนสวนโคง y = x 2– 2 x ทจด ( -3, 1 )

ใบความร ชอเรอง อนพนธ (ตอ) 2.12 อตราสมพทธ หาโดยใชกฎลกโซ ตวอยาง ดานของสเหลยมจตรสเพมขนในอตรา 2 นว/นาทพนทของรปสเหลยมจตรสรปน จะเพมในอตราเทาใดขณะทดานยาว 10 นว

x

ให x แทนความยาวของรปสเหลยมจตรสขณะเวลา t ใดๆ A แทนพนทของรปสเหลยมจตรสขณะเวลา t ใดๆ สตร พนทสเหลยมจตรส = (ดาน) (ดาน) A = x2

อนพนธเปรยบเทยบ 𝑑𝐴

𝑑𝑥 =

𝑑𝑥2

𝑑𝑥

= 2x 𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝐴

𝑑𝑥 = 2 x นว/นาท

x = 10, 𝑑𝐴

𝑑𝑥 = 2(10) (2)

พนทของสเหลยมจตรสเพมขน = 40 ตารางนว/นาท

x

x


ชอเรอง อนพนธ

1. ถงน ารปกรวยมความสง 24 นว มรศมฐาน 18 นว ถาปลอยใหน าไหลเขาถงดวยอตราคงท 60 ลกบาศกนว/วนาท จงหาอตราการเปลยนแปลงของระดบน าในกรวย เมอน าอยในระดบสง 8 นวจากกนกรวย

2. ถาท าการขยายชนงานรปลกบาศกดวยอตรา 3 ลกบาศกเซนตเมตร/นาท จงหาอตรา

การเปลยนแปลง ขนาดดานในของชนงานนขณะทปรมาตรขกงชนงานเปน 216 ลกบาศกเซนตเมตร


ชอเรอง อนพนธ (ตอ) การหาคาโดยประมาณของฟงกชนโดยใชคาเชงอนพนธ dy = 𝑓 ′( 𝑥) ∆ x f ( k+∆ x) = f(k) +𝑓 ′( 𝑥) ∆ x ตวอยาง จงหาคาประมาณของ 627

4 ให 627

4 = 625 + 2 4 k = 625, x = 2

y = 𝑥4 = 𝑥1/2 f (625) = 625

4 = 5 dy = 1

4𝑥−3/4dx

= 1

4𝑥−3/4∆x

k = 625, ∆𝑥= 2 dy = 𝑓 ′ (x) ∆𝑥 dy = 𝑓 ′ (625) ∆𝑥

= 1

4 (625)−3/4(2)

= 1/250 = 0.004 จากสตร f ( k + ∆ x = f k + 𝑓 ′ (k) ∆ x

f (625 +2) = 5 + 0.004

627 4 = 5.004


ชองาน อนพนธ จงใชคาเชงอนพนธ หาคาโดยประมาณคา 1. 28

2. 1020

ชื่องาน อนุพันธ์ จงหาอนุพันธ์...

Documents