ตัวอยางขอสอบเกา 322-102 คณิตศาสตรพื้นฐาน 2 เรื่อง สมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับหนึ่ง

ขอ 1. (12 คะแนน) 1.1 (5 คะแนน) จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพนัธ ( 1) 2( 4) 0x xe y dx e dy− + + = 1.2 (5 คะแนน) จงหาผลเฉลยเฉพาะรายของสมการเชิงอนุพันธ 3 2(1 ) 0 ; (0) 1x dy x y dx y+ − = =

ขอ 2. (8 คะแนน) จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ

cos ec 0yy x dx x dyx

⎡ ⎤⎛ ⎞+ ⋅ − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

ขอ 3. (8 คะแนน) จงแสดงวาสมการเชิงอนุพันธที่กําหนดใหเปนสมการแมนตรง และจงหาผล เฉลยทั่วไป

2 3(3 ) ( 2 ) 0y yx y e dx x xe y dy+ + + − =

ขอ 4. (6 คะแนน) จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ sin ( cos ) 0yx dx e x dy+ − = เมื่อ 0

2x< <

π

ขอ 5. (9 คะแนน) ) จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการตอไปนี้ 5.1 2

1dy ydx x x

+ = (3 คะแนน)

5.2 3 4 4 3( 3 ) ( 2 ) 0x y y dx x y x dy+ + + = (6 คะแนน) ขอ 6. จงหาผลเฉลยเฉพาะรายของสมการ 2 2 2 2( ) ( 2 ) 0x y dx x y xy dy+ + − = เมื่อ (3) 1y = ขอ 7. ให 4 3 2 3( ) ( ) 0 (*)xy y dx x y x dy+ + + =

7.1 จงแสดงวาสมการนี้ ไมเปนสมการแมนตรง ( , )M x y = ........................................... และ ( , )N x y = ....................................... ( , )yM x y = ......................................... และ ( , )xN x y = .....................................

เนื่องจาก .....................................................ดังนั้นสมการ (*) ไมเปนสมการแมนตรง 7.2 จงหาตวัประกอบปริพันธ แลวหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ (*)

ขอ 6. จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ 2

3 3

3 11

dy x ydx x x

+ =+

ขอ 7. กําหนดสมการ ( ) 0x y dx x dy− + =

7.1 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการโดยใชวิธีของสมการเอกพันธุ (6 คะแนน) 7.2 จงแสดงวาสมการที่กําหนดใหไมเปนสมการแมนตรง (2 คะแนน) 7.3 ตัวประกอบปริพันธ (Integrating Factor) ของสมการคือ ...................... (2 คะแนน)

(เติมเฉพาะคําตอบ) ขอ 8. กําหนดสมการ ( ) ( ) 0y x x ye ye dx e xe dy+ + + = 8.1 จงแสดงวาสมการที่กําหนดใหเปนสมการแมนตรง (2 คะแนน) 8.2 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ (4 คะแนน) 8.3 ถากําหนดให (0) 1y = แลวผลเฉลยเฉพาะรายของสมการคือ (1 คะแนน) ขอ 9. (13 คะแนน)กําหนดสมการ 2 2(2 ) ( ) 0x y dx x y x dy+ + − =

9.1 จงแสดงวาสมการที่กําหนดใหไมเปนสมการแมนตรง 9.2 จงหาตวัประกอบเพื่อการอินทิเกรตของสมการที่กําหนด 9.3 จงแกสมการเพื่อหาผลเฉลย

ขอ 10. จงหาผลเฉลยของสมการเชิงเสน

2' 3 xy y e− = (6 คะแนน) ขอ 11. (5 คะแนน) จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ 2 2( 2 2 ) 0x xy y dx xy dy+ + − = โดยวิธี สมการเอกพันธุ ขอ 12. (7 คะแนน) พิจารณาสมการ 2 3 2 2 2(2 4 ) (2 6 ) 0x xxy xy ye dx x y x y e dy− − + − − = 12.1 จงแสดงวา 2 3 2 2 2(2 4 ) (2 6 ) 0x xxy xy ye dx x y x y e dy− − + − − = เปนสมการ

แมนตรง (2 คะแนน) 12.2 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ

2 3 2 2 2(2 4 ) (2 6 ) 0x xxy xy ye dx x y x y e dy− − + − − = (5 คะแนน)

ขอ 13. (7 คะแนน) พิจารณาสมการ 22( ) 0xxy x e dx y dy−− + + = 13.1 จงแสดงวา 22( ) 0xxy x e dx y dy−− + + = ไมเปนสมการแมนตรง (1 คะแนน) 13.2 จงหาตัวประกอบเพื่อการหาปริพันธของสมการ 22( ) 0xxy x e dx y dy−− + + = (2 คะแนน) 13.3 จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ 22( ) 0xxy x e dx y dy−− + + = (4 คะแนน) ขอ 14. (6 คะแนน) จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการ 2 2 3(5 3 ) (3 4 ) 0x y y dx x xy dy− + − = ขอ 15. (6 คะแนน) จงหาผลเฉลยเฉพาะรายของสมการ 3 2(1 ) 0x dy x y dx+ − = เมื่อ (1) 2y = ขอ 15. กําหนด ( ) 0 (*)x y dy ydx+ − =

จงหาผลเฉลยของสมการ (*) โดยใชวิธีการดังตอไปนี ้15.1 (6 คะแนน) สมการเอกพันธุ 15.2 (6 คะแนน) ตวัประกอบเพื่อการอินทิเกรต

ขอ 16. (6 คะแนน) จงหาผลเฉลยของสมการ 53dy y xdx x

− =

P 5

sa-

*.o,

d 4

m is- \

1 r K>6 + P $ L -'*' B x

1 qa q&! $N~n,xaAu 4 3 per) - f , w ) - 9 3 fi~rorq j pn, dr = J L -

R A#

@!.id4k#~bM 45 P gph17b e Ax C~pmh* = A

rrcs e I F

d e , VJd 3 = @- (PJ, mt@clrro 90

J ~ ~ R , AX [JP JP(~JR prx, d r ]

I;:

*q %,, J;$x = % + = $-8XX, - a ( y - j ) = - - 2 . -

x l ~ y - ' ) xcxy-!) Xd ' t.4 -J 9 J+ dl -P $ r f 2 A 1

e = e = e - - x - ~ . x* -

- -- . --

-

wnw B * *$ brnb P = -

?$- - -- - -

-I 1 0 : My = 1_ -

--1

--

:

xy (s$*dx,3-f$4) - -- w ' d ~ l i ~ j y d ~ i

+J9 -iFJ$&j4i7 r 0 6

-

TJ --

(1 x)35 Ihs8ggDoI-D

-- - .- 9x5 - 7 3 dry d g x ! ! o