actividades de 2°(1)

8/4/2019 ACTIVIDADES DE 2(1)

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MINISTERIO DE EDUCACINDIRECCIN NACIONAL DE EDUCACIN

PROYECTO DE REFUERZO

ACADMICO PARA ESTUDIANTES

DE EDUCACIN MEDIA

DOCUMENTO PARA EL DOCENTE DEMATEMTICA

PRAEM 2010


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Ministerio de Educacin

Direccin Nacional de Educacin

PRAEM 2010

Actividades de Refuerzo de Matemtica Segunda Prueba de Avance2

Actividades de refuerzo acadmico sugeridas para que los estudiantes superen las

deficiencias mostradas en el desarrollo de los tems de la prueba

ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS TEMS NMERO 1 y 2

Bloque de contenido:Estadstica

Contenido:Probabilidad

Indicadores de logro:4.3 Aplica, con inters y

confianza, las operaciones deconjuntos a los espaciosmustrales.

4.4 Resuelve, con seguridad,ejercicios y problemas deaplicacin a los espaciosmustrales.

Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el tem:

1. Dificultad para elaborar arreglos usando diagrama de rbol.

2. Dificultad para obtener e interpretar el espacio muestral.

3. Dificultad para realizar operaciones con conjuntos.

Actividad 1: Reforcemos saberes previos

Descripcin:

Debido al enfoque de la asignatura, las actividades iniciarn planteando una situacinproblemtica; a partir de ella y con base en los conocimientos previos, se harn

cuestionamientos sobre los diferentes conceptos que se necesitan para resolverlas.Para el clculo de la probabilidad, los conceptos y operaciones bsicas que se requierenson:

Conjunto

El concepto de conjunto es intuitivo pero bsico en la matemtica, aqu se expone laterminologa que puede ser usada para ayudar a explicar la probabilidad.

Todo conjunto se representa por una letra mayscula y hay tres formas de expresarlo:

Por extensin, listando los elementos entre llaves.

Ejemplo

Edad de cinco personas de la familia Hernndez, S = {6, 9, 12, 35, 40} Por comprensin, estableciendo las condiciones que cumplen los elementos.

Ejemplo

Esta expresin se lee S es el conjunto de todos los nmeros naturales que sonimpares, mayores que 5 y menores que 1 501


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Utilizando un Diagrama de Venno Diagrama de Euler.

Ejemplo

Sea U = El conjunto de todos los estudiantes del Institutito Nacional ManuelJos Arce

A = Conjunto de todos los estudiantes del segundo Ao A.B = Conjunto de todos los estudiantes del segundo Ao B.

El rea total representada por la letra U se llama conjunto Universal o poblacin.

Arreglos de objetosLos procedimientos para encontrar el nmero de arreglos posibles de los elementos deun conjunto, son esenciales en el estudio de la probabilidad. Los arreglos puedenencontrarse a partir de undiagrama de rbol.

Ejemplo

En una bolsa se tienen 4 chibolas (canicas) 2 de color rojo (R) y 2 de color blanco (B).Encuentre el nmero de arreglos que se forman si se extraen tres una despus de laotra.

U

A B

ArreglosB BBB

BR BBR

BB BRB

RR BRR

Inicio

B RBB

B R RBR

RB RRB

RR RRR


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Existen ocho formas posibles en las que pueden aparecer las chibolas.

S = {BBB, BBR, BRB, BRR, RBB, RBR, RRB, RRR}

Si queremos encontrar los sucesos en que se extraen ms canicas de color rojo,obtenemos:

A = {BRR, RBR, RRB, RRR}

Encuentre el evento Se obtiene un nmero impar de canicas blancas

Considerando que el espacio muestral es

S = {BBB, BBR, BRB, BRR, RBB, RBR, RRB, RRR}

B = {BBB, BRR, RBR, RRB}

Operaciones con conjuntosEn diagrama de Venn

A U B = A BSignifica que ocurre A, B o ambos.

A B = A y BSignifica que ocurren ambos.

Ac es el complemento.Significa que no ocurre A.

A B es la diferencia de eventos.Significa aparece en A pero no en B.

Al conjunto formado por todos los sucesos o resultados posibles se le llama espacio

muestral y se si simboliza con S.

Cualquier subconjunto del espacio muestral recibe el nombre de evento.


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Realizaremos algunas operaciones a partir del problema planteado al inicio.

A = Se obtienen ms canicas rojas que blancas; A= {BRR, RBR, RRB, RRR}

B = Se obtiene un nmero impar de canicas blancas; B= {BBB, BRR, RBR, RRB}

Encontremos

A o B = Se obtienen ms canicas rojas o un nmero impar de canicas blancas.

A U B = {BRR, RBR, RRB, RRR} U {BBB, BRR, RBR, RRB}

= {BRR, RBR, RRB, RRR, BBB}

A y B = Se obtienen ms canicas rojas y un nmero impar de canicas blancas.

A B = {BRR, RBR, RRB, RRR} {BBB, BRR, RBR, RRB}

{BRR, RBR, RRB,}

Ac = No se obtienen ms canicas rojas que blancas (se tienen ms blancas que rojas)

Si S = {BBB, BBR, BRB, BRR, RBB, RBR, RRB, RRR} y A = {BRR, RBR, RRB, RRR},entonces:

Ac = {BBB, BBR, BRB, RBB}

Actividad 2: Encontremos espacios mustrales y eventos

Descripcin:Se trata de la aplicacin de procedimientos para encontrar eventos y espacios

mustrales usando el diagrama de rbol.

Ejercicios

1. Una seora tiene cuatro abrigos (rojo, gris, rosa y amarillo) y dos sombreros (blancoy negro) De cuantas formas puede combinar un abrigo y un sombrero?

2. En una cajita hay cuatro dulces dos de naranjas (N) y dos de uva (U). Si se extraentres uno despus del otro, encuentre los eventos:

A = Se tiene tres dulces de naranja.

B = Se tienen tres dulces de uva.

A B =

3. Encontrar el espacio muestral (S) asociado al lanzamiento de dos dados y loseventos siguientes:

A = La suma de los puntos en la cara superior es igual a 5

B = La cara con dos puntos aparece al menos una vez


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Actividades sugeridas para los tems nmero 3, 4 y 8

Bloque de contenido:Estadstica

Contenido:Probabilidad

Indicadores de logro:4.9 Resuelve con

autonoma, problemas

aplicando los enfoquessubjetivo, emprico yclsico deprobabilidades.


1. Confusin entre los casos probables y los casos posibles2. Dificultad para reconocer los sucesos de un evento3. Dificultad al aplicar la frmula del clculo de la probabilidad


Descripcin:

En esta actividad se realizarn procesos hasta darle respuesta a cada una de lassituaciones planteadas.

Nmero primo

Un nmero primo es aquel que solo es divisible entre s mismo y la unidad.

El 13 es un nmero primo porque 13= 13 x 1 y no puede escribirse como el producto deningn otro par de nmeros naturales.

En cambio 15 no es un nmero primo porque 15 = 3 x 5, es divisible entre si mismo y la

unidad pero tambin entre 3 y 5.Una manera de encontrar nmeros primos hasta 100, consiste en escribir los nmerosdel 1 al 100. El nmero 1 se elimina como nmero primo por definicin. El primer nmeroprimo es 2, por lo que eliminamos todos los nmeros mltiplos de 2. De los que quedan,el nmero despus del 2 es el 3, este es el siguiente primo. Tachamos todos losmltiplos de 3. El siguiente nmero sin tachar es el 5, por lo que tachamos los mltiplosde 5. El siguiente es el 7,...

Completa la tabla de los nmeros primosPara ello, sigue estos pasos:A partir del 2, tacha los mltiplos de 2.

A partir del 3, tacha los mltiplos de 3.A partir del 5, tacha los mltiplos de 5.A partir del 7, tacha los mltiplos de 7.A partir del 11, tacha los mltiplos de 11.

A partir de la actividad anterior los nmeros primosque resultan son los siguientes.

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89,97}


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Fenmenos aleatorios

En la vida cotidiana observamos fenmenos que al repetirse, se obtienen los mismosresultados y otros en los que obtenemos resultados diferentes al repetirlos.

A continuacin aparecen algunos fenmenos, escribe una X en el espacio de acuerdo a

la conveniencia.

Fenmeno Se obtiene losmismos resultado

No se obtiene losmismos

resultadosa) Medir varias veces con la misma regla

la longitud de un lpizb) Lanzar varias veces una moneda al

aire y anotar si cae cara o cruzc) Soltar varias veces una piedra desde la

misma altura y medir el tiempo quetarda en llega al suelo

d) Meter varias veces la mano en unrecipiente con agua en las mismascondiciones

e) Jugar a la lotera para obtener elpremio mayor

f) Extraer una baraja de un mazo decartas para ver si es un as

Si se obtiene siempre el mismo resultado, es un fenmeno determinista.

De los anteriores, cules son fenmenos deterministas? _______________

Si los resultados sufren variaciones y no sabemos que ocurrir la prxima vez, se tratade un fenmeno aleatorio.

Escribe el espacio muestral de los experimentos siguientes:

1) Lanzar una moneda al aire.2) Lanzar un dado al aire3) Determinar la ltima cifra del premio mayor de la lotera.4) Extraer tres bolitas de una urna que contiene 3 bolitas blancas y tres negras, una

despus de la otra.5) Lanzamiento de dos dados uno despus otro.

6) Seleccionar un nmero natural de dos cifras.

Probabilidad

Obtener la probabilidad de un evento, consiste en encontrar el nmero que nos indicaqu tan probable es que ese evento ocurra. Dicho nmero es el cociente entre lacantidad de sucesos esperados y la de sucesos posibles o puntos mustrales.


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EjemploEn el experimento de lanzar dos monedas al aire, una despus de laotra,

Cul es la probabilidad que al menos una moneda caiga cara?

Encontrar el espacio muestral usando una tabla de doble entrada:

S = {(cara, cara), (sello, cara), (cara, sello), (sello, sello)}

El nmero de puntos del espacio muestral es 4

Encontrar el evento E: Que al menos una moneda caiga cara

E = {(cara, cara), (sello, cara), (cara, sello)}

El nmero de puntos mustrales del evento esperado es 3

Aplicar la frmula:

P(E) = = 0.75

R: La probabilidad que al lanzar dos monedas al aire, al menos una caiga cara es de0.75

A partir de este momento a los puntos muestrales del evento le llamaremos casosfavorables(f) y a los espacios muestral casos posibles(n)

Moneda

1

cara sello

Moneda

2

cara (cara, cara) (sello, cara)

sello (cara, sello) (sello, sello )


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Si E es un evento:

Ejemplo

Sea el conjunto: {10, 11, 12,13,...99}

Cul es la posibilidad de que al seleccionar un nmero entero positivo de dos cifras,este sea primo y termine en tres?

Los casos posibles del evento son los nmeros enteros positivos de dos cifras {10, 11,12,99} haciendo un total de 90.

Los casos favorables {13, 23, 43, 53, 73, 83} son 6.

Aplicar la frmula:

Simplificando

R: La posibilidad de que al seleccionar un nmero entero positivo de dos cifras, este seaprimo y termine en tres es de 0.067

Es posible que una probabilidad de un evento sea mayor que 1?

No, porque el nmero de casos favorables nunca ser mayor que el de casos posibles.

Ejemplo

Completar las casillas, para el experimento lanzar un dado al aire

Evento Casos favorables Casos posibles Probabilidad

E1 = Nmeros parE1 = {2, 4, 6}

3 casos

S = {1,2,3,4,5,6}

6 casosE2 = Nmero

mayor que 6

E1 = { }

0 casos

E3 = nmero

menor que 7


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Actividad 2: Encontremos la probabilidad

Descripcin:

En esta actividad se pretendereforzar los procedimientos para encontrar la probabilidadaplicando la frmula.

Ejercicios

1. Si en una bolsa hay 5 canicas, 2 rojas y 3 blancas, Cul es la probabilidad deextraer, sin ver, los eventos siguientes:

Evento Casos favorables Casos posibles Probabilidad

E1 = unacanica roja

E2 = unacanica blanca

E3 = Unacanica azul

2. Si en una caja hay 4 pelotas numeradas del 1 al 4. Cul es la probabilidad de extraeruna y que esta sea:

E1 = par P(E1) = ____________

E2 = impar P(E2) = ____________

E3 = mayor que 5 P(E3) = ____________

E1 = menor que 3 P(E1) = ____________

E1 = nmero primo P(E1) = ____________

E2 = mltiplo de 2 P(E2) = ____________

E3 = mayor que 0 P(E3) = ____________

E1 = mltiplo de 3 P(E1) = ____________

3. Mara y Juan lanzan dos dados uno despus del otro y suman los nmerosobtenidos, cul es la probabilidad de que la suma resulte un mltiplo de tres?


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ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS TEMS NMERO 5, 6 y 7

Bloque decontenido

Estadstica

Contenido:

Probabilidad

Indicadores de logro

4.11Determina, con orden, la probabilidad deocurrencia de eventos independientes o

dependientes.4:13 Calcula la probabilidad de eventos

solapados, con orden.

4.14 Determina y explica la probabilidad deocurrencia en eventos condicionados.


1) Dificultad para identificar cuando el evento es compuesto

2) Aplicacin incorrecta del conectivo disyuntivo (o) en eventos

3) Aplicacin incorrecta del conectivo de conjuncin (y) en eventos

4) Dificultad para identificar la ocurrencia de eventos condicionados

Actividad 1: Reforcemos saberes previosDescripcin:

La actividad sugiere procesos para darle respuesta a cada una de las situacionesplanteadas.

Probabilidad compuesta

Cul es la probabilidad obtener 4 5 en el lanzamiento de un dado?

Se puede observar que en el planteamiento del problema existe un conectivolgico entreun evento y otro, este es o. Por lo tanto, la probabilidad que se pide es de A o B.

Son conectivo lgicos las palabras: no, y, o, si entonces, si y solo si. Lasproposiciones que para describirse utilizan conectivos lgicos se denominanproposiciones compuestas.

Cundo es un evento independiente?

Si se forma con elconectivo lgico

La proposicin esuna

no Negacin

o Disyuncin

y Conjuncin

Llamaremos evento compuesto a aquel que se describe mediante unanegacin, una disyuncin o una conjuncin.

Dos eventos son independientes si la recurrencias o no de uno de ellos, noafecta la probabilidad del otro.


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Ejemplo

Se extraen, sin ver, 2 pelotas de una urna que contiene 2 pelotas blancas y 3 negras.Cul es la probabilidad de que las dos extradas sean negras, si despus de extraer laprimera, esta no se devuelve a la caja?

La probabilidad de que la primera extraccin sea negra esLa probabilidad del segundo evento depende de:

a) Si la primera bola fue negra, solo quedan dos en la urna entonces la probabilidades

b) Si la primera pelota no fue negra

Entonces la probabilidad de extraer una pelota negra en la segunda ocasin es

En el primer experimento los eventos son independientes.

En el segundo experimento, la probabilidad del segundo evento resulta afectada por la

realizacin del primero, aqu los eventos son dependientes (el segundo depende delprimero).

Probabilidad de la unin de eventos a partir de la disyuncin

Si el experimento es: Extraer de una caja, sin ver, una de las 10 tarjetas numeradas del1 al 10.Dos de los eventos que pueden resultar de extraer una carta, son:E1 = Que sea un nmero menor o igual que 4E2 = Que sea el nmero 7.

La proposicin compuesta usando el conectivo o con los eventos anteriores, es: Cul

es la probabilidad de extraer una carta que tiene un nmero menor que 4 el nmero 7?

Para este caso,El espacio muestral es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}Los valores que cumple con E1 = {1, 2, 3, 4}El valor que cumple con E2 = {7}Entonces el nuevo evento E1 v E2 = {1, 2, 3, 4, 7}

En diagrama de Venn

E1 U E2 = E1 v E2


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Encontremos la probabilidadP(E1) = P(E2) = P(E1 U E2 ) =

Si E3 = Que sea un nmero par E3 = {2, 4, 6, 8, 10} P(E3) =

E4 = Que sea un nmero mayor que 6, de una cifra E4 = {7, 8, 9} P(E4) =E5 = Que sea un mltiplo de 5 E5 = {5, 10} P( E5) =

Algunas proposiciones compuestas con el conectivo o son:

E4 U E5 = Que sea un nmero mayor que 6, de una cifra o mltiplo de 5

P(E4) =

P( E5) =

E3 U E4 = Carta con nmero par o nmero mayor que 6, de una cifra

E3U E4 = {2, 4, 6, 7, 8, 9, 10}

p(E3) =

p(E4) =

En los dos primeros ejemplos, la probabilidad de la unin es igual a la suma de lasprobabilidades de cada evento. Esto no se cumple en el tercer ejemplo, ya que E3 y E4tienen elementos en comn.

Como E3 E4 = { 8 }, al sumar las probabilidades se cuenta dos veces este elemento,por lo que a la suma se le resta la probabilidad de la interseccin.P(E3 E4) =

Entonces E3 U E4 = + - =

E3 U E4 = p(E3) + p(E4) - P(E3 E4)

P (E4U E5) =

P (E3U E4) =


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Podemos concluir

Para el problema: Encontrar la probabilidad de que en el lanzamiento de un dado setenga 4 5, analizamos lo siguiente:

Al tirar el dado no se pueden tener dos lados simultneamente, esto indica que sonmutuamente excluyentes.

Si S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, E1 = {4} y E2 = {5} entonces P(E1) = P(E2) =

P(E1 v E2 ) = P(E1 U E2 )

= P(E1) + P(E2)

= +

=

R: La probabilidad de obtener 4 5 en un lanzamiento de dado es

Qu pasara si la proposicin en lugar de ser una disyuncin (o ) es una conjuncin(y).

Consideremos la situacin siguiente: Un joven matrimonio desea tener dos hijos.Cul es la probabilidad de que ambos sean nias?

Solucin

S = {nio-nio, nio-nia, nia-nio, nia-nia}E1 = el primer hijo es nia P(E1) =

E2 = el segundo hijo es nia P(E2) =

E1 E2 El primero y el segundo de sus hijos fueron nias

P(E1 E2) = =

Si E1 y E2 son dos eventos sin elementos comunes (mutuamente excluyente),entonces

P(E1 v E2 ) = P(E1 U E2 ) = P(E1) + P(E2)Si E1 y E2 son dos eventos con elementos comunes, entonces

P(E1 v E2 ) = P(E1 U E2 ) = P(E1) + P(E2) - P(E1 E2 )


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En este caso los eventos son independientes, por lo que no afecta la probabilidad unodel otro

R: la probabilidad de que los dos hijos sean nias es de

Ejercicios

Cul es la probabilidad de que en un lanzamiento de un dado, se obtenga unnmero

par y menor que 5?

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}E3 = Nmero par = {2, 4. 6} P(E3) =

E4 = Nmero menor que 5 = {1, 2, 3, 4} P(E4) =

E3 E4 = Nmero par y menor que 5

Al lanzar el dado puede ocurrir cualquiera de los eventos

P(E3 E4) = = =

Podemos concluir que:

Si E1 y E2 son eventos independientes, entonces

P(E1 E2) = P(E1 E2) = P (E1) x P (E2)

Probabilidad condicional

La probabilidad que llueva el 3 de mayo en El Salvador es de 50 % y la probabilidad

de que llueva el 3 y 4 es de 40%, si llovi el 3 de mayo, Cul es la probabilidad quellueva el 4 de mayo?

Para resolverlo es necesario considerar, que la probabilidad de que ocurra un eventodepende de que ocurra el otro evento. En este caso, tenemos una probabilidadcondicionada.

La probabilidad de que ocurra A cuando B ha ocurrido se simboliza P(A / B) por lo queP(B / A) es la probabilidad que ocurra B dado que A ha ocurrido.

1S

5 1

3

E3E4

4

26


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Las formulas a utilizar son:

Probabilidad condicional de A Probabilidad condicional de B

P(A / B ) = P(B / A ) =

Donde:

P(A B) es la probabilidad de que ocurran ambos.

P(A) y P (B) se denominan probabilidades marginales.

Volviendo al problema:La probabilidad que llueva el 3 de mayo en El Salvador es de 50 % y la probabilidad deque llueva el 3 y 4 es de 40%, si llovi el 3 de mayo, Cul es la probabilidad que lluevael 4 de mayo?

P(A B) = 40% = 0.4, P(A) = 50 % = 0.5 y P(B) = ?

P(B / A ) =

Como el planteamiento del problema est en porcentaje es necesario expresar larespuesta tambin en porcentaje.

0.8 x 100 = 80 %

R: La probabilidad que llueva el 4 de mayo es de un 80%

Actividad 2 Encontremos probabilidades de eventos compuestos

Descripcin:

Reforzar los procedimientos para encontrar probabilidad de eventos compuestos ycondicionados

Ejercicios

1. En una caja hay 12 ficha de color rojo, 9 verde, 5 azules y 4 amarillas. Si seextrae una ficha, sin ver, considerar los eventos:

E1 = Extraer ficha verde P(E1) = 9/30 = 3/10

E2 = Extraer ficha roja P(E2) P(E2) = 12/30 = 2/5

E3 = Extraer ficha amarilla P(E3) = 4/30 = 2/15

E4 = Extraer ficha azul P(E4) = 5/30 = 1/6

E5 = Extraer ficha blanca P(E5) = 0/30 = 0

E6 = Extraer ficha roja o verde o amarilla P(E6) = 25/30 = 5/6


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Encuentra los siguientes eventos compuestos y encuentra su probabilidad

E1 E2 =

E5 E3 =

E1 E6 =

E2 E6 =

E4 E6 =

2. La probabilidad de que el segundo premio de la Lotera Nacional termine en 5 en 8 es:

3. La probabilidad de que al lanzar una moneda caiga cara o corona es:4. Cul es la probabilidad en que al lanzar un dado ste caiga en nmero impar o

menos que 4?5. Se elige al azar un nmero entero positivo del 1 al 19. cul es la probabilidad

que el nmero sea tres o cinco?

Probabilidad interseccin de eventos independientes

1. En una caja hay 4 botones blancos, 2 rojos y 1 amarillo. Si se extraen de ella 2botones, sin ver, devolviendo el primero antes de la segunda extraccin. Cul esla probabilidad que ambos botones sean amarillos?

2. Si se extrae una carta de un mazo de barajas espaolas, Cul es la probabilidadde que sea de oros y menos que 5?

3. En una competencia, un deportista acert 3 de 4 tiros, mientras que otro acert 2de 4. Cul es la probabilidad de que ambos den en el blanco en el quinto tiro?

4. Cierta guila tiene la probabilidad de 3/5 de capturar su presa en cada intento. Siesto es as y cada intento es independiente del otro, cul es la probabilidad deque en una cacera logre atrapar una presa en el segundo intento sabiendo queno lo hizo en el primero?

Probabilidad condicional

1. Si al lanzar un par de dados comunes, la suma de las caras es 6. Hallar laprobabilidad de que una de ellas sea 2. Considerando que existen 5probabilidades de que la suma sea 6 y los elementos comunes en que puedenaparecer son de 2 maneras.

2. Consideramos una urna que contiene 4 bolitas rojas y 5 blancas. De las 4 bolitasrojas 2 son lisas y 2 rayadas y de las 5 bolitas blancas 4 son lisas y 1 es rayada.Supongamos que se extrae una bolita y sin que la hayamos mirado alguien nosdice la bolita es roja. Cul es la probabilidad que la bolita sea rayada?


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ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL TEM 9

Bloque decontenido:

Probabilidad

Contenido:

Distribucin

binomial

Indicadores de logro:

5.5 Utiliza, con precisin y seguridad, la

frmula para el clculo de laprobabilidad de una distribucinbinomial en la sucesin de ejercicios.


1. Dificultad para interpretar la situacin.

2. Dificultad para determinar que se trata de una distribucin binomial e identificar lafrmula a utilizar.

3. Dificultad para realizar los clculos a partir de la frmula.


Descripcin:

En esta actividad, se presenta un repaso del contenido a partir de un ejemplo, paracolaborar con aquellos estudiantes que por alguna razn no cuentan con el desarrollo delcontenido.

La distribucin binomial es una distribucin de probabilidad imprescindible para el estudiode la inferencia estadstica, una de las llamadas distribuciones discretas (que slopueden tomar un nmero finito, o infinito numerable, de valores). Fue estudiada porJakob Bernoulli (Suiza, 1654-1705), quin escribi el primer tratado importante sobre

probabilidad, Ars conjectandi (El arte de pronosticar).

La distribucin binomial o de Bernoulli est asociada a experimentos en los que:

Se considera slo la posibilidad de xito o fracaso.

El xito o fracaso en cada ocasin es independiente del xito o fracaso en lasdems ocasiones.

La probabilidad de obtener xito o fracaso siempre es la misma en cada ocasin.

Ejemplos:

1. Partiendo de la probabilidad emprica.

Si lanzamos una moneda 5 veces y obtenemos 3 caras. Cul es la probabilidad deobtener 2 caras en 4 lanzamientos?

Este es un ejemplo de distribucin binomial, pues estamos repitiendo el experimento delanzar una moneda.


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El xito es: obtener cara, que representa 3 de 5 posibilidades (5

3).

El fracaso es: no sacar cara, que representa 2 de 5 posibilidades (5

2).

Si a la probabilidad de xito le llamamos p, entonces p 5

3 0.6

Si a la probabilidad de no xito o fracaso le llamamos q, entonces q 5

2 0.4

El ejemplo nos solicita la probabilidad de obtener 2 caras en 4 lanzamientos, esto es n 4 y x 2.

Aplicando la frmula xnxqpx

nnxP

;

Obtenemos 242 4.06.02

44;2

P

16.036.06

3456.04;2 P

2. Partiendo de la probabilidad terica.

Cul es la probabilidad de obtener 2 caras en 5 lanzamientos de una moneda?

En este caso, no hay indicador de la probabilidad de xito por lo que se considera quehay 1 de 2 posibilidades (cara, cruz).

El xito es: obtener cara, que representa p2

1.

El fracaso es: no sacar cara, que representa q2

1.

El ejemplo nos solicita la probabilidad de obtener 2 caras en 4 lanzamientos, esto es n 5 y x 2.

Aplicando la frmula

xnxqpx

nnxP

;

Obtenemos 252 5.05.02

55;2

P

125.025.010

3125.04;2 P


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3. Acumulando probabilidades

Cuando se nos pide encontrar la probabilidad para un intervalo de datos, encontramos lasuma de las probabilidades de cada uno de los datos del intervalo.

Cul es la probabilidad de que en 7 lanzamientos de un dado se obtenga el nmero 3,

al menos 2 veces?

Para resolver, encontramos la suma de las probabilidades para: 0, 1 y 2 veces.

p6

1porque hay un nmero entre las 6 caras del dado.

q6

5que representa el complemento (p+q 1)

70

83333.0166667.00

7

7;0

P 0.27908

61 83333.0166667.01

77;1

P 0.39071

52 83333.0166667.02

77;2

P 0.23443

P ( x 2) = 0.27908 + 0.39071 + 0.23443

P ( x 2) = 0.90422

Actividad 2: Resolvamos problemas

Descripcin:Consta de una serie de ejercicios para aplicacin de la frmula, se presenta un problemapara cada uno de los casos presentados en el refuerzo.1. Supongamos que la probabilidad de que una pareja tenga un hijo o una hija es igual.

Calcular la probabilidad de que una familia con 6 descendientes tenga 2 hijos.2. La probabilidad de que un alumno de 2 de Bachillerato apruebe Matemtica es de

0.7. Si consideramos un grupo de 8 alumnos, cul es la probabilidad de que cincode ellos aprueben Matemtica?

3. Los alumnos de cierta clase se encuentran en una proporcin del 67% que estudianingls y el resto francs.Tomamos una muestra de 15 alumnos de la clase, calcular:

a) Probabilidad de que al menos encontremos tres alumnos de ingls.

b) Probabilidad de que los 15 alumnos estudien ingls.

c) Probabilidad de que estudien ingls entre 7 y 10 alumnos.


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Actividades sugeridas para los tems 10, 11 y 12

Bloque decontenido:

Probabilidad

Contenido:

Distribucin normal


5.9 Utiliza, con precisin y seguridad, las

tablas para encontrar reas bajo lacurva normal.

5.10 Resuelve ejercicios y problemasaplicados a la vida cotidiana sobrevariables con distribucin normal, conseguridad.


1. Dificultad para estandarizar el valor de la variable.

2. Dificultad al utilizar la tabla para reas bajo la curva normal.3. Interpretacin inadecuada del valor de z. (Valores estandarizados)

4. Ubicacin incorrecta de la probabilidad como rea de la curva normal.


Descripcin:

En esta actividad se desarrolla el contenido considerando las 2 primeras causas por lasque respondi incorrectamente y que son bsicas para el aprendizaje del contenido.

Desarrollo:

La distribucin normal se utiliza para representar probabilidades de aspectos cotidianos,como:

Caracteres morfolgicos de individuos (personas, animales, plantas) de un mismotipo. Como tallas, pesos, envergaduras, etc.

Caracteres fisiolgicos, como el efecto de una misma dosis de un frmaco, o deuna misma cantidad de abono.

Caracteres sociolgicos, como el consumo de ciertos productos por individuos deun mismo grupo humano.

Caracteres psicolgicos, como el cociente intelectual, grado de adaptacin a unmedio.

Caracteres fsicos, como la resistencia a la rotura de ciertas piezas. . .

Todos ellos, tienen en comn que se distribuyen normalmente.

Qu significa la expresin se distribuyen normalmente?


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Significa que el mayor porcentaje de los datos se encuentra cerca de la media aritmticay disminuyen a medida que se alejan de ella. Por ejemplo, si hacemos una estadsticapara conocer la altura de 1400 mujeres y representamos los resultados en unhistograma, obtenemos:

Estas grficas presentan poca frecuencia en los extremos y un aumento paulatino hastallegar a la parte central, donde est la mayora de ellos.

Una distribucin normal que tiene media igual a 0 y desviacin estndar igual a 1 sedenomina distribucin normal estndar.

Los valores de la variable X(altura, peso,) se estandarizan como valores z, utilizandola frmula:

Ejemplo:

El ingreso mensual que una corporacin grande ofrece a los graduados en MBA tieneuna distribucin normal con media de $2000 y desviacin estndar de $200.

Cul es el valor z para un ingreso de $2200? y cul para uno de $1700?

Para X = $2200, 1200

20002200

z

Para X = $1700, 5.1200

20001700

z

Estatura

N de mujeres


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La representacin grfica de la funcin de densidad de una distribucin de probabilidadnormal estndar es una curva positiva continua, simtrica respecto a la media, demximo en la media, y que tiene 2 puntos de inflexin -1 ( ) y 1 (+ ) situados aambos lados de la media, es decir de la forma:

Uso de las tablas

La distribucin normal estndar se encuentra tabulada, para valores desde 0 hasta 3.99.

1) Utilizaremos una seccin de la tabla para encontrar z=0.45a) se busca la parte entera y las dcimas (0.4) en la primera columna.

b) las centsimas se buscan en la primera fila (0.05)

La probabilidad que buscamos se encuentra en el punto comn a la fila y la columna queencontramos, en este caso. 0.2088

Por lo tanto, para z=0.45 el valor que le corresponde es 0.2088

2) Para encontrar z= -1.56 buscamos el valor sin considerar el signo (1.5 en la primeracolumna y 0.06 en la primera fila).

Actividad 2: Encontremos probabilidades

Descripcin:

En esta seccin se encontrarn reas bajo la curva normal y se resolvern problemas,considerando que hay dominio de lo presentado en la actividad 1. Si sus estudiantestienen buen manejo de la frmula y la tabla, puede iniciar el refuerzo con esta actividad.

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199

0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596

0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987

0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368

0.4 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088

0.5 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422


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reas bajo la curva normal

Iniciamos, recordando que:

El rea total bajo la curva normal es 1 por lo que 0.5 ser menor que la media y0.5 mayor.

68% del rea bajo la curva normal est a menos de una desviacin estndarrespecto a la media (entre -

95% del rea bajo la curva normal est a menos de dos desviaciones estndar de

99.74% del rea bajo la curva normal est a menos de tres desviaciones estndar

Si queremos calcular una probabilidad para un valor de z mayor que 3.99, bastafijarse en que las probabilidades correspondientes a valores tales como 3.62 ymayores son 0.9999 (prcticamente 1). Por eso, para estos valores mayores que3.99, diremos que la probabilidad es aproximadamente 1.

La P(z 5.62) 1 aunque no aparezca en la tabla.

Ejemplo:

El consumo de agua diario por persona tiene una distribucin normal con media de 20galones y desviacin estndar de 5 galones.

Entre qu valores est el 68% del consumo de agua diario por persona?Si -

Est entre 15 y 25 galones.

Cul es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar use menos de20 galones por da?Como X es igual a la media, los valores menores representan 0.5 de la curva.

P(X


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El rea bajo la curva entre z = 0 y z = 0.8 es P(0


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Qu porcentaje usa ms de 26 galones?

El valor asociado a z es 2.15

2026

z

Al utilizar la tabla obtenemos el rea de z = 0 a z = 1.2 y no la que necesitamos, porlo que a 0.5 le restamos el valor encontrado.

P (X > 26) = P (z > 1.2)

= 0.5 - P(z > 1.2)

= 0.5 - 0.3849

= 0.1151

P (X > 26) = 11.51%

Ejercicios1) La cantidad de propina que un mesero recibe por turno en un restaurante

exclusivo tiene una distribucin normal con media de $80 y desviacin estndarde $10 Cul es la probabilidad de que reciba $65?

2) Un profesor determin que el promedio final en su curso de estadstica tiene unadistribucin normal con media de 7.2 y desviacin estndar de 0.5. Si paraaprobar el curso la nota mnima es 7 qu porcentaje de alumnos lo reprobaron?

3) Las estaturas de 600 soldados se distribuyen de acuerdo a una distribucinnormal de media 168 cm y desviacin tpica 8 cm. Cuntos soldados midenentre 166 y 170 cm?

4) Los pesos de 60 empleados siguen una distribucin normal con media 67 kg ydesviacin tpica 5 kg. Calcular la probabilidad de que el peso sea:

a) mayor de 80 kg.b) 50 kg. o menosc) menos de 60 kg.d) Entre 60 y 70 kg.


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ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS TEMS 13, 14, 15 y 16

Bloque decontenido

Trigonometra

Contenido

Tringulos oblicungulos

Teorema del seno

Teorema del coseno

Indicador de logro

6.3 Utiliza el teorema del seno, alsolucionar ejercicios sobre tringulosoblicungulos, con seguridad yprecisin.

6.4 Resuelve con actitud propositiva yperseverante, problemas aplicando elteorema del seno.

6.6 Utiliza el teorema del coseno, alsolucionar ejercicios sobre tringulosoblicungulos con seguridad y

precisin.6.7 Resuelve trabajando en equipo,

problemas, aplicando el teorema delcoseno con actitud propositiva yperseverante.

Causas por las que los estudiantes no contestaron bien el tem

1. Aplica equivocadamente el teorema de Pitgoras.

2. Utiliza indistintamente el teorema del seno o el del coseno.

Actividad 1: Saberes previos sobre los teoremas del seno y del coseno

Descripcin:

Se presentan una serie de actividades en las cuales los estudiantes se apropiarn de losconocimientos necesarios para luego aplicarlos sobre los teoremas del seno y delcoseno, descritos en 4 casos probables.

Desarrollo:

El docente deber de presentar diferentes tringulos y solicitar a los estudiantes que

identifiquen los tringulos rectngulos y/o plantear interrogantes o dilogos como elsiguiente:

Si observas que un tringulo tiene un ngulo recto (es decir de 90) y colocas uncuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces el cuadrado ms grande tieneexactamente la misma rea que los otros dos cuadrados juntos!

El lado ms largo del tringulo se llama "hipotenusa", los otros dos son llamados catetosy a la relacin entre ellos se le llama Teorema de Pitgoras.


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La definicin formal del Teorema de Pitgoras, es: En un tringulo rectngulo elcuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos.

Entonces, el cuadrado de a (a) ms el cuadrado de b (b) es

igual al cuadrado de c (c):a2 + b2 = c2

Para los tringulos rectngulos tambin se establecen las siguientes razonestrigonomtricas, entre las longitudes de sus lados:

Todo tringulo que no es rectngulo, se clasifica como oblicungulo y en ellos no es

posible aplicar el Teorema de Pitgoras ni establecer las anteriores razonestrigonomtricas.

Para resolver un tringulo oblicungulo, se utilizan los siguientes casos de los teoremasdel seno y el coseno.


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Caso 1

Conociendo un lado y dos ngulos adyacentes a l

Ejercicio:De un tringulo sabemos que: a = 6 m, B = 45 y C = 105.

Calcula los restantes elementos.

Caso 2

Conociendo dos lados y el ngulo comprendido


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Ejercicio:

De un tringulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30.

Calcula los restantes elementos.

Caso 3

Conociendo dos lados y un ngulo opuesto

Ejercicio:

Resuelve el tringulo de datos: A = 60, a = 8 m y b = 4 m.

Caso 4

Conociendo los tres lados

Ejercicio:Resuelve el tringulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m.

sen B > 1. No hay solucin

sen B = 1 Tringulo rectngulo

sen B < 1. Una o dos soluciones


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Actividad 2: Utilicemos los teoremas del seno y del coseno

Descripcin:

Se presentan 3 grupos de ejercicios en los que inicialmente solo es de utilizar el

algoritmo y poco a poco necesitar el estudiante ir razonando lgicamente en formamatemtica ms profundo y aplicando otros conocimientos complementarios.

1. Calcula la altura (h) de la figura:

2. Encontrar el rea del siguiente tringulo.


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3. Halle el valor del ngulo X y los valores de los lados a y b, segn se muestran enlas figuras


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Actividad 2: Apliquemos los teoremas del seno y del coseno

Descripcin:

Se presentan 3 problemas de aplicacin, en los cuales el estudiante descubrir que nobasta saber la formulas, sino que necesita aplicar lenguaje matemtico y el razonamientolgico, debe sugerirle que en cada uno de ellos realice un diagrama para poder visualizarde mejor manera la situacin a resolver.

Ejemplo:

Un topgrafo mide los tres lados de un campo triangular y obtiene 114, 165 y 257metros. Cunto mide el mayor ngulo del tringulo?

1. Un avin vuela 40 Km. hacia el norte y luego 70 Km. formando un ngulo de 37

hacia el norte del este. Qu distancia total ha sobrevolado?2. Un barco sale desviado de su rumbo para evitar una tormenta 26.57, despus de

navegar 6.19Km. retorna a su rumbo original .Si su destino quedabaoriginalmente a 7.27km.

a. Cunta distancia le falta recorrer para llegar a su destino cuando cambio derumbo?

b. Cuntos grados debe girar el barco para retomar su rumbo?


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ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS TEMES 17 y 18

Bloque decontenido:Geometra

Analtica

Contenido:

Elementos de geometraanaltica

Distancia entre dos puntos.

Punto medio de unsegmento de recta

Indicador de logro:

7.2 Resuelve problemas utilizando lafrmula para calcular la distanciaentre dos puntos.

7.4 Resuelve problemas utilizando lafrmula para el punto medio de unsegmento de recta, con precisiny confianza.

Causas por las que los estudiantes no contestaron bien el tem

1. Ubica errneamente puntos en el plano cartesiano.

2. Utiliza incorrectamente la formula de distancia entre dos puntos.

3. Confunde la ecuacin que utilizara con la punto medio.4. Sustituye incorrectamente los valores de los puntos dados.

Actividad 1: Reforcemos saberes previos sobre plano cartesiano, ubicacin depuntos, distancia entre dos puntos, punto medio

Descripcin:

Se presentan 3 situaciones en las cuales deber verificar que los estudiantes realicenpor si mismos la actividad, tratando que la intervencin docente, sea la minima necesaria

a. El docente debe de presentar el plano cartesiano, llevar escritos los puntos :

a(2,3), b(-3, 6), c( -4, -7), d(4, -5), e(-5,0), f(0,7), g(6,0), h(0, -2); y solicitar quelos ubiquen en el plano, verificando los resultados.

b. Llevar en un cartel el grafico y demostrar que la formula corresponde a unainterpretacin del teorema de Pitgoras, pedir a los estudiantes que locomprueben construyndolo en su cuaderno con A(2,1) y B(6,4)

Punto medio de un segmento de recta.


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c. Presente en un cartel la siguiente figura ,utilizando los puntos A( 6, 7) y B(8, 11) ,solicite que pasen a la pizarra a medirla, determinando el punto medio de esta(sus coordenadas) , luego pida que expresen sus ideas de como debe ser lafrmula para determianr este punto

Actividad 2: Utilicemos la distancia entre puntos

Descripcin:

Se presentan 3 diferentes tipos de ejercicios del simple al complejo, ya que en el tercerode ellos deber de aplicar conocimientos bsicos de geometra

Ejercicios:

1. Hallar la distancia entre los puntos P1 (2, -8) y P2 (3, 5)

2. Determinar a con la condicin de que los puntos A(0, a) y B(1, 2) disten unaunidad (d = 1)

3. Clasificar el tringulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3, 0) y C(0, 1).

Actividad 2: Apliquemos el punto medio

Descripcin:

A continuacin hay 2 ejercicios, siendo el segundo en el que el estudiante deber deprestar mayor concentracin, sugiera que lo grafique en el plano a manera decomprobacin.

1. Dados los puntos A(3, 2, 5) y B(3, 1, 7) , hallar las coordenadas del punto mediodel segmento que determinan.

2. Las coordenadas de los vrtices consecutivos de un paralelogramo son A (1, 0, 0)y B(0, 1, 0). Las coordenadas del centro M son M(0, 0, 1). Hallar las coordenadasde los vrtices C y D.


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ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL TEM NMERO 19

Bloque decontenido:Geometra.

Contenido:Pendiente de unarecta.


7.6 Determina y explica, con inters elngulo de inclinacin de una recta y surelacin con la pendiente de la misma.


1. Dificultad para aplicar la ley de los signos en la suma y la multiplicacin.

2. Dificultad para ubicar mentalmente los puntos en el plano.

3. Dificultad para encontrar la pendiente de una recta

4. Duda en la aplicacin del inverso de la tangente para encontrar el ngulo.

Actividad 1: Reforcemos saberes previos.

Descripcin:Reforzar los conocimientos previos que son necesarios en la solucin de ste tem, comolos siguientes:

Ley de los signos para la suma y la resta:Se debe hacer nfasis en que dicha ley es diferente a la aplicada en la multiplicacin ydivisin, ya que los estudiantes suelen aplicarla de la misma manera.

Para el caso de la suma y resta pueden darse los siguientes casos:Los nmeros tienen el mismo signo: en este caso se suman los nmeros y al resultadose le escribe el signo comn.

Ejemplos:

5 + 27 = 32 (El signo ms de los nmeros 5 y 32 no se escribe)

- 8 35 = - 43

Los nmeros tienen signos diferentes: en este caso se restan y el minuendo ser lacantidad de mayor valor absoluto. Al resultado se le colocar el signo de esta cantidad.

Ejemplo:5 27 = - 22, ya que 27 es el mayor valor absoluto y posee signo menos.18 11 = 7, ya que 18 es el mayor valor absoluto y posee signo ms.


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Ley de los signos para la multiplicacin y divisin

Hacer nfasis en identificar la operacin que se desea realizar, para no confundir la leyde los signos. La ley es la misma para la multiplicacin y la divisin y nos dice que almultiplicar o dividir cantidades con signos iguales se obtiene una cantidad con valor

positivo y al multiplicar o dividir cantidades con signos contrarios se obtiene una cantidadcon signo negativo.Tener en cuenta que dicha ley aplica de dos en dos.

Ejercicios

Simplificar cada una de las expresiones siguientes:

a) 1523

b) 3 - [ 2 ( 4 5 8 ) ( 2 + 3 9 )

c) 15

24

d) 13 - [-8 (- 4 +3 -8 + (15 20)- (13 40)

e) -20 [(13 + 12) + 15 (1 8 9 + 3)

f) 52

14


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Actividad 2: Recordemos puntos y coordenadas

Descripcin:

Recordaremos y ejercitaremos la identificacin y ubicacin de puntos el plano.Observemos los puntos ubicados en el plano y determinemos algunas caractersticas.

Actividad 3: Encontremos la pendiente (inclinacin) de una recta

Descripcin:Recordaremos algunas definiciones y conceptos de inclinacin y pendiente de una recta.Si queremos saber cual de las siguientes rectas est ms inclinada

Diremos que la inclinacin de una recta es la medida del ngulo que forma la recta con eleje x medido en el sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj, entoncesexpresamos que:

es la inclinacin de la recta L1

y es la inclinacin de la recta L2

concluimos que L1

est ms inclinada que L2

Qu caractersticas tienen la puntos ubicadas sobrelos ejes x y eje y?

Qu par ordenado identifica el punto interseccin dellos ejes x y y?

Cul es el punto que representa el par ordenado(3,3)?

En qu cuadrante se encuentra el punto (2,2)?En qu cuadrante se encuentra el punto

(-3,2)?

Identifica el punto (-3,-2) y en que cuadrante seencuentra?

Identifica el punto (-1,2) y en que cuadrante seencuentra?


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Ejemplos de inclinaciones de algunas rectas

Se le llama pendiente de una recta a la tangente de su ngulo de inclinacin conrespecto a la horizontal.

Ejemplo:

Calcula la pendiente de las siguientes rectas:

Para calcular la pendiente de una recta encuentra haciendo uso de la calculadoracientfica la tangente de su ngulo de inclinacin.

a) m = tan 60 = 1.73

Encuentra los otros ngulos: a y b.

Pendiente = tangente de Se denota: m= tan

a)b)

c)


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Ejemplo:

Observa la inclinacin de estas dos rectas:

a) b)

Las pendientes de las rectas a y b son:

a) tan 150 = -0.58 b) tan 60= 1.73

Si tenemos la recta y los puntos por donde pasa la recta, aplicamos la definicin detangente.

Calcular la recta que posa por los puntos A(-2, -3) y B(3, 1).

En general la pendiente m se calcula con la siguiente expresin:m = tan

Donde cateto opuesto es y2- y

1

m = tan

La lnea punteada vertical es el cateto opuesto, esdecir cateto opuesto = 1-(-3)= 4Y el cateto adyacente es la lnea punteadahorizontal = 3 (-2) = 5.

tan =5

4= 0.8 por lo que m = 0.8


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Cateto adyacente es x2- x

1

Ejemplo:

Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2, -5) y B(-4, 7)

Solucin:

Ejercicios:

1. Calcula la pendiente de la recta:

a) cuya inclinacin es 45

b) Pasa por los puntos (-7, -3) y (4, 8)

2. Encuentra la inclinacin de la recta b.

Si queremos encontrar el ngulo (inclinacin)

de la recta que pasa por los puntos A(2, -5) yB(-4, 7),

m = -2y como tan= m, entonces el ngulo es:

Tan-1 (-2) = -63.4

Puedes concluir que toda recta inclinada a laizquierda, tiene una pendiente negativa, si

est inclinada a la derecha, es positiva.


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Contenido:Pendiente de unarecta


7.7 Resuelve problemas utilizando lafrmula de la pendiente de una recta,con inters y seguridad.


1. Tiene dificultad en identificar los valores de un punto cualquiera de la recta.

2. Inseguridad en la aplicacin de la ecuacin de la recta pertinente a la situacin.

3. Confusin al sustituir los valores en la ecuacin punto-intersecto.

Actividad 1: Recordemos los elementos de la ecuacin de la recta punto -pendiente

Descripcin:

Para recordar los elementos de la ecuacin punto-pendiente partiremos de una situacinhaciendo una breve explicacin en interaccin con el estudiante.

Mara desea encontrar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (4, 1) y (-2, 3).

SolucinGraficamos la recta para visualizar su posicin, para resolver no es necesario.

Utilizamos la ecuacin dos puntos para ver eldesarrollo y comprobar que se puede resolver enotras ecuaciones de la recta ms sencillas.

Sustituimos

, encontramos la pendiente,despejamos y tenemos:

x + 3y 7 = 0


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Si conocemos la pendiente, podemos resolver utilizando la ecuacin punto pendiente:

y - y1

= m(x - x1)

Si m = -3

1y p

1(4, 1), al sustituir y despejar nos queda: x+ 3y 7 = 0

Observa que se obtiene exactamente el mismo resultado si tomamos la pendiente -3

1

con el otro punto (-2, 3).

Utilizamos la misma ecuacin y - y1

= m(x - x1) y sustituimos:

y 3 = -3

1(x (-2))

y 3 = -3

1(x + 2)

x + 3y 7 = 0, observa que es exactamente la misma ecuacin.

Ejercicio:Determina la ecuacin punto - pendiente y la ecuacin punto intersecto que pasa porlos puntos:

a. (2, 3), (5, 8) b. (-1, 4), (4, 2) c. (-2, -2), (4, 2)

d. (3, -5), (1, -1) e. (-4, 2), (-4, 5) e. (2, 3), (-4, 3)

Actividad 2: Recordemos los elementos de la ecuacin pendiente intersecto

Descripcin:Partiremos de una grfica para observar los elementos y caractersticas que determinanla identificacin de la ecuacin pendiente intersecto.

Si tenemos la grfica: Observa que dos puntos de la recta son:A(0, 3) y B(-2, 0)

La pendiente es m =02

30

=2

3

=2

3;

Sustituyes en la ecuacin el punto A.

y 3 =2

3(x 0)

y =2

3x + 3


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Qu elementos puedes observar directamente de la recta?

2

3es la pendiente de la recta: m=

2

3

3 es el valor intersecto de la resta con el ejey.

y =2

3x + 3

Pendiente Intersecto eny

Si expresamos la ecuacin punto intersecto como: y = mx + b; el valor b corta la rectaen el eje y, tambin se le llama ordenada en el origen.

Ejemplo:

Encuentra la ecuacin cuya pendiente es 5 y la interseccin en y es 4.

Solucin

Si m = 5 y b = 4; sustituimos en la ecuacin y = mx + b. la ecuacin nos queda:

y = 5x + 4

Ejercicios:

Encuentra el valor de la pendiente y el intersecto de las ecuaciones:

a. y = 2x 1 b. 2x + y = -1 c. 3x + 2y = 0

d. y = -3

2x + 5 e. y = -8x - 10 f. y =

4

3x 6

Determina la ecuacin pendiente intersecto de las rectas, si:

a. m = -3, b = 5 b. m = -5

3, b = -10 c. m =

2

1, b = 2


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(a + b) (a + b) = a2 + ab + ab + b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL TEM NMERO 21, 22 y 27


Contenido:Paralelismo yperpendicularidadentre dos rectas


7.9 Deduce y explica la expresin matemticaque denota el paralelismo y/o perpendicularidadentre dos rectas, con seguridad.7.10 Utiliza la expresin matemtica que denotael paralelismo y / 0 perpendicularidad entre dosrectas. Con precisin y confianza para resolverejercicios.


1. Confunde las rectas paralelas con las perpendiculares.

2. Dificultad para factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c = 0

3. Duda o no recuerdo el principio de perpendicularidad.

4. Tiene inseguridad en la sustitucin de los valores del par ordenado en la ecuacinpunto pendiente.

5. Falta de ejercicios de fijacin.

Actividad 1: Recordemos la factorizacin de trinomios de la forma x2 + bx + c = 0

Descripcin:

Recordaremos la multiplicacin binomio por binomio y el caso de factoreo en trinomiosde la forma x2 +bx + c = 0, ejercitando algunos casos.

Binomio por binomio:


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3x + 2

3x + 29x2 + 6x

+ 6x + 49x2 + 12x + 4

Para multiplicar dos polinomios tambin aplicamos la propiedad distributiva, para facilitarpodemos colocar los polinomios de la manera siguiente:

Multiplicar (3x + 2) (3x + 2)

Encontremos el producto de los binomios siguientes

a) (m + n ) (m + n) d) (m + n ) (m - n)b) (5p 3) (5p 3) e) (2x 3) (2x + 3)

Pasos para factorizar trinomios que no son cuadrados perfectos

En esta actividad vamos a factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c.

Ejemplo: x2 + 2x - 24

Observamos que el trinomio est ordenado y que el tercer trmino no tiene raz cuadradaexacta, por lo que no es un trinomio cuadrado perfecto.

Estos trinomios se descomponen en dos factores que tienen en comn la raz cuadradadel primer trmino del trinomio.

x2 + 2x 24 = (x )(x )

El signo del segundo trmino del primer factor es el signo del segundo trmino deltrinomio.

x2 + 2x 24 = (x + )(x )

El signo del segundo trmino del segundo factor resulta de multiplicar el signo delsegundo trmino del trinomio por el signo del tercer trmino del trinomio.

x2 + 2x - 24 = (x + )(x - )por


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Cuando los signos de los factores son diferentes, se buscan dos nmeros que restadosresulten el coeficiente del segundo trmino del trinomio y multiplicados resulten el tercertrmino del trinomio.

6 4 = 2 (el coeficiente del segundo trmino es 2)6 (- 4) = - 24 (el tercer trmino del trinomio es 24)

Entonces: x2 + 2x - 24 = (x + 6)(x - 4)

Ejercicios:

Factorar los siguientes trinomios.

a) x2 + 12x + 36

b) 1 + 20n + 100n2

c) 25p2 + 90p + 81

d) 4 16x2 + 64x2

Actividad 2: Recordemos el principio de la perpendicularidad

Descripcin:Como en la actividades de refuerzo de los tems 19 y 20 se enfatiz sobre como seobtiene la pendiente en el desarrollo del refuerzo de ste tem, nos centraremos en elprincipio de la perpendicularidad,

Si observamos la grfica:

f) Y2 2y 15

g) X4 + 5x2 + 4

h) m2 9m + 20

i) -2 + 3x + x2

El grfico representa dos rectas perpendiculares: L1

y L2.

Para dos rectas perpendiculares se cumple que en el puntode interseccin forman un ngulo de 90.

Por ser la rectas L1

y L2.perpendiculares se cumple que:

m1

m2

= -1, entonces: m1

= -2

1

m, por lo que decimos: La

pendiente de una de las rectas es el recproco negativo dela otra.

Dos rectas L1

y L2son perpendiculares si y solo si el

producto de sus pendientes es igual a -1.


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Actividad 3: Utilicemos el principio de perpendicularidad y encontremos rectasparalelas.

Descripcin:En esta actividad encontraremos ecuaciones de rectas perpendiculares y realizamos

ejercicios.

Ejemplo:Pedro quiere determinar la ecuacin de la recta perpendicular que pasa por el puntomedio del segmento (mediatriz) que une a (5, -3) con (1, 7). Ayudemos a Pedro aencontrarla.

Solucin

Determinamos el punto medio aplicando la frmula:

x = 2

15

= 3 ; y = 2

73

= 2. El punto medio est en (3, 2)

Encontramos la pendiente de la recta que une a (5, -3) con (1, 7):

m =15

73

= -2

5

Aplicamos el principio de la perpendicularidad, as tenemos que la pendiente de la

mediatriz es m =5

2.

Aplicamos la frmula de ecuacin punto pendiente a (3, 2) y m = 5

2

Y - 2 =5

2(x 3)

Reduciendo y despejando tenemos:

2x - 5y + 4 = 0

Observa la grfica correspondiente:

2x - 5y + 4 = 0


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Ejemplo:

Encuentra la ecuacin de la recta que pasa por el punto (3, 4) y es perpendicular a larecta: 2y + 3x 1 = 0.

SolucinDespejamos y en la ecuacin: 2y + 3x 1 = 0.

2y = -3x + 1

y = -2

3x +

2

1

La pendiente de esta recta es -2

3, como lo que buscamos es la perpendicular a esta

recta, entonces la pendiente se obtiene de la siguiente manera:

m =

2

3

1

1

m =

3

2

Si conocemos la pendiente3

2y el punto (3, 4) por donde la recta pasa. Al hacer uso de

la ecuacin punto pendiente se tiene:

y - y1 = m(x - x 1 )

y 4 =3

2(x 3) sustituyendo valores

y 4 =3

2x 2

y =3

2x 2 + 4

y =3

2x + 2

La grfica resultante es:


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Contenido: Anguloentre dos rectas.


7.11 Deduce y explica la expresinmatemtica para calcular el ngulo entredos rectas, con seguridad.


1. Dificultad para reconocer la pendiente de las rectas L1

y L2.

2. Desconoce la frmula para obtener el ngulo entre dos rectas que se cruzan.

3. Confunde trminos y signos.

4. Falta de ejercicios de fijacin.

Actividad 1: Recordemos cmo encontrar pendientes y ngulos entre dos rectasque se cruzan.

Descripcin:

En actividades anteriores hemos encontrado pendientes de rectas, veremos comoencontrar ngulos entre rectas que se cruzan; tambin deduciremos la frmula.

Analicemos los ngulos en las siguientes rectas:

Tomando en cuentas que cunado dos rectas se cortan, forman cuatro ngulos, igualesdos a dos opuestos por el vrtice y suplementarios los adyacentes.

Si observamos la recta L1

y su ngulo de inclinacin

1 , y la recta L

2y su

ngulo de inclinacin2

.

Si llamamos y losngulos que forman alcortarse las rectas L

1y

L2, como se indica en la

figura, vamos adeterminar cada uno deesos ngulos:


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Veamos el ngulo :

1 + + = 180 = 180 - (+

1 )

+2

= 180 = 180 - 2

Por lo tanto:2

=1

+ , este es un teorema de geometra plana: El ngulo

exterior de un tringulo ( 2 ), es igual a la suma de los ngulos interiores no

adyacentes (+1

).

Despejando: =2

-1

Segn la trigonometra tan= tan (2

-1

), Este ecuacin nos lleva a la identidad: latangente de la diferencia de dos ngulos:

tan= tan (2

-1

) =21

12

tan.tan1

tantan

Pero: tan2

= m2

y tan1

= m1, sustituyendo tenemos:

Ejemplo:

Encuentra los ngulos del tringulo cuyos vrtices son A(-2,3), B(8, -5), C(5, 4).

Grafiquemos los puntos para observar su ubicacin.

tan=21

12

1 mm

mm

Encontremos las pendientes:

mAB

=82

53

= -5

4

mAC

=25

34

=

7

1

mBC

=85

54

= -3

Con estos datos, aplicamos la formula delngulo entre rectas:

tan=21

12

1 mm

mm


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tanA =

5

4.

7

11

5

4

3

1

=

35

31

35

33

=31

33, por tanto, A=tan 1

31

33= 46.78

tanB =

35

41

35

4

=

15

17

15

11

=17

11, por tanto, B=tan 1

17

11= 32.9

tanC = 3.

7

11

7

13

=

7

4

7

22

=2

11, por tanto, C = tan 1

2

11= 100.3

R: Hemos encontrado los ngulos: A = 46.78, B = 32.9 y C = 100.3

Ejercicios:

Demostrar, por pendientes, que los punto A(3, -4), B(3, 4) y C(-1, 0) forman untringulo rectngulo.

La recta que pasa por los puntos 3,4 y 0,6 corta a la recta que pasa por lospuntos 0,0 y 5,1 . Hallar los ngulos.

Hallar los ngulos del tringulo cuyos vrtices son: 2,4 , 1,0 , 1,6 . Demostrar, por pendientes, que los punto A(-4, -1), B(0, 1) y C(9, 6) son

colineales.

Recordemos que la distancia de la recta alpunto es positiva.

Si observas la grfica, vers que el punto estpor debajo de la recta por lo que al sustituir enla frmula, el denominador de es negativo.

d = 2211

BA

CBAx

, sustituimos los valore de laecuacin de la recta y el punto.

Recuerda que la ecuacin general de la rectaes Ax + By + c = 0

d =254

12)1(5)3(2

=

29

23

R: La distancia es

29

2923

29

29

29

23 x


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Contenido:

Distancia de unpuno a una recta.


7.18 Deduce, aplica y explica la frmulapara calcular la distancia de un punto auna recta, con confianza.


1. Desconoce la frmula para calcular la distancia de un punto a una recta.2. Inseguridad en la sustitucin de valores en la frmula.3. Falta de ejercicios de fijacin del contenido.

Actividad 1: Encontremos la distancia de un punto a una recta aplicando lafrmula, sustituyendo los valores con seguridad.

Descripcin:

Para ejercitar, partiremos de un ejemplo de cmo se puede encontrar la distancia de unpunto a una recta, aclarando oportunamente en el desarrollo de la misma.

Ejemplo:

Encontremos la distancia desde la recta 2x 5y + 12 = 0, hasta el punto (3, -1).

Recordemos que si y 1 > y 0 , la distancia es positiva, si y 1 < y 0 , la distancia es negativa.Graficarla nos facilita observar la recta y el punto.

R: La distancia es

29

2923

29

29

29

23 x

Recordemos que la distancia de la recta alpunto es positiva.

Si observas la grfica, vers que el punto estpor debajo de la recta por lo que al sustituir enla frmula, el denominador de es negativo.

d =22

11

BA

CBAx

, sustituimos los valore de la

ecuacin de la recta y el punto.

Recuerda que la ecuacin general de la rectaes Ax + By + c = 0

d =254

12)1(5)3(2

=

29

23


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Ejemplo:

Calculemos la distancia del punto R(2, 1) a al recta 2xy + 5 = 0

Solucin:

Consideremos. A = 2, B = -1 y C = 5.Adems, si consideramos el punto R(2, 1) como (r, s), entonces: r = 2 y s = 1Sustituimos estos valores en la frmula:

d= 58.35

8

)1(2

5)1)(1()2(2

22

Ejercicios:

Calcula la distancia del punto s(-3,2) a la recta 3x 4y +2 = 0

Calcula la distancia del punto a la recta de cada uno de los siguientes ejercicios:

a) x + y -5 = 0, (2, 5)

b) 4x + 5y -3 = 0, (-2, 4)

c) 3x + 4y -5 = 0, (1, 1)


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ACTIVIDAD DE REFUERZO PARA EL TEM 25

Bloque de contenidos

Apliquemos elementos degeometra analtica.

Contenido

Distancia entre rectasparalelas.

Indicadores de logro

7.21 Resuelve problemas, conconfianza en suscapacidades, aplicandolas ecuaciones y grficode la lnea recta.


1. Desconoce la frmula de la distancia entre dos rectas.2. Dificultad al sustituir los datos en la ecuacin distancia entre dos rectas.3. Dificultad en aplicar el valor absoluto.

Actividad 1: Recordemos saberes previos

DescripcinEsta actividad es sobre conocimientos previos sobre las diferentes ecuaciones de larecta.

Ejemplo:

Observa la siguiente grafica, cul es la distancia entre las rectas?

La grfica anterior se refiere a la distancia entre dos rectas, cuya distancia la podemosencontrar como si estuviramos encontrando la distancia de un punto cualquiera de L1 a

otro punto de L2, y se encuentra haciendo uso de la expresin matemtica 212

1 m

bbd .

Si conocemos los valores de los puntos, utilizamos la frmula de la distancia entre dospuntos, si tenemos las dos ecuaciones de las rectas, encontramos los valores de lasvariables y luego las sustituimos en la ecuacin de la distancia entre dos rectas yencontraremos la distancia buscada.


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Actividad 2: Encontremos la distancia entre dos rectas

Descripcin:Resuelve problemas de distancia entre dos rectas paralelas utilizando la frmula dedistancia entre rectas.

Ejemplo:Cual es la distancia que separa a las rectas 2x + y 5 = 0 y la recta 2x + y 14 = 0?

SolucinLa recta 2x + y 5 = 0 tiene variables b1 = 5, m = - 2 y la recta 2x + y 14 = 0 tienevariables b2 = 14, m = - 2; como la frmula de la distancia entre dos rectas es

2

12

1 m

bbd

, al sustituir los valores en la ecuacin nos resulta:

2

12

1 m

bbd

22 21

514

d

41

9

d

5

9d

236.29d

d= 4.03

R: La distancia entre las rectas es 4.03 unidades.

Ejemplo:Cul es la distancia que separa a la recta 3x + 4y = 2 y la recta 3x + 4y = - 6?

SolucinDespejando y en la ecuacin de la recta 3x + 4y = 2, tenemos:

4y = - 3x + 2

4

23 xy

4

2

4

3 xy

21

43 xy

2

11 b y 4

3m


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En la ecuacin de la recta 3x + 4y = -6, al realizar el mismo proceso

463 xy

46

43 xy

23

43 xy

23

2 b y 43m

Se observa que m es la misma en las dos ecuaciones.

Al sustituir los valores en la ecuacin de la distancia entre dos rectas nos resulta:

212

1 mbbd

2

4

3

2

3

2

1

1

d

16

25

2d

d = 1.6

Actividad 3: Resolvamos ejercicios sobre rectas

Indicacin:

Encontrar la distancia que separa a las paralelas:

a. 5x-12y+10=0 y 5x-12y-16=0:

c. x y + 7 =0 y 5x y + 9 = 0

d. 3x + 2y - 6 = 0 y 3x + 2y 4 =0e. 12x + 5y = 15 y 12x + 5y = 12

16

9

2

3

2

1

1

d

4

5

2d

16

9

16

16

2

4

d

1016d


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ACTIVIDAD DE REFUERZO PARA EL TEMES 26

Bloque de contenidos:Geometra analtica

Contenido:Ecuacin general de larecta:

Indicador de logro:7.16 Construye, utiliza y explica

la ecuacin general de una

recta, valorando su utilidad.Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el tem:

1. Desconoce la frmula de la ecuacin general de la recta.2. Confunde la ecuacin general con la ecuacin de la forma pendiente intercepto.


Descripcin

En esta actividad se estudiar la ecuacin general de la recta Ax + By + C = 0 donde A,B, C son nmeros reales.

Observa la grfica. Qu caractersticas presenta la recta y cul es su ecuacin?

Al observar la grfica nos damos cuenta que en la recta cuya ecuacin es Ax + By +C =0; A 0 y B 0, lo que indica que la inclinacin es diferente de 0 y 90.

Si A = 0, la recta es paralela al eje x con pendiente igual a cero. Si B = 0, la recta esparalela al eje y con pendiente indefinida.

Actividad 2: Encontremos la ecuacin general de la recta

Descripcin:En esta actividad se desarrollan ejercicios de fijacin del contenido.

Ejemplos:

1) Hallar la ecuacin general de la recta que pasa por los puntos (-2, 4) y (5, -3)

Solucin

En el punto (- 2, 4), x1 = -2 y y1 = 4, para el punto (5, - 3), x2 = 5 y y2 = - 3

Sustituyendo los valores en la ecuacin dos puntos de la recta se tiene:


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24 25 43 y

24 25 7 xy

247

7 xy

214 xy

En la ecuacin de la recta y - y1 = m (x - x1), la pendiente es m = -1; adems se tiene quey 4 = -1(x + 2).

Para obtener la ecuacin general de la recta se despeja la ecuacin anterior:

y 4 = -1(x + 2)

y 4 = - x 2,

y 4+ x + 2 =:

x + y 2 = 0 Esta es la ecuacin general de la recta.

2)Encontrar la ecuacin general de la recta con pendiente3

1y que pasa por el punto (7, -

3).

Solucin

Sustituir los valores m=3

1, x1 = 7 y y1 = -3 en la ecuacin punto pendiente

11xxmyy

73

13 xy

73

13 xy

7133 xy

3y + 9 = x - 7

Igualando a cero

3y + 9 - x + 7 = 0

3y - x + 16 = 0 es la ecuacin general de la recta


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3) Hallar la ecuacin de la recta con pendiente4

3 e intersecto en el origen

5

2

y = mx + b

y = 4

3

x + 5

2

multiplicamos por el mcm del denominador

20y = 20 (4

3 x) + 20 (

5

2) simplificamos

20y = - 15x + 8

15x + 20y 8 = 0 es la ecuacin general de la recta

Ejercicios:

Hallar la ecuacin general de las rectas

a. Pasa por los puntos (- 3, 0) y (3, - 5)

b. Pasa por los puntos (4, -2) y (2, 6)

c. Con pendiente3

2 y pasa por el punto (-2, -1)

d. Con pendiente4

1e intersecto en el origen

6

5


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Bloque de contenidos:Geometra analtica.

Contenido:Ecuacin simtrica delarecta.

Indicadores de logro:7.15 Construye, utiliza y explica

la ecuacin simtrica de

una recta, valorando suutilidad.


1. Desconoce la frmula de la ecuacin simtrica de la recta.2. Confunde la ecuacin simtrica de la recta con la forma pendiente intersecto.


Descripcin:

En esta actividad recordaremos conocimientos previos sobre las ecuaciones de la recta;entre ellas la simtrica.

Ejemplo:

Observa la siguiente grfica, cul es su ecuacin?

Solucin

La recta L intersecta los ejes x y y en los puntos A(a, 0) y B(0, b).

Encontremos la ecuacin:

axya

b

0

00

axyab

aab

ab

xy

bxyab

byxab

1b

y

ax


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La ecuacin anterior se conoce como ecuacin segmentaria, cannica, simtrica ointersecto de la lnea recta.

Los nmeros a y b son las medidas de los segmentos que la recta intercepta con cadaeje:

y = 0, resulta x = a (Intercepto con el eje x)x = 0, resulta y = b (Intercepto con el eje y)

Actividad 2: Resolvamos problemas sobre ecuaciones simtricas de la recta.

Descripcin:En esta parte vamos a resolver ecuaciones de la recta en la que identificaremos losintercectos para construir la frmula simtrica de la recta.

Ejemplo:

Hallar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (3,0) y (0,-5)

Para desarrollar la ecuacin observamos que el intercepto para x es 3 y para y es -5, queal sustituirlos directamente en la forma simtrica de la recta tenemos:

1b

y

ax

153

yx

, luego la ecuacin de la recta intercepto es

153 yx

Ejercicios:

Resolver los ejercicios siguientes

a) Hallar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (4,0) y (0,-3)b) Hallar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (-6,0) y (0,6)


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Bloque de contenidosApliquemos elementos degeometra analtica

ContenidoDistancia de unpunto a una recta.

22

12

BA

bbd

Indicadores de logro7.18 Deduce, aplica y explica lafrmula para calcular la distancia de

un punto a una recta, con confianza.


1. Desconoce la frmula de la distancia de un punto a una recta.2. Obtiene los datos de las ecuaciones de las rectas, pero sustituye mal los datos

en la ecuacin de distancia entre dos rectas.3. Tiene dificultad en el valor absoluto y no lo aplica bien el las operaciones


Descripcin:

Esta actividad sobre conocimientos previos es sobre distancia de un punto a la recta que

es 2212

BA

bbd

, que se trabajar como un prembulo a las actividades que darnrespuesta a los temes 30.

Ejemplo:

Observa la siguiente grafica, cul es la distancia entre el punto y la recta?

Solucin

En la grfica, se observa que hay una distancia desde un puntoP(x,y) no contenido en larecta a la rectaL y la frmula para encontrar dicha distancia viene dada por la expresin

22

11

BA

CByAxd


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Si conocemos los valores del punto y la ecuacin de la recta, tambin podemosencontrar los valores de las variables y luego sustituirlas en la ecuacin de la distanciade un punto a la recta y encontraremos la distancia buscada.

Actividad 2: Resolvamos problemas de distancia de un punto a una recta.

Descripcin:

En sta actividad se resolver problemas para encontrar la distancia de un punto a unarecta, se encontrar la pendiente de la recta dada su ecuacin y otros.

Ejemplo:

Las coordenadas de un punto son (2,6) y la ecuacin de la recta L es 4x + 3y=12. Hallar:

a) La pendiente de la recta

b) La ecuacin de la recta L1 perpendicular a Lc) Las coordenadas del punto P1(x,y) cuyas coordenadas de interseccin unen a Ly L1.

d) La longitud del punto a la recta L.

Solucin

a. Para hallar la pendiente de L, lo que se hace es despejar la ecuacin y llevarla a laforma pendiente intercepto, as:

4x + 3y = 12, luego:

3y = - 4x + 12

3

12

3

4 xy

434 xy

De la ecuacin anterior, se observa que la pendiente de la recta es

34m

b. Con la pendiente de L encontrada podemos hallar la ecuacin de la recta L1perpendicular a L, conociendo que su pendiente m1 es el recproco negativo de m,por lo que el valor de m1 es:

43m


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Sustituyendo m1 y los valores de p(2,6) en la ecuacin de la recta tenemos:

11 xxmyy 26

4

3 xy

2364 xy 63244 xy despejando tenemos

4y = 3x + 24 64y = 3x + 18:4y 3x = 183x 4y = -18

418

43 xy

29

43 xy

La recta buscada es 4y 3x = 18, 3x 4y = -18 29

43 xy

c. Para encontrar las coordenadas del punto de interseccin de las dos rectas L y L1,simultaneamos las dos ecuaciones as:

4x + 3y = 12 multiplicndola por 33x 4y = - 18 multiplicndola por - 4

12x + 9y = 36-12x + 16y = 72

25y = 108

25108y

Sustituyendo el valor de y en 4x + 3y = 12 tenemos:

123425108 x

12425324 x

25324

253004 x

25244 x

14

2524

x

10024x

25

6x


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De la ecuacin anterior, se conocen las coordenadas del punto de interseccin y es:

25108

256

1 ,p

d. La distancia del punto a la recta se puede encontrar de dos maneras, por la frmulade la distancia del punto p a p1 por la frmula de la distancia del punto a la recta

d1. distancia del punto p a p1 d2. distancia del punto a la recta

La recta es 4x + 3y = 12 y el puntop(2,6)

los valores: A= 4, B= 3, C=12, x=2, y=6

22

11

BA

CByAx

d

22 34

126324

d

916

12188

d

,25

14d

d= 2.8

actividades de 2°(1)

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