a.ii: repaso de fasores y componentes simétricas

A.II: Repaso de fasores y componentes

simetricas

Curso: Introduccion a los Sistemas de Proteccionde Sistemas Electricos de PotenciaIIE - Facultad de Ingenierıa - UDELAR

1. Introduccion

El personal encargado de los sistemas de proteccion debe tener un conoci-miento general sobre los sistemas de potencia. Ademas, debe conocer sobrefasores, polaridad, componentes simetricas y los fasores de corriente y ten-sion durante las condiciones de falta. Todas estas tecnicas son utilizadas parala aplicacion, analisis, ajustes y ensayos de los reles y sistemas de proteccion.

2. Fasores

- Un fasor es un numero complejo que representa una senal electrica.

- El diagrama fasorial representa solo la magnitud y el angulo relativode las corrientes y tensiones.

- Un fasor representa una senal sinusoidal, que rota con el paso deltiempo.

- Mientras que en un diagrama circuital se representa el lugar, direc-cion y polaridad de las corrientes y tensiones.

En los sistemas de potencia se utilizan los fasores y los diagramas fasorialespara ayudar a la instalacion de los sistemas de proteccion y para analizar sufuncionamiento.

2.1. Diagrama circuital

Un diagrama circuital muestra la ubicacion, direccion y polaridad de lastensiones y corrientes. En la Figura 1 se representa la direccion del flujo dela corriente por medio de una flecha y la polaridad de la tension medianteuna flecha y el signo de +.

1

A.II: Repaso de fasores y componentes simetricas 2

Figura 1: Representacion de las corrientes y tensiones

Corriente : La fecha indica la direccion del flujo de corriente.

Tension : La polaridad de la tension se indica con el signo (+).

La Figura 2 representa la direccion del flujo la corriente incluyendo los puntosde donde fluye la corriente, como Iab, lo que define que la corriente fluye delterminal a al terminal b. La polaridad de la tension tambien se representaincluyendo en la notacion los terminales, como Vcd.

Figura 2: Representacion de las corrientes y tensiones

2.2. Diagrama fasorial

En un instante de tiempo determinado, en el cual el fasor tiene un angulo de30 ◦, el valor instantaneo de la sinusoide es la proyeccion en el eje verticalde la punta del fasor.Los fasores deben tener una referencia y las referencias mas comunes con-sisten en los ejes reales, x, e imagiarios, y. Los ejes estan fijos en el plano ylos fasores rotan, dado que son senales sinudoidales.


Figura 3: Relacion entre fasor y senal sinusoida que representa

2.2.1. Notacion fasorial

Figura 4: Noacion fasorial

- Fasor: R = rejϕ

- Los fasores giran en sentido antihorario.

- Los angulos se miden en sentido antihorario respecto de la referencia(angulos positivos).

Algunas de las formas de notacion fasorial son:

- Fasorial: R

- Rectangular: R = a+ jb: a = rcos(ϕ), b = rsen(ϕ)

- Exponencial: R = rejϕ

- La longitud del fasor es proporcional al valor maximo y las proyeccio-nes en los ejes reales e imaginarios representan las componentes realese imaginarias de la senal a cada instante.

- Pero, por convencion, en el diagrama y la notacion fasorial, se utilizael valor rms de la senal.


2.2.2. Diagramas fasoriales

Los diagramas fasoriales mas utilizados en protecciones son:

- Diagrama de impedancia: utilizado, generalmente, en los reles de dis-tancia.

- Diagrama de potencia: utilizado en los diagramas de cargabilidad delos generadores.

+X

-X

+R-R -P

+Q

+P

-Q

Diagrama de impedancias Diagrama de potencia

R: ResistenciaX: reactancia

P: Potencia ActivaQ: Potencia Reactiva

Figura 5: Diagrama fasorial

Un diagrama fasorial muestra la magnitud y el angulo relativo entre lastensiones y corrientes.

3. Valores por unidad

3.1. Introduccion

En los sistemas electricos de potencia kV representa la unidad mas conve-niente para expresar las tensiones. Ademas como estos sistemas trasmitengrandes cantidades de potencia, por lo cual kVA o MVA son las unidadespara expresar las potencias trifasicas.Los sistemas de potencia consisten en muchas secciones, las cuales puedenoperar a diferentes niveles de tension, y estan interconectadas por medio detransformadores.El analisis de este tipo de circuito se logra representando el sistema de po-tencia por un equivalente en el cual todas las secciones tienen sus valoresexpresados en valores por unidad o en valores por ciento, de un valor


de referencia o valor base.

Definiciones:

- Valor por unidad: Magnitud(por unidad) = valor actual de la magnitudvalor base de la magnitud

- Valor por ciento: Magnitud(porciento) = Magnitud(porunidad)×100

3.2. Relaciones generales

Aplicando la definicion de magnitud(por unidad), a las magnitudes del sis-tema se obtiene:

- Potencia: Spu = SSB

Tension: Vpu = VVB

- Corriente: Ipu = IIB

Impedancia: Zpu = ZZB

Relaciones entre las magnitudes bases de un sistema electrico de potencia:

- Potencia aparente: SB =√

3VB × IB, V = tension fase-fase

- Corriente: IB = SB√3VB

- Impedancia: ZB =V 2B

SB

4. Componentes Simetricas

4.1. Introduccion

- Para poder coordinar correctamente las diferentes funciones de protec-cion se debe conocer la distribucion de las corrientes y las tensiones,en el sistema de potencia, durante una falta.

- Cuando ocurre una falta, aparecen corrientes y tensiones desbalancea-das en el sistema.

- Utilizando el metodo de las componentes simetricas se puedenestudiar este tipo de faltas.

- La unica excepcion es la falta trifasica, es el tipo de falta que se con-sidera balanceada y puede ser calculada a partir de un diagrama deimpedancia monofasico y las condiciones del sistema previa a la falta.


El metodo de las componentes simetricas fue desarrollado por Fortescue.Demostro que cualquier conjunto de tres tensiones y corrientes desbalancea-das, se puede expresar como la suma de tres conjuntos de fasores balanceadosy simetricos.Los tres conjuntos de componentes independientes que forman un sistematrifasico son:

- Secuencia positiva

- Secuencia negativa

- Secuencia cero

Secuencia positiva: A B C

- El primer conjunto de fasores son iguales en magnitud y desfasados120 ◦y tiene la secuencia A-B-C.

- Las tensiones de secuencia positiva son proporcionadas por los gene-radores.

- Las notaciones mas usadas para esta componentes son: ”d” o ”1” o” + ”.

79Protection Basics: Introduction to Symmetrical Components

1. IntroductionSymmetrical components is the name given to a methodology, which was discovered in 1913 by Charles Legeyt Fortescue who later presented a paper on his findings entitled, “Method of Symmetrical Co-ordinates Applied to the Solution of Polyphase Networks.” Fortescue demonstrated that any set of unbalanced three-phase quantities could be expressed as the sum of three symmetrical sets of balanced phasors. Using this tool, unbalanced system conditions, like those caused by common fault types may be visualized and analyzed. Additionally, most microprocessor-based relays operate from symmetrical component quantities and so the importance of a good understanding of this tool is self-evident.

2. Positive, Negative and Zero Sequence ComponentsAccording to Fortescue’s methodology, there are three sets of independent components in a three-phase system: positive, negative and zero for both current and voltage. Positive sequence voltages (Figure 1) are supplied by generators within the system and are always present. A second set of balanced phasors are also equal in magnitude and displaced 120 degrees apart, but display a counter-clockwise rotation sequence of A-C-B (Figure 2), which represents a negative sequence. The final set of balanced phasors is equal in magnitude and in phase with each other, however since there is no rotation sequence (Figure 3) this is known as a zero sequence.

Figure 2.Negative Sequence Components; A-‐C-‐B

Figure 1.Positive Sequence Components; A-‐B-‐C

Figure 3.Zero Sequence Components

3. Introduction to Symmetrical ComponentsThe symmetrical components can be used to determine any unbalanced current or voltage (Ia, Ib, Ic or Va, Vb, Vc which reference unbalanced line-to-neutral phasors) as follows:

Ia = I1 + I2 + I0 Va = V1 + V2 + V0

Ib = a2I1 + aI2 + I0 Vb = a2V1 + aV2 + V0

Ic = aI1 + a2I2 + I0 Vc = aV1 + a2V2 + V0

The sequence currents or voltages from a three-phase unbalanced set can be calculated using the following equations:

Zero Sequence Component:

I0 = ⅓ (Ia + Ib + Ic) V0 = ⅓ (Va + Vb + Vc)

Positive Sequence Component:

I1 = ⅓ (Ia + aIb + a2Ic) V1 = ⅓ (Va + aVb + a2Vc)

Negative Sequence Component:

I2 = ⅓ (Ia + a2Ib + aIc) V2 = ⅓ (Va + a2Vb + aVc)

The independence of the symmetrical components and their resultant summation follow the principle of superposition, which is the basis for its practical usage in protective relaying.

Before proceeding further, a mathematical explanation of the “a” operator is required. Within Fortescue’s formulas, the “a” operator shifts a vector by an angle of 120 degrees counter-clockwise, and the “a2” operator performs a 240 degrees counter-clockwise phase shift. According to Fortescue, a balanced system will have only positive sequence currents and voltages. For example, as

Protection Basics:Introduction to Symmetrical Components

Figura 6: Secuencia positiva

Secuencia negativa: A C B

- El segundo conjunto de fasores son iguales en magnitud y desplazados120 ◦. Si la secuencia directa es A-B-C, entonces la secuencia inversaes A-C-B.


- Las notaciones mas usadas para esta componentes son: ”i” o ”2” o”− ”.








Ia = I1 + I2 + I0 Va = V1 + V2 + V0

Ib = a2I1 + aI2 + I0 Vb = a2V1 + aV2 + V0

Ic = aI1 + a2I2 + I0 Vc = aV1 + a2V2 + V0



I0 = ⅓ (Ia + Ib + Ic) V0 = ⅓ (Va + Vb + Vc)








Figura 7: Secuencia negativa

Secuencia cero

- El tercer conjunto de fasores es igual en magnitud y estan en fase.

- La notacion usada para esta componentes es: ”h” o ”0”.








Ia = I1 + I2 + I0 Va = V1 + V2 + V0

Ib = a2I1 + aI2 + I0 Vb = a2V1 + aV2 + V0

Ic = aI1 + a2I2 + I0 Vc = aV1 + a2V2 + V0



I0 = ⅓ (Ia + Ib + Ic) V0 = ⅓ (Va + Vb + Vc)








Figura 8: Secuencia cero

4.2. Ecuaciones generales

Calculo de las componentes de fase

Las componentes simetricas son utilizadas para determinar las corrientesy tensiones desbalanceadas (V A, V B, V C , o IA, IB, IC), con las siguientes


formulas:

IA = I0 + I1 + I2 V A = V 0 + V 1 + V 2

IB = I0 + a2I1 + aI2 V B = V 0 + a2V 1 + aV 2

IC = I0 + aI1 + a2I2 V C = V 0 + aV 1 + a2V 2

Calculo de las componentes simetricas

Las componentes simetricas de un sistema trifasico desbalanceado se calcu-lan con las siguientes formulas:I0 = 1

3(IA + IB + IC) V 0 = 13(V A + V B + V C)

I1 = 13(IA + aIB + a2IC) V 1 = 1

3(V A + aV B + a2V C)

I2 = 13(IA + a2IB + aIC) V 2 = 1

3(V A + a2V B + aV C)

Operador ”a”

El operador ”a” rota el fasor un angulo 120 ◦en sentido antihorario.

- a = 1∠120 ◦ = ej120◦

= ej2π

3 = −1

2− j√

3

2

- a2 = 1∠240 ◦ = 1∠− 120 ◦

- a3 = 1

- 1 + a+ a2 = 0

Casos particulares

1. V directo:(V , a2V , aV ) ↔ (V , 0, 0)

Fasicas SimetricasUn vector directo solo tiene componente directa.

2. V inverso:(V , aV , a2V ) ↔ (0, V , 0)

Fasicas SimetricasUn vector inverso solo tiene componente inversa.

3. V homopolar:(V , V , V ) ↔ (0, 0, V )Fasicas Simetricas

Un vector homopolar solo tiene componente homopolar.

Operaciones

1. Suma:Sean V = (VA, VB, VC) y U = (UA, UB, UC). La suma de esos dosvectores es:


V + U = (VA + UA, VB + UB, VC + UC)

En componentes simetricas:

(V ,U)1 = V 1, U1

(V ,U)2 = V 2, U2

(V ,U)0 = V 0, U0

2. Producto de un numero por un vector:Sean el vector I = (IA, IB, IC) y el numero complejo Z. El productodel vector por el numero complejo es:

V = ZI = (ZIA, ZIB, ZIC)


(ZI)1 = ZI1(ZI)2 = ZI2(ZI)0 = ZI0

3. Producto fasico:Dados los vectores fasicos I = (IA, IB, IC) y Z = (ZA, ZB, ZC), llama-remos producto fasico de estos dos vectores al vector fasico:

V = Z⊗I = (ZAIA, ZBIB, ZCIC)


(Z⊗I)1 = Z0I1 + Z2I2 + Z1I0

(Z⊗I)2 = Z1I1 + Z0I2 + Z2I0

(Z⊗I)0 = Z2I1 + Z1I2 + Z0I0

4. Conjugacion:Dado el vector fasico I = (IA, IB, IC), llamamos conjugado de I alvector fasico:

I = (IA, IB, IC)


(I)1 = I1

(I)2 = I2

(I)0 = I0

La potencia electrica total consumida es el escalar complejo:

P = V AIA + V B IB + V C IC ↔ P = 3V 1I1 + 3V 2I2 + 3V 0I0)


5. Calculo de faltas

Las faltas en los sistemas electricos de potencia son inevitables. Todas lasfaltas tienen dos efectos: la destruccion de los equipos en el lugar de la faltay la interrupcion del servicio. Existen dos grandes tipos de faltas:

- falla en la aislacion: cortocircuito

- falla en la conduccion: lınea abierta

5.1. Estudio de faltas en sistemas simples

Para el estudio de las faltas, el sistema consta de:

- generador ideal trifasico con neutro aterrado,

- impedancia equilibrada o solamente homopolar , pero sensible a lascorrientes de secuencia (impedancias secuenciales: sıncrona, asıncronay de sec. cero) hasta el punto en que se aplican los defectos.

- El circuito no tiene carga.

- Las fases sanas tienen corriente y tension de pre-falta de valores:

- corriente cero

- tension del generador

- Los cortocircuitos tienen resistencia nula.

En una red equilibrada:

- Corrientes de secuencia directa solo producen caıdas de tension direc-tas. No producen caıdas de tension inversas ni homopolares.

- Corrientes de secuencia inversa solo producen caıdas de tension inver-sas. No producen caıdas de tension directas ni homopolares.

- Corrientes de secuencia homopolar solo producen caıdas de tensionhomopolares. No producen caıdas de tension directas ni inversas.


80 Protection Basics: Introduction to Symmetrical Components

shown in Figure 4, the calculation of symmetrical components in a three-phase balanced or symmetrical system results in only positive sequence voltages, 3V1. Similarly, the currents also have equal magnitudes and phase angles of 120 degrees apart, which would produce a result of only positive sequence and no negative or zero sequence currents for a balanced system.

For unbalanced systems, such as an open-phase there will be positive, negative and possibly zero-sequence currents. Referring to the open-phase example in Figure 5, it can be seen that the calculation of the symmetrical components results in positive, negative and zero sequence currents of 3I1, 3I2, and 3I0. However, since the voltages are balanced in magnitude and phase angle, the result would be the same as the balanced system in Figure 4, which produces only positive sequence voltage.

Similarly for a single phase to ground fault as shown in Figure 6, there will be positive, negative and zero sequence currents (3I1, 3I2, and 3I0) and voltages (3V1, 3V2, and 3V0).

4. SummaryUnder a no fault condition, the power system is considered to be essentially a symmetrical system and therefore only positive sequence currents and voltages exist. At the time of a fault, positive, negative and possibly zero sequence currents and voltages exist. Using real world phase voltages and currents along with Fortescue’s formulas, all positive, negative and zero sequence currents can be calculated. Protective relays use these sequence components along with phase current and/or voltage data as the input to protective elements.

5. References[1] J. L. Blackburn, T. J. Domin, 2007, “Protective Relaying, Principles and Applications, Third Edition,” Taylor & Francis Group, LLC, Boca Raton, FL, pp.75-80

[2] GE Publication, “Fundamentals of Modern Protective Relaying,” Instruction Manual, Markham, Ontario, 2007

Figure 6.Single Phase-‐Ground Fault Unbalanced / Non-‐Symmetrical System

Figure 4.Three-‐Phase Balanced / Symmetrical System

Figure 5.Open-‐Phase Unbalanced / Non-‐Symmetrical System

Figura 9: Sistema equilibrado: Redes de secuencia

Pero en un punto o area desequilibrada (lugar con carga o faltadesequilibrada, fase abierta, etc.):

- Corrientes de secuencia directa producen caıdas de tension directas,inversas y tal vez homopolares.

- Corrientes de secuencia inversa producen caıdas de tension directas,inversas y tal vez homopolares.

- Corrientes de secuencia homopolar producen caıdas de tension direc-tas, inversas y homopolares.












Figura 10: Fase abierta: Redes de secuencia











Figura 11: Cortocircuito fase-tierra: Redes de secuencia


5.2. Ecuaciones para los diferentes tipos de falta

Los tipos de faltas encontrados en los sistemas de potencia son:

- trifasica (FFF)

- una fase a tierra (FT)

- entre dos fases (FF)

- entre dos fases a tierra (FFT)

- una fase abierta

5.2.1. Cortocircuito FFF

- Es equilibrado.

- No hay corrientes ni tensiones inversas ni homopolares.

- Las tensiones de fases colapsan en el punto del defecto. Es lo mismoque F-F-F-T.

IA + IB + IC = 0

V A = V B

V B = V C

=⇒{

I0 = 0

V 1 = V 2 = 0

Currents Voltages

Figura 12: Cortocircuito FFF: Corrientes y tensiones

5.2.2. Cortocircuito FT

- Existen corrientes de las 3 secuencias y sus modulos son iguales.

- Solo hay corriente en la fase en falta.

- La tension de la fase en falta colapsa en el punto del defecto.


IB = 0

IC = 0

V A = 0

=⇒{I1 = I2 = I0 = 1

3IAV 1 = −(V 2 + V 0)

Currents Voltages

Figura 13: Cortocircuito FT: Corrientes y tensiones

5.2.3. Cortocircuito FF

- No existen corrientes de secuencia homopolar. No hay tension de se-cuencia homopolar.

- Las corrientes de secuencia positiva y negativa tienen igual modulo.

- Las corrientes de las fases en falta son de igual modulo y en oposicion.

- Las tensiones de las fases en falta son iguales en el punto del defecto.IA = 0

IB = −ICV B = V C

=⇒

I1 = −I2I0 = 0

V 1 = V 2


Currents Voltages

Figura 14: Cortocircuito FF: Corrientes y tensiones

5.2.4. Cortocircuito FFT

- Existen corrientes de las 3 secuencias.

- Las corrientes de las fases en falta son de igual modulo.

- Las tensiones de las fases en falta colapsan en el punto del defecto.IA = 0

V B = 0

V C = 0

=⇒{I1 = −(I2 + I0)

V 1 = V 2 = V 0

Currents Voltages

Figura 15: Cortocircuito FFT: Corrientes y tensiones


5.2.5. Ecuaciones para fase abierta

Fase abierta

- Existen corrientes de las 3 secuencias.

- La corriente de la fase abierta es cero.

- Aparece una tension en bornes del hilo abierto.

- En las fases sanas, la tension es igual a cero.IA = 0vB = 0vC = 0

=⇒{vO = v1 = v2 = 1

3vA

5.3. Corriente de cortocircuito por un ramal

Al producirse un cortocircuito por un ramal cualquiera, circulara una ciertacorriente.Esta corriente es la suma de:

- la corriente de cortocircuito que circula por ese ramal: ICC−ramal

- la corriente que circulaba por ese ramal antes del cortocircuito: Icarga−ramal

- ⇒ Itotal−ramal = ICC−ramal + Icarga−ramal

Un cortocircuito entre los puntos A y B: la corriente por un ramal se puedecalcular aplicando el principio de superposicion:

Figura 16: Corriente por un ramal


6. Resumen

→ El motivo para dividir un sistema trifasico desbalanceado en las com-ponentes simetricas, es la independencia de estas componentes.

→ En condiciones de no-falta, el sistema de potencia es considerado simetri-co y balanceado =⇒ solo hay tensiones y corrientes de secuencia posi-tiva.

→ Cuando ocurre una falta =⇒ pueden aparecer tensiones y corrientesde secuencia positiva, negativa y cero.

→ Con las tensiones y corrientes de fase, y aplicando las formulas deFortescue, se pueden calcular las tensiones y corrientes de secuencia.

7. Bibliografıa

- Method of Symmetrical Co-ordinates Applied to the Solution of Polyp-hase Networks, C.L. Fortescue, 34th Annual Convention of AIEE,1918.

- Protective Relaying Theory and Applications, Walter A. Elmore, Mar-cel Dekker Inc. 2nd ed. 2004

- Protective Relaying: Principles and Applications, J. Lewis Blackburn,Marcel Dekker Inc. 2nd ed. 1997

a.ii: repaso de fasores y componentes simétricas

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