aula fasores

11/5/2010

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SEL 0410 Eletricidade e Magnetismo

Professor: Joo Bosco Augusto London JuniorE-mail: [email protected]

Fasores Mtodo alternativo para o tratamento de circuitos de corrente

alternada em regime permanente senoidal

Simplifica a anlise desses circuitos que normalmente requer operaes algbricas de duas ou mais senides de mesmaoperaes algbricas de duas ou mais senides de mesma freqncia porm de amplitude e fases distintas

Para entender o mtodo dos Fasores necessrio conhecer:

Nmeros Complexos

Frmula de Euler

Fasores

Nmeros complexos As equaes algbricas do tipo x2 = - 3 no possuem solues no

campo dos nmeros reais. Tais equaes podem ser resolvidassomente com a introduo de uma unidade imaginria ou operador

1=j

somente com a introduo de uma unidade imaginria ou operadorimaginrio, que representamos pelo smbolo j

Por definio

O produto de um nmero real por um operador imaginria chamadode nmero imaginrio e a soma de um nmero real e um nmeroimaginrio chamada nmero complexo. Assim, um nmero com aforma a + jb, onde a e b so nmeros reais, um nmero complexo

Potncia j2 j3 j4 j5 j6 j7 j8 j9

Valor -1 -j 1 j -1 -j 1 j

Fasores

jbaA +=Nmeros complexosO nmero complexo representado por:

(1)

O nmero complexo A descrito como tendo uma componente real ae uma componente imaginria b, que podem ser representadas por:

A componente imaginria de A no jb. Por definio, a componenteimaginria um nmero real.

Como qualquer nmero complexo completamente caracterizado porum par de nmeros reais, podemos represent-lo num sistema decoordenadas cartesianas como mostra a Figura a seguir

[ ] [ ] bAagaAal == .ImRe

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Fasores

Nmeros complexos (sistema de coordenadas cartesianas)

Eixo Imaginrio

jbaA +=

Eixo Reala

b

Fasores

Formas de representao de nmeros complexos

Existem quatro formas de representao dos nmeros complexos:

1.Forma retangular ou cartesiana 2. Forma polar3. Forma exponencial 4. Forma trigonomtrica

Fasores

jbaA +

Formas de representao de nmeros complexos

1.Forma retangular ou cartesiana

jbaA +=

Fasores

Formas de representao de nmeros complexos2. Forma polar

Eixo Imaginrio

rjbaA =+=

a

b

r

Eixo Real

- arc tangente b/a22 bar +=

r designado como amplitude ou mdulo de A - ngulo de A

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Fasores

Formas de representao de nmeros complexos3. Forma exponencial

Para representar na forma exponencial utilizamos a

( ) jsenejsene jj =+= coscosidentidade de Euler, ou seja:

Multiplicando ambos os membros da identidade de Euler

pelo nmero real r temos:

jsenrrer j += cos

Fasores


senrjrer j += cos (2)

rjbaA =+=

Comparando essa equao com a representao retangular (polar) donmero complexo A temos:

senrjrer += cos

cos= ra

senrb =jerjbaA =+=

(2)

Fasores


senrjrer j += cos (2)Comparando essa equao com a representao retangular (polar) donmero complexo A temos:

senrjrer += cos

jerjbaA =+=

(2)

Forma Exponencial

rjbaA =+=cos= ra

senrb =

Fasores

Formas de representao de nmeros complexos4. Forma TrigonomtricaO segundo membro da Equao (2) a prpria representao na formatrigonomtrica.

senrjrA += cos

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Fasores

Formas de representao de nmeros complexosNmero complexo A

j

Como o mtodo dos Fasores baseia-se na idia de representar umasenide de dada freqncia por um nmero complexo, vamos verificarento como possvel tal representao

rresenrjrjbaA j ==+=+= cos

Fasores

Expressar uma senide (ou cossenode)

( ) ( )( ) cos( )

mi t I sen wti t I wt

= == =

( )jwtmI eImaginriaReal ( )jwtI e

A funo exponencial ejwt pode ser considerada como umoperador rotacional de amplitude unitria. Quando aplicado auma grandeza a faz girar com velocidade angular w. Logo,atravs desse rotacional podemos representar uma senide ouuma cossenide da seguinte forma

( ) ( )( ) cos( )

: . cosm

jwtm m m

i t I wt

Sendo I e I wt jI sen wt= +Real ( )jmI e

FasoresExpressar uma senide (ou cossenode)

( ) ( )( ) cos( )

m

mj t

i t I sen wti t I wt

= == =

( )jwtmI eImaginriaReal ( )jwtmI e

( ) ( ): . cosjwtm m mSendo I e I wt jI sen wt= +

Fasores

Cos.

Sen

( ) ( )

( ) ( )( ) cos( )

: . cos

m

mjwt

m m m

i t I sen wti t I wt

Sendo I e I wt jI sen wt

= == =

= +

( )jwtmI eImaginriaReal ( )jwtmI e

Atravs de projees instantneas do seguimento girante I sobre oseixos horizontal e vertical, podemos representar cossenides esenides respectivamente

- O segmento I gira em torno doponto O com velocidade angular w

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Fasores

( ) ( )mi t I sen wt = + =Defasamento:

( )[ ]j wtmI e+Imaginria

- O segmento Im gira em torno do ponto O com a mesma velocidadeangular w

FasoresRepresentao Fasorial:

Tenso cossenoidal geral:

)cos()( += wtVtv )cos()( += wtVtv m

Fasores

)cos()( += wtVtv

Representao Fasorial:


)cos()( += wtVtv mSe a freqncia w conhecida, ento v ser completamente especificada pela sua amplitude Vm e sua fase . Mostrando essas grandezas como nmero complexo, temos:

jm mV e V

=

Fasores

)cos()( += wtVtv

Representao Fasorial:


)cos()( += wtVtv mSe a freqncia w conhecida, ento v ser completamente especificada pela sua amplitude Vm e sua fase . Mostrando essas grandezas como nmero complexo, temos:

mj

m VeVV == Definido como Fasor ou uma representao Fasorial

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Fasores

][Re)(

][Re][Re)(

)cos()()(

jwt

jwtjm

wtjm

m

eValtv

eeValeValtv

wtVtv

===

+=+

Temos que:

voltsttv )304cos(10)( 0+=

][Re)( eValtv =Faz o fasor girar com velocidade angular w

9 Posso representar uma senide por um Fasor (domnio da freqncia)

Exemplo:

10=V 30

FasoresA representao de uma grandeza eltrica por fasores no se

trata mais de uma funo instantnea do tempo; o fasor contmapenas informao sobre amplitudes e fases. Essa diferena depontos de vista ser reconhecida referindo a i(t) comorepresentao no domnio de tempo; e representao fasorial como representao no domnio de freqncia

Deve-se observar que a representao de uma corrente outenso no domnio da freqncia no inclui, explicitamente, afreqncia. Porm, poderamos pensar que a omisso dafreqncia s serve para enfatizar a importncia da mesma nodomnio de freqncia

I

Fasores

As solues reais so funes no domnio do tempo, e seusfasores so funes no domnio da freqncia (w). Logo, pararesolver problemas no domnio do tempo, podemos converter

f t l d i d f ipara fasores e encontrar a soluo no domnio da freqncia,que so geralmente muito mais fceis. Finalmente,convertemos de volta ao domnio do tempo encontrando afuno no tempo de sua representao fasorial

Fasores

Relao Tenso Corrente para Fasores:

A tenso Fasorial proporcional corrente Fasorial,como na Lei de Ohm com o fator de proporcionalidadecomo na Lei de Ohm, com o fator de proporcionalidade

sendo uma constante ou uma funo da freqncia w

(dependendo do elemento do circuito eltrico)

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FasoresRelao Tenso Corrente para Fasores:

Para obter as relaes entre o fasor de tenso e o de corrente, para cadaum dos trs elementos de circuito, vamos considerar uma excitao

complexa ou seja uma funo que tenha tanto a parte real como acomplexa, ou seja, uma funo que tenha tanto a parte real como a

imaginria. Observe que a parte real da resposta complexa produzida

pela parte real da excitao complexa, enquanto a parte imaginria da

resposta causada pela parte imaginria da excitao complexa

9 Assim, ao invs de aplicar uma excitao real para obter uma respostareal, aplicaremos uma excitao complexa e obtemos uma resposta

complexa cuja parte real a desejada resposta real

Fasores

)()( tiRtv =


Resistor

)()( ++ = wtjmwtjm eIReV

Se aplicarmos a tenso complexa Vm.ej(wt+), a corrente complexa que resulta Im.ej(wt+), que substituda na equao acima produz:

Eliminando o fator ejwt, resulta em:

IRVeIReV jm

jm

==


ResistorIRV

eIReV jmj

m

==

Nota: Como Vm.ej = R.Im.ej, temos Vm = R.Im e = . Logo, atenso e a corrente senoidais para um resistor tem o mesmo ngulode fase (esto em fase). Isto em razo de o resistor no armazenarenergia

Fasores

IRVeIReV jm

jm

==


Resistor

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FasoresRelao Tenso Corrente para um resistor R no domnio do tempo e da freqncia:

Fasores

dttdiLtv )()( =


Indutor

)()(

)( ...)( +++ == wtjm

wtjmwtj

m eILwjdteIdLeV



ILwjVeILwjeV jm

jm

...

...

==

Fasores

ILwjVeILwjeV jm

jm

...

...

==


Indutor

)90(..

)).(90.()).(..(...

:,)cos()(

+====

=+=

o

o

m

mm

mm

ILwVILwILwjILwjV

temosIwtIti

Nota: A tenso fasorial, como na Lei de Ohm, proporcional corrente fasorial, com o fator de proporcionalidade jwL (diretamenteproporcional a w).

Sendo:

Portanto, no domnio do tempo:

)90cos(..)( ++= owtILwtv m


IndutorPortanto, no domnio do tempo:

)90cos(..)()cos()( ++=+= owtILwtvwtIti mmOnda de corrente atrasada da onde de tenso de um ngulo de 90

i(t)

v(t)

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FasoresRelao Tenso Corrente para um indutor L no domnio do tempo e da freqncia:

Fasores

dttdvCti )()( =


Capacitor

)()(

)( ...)( +++ == wtjm

wtjmwtj

m eVCwjdteVdCeI



CwjIVVCwjI

eVCwjeI jmj

m

.....

...

===


CapacitorCwj

IVVCwjI

eVCwjeI jmj

m

.....

...

===

)90(..

)).(90.()).(..(...

:,)cos()(

+====

=+=

o

o

m

mm

mm

VCwIVCwVCwjVCwjI

temosVwtVtv

Nota: A tenso fasorial, como na Lei de Ohm, proporcional corrente fasorial, com o fator de proporcionalidade 1/jwC (inversamente proporcional a w).

Sendo:

Portanto, no domnio do tempo:

)90cos(..)( ++= owtVCwti m


CapacitorPortanto, no domnio do tempo:

)90cos(..)()cos()( ++=+= owtVCwtiwtVtv mmOnda de corrente adiantada da onde de tenso de um ngulo de 90

i(t)

v(t)

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FasoresRelao Tenso Corrente para um capacitor C no domnio do tempo e da freqncia:

Impedncia Complexa

Impedncia Complexa

V

I)()()()(

+=+=

wtsenItiwtsenVtv

m

m

Considerando um circuito geral de grandezas fasoriais com 2 terminais de acesso:

Circuito +Sendo:

VFasorial-

Fasorialmente:

== mm VVeIIDefine-se a relao do fasor tenso pelo fasor corrente como a Impedncia Complexa do circuito, denominada Z

IVZ =

Impedncia ComplexaDefine-se a relao do fasor tenso pelo fasor corrente como a Impedncia Complexa do circuito, denominada Z

=IVZ

V

Z Z

)( =

==m

mz I

VI

VZZ

Onde e z so, respectivamente, o mdulo o ngulo deNota: A impedncia segue as mesmas regras que a resistncia em circuito resistivo ( medida em ohms)

Nota: A impedncia um nmero complexo, sendo a relao entre 2 nmeros complexos, mas no um fasor. Isto , no tem uma funo cossenoidal (ou senoidal) correspondente no domnio do tempo de sentido fsico (a corrente e a tenso fasorial tm)

==

z

mmI

VZ

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Impedncia Complexa

XjRZ .+=).(Im

)(ReZagX

ZalR==

Impedncia na forma Retangular

R - Resistncia

X - Reatncia

2 2Z R X= +Logo:

Triangulo da Impedncia

Z

R

Xz

Impedncia Complexa

XjRZ .+=).(Im

)(ReZagX

ZalR==

Impedncia na forma Retangular

R - Resistncia

X - Reatncia

Logo:

Triangulo da Impedncia

Z

R

Xzz

z

z

senZX

ZRR

Xgarc

XRZ

.

cos.

tan

22

===

+=

Impedncia ComplexaA Impedncia de Resistores, Indutores e Capacitores sofacilmente encontradas das suas relaes tenso-corrente

Temos:R

R RVZ ==

CCC

CC

LLL

LL

RR

XjXCwCw

jCwjI

VZ

XjXLwLwjIVZ

RI

Z

.9090.1

.1

..1

.9090...

======

=====

==

oo

oo

Para os resistores a impedncia puramente resistiva, sendo sua reatncia zero

Impedncias de indutores e capacitores so reatncias puras, tendo a componente resistiva nula

IVZ =

Impedncia Complexa

LLL XjZLfLwX ....2. === 11

A Reatncia Indutiva :

A Reatncia Capacitiva :

CCC XjZCfCwX .

...21

.1 ===

Assim, para um circuito RLC em srie temos:

)(

..

CL

CLCLR

XXjRZXjXjRZZZZ

+=+=++=

XX > 0 Indutivo

X < 0 - Capacitivo

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Impedncia Complexa A validade das duas Leis de Kirchhoff no domnio da

freqncia permite-nos demonstrar, facilmente, queimpedncias podem ser combinadas em srie e paralelo,obedecendo s mesmas regras j estabelecidas pararesistnciasresistncias

Exemplos:

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Professor: Joo Bosco Augusto London JuniorE-mail: [email protected]

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