例举初等数学与高等数学的一 些联系
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A.仿射几何仿射几何:对坐标内的点进行放缩、旋转和平移后,相应研究其中的不变性质的几何叫做仿射几何,它是射
影几何的一部分 .
所谓放缩
一、仿射几何与平面几何
11 2
2
, 0X k x
k kY k y
0
0
X x x
Y y y
cos sin
sin cos
X x y
Y x y
11 12 0
21 22 0
X a x a y x
Y a x a y y
11 12
21 22
0a a
a a 11 22 21 12 0a a a a
,平移: ,旋转
所以仿射变换指的是 ( 1.1 )
,即其中:
性质 1.1 仿射变换保持一一对应性、同素性、结合性 .说明:一一对应性指的是变换
一、仿射几何与平面几何
( 1 )有逆变换,其实逆变换也是仿射变换;( 2 )同素性指的是:点变换成点,直线变换成直线 . 后者也就是说:若三点连线,变换后新三点也连线 . 证明:若
1 1 2 2 3 3, , , , ,x y x y x y 三点连线,则
1 1
2 2
3 3
11
1 02
1
x y
x y
x y
, 则
1 1 11 1 12 1 0 21 1 22 1 0
2 2 11 2 12 2 0 21 2 22 2 0
3 3 11 3 12 3 0 21 3 22 3 0
1 11 1
1 12 2
1 1
X Y a x a y x a x a y y
X Y a x a y x a x a y y
X Y a x a y x a x a y y
11 1 12 1 21 1 22 1
11 2 12 2 21 2 22 2
11 3 12 3 21 3 22 3
11
12
1
a x a y a x a y
a x a y a x a y
a x a y a x a y
11 1 21 1 11 1 22 1
11 2 21 2 11 2 22 2
11 3 21 3 11 3 22 3
1 11 1
1 12 2
1 1
a x a x a x a y
a x a x a x a y
a x a x a x a y
12 1 21 1 12 1 22 1
12 2 21 2 12 2 22 2
12 3 21 3 12 3 22 3
1 11 1
1 12 2
1 1
a y a x a y a y
a y a x a y a y
a y a x a y a y
1 1 1 1
11 22 2 2 12 22 2 2
3 3 3 3
1 11 1
1 12 2
1 1
x y x y
a a x y a a x y
x y x y
1 1
11 22 12 22 2 2
3 3
11
1 02
1
x y
a a a a x y
x y
所以 1 1 2 2 3 3, , , , ,X Y X Y X Y 三点连线 .
性质 1.2 两条平行直线经仿射变换后仍变为两条平行直线 .
说明:我们不妨证明两条平行直线( , )
的原像是平行直线 . 它们的原像满足
一、仿射几何与平面几何
显然命题为真 .
1 0AY BX C 2 0AY BX C
21 22 0 11 12 0 1 0A a x a y y B a x a y x C
21 11 22 12 0 0 1 0Aa Ba x Aa Ba y Ay Bx C
,
和 21 11 22 12 0 0 2 0Aa Ba x Aa Ba y Ay Bx C
性质 1.3 仿射变换保持简比不变 .说明:若新直线的定比分点满足
一、仿射几何与平面几何
1 23 1
X XX
1 2
3 1
Y YY
和 ,则有
11 1 12 1 0 11 2 12 2 011 3 12 3 0
21 1 22 1 0 21 2 22 2 021 3 22 3 0
,1
,1
a x a y x a x a y xa x a y x
a x a y y a x a y ya x a y y
1 2 1 211 3 12 3
1 2 1 221 3 22 3
0,1 1
0,1 1
x x y ya x a y
x x y ya x a y
1 23
1 23
0,1
0,1
x xx
y yy
一、仿射几何与平面几何
abc
ABC
11 22 12 21ABC
abc
Sa a a a
S
性质 1.4 任意两个三角形面积之比是仿射对应下的不变量 .说明:其实我们在性质 1.1的说明中,已经证明了
与
的面积之比为
.推论 1.1 (1) 两个平行四边形面积之比是仿射不变
量 . (2) 两个封闭图形面积之比是仿射不变量 .
一、仿射几何与平面几何 A B C A B C
A B C A B C
性质 1.5 在平面上给定不共线三点 、 、 及不共线三点 、 、 ,总存在一仿射变换把、 、 分别变到 、 、
1 1 2 2 3 3, , , , ,x y x y x y说明:若 的坐标分别为 , A B C、、 1 1 2 2 3 3, , , , ,X Y X Y X Y的坐标为 , A B C、、
1 1
2 2
3 3
1
1 0
1
x y
x y
x y
1 1
2 2
3 3
1
1 0
1
X Y
X Y
X Y
则问题化为:在
和 的条件下, 11 12 21 22 0 0, , , , ,a a a a x y
1 11 1 12 1 0
1 21 1 22 1 0
2 11 2 12 2 0
2 21 2 22 2 0
3 11 3 12 3 0
3 21 3 22 3 0
X a x a y x
Y a x a y y
X a x a y x
Y a x a y y
X a x a y x
Y a x a y y
问关于 的方程
是否有解 . ABC A B C 推论 1.2 (1) 在平面上给定不共线三点 A、 B、 C, 总存在一仿射变换把三角形 变到等腰直角
ABC A B C (2) 在平面上给定不共线三点 A、 B、 C, 总存在一仿射变换把三角形 变到等边 .
一、仿射几何与平面几何
ABC B Rt ABCD
B.若干应用例 1.1 、将平形四边形 ABCD 各边三等分 (如图 ) , 连 EF、 FH、 HG、
GE, 求证: S△A EF= S△DFH= S△CHG= S△BGE
证明:通过仿射变换,把 变成等腰直角三角形( ),则此时平形四边形 ABCD为正方形
△AEF、△ DFH、△ CHG、 S△BGE为全等三角形,命题得证 .
五、对称条件与非对称结果
参考文献[1] 杨拥良 . 荀洋滔 . 伸缩变换的一个重要结论及其应用 . 中等数学, 2009 年 2 期, P.8-11.
[2] 何作发 . 仿射几何的几点应用 . 湖北大学成人教育学院学报, 2004 年第 8 期, P.76-78.
[3] 张小明,褚玉明 . 解析不等式新论 . 哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社, 2009 年 6 月 .
[4]Albert W . Marshall,Ingram Olkin. Inequalities:theory of majorization and its applications[M] .New York :Academic Press,Inc,1979 .[5] 王伯英.控制不等式基础 [M] .北京:北京师范大学出版社, 1990 年.[6] 张小明 . 三角形不等式的“ B-C” 证法.不等式研究(杨学枝主编),拉萨:西藏人民出版社, 2000 年 6 月 .
[7] 杨学枝 . 两个三元不等式及其应用 . 中国初等数学研究, 2009 年第 1 期, P.7-16.
[8]Vasile Cirtoaje.Old and New Methods.GIL Publishing House (Zalau, Romania),2006.
[9]http://www.irgoc.org/viewtopic.php?f=25&t=23&sid=5a884a2ab0d6108cb568b1faa4cd8c82
作者介绍:张小明,浙江电大海宁学院数学副教授,校科研督导处主任,安徽大学 93 届硕士毕业生,全国不等式研究会常务理事、秘书长,全国初等数学研究会常务理事,《中国初等数学研究》编委 . 在国内外发表学术论文五十多篇,出版学术专著两本 .
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