高等数学( 一 ) 微 积分

一元函数微分学( 第 三 章 、 第 四章 )

一元函数积分学（第五章）

第一章 函数及其图形 第 二 章极限和连续

多元函数微 积 分（第六章）

高数一串讲教材所讲主要内容如下：

串讲内容

第一部分 函数极限与连续

第二部分 导数微分及其应用

第三部分 积分计算及应用

一元和多元

第一部分 函数极限与连续

1. 一元函数的概念 定义域 值域

函数为特殊的映射 :

其中2. 二元函数的概念

定义域 值域函数为特殊的映射 :

其中

一、 函数 二、极限 三、连续一、 函数 概念回顾

3. 函数的特性有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性

4. 反函数设函数 为单射 , 反函数为其逆映射

DDff )(:1

5. 复合函数给定函数链则复合函数为 ])([: DgfDgf

6. 初等函数　　由基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的由一个表达式表示的函数。

例 1.下列函数中，函数的图象关于原点对称的是（ ） (1) 22 1y x ； (2) 3 2siny x x ； (3) 1y x ．

知识点： 函数的奇偶性 若对于任何 x，恒有 ( ) ( )f x f x 成立，则称 ( )f x 是奇函数。若

对于任何 x，恒有 ( ) ( )f x f x 成立，则称 ( )f x 是偶函数． 奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于 y轴对称．

解：(1) 2 2( ) 2( ) 1 2 1 ( )f x x x f x ， 故 22 1y x 为偶函数． (2) 3 3( ) ( ) 2sin( ) 2sin ( )f x x x x x f x ， 故

3 2siny x x 为奇函数，图形关于原点对称。 (3) ( ) 1f x x ，它既不等于 ( )f x ，也不等于 ( )f x ，故

1y x 是非奇非偶函数．

例 2．下列各函数中，互为反函数的是（ ）

（1）． tan , cot y x y x （2）． 12 1, ( -1)2

y x y x

知识点：反函数 求反函数的步骤是：先从函数 ( )y f x 中解出 1( )x f y ，再置换 x与y，就得反函数 1( )y f x 。

例 3 .设函数 1( )1xf

x x

， 求 (2 )f x

知识点：复合函数

解：令 1 1,t xx t

， 因为 1

111 11

x tx t

t

故： 1( )1

f tt

即 1( )1

f xx

，

1(2 )1 2

f xx

例 4：求下列函数的定义域。

（1） 1 ln( );z x yx

（2） 2 sin( ) ln( 2)2x

f x x xx

知识点：定义域 多元函数定义域的求法和一元函数定义域的求法类似，使表达式有意

义的点的集合。 解：（1）由函数的表达式可知：

0x 且 0x y ． 故函数的定义域为：{( , ) | 0 0}x y x x y 且

（2）要使函数有意义必须满足

2 2 02 0

x xx

，即

1 22

x xx

或，

故 ( 2, 1) (2, )D ．

二、 极限 （1．概念回顾 2、极限的求法，） 1．概念回顾 1）数列极限lim ,nn

a A

函数极限 lim ( )xf x A ．

2）函数极限与单侧极限之间的关系

0

0

0

0

0

lim ( )

li

( )lim ( ) .

m ( )( )x x

x xx x

f x Af xf

f xx A

f Ax

3）特殊极限：无穷大和无穷小 若当lim 0u ，则称变量u为无穷小量(或无穷小)．

lim , lim , limu u u ，则称变量u为无穷大量(或无穷大)

4）极限与无穷小得关系定理 u A u A ， 其中是该极限过程中的无穷小

2 、 极限的求法利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等

例 5： 求 2

5lim9x

xx

．

解： 2

2

2

1 55lim lim 99 1

x x

x x xx

x

2

2

1 5lim( ) 0 09 1lim(1 )

x

x

x x

x

．

知识点：设 0 00, 0, ,a b m n N ，

则 1 0

1 0

lim 0

m

n

abm

mnx

n

m na x a x a

m nb x b x b

m n

例 6.（1） n 1

n+1 2

5 4lim5 3

n

nn

（2）、 coslimsinx

x xx x

（05年 10月）

解：（1） 1

n 1 2

n+1 21

1 1 4( )5 4 5 5 5lim lim 35 3 1 3( )5

nn

nn n n

12

1

1 1 4lim( ) 15 5 53 51 3lim( )5

n

n

n

n

（2）cos1coslim lim 1sinsin 1

x x

xx x x

xx xx

例 7 . （1）lim( 3 )n

n n n n

（06年）

（2）lim( 3 ) 1.n

n n n

（05年）

解： （1）

( 3 )( 3 )lim( 3 ) lim3n n

n n n n n n n nn n n n

n n n n

4 4lim lim 23 1 3 1

n n

n

n n n n n nn n

（2） ( 3 )( 3 )lim( 3 ) 1 lim 1

3n n

n n n nn n n n

n n

13 13 1 3lim lim23 31 1

n n

n nn n

n

例 8.（1）1

lim ( )x xx

e x

（06年 1月) （2） 0

lim 1 2x

xx

知识点：重要极限 1lim(1 ) n

ne

n

，0

1

lim(1 ) tt

et

， lim(1 1 ) x

x xe

1( )( ) 0, lim(1 ( )) u x

xu x u x e 适用特点1

解：（1）11 1

lim ( ) lim (1 ) lim (1 )x

xe

x x x x ex xx x x

x xe x e e

e e

1

0lim (1 )x xe ex

xx

xe e e e

e

（2）1

0 0lim 1 2 lim(1 2 )x xx x

x x

0

( 2)122lim(1 )

xxx

0

( 2)122lim[(1 ) ]x

xx

( 2)

02 21

[lim(1 ) ]2x

x ex

例 9. 20 0 0

tan sin 1 cos(1)lim (2)lim (3)lim (4)lim( sin )x x x n

x kx xn

x x x n

知识点：重要极限 0

sinlim 1x

xx

( ) 0

sin ( )lim 1( )u x

u xu x

0

sinlim 1n

n

an

aa

解：0 0 0

0

tan sin 1 sin 1(1) lim lim lim 1 1 1cos limcosx x x

x

x x xx x x x x

(2) 0 0,u kx x u 令 ， 等价于

0 0 0

sin sinlim lim lim 1sinx x u

kx kxk k k k

x kxuu

20

2

20(3) lim l

2sin1 c 2imosx x

xx x

x

2

0 2

sin2lim

2( )2

x

x

x

2

0

sin2

2

1 1lim2 2x

x

x

(4)sin

lim( sin ) limn n

nnn

n

lim( sin )

nn

n

注意：等价无穷小

0x 时， ~ sin , ~ tan , ~ arcsinx x x x x x ， 2

1 cos ~2x

x

0na 时，sin ~n na a ( ) 0u x 时，sin ( ) ~ ( )u x u x

例 10.（1）0

( 1)limcos 1

x

x

x ex

（06年 1月） （2） 2

x 0

1 sin 3lim

(1 cos 2 )ln(1 )

xe x

x x

（3） lim [ln( 2) ln ]x

x x x

（05年. 10月）

知识点： 用等价无穷小代换求极限

设 , ', , ' 都是无穷小， 如果 ~ ', ~ ' ，则'lim lim'

．

解： （1）因为 211 ~ , cos 1 ~2

xe x x x

所以 0 0 2

( 1)lim lim 21cos 12

x

x x

x e xxx x

（2）因为 2 21 ~xe x ， sin3 ~ 3x x， 2 2121 cos2 ~ (2 ) 2x x x ，

ln(1 ) ~x x

所以 2

x 0

1 sin3lim

(1 cos2 )ln(1 )

xe x

x x

2

2x 0

(3 ) 3lim(2 ) 2x xx x

（3） 2 2lim [ln( 2) ln ] lim ln(1 ) lim 2x x x

x x x x xx x

注：在使用等价无穷小代换时，应注意只能对乘除法代换，不能对加 减法代换，即只对极限中的各个因式进行代换．

记住下列几个常用的等价无穷小以及由此导出其它的等价无穷小 1. sin ~ ,x x 导出 ( ) 0u x 时，sin ( ) ~ ( )u x u x 2. tan ~ ,x x 导出 ( ) 0u x 时，tan ( ) ~ ( )u x u x

3. arcsin ~x x， 导出 ( ) 0u x 时，arcsin ( ) ~ ( )u x u x 4. 1 ~xe x ， 导出 ( ) 0u x 时， ( ) 1 ~ ( )u xe u x 5. ln(1 ) ~x x ， 导出 ( ) 0u x 时， ln 1 ( ) ~ ( )u x u x

6.2

1 cos ~2x

x ， 导出 ( ) 0u x 时，2( )1 cos ( ) ~

2u x

u x

例 11. (1) 0

1 cos3lim .1 cos4x

xx

（05年 7月）(2) 2

2

ln sinlim .2x

xx

（ ）

(05年 10月)

知识点： 洛必达法则 若分式极限 ( )

( )lim f xg x 是

00

或 型的未定式，则当 ( )

( )lim f xg x’

‘ 存在时，( )( )lim f xg x ＝

( )( )lim f x

g x’

‘ ．

解：(1)0 0 0

1 cos3 3sin 3 3 3 9lim lim lim .1 cos4 4sin4 4 4 16x x x

x x xx x x

(2) 2

2 2 2

1 cosln sin 1 cossinlim lim lim2 2 4sin 2x x x

xx xxx x x x

（ ） - 2 2（ ） - （ ）

2 2 2

1 cos 1 sin 1lim lim lim4sin 2 4 2 8x x x

x xx x

- （ ） -

注：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式 、 0

0。

其它类型的未定式 ，0 ， 0 00 , , 1 可转化为分式型的未定式，从而可以用洛必达法则。

例 12. (1) 0

lim ln ( 0)a

xx x a

； (2)

1

1lim1 lnx

xx x

解 (1) 0 0 0 01

0lim ln lim li

1

m li 1m(n )l 0aaax ax x x

x xx xx

axx a

．

(2) 1 1 1

01 ln 1 1 ln 1lim lim lim0 11 ln ( 1)ln lnx x x

x x x x xxx x x x xx

2

1 1

ln 1lim lim1 21 ln

1

1 1x x

x

x

x

x xx

．

例 13 2

2lim2x

xx

（05年. 4月）

知识点：分子与分母的极限均为 0时，通过约去公因式或者 分子分母有理化等方法消掉零元素。

解： 2 2

2lim lim 2 2 22x x

x xx

．

例 14 用级数的敛散定义判定级数1

11n n n

敛散性。

知识点： 1 2 3n nS u u u u 若lim nnS S

（常数），就说数项级数

1n

n

u

收敛， 若lim nnS

=∞或lim nn

S

不存在，就说数项级数1

nn

u

发散。

解：

1 1

1 11 ( 1)( 1 )

n n

nk k

k ksk k k k k k

1

( 1 )n

k

k k

( 2 1) ( 3 2) ( 1 )n n 1 1n 该级数发散。

例 15 求级数 1

0

25

n

n

的和S

知识点：等比级数（几何级数） 1 2 1

1

n n

n

aq a aq aq aq

当 1q 时,等比级数收敛 ; 且 1 2 1

1 1n n

n

aq a aq aq a aq

q

当 1q 时，等比级数发散 ．

解：因为 1 2 3 1

0

2 2 2 2 25 5 5 5 5

n n

n

所以 1

0

22 25

25 315

n

n

注意：收敛的必要条件：若0

nn

u

收敛， 则 lim 0nn

u

级数

例 16 求极限

22 2

0100

coslim

x

x

x t dt

x

.

知识点：变上限函数 如果 ( )f x 在区间[ , ]a b 上连续，

则 ( ) ( ) ( )x

a xx f t dt f x

解 此极限为 00型，用洛必达法则求解，故

22 2 4

010 90 0

cos 2 2 coslim lim10

x

x x

x t dt x x xx x

8 80

8

0

4 1lim lim .5 5 10

11 cos 2

x x

xxx x

例 17、求 2

1( ) 1xy f x

x

的水平和竖直渐进线。

知识点：如果 lim ( ) lim ( ) lim ( )x x x

f x b f x b f x b

或 或 ， ，

则直线 y b 为曲线 ( )y f x 的水平渐近线． 如果lim ( ) lim ( ) lim ( )

x a x a x af x f x f x

或 或 ，

则直线 x a 为曲线 ( )y f x 的竖直渐近线．

解：因为 20

1lim 1x

xx

， x=0为无穷间断点， 故有竖直渐近线 x=0，

因为 2

1lim 1 1x

xx

，故 y=-1为水平渐近线．

注意：竖直渐近线一般在间断点处存在。

3、连续函数与闭区间上连续函数的性质 概念回顾 1）、一元函数的连续性：

( )y f x 在点 0x 处连续0

lim 0x x

y

0

0lim ( ) ( )x x

f x f x

2)、二元函数的连续性：设函数 ( , )z f x y 在点 0 0 0( , )P x y 的某邻域有定义，

若 00

0 0lim ( , ) ( , )x xy y

f x y f x y

, 则称函数 ( , )z f x y 在点 0P连续．

不连续的点称为间断点 3)、闭区间上连续函数的性质： 有界性 最大值最小值 零点定理 介值定理

例 18．确定k的取值使得函数ln(1 ) 0

( )0

xx x

f xk x

在其定义域内连续．

知识点 初等函数的连续性，非初等函数的连续性 初等函数在其有定义的区间内处处连续． 函数 ( )f x 在点 0x 连续的充分必要条件是下列三个条件同时满足 1)． 0( )f x 有定义； 2)．

0

lim ( )x x

f x

存在；3)．0

0lim ( ) ( )x x

f x f x

解： 函数的定义域为( 1, ) ．由于函数在 0x 处的函数值 (0)f k 是

单独定义的，所以该函数在定义域( 1, ) 上不是初等函数。 但是在 0x 时是初等函数 ln(1 )( ) xf x

x

．

因此函数在区间( 1,0) 和(0, ) 上是连续的． 若使该函数在 0x 处连续，则应有

0lim ( ) (0)x

f x k f

，

又因0 0 0 0

1ln(1 ) 11lim ( ) lim lim lim 1,

1 1x x x x

x xf xx x

所以 1k 时，该函数在 0x 处连续 ， 1k ， 0x 为间断点。

例 19、函数 2

1( )( 2 3)x

xf xe x x

的间断点的个数为 【 】

(A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个 知识点： 判断初等函数的间断点 如果 ( )f x 在点 0x 不连续，则称 0x 是 ( )f x 的间断点．

● 若下列三种情况之一成立，则 0x 是 ( )f x的间断点： i． 0( )f x 无定义 ( 0x 是无定义的孤立点) ii．

0

lim ( )x x

f x

不存在

iii． 0( )f x 有定义，0

lim ( )x x

f x

存在，但0

0lim ( ) ( )x x

f x f x

．

● 若 ( )f x 是含有分母的初等函数，则分母的零点是间断点． ● 若 ( )f x 是分段函数，则分段的分界点是可疑的间断点．

解答 将函数的分母做因式分解，则有 1( )( 1)( 2)x

xf xe x x

．分母的零

点就是函数的间断点．可以看到分母的零点为 1, 2x ，应选择 C． 注： 对函数分母做因式分解是判断函数间断点的常用方法．

例 20．证明：方程 2xxe 在区间(0,1)上至少有一个实根． 知识点：零点定理 设 ( )f x 在闭区间[ , ]a b 上连续，且 ( ) ( ) 0f a f b ，( 即 ( )f x 在区间端点处 函数值的符号相反 )，则至少存在一个点 ( , )c a b 使得 ( ) 0f c ． 解：将方程根的范围问题转化为函数的零点问题。 该方程等价于 2 0xxe ．令函数 ( ) 2xf x xe ， 则函数 ( )f x 在闭区间[0,1]上连续（初等函数的连续性）， (0) 2 0f ， (1) 2 0.718 0f e ． 由闭区间上连续函数的零点定理可知， 存在 0 (0,1)x 使得 0( ) 0f x ，即 0

0 2 0xx e 。 这说明 0x 是方程 2xxe 的根． 注：方程根的范围问题一般都化为求函数的零点问题来解决．