數學的補救教學策略 ~ 整數、分數與小數 ~

數學的補救教學策略~ 整數、分數與小數 ~

林玉鴦

簡報大綱壹、前言貳、學生數學迷思概念的成因參、教師改變學生數學迷思概念的策略肆、補救教學策略 一、整數 二、分數 三、小數伍、結語

壹、前言 學生在解一些題目時，常常會因為受到環境或自己之前所經驗到的一些非正式知識的相互影響，而對不同概念產生某些不同程度的錯誤想法或迷思概念。因此，數學教學研究強調的不只是教師如何敎才能達到良好的教學效果，還要注意教師如何了解學生的錯誤概念，及如何使用策略來修正學生經驗中已有的錯誤概念。

貳、學生數學迷思概念的成因一、學生個人因素 1.學生從日常生活經驗中獲得錯誤的數學概念。 2.學生本身的學科知識不足，對數學概念不了解。 3.學生本身的認知發展不夠成熟。 4.學生憑個人直覺或關鍵字作反應 。二、環境因素 1.來自數學教材、媒體或網路的錯誤訊息或誤解。 2.受到同儕的想法或經驗所影響。三、學校教育因素 1.教師本身的數學知識不足。 2.教科書內容或圖片的錯誤引導。

叁、改變學生數學迷思概念的策略一、造成認知衝突 ※教師可以透過圖示或操作讓孩子發現其個人 的想法與實際上是不符的。透過認知衝突的 方式，澄清學童的迷思概念是非常有效的。 「例」時間的報讀

叁、改變學生數學迷思概念的策略二、運用異質合作學習 ※教師可以採小組學習的方式，小組成員的 安排應用心。讓學生透過合作學習，互相 對話、討論，獲得概念的澄清。

叁、改變學生數學迷思概念的策略

三、寓教於遊戲 ※教師於平日教學中，如果能將遊戲融入於 教學中，必能提升學生的學習興趣，增進 學習效能。

叁、改變學生數學迷思概念的策略四、運用資訊融入教學 ※教師可以透過電腦模擬或虛擬學習， 讓學生學習到更正確的概念。 ※教師可以利用多媒體電腦輔助教學軟體， 結合文字、聲音、影像、動畫…等功能， 提升學生的學習興趣，也可以澄清學生的 迷思概念。 ※可善用均一教育平台。

叁、改變學生數學迷思概念的策略五、提供學生實際操作的機會 ※許多教材，只靠老師賣力的講解，然後要 學生背公式，學生往往只知其然，而不知 其所以然，當公式太多，學生往往因為公式 背錯而答錯了。如果能讓學生透過實際操 作，學生因為動手做而印象深刻，那麼迷思 概念將會相對減少。 「例」平面圖形周長與面積的教學、立體圖形的構成要素…。

叁、改變學生數學迷思概念的策略六、要敎新教材前，宜先檢驗學生的先備知識 ※老師在敎新概念之前，一定要了解學習此概念時， 學生應具備哪些舊經驗，先簡單的做測驗，因為 數學教材組織是螺旋式的，環環相扣，舊經驗熟練 度不足，其新概念的學習將會遭遇到挫折。「例」敎二位數的加減計算前，先檢驗孩子是否熟悉基本加減法。 敎二位數的乘除計算前，先檢驗孩子是否已背熟九九乘法。 敎因數、倍數前，先檢驗孩子是否已背熟九九乘法及會做除法。 敎表面積前，先檢驗孩子是否已熟悉平面圖形的構成要素…。

叁、改變學生數學迷思概念的策略七、教師要重視本身的專業成長與自我省思 ※迷思概念不只學生會發生，老師也會發生。 ※老師如果能透過各種專業進修 ~ 在職進修、校內外 的研習進修、領域會議、與學科專家或同儕的對話 等，將可提升自己的專業能力及教學效能。 ※老師如果能在每節或每個單元教學後做自我省思 ~ 透過分析整理自己的教學活動，或透過學生的學習 態度、評量成績…等的活動過程，做深度的反思， 相信可以避免迷思概念的產生，並提升教學效能。

肆、補救教學策略一、整數

( 一 ) 減法計算題 1.減法計算學生經常出現的迷思概念如下： (1) 13 (2) 582 (3) 5000 (4) 3600 － 5 － 178 － 1249

－ 1200 12 416 1861 24

2.想想看，上述算法的學生有哪些迷思概念？ 3.補救教學策略 (1)透過情境，讓孩子確實理解減法的意義。 (2)造成孩子的認知衝突。例如 17 － 5 ＝ 12…… (3)讓孩子確實理解「 13」除了是「 13 個 1 」之外， 還可以說是「 1 個 10 和 3 個 1 合起來的數」。 (4)透過定位板，讓孩子確實理解位值間的化聚。 (5)讓孩子了解「 0 」在不同位值上所表示的不同意義。

肆、補救教學策略一、整數

( 二 ) 乘法計算題 1.乘法計算學生經常出現的迷思概念如下： (1) 1 (2) (3) 1 2 204 1005

× 5 × 120 × 203 1 0 0 4080 315 204 210 6120 2415

2.想想看，上述算法的學生有哪些迷思概念？

肆、補救教學策略一、整數

( 二 ) 乘法計算題 3.補救教學策略 (1)(1)教學時，希望能由孩子的記錄到成人的算則。 (2)(2)用教具幫助孩子理解位值的概念： 如：錢幣、定位板、積木…等各種 100、 10、 1的表徵物。

肆、補救教學策略一、整數

( 三 ) 除法計算題 1.除法計算學生經常出現的迷思概念如下： (1) (2) (3)

(4) (5)

2.想想看，上述算法的學生有哪些迷思概念？

肆、補救教學策略一、整數

( 三 ) 除法計算題 3.補救教學策略 (1)(1)教學時，希望能由孩子的記錄到成人的算則。 (2)(2)用教具幫助孩子理解位值的概念： 如：錢幣、定位板、積木…等各種 100、 10、 1的表徵物。 (3)(3) 讓孩子確實理解讓孩子確實理解餘數不能大於除數餘數不能大於除數的道理。的道理。 (4)(4) 讓孩子確實理解大數的除法中讓孩子確實理解大數的除法中餘數的處理餘數的處理。。 (5)(5) 引導孩子引導孩子用乘法驗算用乘法驗算，看看答案是否正確。，看看答案是否正確。

肆、補救教學策略一、整數

( 四 ) 四則運算 1.四則運算學生經常出現的迷思概念如下： 「例 1 」 80-20+5 ＝ 80-25＝ 55 「例 2 」 40÷ 5× 2 ＝ 40÷ 10＝ 4 「例 3 」 100-6× 5+8 ＝ 100-30＝ 70+8 ＝ 78 「例 4 」 16+4× (10÷ 5-2)＝ 16+4× 0 ＝ 20× 0

＝ 0

2.想想看，上述算法的學生有哪些迷思概念？

肆、補救教學策略一、整數

( 四 ) 四則運算 3.補救教學策略 ※※讓孩子確實理解讓孩子確實理解四則混合計算的規則 ( 利用逐次減項法 ) (1)由左而右計算： 一個算式裡，如果只有加減或只有乘除，就由左而右，依照順序算。 「例1 」 15－ 7 ＋ 3 － 6 「例2 」 120÷5×6×2 (2)先乘除，後加減： 一個算式裡，如果有加減，也有乘除，要先算乘除，最後再算加減。 「例1 」 13＋ 8×4－ 18÷9 「例2 」 100－ 56÷4×7 (3)有括號，由括號先算： 在四則混合計算的算式裡，如果有括號，就要先算出括號裡的數。

括號裡的數如果有加減，也有乘除，則要先算乘除，最後再算加減。 「例 2 」 200÷（ 400÷5－ 20） ×5 (4)指導孩子先算的劃線做記號，其餘的每個數字都要全部寫下來。

肆、補救教學策略一、整數

( 四 ) 應用題 1.應用題孩子常出現的錯誤 「例1 」白花有8 朵，白花比紅花多3 朵，紅花有幾朵？ 「解」8 ＋ 3 ＝ 11 答： 11朵 「例2 」成功國小有男生 1327人，比女生少36人，成功國小全校有 多少學生？ 「解」 1327－ 36＝ 1291 答： 1291人 「例3 」紅豆 100公斤，每6 公斤裝一包，要用幾個袋子才能裝完？ 最後一袋還能再裝幾公斤？ 「解」 100÷6 ＝ 16……4 答 (1)16個袋子 (2)4公斤 2.想想看，上述算法的學生有哪些迷思概念？

肆、補救教學策略一、整數

3.應用題補救教學策略 (1)確實要求孩子讀題。 (2)與孩子分析題意、讓孩子確實理解題意。 (3)讓孩子掌握已知條件 ( 知道題目上每個數字所代表的意義 ) (4)讓孩子知道題目要求的答案是什麼 ( 未知條件 ) 。 (5)敎孩子冷靜思考，擬定解題策略，不要只教孩子用 關鍵字來判斷加或減，容易造成誤判。 (6)除法中注意「裝滿」與「裝完」的區別 ~ 商的答案是否加 1。 (6)算出答案後，敎孩子思考答案的合理性。

肆、補救教學策略二、分數

( 一 ) 平分概念的迷思 ※分數建立在平分的基礎上，一般學生會誤以為 只要分成二份，其中的一份就是 。 只要分成三份，其中的一份就是 。 這是非常錯誤的想法，一定要即時更正。 ※ 老師在指導分數的初期，可以用許多圖示讓學

生 做判斷，以改正學生錯誤的觀念。

3

1

肆、補救教學策略二、分數

( 二 ) 分數大小比較的迷思※孩子忽略了在相同的單位量才能進行分數的比較。「例」哥哥有 8顆糖，姊姊有 16顆糖，哥哥吃了自己的 ， 姊姊吃了自己的 ，哪個人吃的糖果顆數比較多？ ★孩子的迷思概念：以為 > ，　　　 所以哥哥吃的糖果顆數比較多。 ★孩子忽略了哥哥與姊姊所擁有的糖果數量是不同的。

「例」一包糖果有 24顆，小珍吃了 1/4包，小芬吃了 4顆，誰吃的糖 果比較多？〈①小珍②小芬③一樣多④不能比較〉 ★孩子的迷思概念：認為 4 > 1/4 ，所以小芬吃的比較

多。 ★孩子忽略了「包」與「顆」單位的不同。

肆、補救教學策略二、分數

( 三 ) 分數加減的迷思「例 1 」媽媽買了 2 個一樣大小的披薩，小凱吃了 個， 小珍也吃了 個，兩個人一共吃了幾個披薩？

「例 2 」媽媽買了 3 個蔥油餅，吃了 個，剩下幾個？

有些孩子會寫成 ＋ ＝這類型的孩子有哪些迷思概念？要怎麼指導？

4

3

4

38

6

4

3

4

3

有些孩子會寫成 3 － ＝這類型的孩子有哪些迷思概念？要怎麼指導？

肆、補救教學策略二、分數

( 三 ) 分數加減的迷思

「例 3 」 － ＝

「例 4 」 － ＝ ＝ 1

這類型的孩子有哪些迷思概念？要怎麼指導？

肆、補救教學策略二、分數

( 四 ) 分數乘法的迷思 「例 1 」 × 2＝

「例 2 」 × 2＝

「例 3 」 × ＝

肆、補救教學策略二、分數

( 五 ) 有餘數分數除法的迷思 「例 1 」一條緞帶長 公尺，每 公尺可以做一朵 花，最多可以做幾朵花？還剩下多少公尺的

緞帶？ 「解」 ÷ ＝ 答：最多可以做 8 朵花，剩下 公尺的緞帶

想想看，錯在哪裡？要如何解惑？

肆、補救教學策略二、分數

( 六 ) 分數表徵的迷思 ( 台北市能力檢測題目 )題 目：一盒巧克力有 4 顆，請畫圖表示 盒巧克力。評量目的：學生能 (1)掌握單位分數內容物超過 1 個的情境。

(2)能正確的表徵假分數的意義。評閱結果：

37.63

6.10

56.27

0

20

40

60

80

100

0 1 2

得分

人數百分比：％

肆、補救教學策略二、分數

( 六 ) 分數表徵的迷思 ( 台北市能力檢測題目 )

滿分 (2分 ) 的解題類型

肆、補救教學策略二、分數

( 六 ) 分數表徵的迷思 ( 台北市能力檢測題目 )

滿分 (2分 ) 的解題類型

肆、補救教學策略二、分數

( 六 ) 分數表徵的迷思 ( 台北市能力檢測題目 )

滿分 (2分 ) 的解題類型

肆、補救教學策略二、分數

( 六 ) 分數表徵的迷思 ( 台北市能力檢測題目 )

滿分 (2分 ) 的解題類型

肆、補救教學策略二、分數

( 六 ) 分數表徵的迷思 ( 台北市能力檢測題目 )

部分答對 (1分 ) 的解題類型

想想看，為何只給 1 分？

肆、補救教學策略二、分數

( 六 ) 分數表徵的迷思 ( 台北市能力檢測題目 )

部分答對 (1分 ) 的解題類型

肆、補救教學策略二、分數

( 六 ) 分數表徵的迷思 ( 台北市能力檢測題目 )

全錯 (0分 ) 的解題類型

想想看，這種解題類型的學生，有什麼迷思概念？要如何解惑？

肆、補救教學策略二、分數

( 六 ) 分數表徵的迷思 ( 台北市能力檢測題目 )

全錯 (0分 ) 的解題類型

肆、補救教學策略二、分數

( 六 ) 分數表徵的迷思 ( 台北市能力檢測題目 )

全錯 (0分 ) 的解題類型

肆、補救教學策略二、分數

( 六 ) 分數表徵的迷思 ( 台北市能力檢測題目 )

全錯 (0分 ) 的解題類型

肆、補救教學策略二、分數

( 六 ) 分數表徵的迷思( 台北市能力檢測題目 )※教學建議 教學時要著重分數概念的教學，讓學生瞭解分數中各個不 同單位間的關係。

– 例如：「一盒月餅有 4 個， 盒有多少個？」– 教師要透過圖示指導學生看到各個單位的意涵。 像是「整體 1 是一盒有 4 個」，– 「 盒是把一盒 4 個平分成二等分，每一等分有 2 個，並用圖示 圈出來明顯表示。」而「 盒是 5 個 盒的合成」，透過

圖示 讓學生看到其間的關係，進而確切了解分數的意涵與分母、 分子的意義。

肆、補救教學策略二、分數

( 七 ) 用分數表示兩個整數相除的結果 ( 台北市能力檢測題目 )

題 目：「 8 個人平分 3 個喜餅，每個人可以分到幾個喜餅？」 請畫圖表示怎麼分，並寫出作法及答案。評量目的：本試題主要評量學生是否能畫圖表示分數的平分概念， 並正確計算出答案。評閱結果：

46.74

39.18

14.09

0

20

40

60

80

100

0 1 2

得分

人數百分比：%

肆、補救教學策略二、分數

( 七 ) 用分數表示兩個整數相除的結果 ( 台北市能力檢測題目 )

滿分 (2分 ) 的解題類型

肆、補救教學策略二、分數

( 七 ) 用分數表示兩個整數相除的結果 ( 台北市能力檢測題目 )

滿分 (2分 ) 的解題類型

肆、補救教學策略二、分數

( 七 ) 用分數表示兩個整數相除的結果 ( 台北市能力檢測題目 )

滿分 (2分 ) 的解題類型

肆、補救教學策略二、分數

( 七 ) 用分數表示兩個整數相除的結果 ( 台北市能力檢測題目 )

滿分 (2分 ) 的解題類型

肆、補救教學策略二、分數

( 七 ) 用分數表示兩個整數相除的結果 ( 台北市能力檢測題目 )

滿分 (2分 ) 的解題類型

肆、補救教學策略二、分數

( 七 ) 用分數表示兩個整數相除的結果 ( 台北市能力檢測題目 )

滿分 (2分 ) 的解題類型

肆、補救教學策略二、分數

( 七 ) 用分數表示兩個整數相除的結果 ( 台北市能力檢測題目 )

滿分 (2分 ) 的解題類型

肆、補救教學策略二、分數

( 七 ) 用分數表示兩個整數相除的結果 ( 台北市能力檢測題目 )

部分答對 (1分 ) 的解題類型

想想看，為何只給 1 分？

肆、補救教學策略二、分數

( 七 ) 用分數表示兩個整數相除的結果 ( 台北市能力檢測題目 )

部分答對 (1分 ) 的解題類型

肆、補救教學策略二、分數

( 七 ) 用分數表示兩個整數相除的結果 ( 台北市能力檢測題目 )

全錯 (0分 ) 的解題類型

想想看，這種解題類型的學生，有什麼迷思概念？要如何解惑？

肆、補救教學策略二、分數

( 七 ) 用分數表示兩個整數相除的結果 ( 台北市能力檢測題目 )※教學建議 1.教師在除法問題的教學中，建議增加操作活動。 例如：具體物的分發、等分…等，藉此強化學生對除法問題 情境的理解和「等分」、 「一樣多」的意義。 2.建議教師在平日的教學活動中，能加強圖像表徵的 練習，藉此協助學生透過圖像表徵來思考問題，並 強調總量和「 1 」的概念。 以本題為例，「 3 個」喜餅是被分的總量，而題目要問的是 「每個人可以分到幾個喜餅？」就是要以「 1 個」喜餅為單位， 是要問每個人所分到的單位量。

肆、補救教學策略三、小數

( 一 ) 小數讀法的迷思概念「例」「 12.56 」有些孩子會讀做「十二點五十六」「十二點五十六」。 ※上述的孩子將小數點右邊的數讀成整數。 ※ 補救教學策略 讓孩子理解小數點左邊整數部分的位名要讀出位名要讀出來， 小數點右邊小數部分的位名不必讀出來。「例 」 「 99.3581」讀做「九十九點三五八一」 「 600.207」讀做「六百點二零七」

肆、補救教學策略三、小數

( 二 ) 小數數詞序列的迷思概念 「例」 0.1、 0.2、 0.3、 0.4、 0.5、 0.6、 0.7、 0.8、

0.9、 0.10 ※上述的孩子沒有位值概念的規範，因此在引入小數 數詞序列時，孩子可能類比整數數詞序列的讀法， 將零點九後面的數詞，唸成零點十，零點十一……。※ 補救教學策略 用積木或定位板協助孩子理解小數的位值概念， 讓孩子看到 1 與 0.10不一樣多。

肆、補救教學策略三、小數

( 三 ) 小數大小比較的迷思概念 「例 1 」 3.12＞ 3.4 「例 2 」 4.18＞ 32.8※「例 1 」的孩子以為小數點後面的位數愈多其值愈大。※「例 2 」的孩子忽略小數點，認為 418＞ 328。※ 補救教學策略：用積木或定位板協助孩子理解小數的位值概念。

讓孩子用積木或方瓦代表各小數，然後依據大小排出順序，並說明理由。

肆、補救教學策略三、小數

( 四 ) 小數加減的迷思概念 「例 1 」 9.06–4 ＝ 9.02 「例 2 」 9.06–3.2 ＝ 6.04 9.06 9.06 – 4 – 3. 2 9.02 6.04 「例 3 」 7+3.21 ＝ 3.28 「例 4 」 3.25+2.4 7 3.25 + 3.21 + 2.4 3.28 0.5 65

上述解題類型的孩子有哪些迷思概念？要如何指導？

肆、補救教學策略三、小數

( 四 ) 小數乘除的迷思概念 「例 1 」 「例 2 」 「例3 」 3÷1.6

( 算到小數第一位並寫出餘數 )

※上述解題類型的孩子有哪些迷思概念？※小數乘法要讓孩子理解為何積的小數位數 是被乘數和乘數小數位數的和。※小數除法注意商和餘數小數點的位置。

肆、補救教學策略三、小數

( 五 ) 能將小數標記在數線上 ( 台北市能力檢測題目 ) 題目：下圖中，數線上的 A 點用小數表示是多少？

4.8 5.3 5.6 5.8 (97 、 98年度考題 )

4A 6

肆、補救教學策略三、小數

( 五 ) 能將小數標記在數線上( 台北市能力檢測題目 ) ※從學生的答題表現分析其可能錯誤原因如下： 1.選答「 4.8」的學生把1 小格當作 0.1，直接從 4 數。 2.選答「 5.3」的學生知道4 和 6 中間是 5 ，再從 5 的地

方 開始數 3 小格，每小格為 0.1，得到 5.3。 3.選答「 5.8」的學生可能直接從 6 倒數 2 小格，且把每 一小格當做 0.1，得到 5.8。 ※從 97年度與 98年度學生答題表現來看，學生在各個選 項答題表現的一致性很高，兩個年度學生答題的情形 非常接近。

肆、補救教學策略三、小數

( 五 ) 能將小數標記在數線上( 台北市能力檢測題目 ) ※補救教學策略 指導學生要先觀察數線上是把1 或 0.1…分成幾等份， 再算出1 等份是多少。 (1)把 1 分成 10等份，其中的 1 等份就是 0.1(1÷10＝

0.1)

(2)把 1 分成 5 等份，其中的 1 等份就是 0.2(1÷5＝ 0.2)

(3)把 1 分成 4 等份，其中的 1 等份就是 0.25(1÷4＝0.25)

(4)把 0.1分成 10等份，其中的 1 等份就是 0.01(1÷10＝0.1)

伍、結語數學的補救教學一、找出病因： 同樣一個題目，往往每個孩子錯誤的地方並不相同， 老師一定要找出每個孩子到底哪裡出了問題。二、對症下藥： 當老師了解學生的錯誤概念後，一定要對症下藥，針

對其錯誤概念的題型反覆說明講解，可以用教具或圖

示幫助孩子理解。三、追蹤複檢：

恭請賜教 祝大家教學愉快