ЦОР по теме: «Треугольники»

ЦОР по теме:

«Треугольники»

Разработала: Маланко Е.Г.учитель математикиМОУ «Гимназия № 1»I квалификационная категория

С

В

Треугольник

A,B,C – вершины

АВ, ВС, АС – стороны

∆ АВС, ∆ ВСА, ∆ САВСАВ, АВС, ВСА –

углы треугольника

Р ∆ АВС = АВ+ВС+АС А

Две фигуры, в частности, два треугольника, называются равными, если их можно совместить наложением

∆ ABC = ∆ A1B1C1

A C

B

A1 C1

B1

Если два треугольника равны, то элементы (т.е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника В равных

треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

C

B

A1 C1

B1

A

Первый признак равенства треугольников: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:1. Так как А = A1, то ∆ АВС можно наложить на ∆ A1B1C1 так, что вершина А совместится с вершиной А1.

A

C

B

A1B1

С1Дано: ∆ АВС и ∆ A1B1C1

АВ = A1B1, AC = A1С1, А = A1

Доказать: ∆ АВС = ∆ A1B1C1

2. Стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и А1С1.

3. Так как АВ = A1B1, то сторона АВ совместится со стороной A1B1.

4. Так как АС = A1С1, то сторона АС совместится со стороной A1С1.

5. Следовательно, совместились точки В и В1, С и С1, а значит и стороны ВС и В1С1.

6. Итак, ∆ АВС и ∆ A1B1C1 совместились полностью, а значит они равны

Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство

Дано: ∆ АВС и ∆ EDC AC = EC BC = DC

Доказать: ∆ АВС = ∆ EDC

A

B E

D

C Доказательство: 1) BC = DC по условию2) AC = EC по условию3) ВСА = DCE как

вертикальные∆ АВС = ∆ EDC по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников)

D

E C

K

Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство

∆ EDС = ∆ KDC по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников)

Дано: ∆ EDС и ∆ KDC ED = KD EDC = KDC

Доказать: ∆ EDС = ∆ KDC

Доказательство: 1) ED = KD по условию2) EDC = KDC по

условию3) CD - общая

S

∆ EDС = ∆ CFE по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников)

Найдите пары равных треугольников и докажите их равенствоC

D

F

E

Дано: ∆ EDС и ∆ CFE ED = CF DEC = FCE

Доказать: ∆ EDС = ∆ CFE

Доказательство: 1) ED = CF по условию2) DEC = FCE по

условию3) CE - общая

S

А

В

С

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой медианой

треугольникатреугольника.

В любом

треугольнике

медианымедианы пересекаются

в одной точке

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется

В любом

треугольнике

биссектрисыбиссектрисы пересекаются

в одной точке

биссектрисой биссектрисой треугольникатреугольника.

А

В

С

Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется

А

В

С

высотой высотой треугольникатреугольника.В любом

треугольнике

высоты или высоты или их их

продолженияпродолжения пересекаются

в одной точке

А

В

С

В любом

треугольнике

высоты или высоты или их их

продолженияпродолжения пересекаются

в одной точке

Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой высотой

треугольникатреугольника.

Равнобедренный треугольник

Треугольник называется

равнобедренным, если его две

стороны равны

Основание

Бок

овая

сто

рона

Боковая сторона

Равносторонний треугольник

Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним.

Свойство равнобедренного треугольника:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

2. ∆ АВD = ∆ АСD по первому признаку равенства треугольников (АВ = АС по условию, АD – общая, 1 = = 2 , т.к. АD – биссектриса)

3. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому В = С.

1 2

Дано: ∆ АВС - равнобедренный

АВ = AC

Доказать: В = С

А

В С

Доказательство:1. Пусть АD – биссектриса ∆ АВС.

D

S

Свойство равнобедренного треугольника:В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой

1) Из равенства треугольников ABD и ACD следует, что BD = DC и 3 = 4.

2) Т.к. BD = DC, значит D – середина BC => АD – медиана

3) Т.к. 3 = 4, а они смежные, значит они прямые => AD - высота

3 4

Дано: ∆ АВС - равнобедренный BC – основаниеАD – биссектриса

Доказать: 1) АD – медиана 2) AD - высота

А

В СДоказательство:

D

ВысотаВысота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является

медианоймедианой и

биссектрисойбиссектрисой.

МедианаМедиана равнобедренного треугольника, проведённая к

основанию, является высотойвысотой

и биссектрисойбиссектрисой.

А

В СD

Второй признак равенства треугольников: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:1. Наложим ∆ АВС на ∆ A1B1C1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1,сторона АВ – с A1B1, а вершины С и C1оказались по одну сторону от прямой A1B1.

AB

A1B1

Дано: ∆ АВС и ∆ A1B1C1

АВ = A1B1, А = A1, В = B1

Доказать: ∆ АВС = ∆ A1B1C1

2. Т.к. А = A1,то сторона АС наложится на луч A1C1.

3. Т.к. В = B1, то сторона ВС наложится на луч B1C1.

4. Вершина С окажется лежащей как на луче A1С1, так и на луче В1С1=> совместится с вершиной С1.

5. Значит, совместятся стороны АС и А1С1, ВС и В1С1.

6. Итак, ∆ АВС и ∆ A1B1C1 совместились полностью, а значит они равны

С1

C

Третий признак равенства треугольников: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:1 случай: луч СС1 проходит внутри A1C1B1.

Дано: ∆ АВС и ∆ A1B1C1 АВ = A1B1, ВС = В1С1, СА = С1А1,

Доказать: ∆ АВС = ∆ A1B1C1

2. Т.к. ВС = В1С1, АС = А1 С1 по условию, то ∆ A1C1С и ∆ B1C1С - равнобедренные 3. Т.к. в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то 1 = 2, 3 = 4, поэтому A1СВ1 = A1C1В1

4. Итак, АС = А1 С1, ВС = В1С1, С = C1 = > ∆ АВС = ∆ A1B1C1 по первому признаку равенства треугольников.

B1

(В)

А1

(А)С С1

21

3 4

Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство

Дано: ∆ MNP и ∆ RQP NP = QP MNP = RQP

Доказать: ∆MNP = ∆RQP

Доказательство: 1) NP = QP по условию2) MNP = RQPпо условию

3) NPM = QPR как вертикальные

4) ∆MNP = ∆RQP по стороне и двум прилежащим к ней углам (2 признак равенства треугольников)

Q

N

MP

R

Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство

Дано: ∆ АВС и ∆ DBE AB = DB BAC = BDE

Доказать: ∆ АВС = ∆ DBE

Доказательство: 1) AB = DB по условию2) BAC = BDE по

условию3) ABC = DBE как вертикальные4) ∆ АВС = ∆ DBЕ по стороне и двум прилежащим к ней углам (2 признак равенства треугольников)

A C

B

E D

Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство

Дано: ∆ АВС и ∆ DBC AB = DB AC = DC

Доказать: ∆ АВС = ∆ DBC

Доказательство: 1) AB = DB по условию2) AC = DC по условию3) BC - общая

4) ∆ АВС = ∆ DBC по трём сторонам (третий признак равенства треугольников)

A

CD

B

S

Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство

Дано: ∆ KLN и ∆ MNL KL = MN KN = ML

Доказать: ∆ KLN = ∆ MNL

Доказательство: 1) KL = MN по условию2) KN = ML по условию3) LN - общая

4) ∆ KLN = ∆ MNL по трём сторонам (третий признак равенства треугольников)

K N

L M

S