离散型随机变量函数的概率分布分以下两步来求 :
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注意离散型随机变量函数的概率分布分以下两步来求 :
(1) 由 y=g(x) 计算出随机变量 Y 的所有取值 y1,y2,...,yn,...;
(2)P(Y=yn) 为 yn 对应的随机变量 X 的取值的概率和 .
X x1 x2 ... xn ...
g(X) g(x1) g(x2) … g(xn) …
P p1 p2 ... pn ...
离散型随机变量函数的概率分布 :
2.3. 随机变量函数的分布
定理 1 设 X~fX(x),y=g(x) 是 x 的单调可导函数 , 其导数不为 0, 值域为 (a,b),-∞<a<b<+∞, 记 x=h(y) 为 y=g(x) 的反函数 , 则 Y=g(X) 的概率密度函数为 :
其它0
bya|)y(h|)]y(h[f)y(f X
Y
连续型随机变量函数的概率密度函数
1. n 维随机向量 以 n 个随机变量 X1 , X2 ,…, Xn 为分量的向量 X=(X1,X2,…,Xn) 称为 n 维随机向量。以下主要研究二维离散型及连续型随机向量的情形。
2. 二维离散型随机向量的联合概率分布、边缘概率分布
定义 如果二维随机向量( X,Y )的全部取值数对为有限个或至多可列个,则称随机向量( X,Y )为离散型的。易见,二维随机向量 (X,Y) 为离散型的等价于它的每个分量 X 与 Y 分别都是一维离散型的。
第 3.1 节 随机向量及其概率分布 例如射击一次 . 问击中否 ? 击中几环 ? 击中点的坐标 ?击中点到靶心的距离 ?
称 pij=P(X=xi,Y=yj),(i,j=1,2,…,) 为 (X,Y) 的联合概率分布 .其中 E={(xi,yj),i,j=1,2,...} 为 (X,Y) 的取值集合 , 表格形式如下 :
XXx1
x2
…x i
…
y1 y2 … y j …
p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … … … … … pi1 pi2 … p i j … … … … … …
Y
计算 P{(X,Y)∈D }= Dyx
ij
ji
p)( ,
联合概率分布性质 ① pij≥0 ;i,j=1,2,… ②∑∑pij = 1;
联合概率分布
(1) 定义 随机向量 X= ( X1,X2,…,Xn )中每一个 Xi 的分布,称为 X 关于 Xi 的边缘分布。(2) 边缘分布列对于离散型随机向量 (X,Y), 分量 X,Y 的分布列称为边缘分布列。若 (X,Y) 的联合概率分布为 pij=P{X=xi,Y=yj),i,j=1,2,...,则 ( ) {( ) [ ( )]}i i j
j
P X x P X x Y y {( ) ( )}i j
j
P X x Y y ( , )i jj
P X x Y y j
ijp
(i=1,2,...)
同理 ( )j iji
P Y y p 一般地 , 记 :P(X=xi) Pi .
P(Y=yj) P. j
(j=1,2,...)
概率分布表如下 :
边缘概率分布
独立性 若 (X,Y) 的联合概率分布满足
P{X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj )
称 X 与 Y 独立。例 1 某盒子中有形状相同的 2 个白球, 3 个黑球。从中一个个取球,令
。YY)3(
;)2(
;)Y,Y()(1(:
2,1ii0
i1Y
21
21
i
的独立性与讨论边缘概率分布
的联合概率分布求
分放回或不放回情形
次取黑球第次取白球第
Y
0
1
Y1 0 1
3/10 3/10
3/10 1/10
Y1 0 1
P 3/5 2/5
Y 0 1
P 3/5 2/5
Y1 0 1
P 3/5 2/5
Y 0 1
P 3/5 2/5
Y
0
1
Y1 0 1
9/25 6/25
6/25 4/25
不放回 放回
P{X=xi,Y=yj) ≠P(X=xi)P(Y=yj )
不独立独立
P{X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj )
例 2 二维随机向量 (X,Y) 的联合概率分布为 :
X
-1
0
1
Y 0 1 2
0.05 0.1 0.1
0.1 0.2 0.1
a 0.2 0.05
求 :(1) 常数 a 的取值 ;
(2)P(X≥0,Y≤1);
(3) P(X≤1,Y≤1)
解 (1) 由∑ pij=1 得 : a=0.1
(2) 由 P{(X,Y)∈D}=Dyx
ij
ji
p)( ,
得 P(X≥0,Y≤1)= P(X=0,Y=0)+
P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.2+0.1+0.2=0.6
(3)P(X≤1,Y≤1) =P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0)
+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =0.75
例 3 设 (X,Y) 的联合概率分布为 :
X
-1
0
1
Y 0 1 2
0.05 0.1 0.1
0.1 0.2 0.1
0.1 0.2 0.05
求 :(1)X,Y 的边缘分布 ; (2)X+Y 的概率分布 .解 (1) 由分析得 :X -1 0 1
P 0.25 0.4 0.35
Y 0 1 2
P 0.25 0.5 0.25(2)X+Y 的取值为 -1,0,1,2,3,P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=-1,Y=1)=0.2P(X+Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0) +P(X=-1,Y=2)=0.4同理 ,P(X+Y=2)=0.3,
X+Y -1 0 1 2 3
P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05
P(X+Y=3)=0.05
所以
例 4 设随机变量 X 和 Y 相互独立 , 试将下表补充完整 .
X
x1
x2
Y y1 y2 y3
1/8
1/8
ip
jp 1/6 1
1/24 1/41/12
1/2 1/3
3/43/8 1/4
;1),(0)1( yxF
;0),(),(),(,1),()2( xFyFFF
),(),(),(),(
),()3(
11211222
2121
yxFyxFyxFyxF
yYyxXxP
xx yy
ij
i j
p则 F(x,y)=P{X≤x , Y≤y}=
(4) 如果 (X,Y) 为离散型随机向量 , 其联合概率分布为
ijji pyYxXP ),( ),2,1,,2,1( ji
联合分布函数性质
XX
YY
x1
y1 (x1,y1)
x2
y2 (x2,y2)(x1,y2)
(x2,y1)
),(),(),(),(
),()3(
11211222
2121
yxFyxFyxFyxF
yYyxXxP
性质 (1) f(x,y)≥0 , (x,y)∈R2
D
y)dxdyf(x,D}Y)P{(X,计算
1dxdy)y,x(f
其中 D 为任意可度量区域 .
y}Yx,P{Xy)F(x,
x ydtds)t,s(f
3. 连续型随机向量的联合概率密度
特别
在 f(x,y) 的连续点有 ),(
),(2
yxfyx
yxF
例 5 设 (X,Y) ~
其它,0
0y,0x,Ae)y,x(f
)y3x2(
试求 :(1) 常数 A ;(2)P{ X<2, Y<1};
(4) P ( X≤x,Y≤y ) .解 (1)
0 0
)y3x2( dxdyAe 0 0
y3x2 dxdyeAe
b
a
d
c
b
a
d
cdy)y(gdx)x(fdy)y(g)x(fdx 得据
所以 , A=6
0 0
y3x2 dyedxeA0)e
3
1(
0)e
2
1(A y3x2
=A/6 =1
(3)P{(X,Y) D},∈ 其中 D 为 2x+3y≤6.
XX
YY
0
所以 ,P{ X<2,Y<1}=
2
1
D
y)dxdyf(x,D}Y)P{(X,(2)
1}Y2,{X
y)dxdyf(x,
{X<2, Y<1} 2
0
1
0
)y3x2( dye6dx
2
0
1
0
y3x2 dyedxe6
2 32 11 16( ) ( )
2 0 3 0x ye e 4 3(1 )(1 )e e
(3)P{(X,Y) D},∈ 其中 D 为 2x+3y≤6.
3
2 2x+3y=6
D
y)dxdyf(x,D}Y)P{(X,
63y2x
y)dxdyf(x,
XX
YY
0
3
0
)x26(3
1
0
)y3x2( dye6dx
3 2 3
0
1(6 2 )1
6 ( ) 33
0
x y xe e dx
3 2 6
02 ( )xe e dx 6e71
(4)
x XX
YY
0
y
所以 , 当 x≥0,y≥0 时 ,
y}Yx,P{Xy)F(x,
x ydtdstsf ),(
x y ts dtdse0 0
)32(6
x
0
y
0
t3s2 dtedse60
y)e
3
1(
0
x)e
2
1(6 t3s2 )e1)(e1( y3x2
即 :
其它0
0,0)1)(1(),(
32 yxeeyYxXP
yx
例 6 设 (X,Y)~
其它0
1y0,1x0xy4)y,x(f
求 (X,Y) 的联合分布函数 .
1
1解 (1)x<0, 或 y<0 时 ,F(x,y)=0
(2)x≥1,y≥1 时 ,F(x,y)=1
(3)0≤x≤1,0≤y≤1 时 ,
F(x,y)= yxstdtds
004
22 yx
(4)0≤x≤1,y>1 时 ,F(x,y)= 1
004stdtds
x 2x
(5)x>1,0≤y≤1 时 ,F(x,y)= ystdtds
0
1
04 2y
x
y
X
Y
4xy
综合即得 :
1,11
10,1
1,10
10,10
000
),(2
2
22
yx
yxy
yxx
yxyx
yx
yxF
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