概率统计（ zyh ） 节目录 3.1 二维随机变量的概率分布 3.2 边缘分布 3.4...
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概率统计（ ZYH ）
节目录
3.1 二维随机变量的概率分布3.2 边缘分布
3.4 随机变量的独立性
第三章 随机向量及其分布
3.3 条件分布
概率统计（ ZYH ）
同一维随机变量一样 , 为了把某些试验的结果数量化 , 有时需要用二维随机变量(X,Y) 来描述．如
或二维随机向量
实例 1 炮弹的弹着点的位置 (X, Y) 就是一个二维随机变量 .
实例 2 考查某一地 区学龄前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量(H,W).
概率统计（ ZYH ）
一、二维随机变量的分布函数 二、二维离散型随机变量及其分布 三、二维连续型随机变量及其分布
3.1 二维随机变量的概率分布
概率统计（ ZYH ）
二维随机变量 (X, Y) 的性质不仅与 X,Y 有关 ,
而且还依赖于这两个随机变量的相互关系 . 为此，我们引入二维随机变量的分布函数． 定义 设 ( X, Y ) 是二维随机变量 , 对于任意实数 x, y, 称二元函数 机 变 量 (X,Y)
的 分 布 函 数 ,
或 X 和 Y 的联合分布函数 ．
},{),( yYxXPyxF
xO
y ),( yx
yYxX ,
为二维随
一、二维随机变量的分布函数
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),( 12 yxF
及点 (x2, y2) 的概率分别为
的 x1, y1, x2, y2(x1<x2, y1<y2),
随机点 (X,Y) 落在矩形域
借助右图
),( 2121 yYyxXx
},{ 2121 yYyxXxP
),( 22 yxF
可知对于任意
},{ 22 yYxXP )0,0()0,(),0(),( 22222222 yxFyxFyxFyxF
函数 F(x, y)完整地描述了二维随机变量的概率分布
),( 21 yxF ),( 11 yxF
Y
y2
y1
O x1 x2 X
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定理 1
0)(),(),(
1),(,1),(0
FxFyF
FyxF
分布函数 F(x,y) 具有下列性质：1 （有界性） 对任意的实数 x, y, 有
2 （单调性） F(x, y) 是 x 和 y 的单调不减函数 :
3 （右连续性） F(x, y) 关于 x 和 y 都是右连续的 :
)(),(),(,
)(),(),(,
2121
2121
yyyxFyxFx
xxyxFyxFy
有有
),()0,(),,(),0(,, yxFyxFyxFyxFyx 有
由上述解释易得
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F(x, y) 是某个二维随机变量 (X,Y)
的分布函数
F(x, y) 满足1 有界性 2 单调性3 右连续性
定理 1表明
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记所有可能取的值为设 ,,2,1,),,(),( jiyxYX ji
若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有限对或可列多对 , 则称 ( X, Y ) 为二维离散型随机变量
二、二维离散型随机变量及其分布
则称此为 ( X, Y ) 的分布律 , 或 X 与 Y 的联合分布律
pi j 是某个二维随机变量 (X,Y)
的分布律1
0
1 1
i jij
ij
p
p
,2,1,,},{ jipyYxXP ijji
（同一维）
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XY 21 iyyy
ix
x
x
2
1 12111 jppp
22212 jppp
21 ijii ppp
二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
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.),(.
~1 ,
4,3,2,1
的分布律试求整数值中等可能地取一在另一个随机变量取值
四个整数中等可能地在设随机变量
YX
XY
X
解 :},{ 的取值情况是jYiX ,4,3,2,1i
.的正整数取不大于ij 且由乘法公式得
},{ jYiXP }{}{ iXjYPiXP i
1
4
1
,4,3,2,1i .ij
的分布律为于是 ),( YX
例 1
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XY
1 2 3 4
1
2
3
4
41
81
121
161
0 81
121
161
0 0 121
161
0 0 0 161
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( X,Y ) 所取的可能值是),0,0(
解),1,0( ),0,1( ),1,1( ),2,0( ).0,2(
}0,0{ YXP ,283
2
8
2
3
0
2
0
3
抽取两支都是绿笔抽取一支绿笔 , 一支红笔
例 2 从一个装有 3 支蓝色、 2 支红色、 3 支绿色
圆珠笔的盒子里 , 随机抽取两支 , 若 X 、 Y 分别
表示抽出的蓝笔数和红笔数 , 求 ( X,Y ) 的分布律 .
}1,0{ YXP ,143
2
8
1
3
1
2
0
3
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}2,0{ YXP
}0,1{ YXP
}0,2{ YXP
}1,1{ YXP ,143
2
8
0
3
1
2
1
3
,281
2
8
0
3
2
2
0
3
,289
2
8
1
3
0
2
1
3
.283
2
8
0
3
0
2
2
3
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故所求分布律为X
Y 210
283 289 283
143 143 0
281 0 0
0
1
2
,),(,
yyxx
ij
ji
pyxF
离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数为
. , , 求和的其中和式是对一切满足 jiyyxx ji
总结
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三、二维连续型随机变量
( , ) ( , ),
( , ) ,
( , ) ( , ) d d
( , ) , ( , )
( , )
.
3
,
y x
X Y F x y
f x y x y
F x y f u v u v
X Y f x y
X Y
X Y
对于二维随机变量 的分布函数如果存在非负的函数 使对于任意 有
则称 是 函数称为二维随机变量 的 或称为随机变
连续型的二维随机变量概率密度
联合概的
定
量 和 率密度
义
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.1),(dd),()2(
Fyxyxf
.dd),(}),{( G
yxyxfGYXP
.0),()1( yxf
性质
的概率为内落在点平面上的一个区域是设 GYXxOyG ),(,)3(
).,(),(
,),(),((4)2
yxfyx
yxFyxyxf
则有连续在若
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表示介于 f (x, y) 和 xOy 平面之间的空间区域的全部体积等于 1.
G
yxyxfGYXP dd),(}),{(
,1dd),(
yxyxf
说明
.
),(, }),({
为顶面的柱体体积以曲面为底的值等于以 yxfzGGYXP
.),(, 表示空间的一个曲面几何上 yxfz
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}.{)2();,()1(
.,0
,0,0,2),(
),()2(
XYPyxF
yxeyxf
YXyx
求概率求分布函数
其它
具有概率密度设二维随机变量例 4
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解
y xyxyxfyxF dd),(),()1(
.,0
,0,0,dd20 0
)2(
其它
y x yx yxyxe
.,0
.0,0),1)(1(),(
2
其它 得
yxeeyxF
yx
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},),{(}{ GYXXY
}),{(}{ GYXPXYP
(2) 将 ( X,Y ) 看作是平面上随机点的坐标 ,
即有
XY
G
x
y
O
yxyxfG
dd),(
yxey
yx dd20
)2(
.31
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设 D 是平面上的有界区域 , 其面积为 S , 若二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度
则称 ( X , Y ) 在 D 上服从均匀分布 .
.,0
,),(,1
),(其它
DyxAyxf
均匀分布