§2.4 随机向量及其分布

定义 设为随机试验的样本空间，

2)(),( RYX 一定法则

　　则称二维向量 ( X , Y ) 为二维随机变量或二维随机向量．

二维随机变量及其分布函数

讨论： 二维随机变量作为一个整体的概率特性； 其中每一个随机变量的概率特性与整体的概率特性之间的关系．

二维随机变量的联合分布函数

　　定义 设 ( X , Y ) 为二维随机变量，对于任何一对实数 ( x , y ) ，事件

)()( yYxX

定义了一个二元实

函数 F ( x , y ) ，称为二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数，即

．yYxXPyxF ,),(

( 记为 　 ) yYxX ,

的概率 ，yYxXP ,

分布函数的几何意义

如果用平面上的点 (x, y) 表示二维随机变量

(X ,Y ) 的一组可能的取值，则 F (x, y) 表示 (X ,Y )

的取值落入下图所示的阴影区域的概率．

x

y (x, y)

联合分布函数的性质

0),( F

),(

x

y1),(0 yxF

1),( F

(x, y)

x

y

),(

0),( xF

x

y

　

x

y-0),( yF

固定 x ，对任意的 y1< y2 , F (x,y1) F (x,y2)

固定 y ，对任意的 x1< x2 , F (x1,y) F (x2,y)

F (x0 , y0) = F (x0 -0 , y0)

F (x0 , y0) = F (x0, y0 - 0)

F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) 0

事实上　 F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) = P (a X < b , c Y < d)

a b

c

d

对每个变量单调不减

对每个变量左连续

对于任意的 a < b , c < d

例 1

1,1

1,0),(

yx

yxyxF

设

　　讨论 F (x, y) 能否成为二维随机变量的分布函数？

解

x

y

x+ y = 1

•(0,0)

•(2,0)

•(2,2)•(0,2)

)0,0()0,2(

)2,0()2,2(

FF

FF

1

0111

故 F (x, y) 不能作为二维随机变量的分布函数．

注意　对于二维随机变量

),(1, caFcYaXP

),(

,

YcXaP

cYaXP

),(),(

),(1

caFaF

cF

x

y

a

c(a,c)

(a,+) (+,+)

(+,c)

二维随机变量的边缘分布函数

　　由联合分布函数可以求得边缘分布函数 , 逆不真 .

xXPxFX )(

YxXP ,

),( xF

yYPyFY )(

yYXP ,

),( yF

x

y

x

x

yy

　　例 2 　设二维随机变量 (X ,Y ) 的联合分布函数为

　

yx

yC

xBAyxF

,

2arctan

2arctan),(

其中 A , B , C 为常数．

(1) 确定 A , B , C ；(2) 求 X 和 Y 的边缘分布函数；(3) 求 P (X > 2) ．

解　 (1)

122

),(

CBAF

022

),(

CBAF

022

),(

CBAF

2

1,

2,

2 ACB

(2) ),()( xFxFX

,,2

arctan1

21 x

x

),()( yFyFY

,,2

arctan1

21 y

y

(3) )2(1)2( XPXP

22

arctan1

21

1

41

　　可以将二维随机变量及其边缘分布函数的概念推广到 n 维随机变量及其联合分布函数与边缘分布函数．

　　定义　若二维随机变量 (X ,Y ) 的所有可能的取值为有限多个或无穷可列多个，则称 (X ,Y ) 为二维离散型随机变量．

　　要描述二维离散型随机变量的概率特性及其与每个随机变量之间的关系常用其联合概率分布和边缘概率分布．

二维离散型随机变量及其概率特性

联合概率分布

设 ( X ,Y ) 的所有可能的取值为：

则称：

　　为二维随机变量 ( X ,Y ) 的联合概率分布或联合分布律，也简称概率分布或分布律．显然，

,2,1,,),( jipyYxXP ijji

,2,1,),,( jiyx ji

,2,1,,0 jipij

11 1

i jijp

二维离散型随机变量的联合分布函数

yx

pyxFxx yy

ij

i j

,

,),(

　　已知联合分布律可以求出其联合分布函数，

反之，已知分布函数也可以求出其联合分布律．

,2,1,,

)0,0(),0(

)0,(),(),(

ji

yxFyxF

yxFyxFyYxXP

jiji

jijiji

　 　

　　例 3 　把三个球等可能地放入编号为 1 ， 2 ，3 的三个盒子中，每盒容纳的球数无限．记 X 为落入 1 号盒的球数， Y 为落入 2 号盒的球数，求　　 (1) ( X ， Y ) 的联合分布律与边缘分布律；　　 (2) P (X = Y ) ， P (Y > X ) ．　　 (3) 求 (X ， Y) 的联合分布函数．　　解 联合分布律的求法：利用乘法公式

)()(),( ijiji xXyYPxXPyYxXP

)()( jij yYxXPyYP 或

　　常用列表的方法给出．

(1) 本例中，

)()(),( iXjYPiXPjYiXP

jijj

i

iii CC

3

3

3

3 21

121

32

31

;3,2,1,0;3,,0 iij

其联合分布与边缘分布如下表所示：

X

Y pij 0 1 2 3

0

1

2

3

271

271

271

271

91

91

271

0

0

0

91

91

0

0

91

91

92

0

pi• 278

278

92

92

94

94

1

p• j

(2) 由表可知

277

)( XYP

2710

)( XYP

(3) 省略．

　　例 4 　把 3 个红球和 3 个白球等可能地放入编号为 1 ， 2 ， 3 的三个盒子中，每盒容纳的球数无限，记 X 为落入 1 号盒的白球数， Y

为落入 1 号盒的红球数．求 (X ,Y) 的联合分布律和边缘分布律．解

)()(),( iXjYPiXPjYiXP

jjj

iii CC

3

3

3

3 31

131

32

31

3,2,1,0, ji

见下表

X

Y pij 0 1 2 3

0

1

2

3

271

271

pi• 278

278

92

92

94

94

1

p• j

278

278

94

278

92

278

27

1

27

8

278

94

94

94

92

94

271

94

278

92

94

92

92

92

271

92

92

271

278

271

94

271

271

271

本例与前例有相同的边缘分布，但它们的联合分布却不同．故：

联合分布可以唯一确定边缘分布；但边缘分布却不能唯一确定联合分布．

　　例 5 　二元两点分布　　下面的二维离散型随机变量称为二元两点分布．

p + q = 1 ， 0 < p < 1

XY

pij p• j

pi•

1 0

1

0

p 0

0 q

p q

p　q

1

作业 P144 习题二27

二维连续型随机变量及其联合概率特性

　　定义　设二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数为 F(x ,y ) ，若存在非负可积函数 f (x,y) ，使得对于任意实数 x,y 有：

x ydvduvufyxF ),(),(

　　则称 ( X ,Y ) 为二维连续型随机变量， f (x,

y) 为 ( X ,Y ) 的联合密度函数简称为联合密度或概率密度．

联合密度与联合分布函数的性质

　　除了分布函数的一般性质外还有下述性质：

),(2

yxfyx

F

，yxyxfyyYyxxXxP ),(),(

　　 f (x,y) 反映了 ( X ,Y ) 在 (x,y) 附近单位面积的区域内取值的概率．

0),( yxf

1),(

dydxyxf

对每个变元连续，在联合密度的连续点处．

P( X = a ,- < Y < + ) = 0

P(- < X < + , Y= a ) = 0

G

dxdyyxfGYXP ),(),(

若 G 是平面上的区域，则

P( X = a ,Y = b ) = 0

x

X dvduvufxF ),()(

边缘分布函数与边缘密度函数

y

Y dudvvufyF ),()(

dvvxfxf X ),()(

duyufyfY ),()(

　　与离散型随机变量相同，已知联合分布可以求得边缘分布；反之则不能唯一确定．

　　例 6 　设二维连续型随机变量 ( X ,Y ) 的联合密度为

其他,0

,10,0,),(

yyxkxyyxf

其中 k 为常数．求

(1) 常数 k ；(2) P ( X + Y 1) ， P ( X < 0.5) ；(3) 联合分布函数 F (x,y) ；(4) 边缘密度函数与边缘分布函数．

10,0),( yyxyxD解　令

y = x1

0x

yD

(1) 1),(

dxdyyxf

1),( D

dxdyyxf

1

0

2

1

0 0

82k

dyy

yk

kxydxdyy

8k

(2) )1( YXP

x+y=1

1

0x

y

0.5

x+y=1

y = x1

0x

y

1

5.0 18

y

yxydxdy

65

y = x1

0x

y

0.5

)5.0( XP

5.0

0

18

xxydydx

167

当 0 x < 1 0 y < x 时，

(3)

x y

dvduvufyYxXPyxF ),(,),(

当 x < 0 或 y < 0 时，F (x,y) = 0

4

0 08

),(

yuvdudv

yxFy v

　

当 0 x < 1, x y < 1 时，422

028),( xyxuvdvduyxF

x y

u

1

v=u1

0u

v

当 0 x < 1, y 1 时，

42

0

1

2

8),(

xx

uvdvduyxFx

u

v=u1

0u

v

1

当 x 1 0 y < x 时，

4

0 08

),(

yuvdudv

yxFy v

v=u

1

0u

v

1

当 x 1 y x 时，

1),( yxF

F (x,y) =

0, x < 0 或 y < 0

y4 , 0 x < 1, 0 y < x ，

2x2y2–y4, 0 x < 1, x y < 1 ，

2x2–x4 , 0 x < 1, y 1 ，

y4 , x 1, 0 y < x ，

1, x 1, y x ，

(4) ),()( xFxFX

=

0, x < 0 ，2x2–x4 , 0 x < 1, 1, x 1

),()( yFyFY 0, y < 0y4 , 0 y < 1 ，1 , y 1

=

其他,0

10,44)(

3 xxxxf X

其他,0

10,4)(

3 yyyfY

　　也可以直接由联合密度求边缘密度，再积分求边缘分布函数。例如：

dvvxfxf X ),()(

其他,0

10,81

xxvdvx

其他,0

10,44 3 xxx

v=u1

0u

v

1

作业 P 144 习题二26

常见的连续型二维随机变量的分布

　　设区域 G 是平面上的有界区域，其面积为 A ( > 0) ．

若二维随机变量 ( X ,Y ) 的联合密度为：

其他,0

),(,1

),( GyxAyxf

则称 ( X ,Y ) 服从区域 G 上的均匀分布．

区域 G 上的均匀分布，记作 U ( G ) ．

G1 G, 设 G1 的面积为 A1 ，

．AA

GYXP 11),(

若 ( X ,Y ) 服从区域 G 上的均匀分布，则

　　边平行于坐标轴的矩形域上的均匀分布的边缘分布仍为均匀分布．

例 7 　设 (X ,Y ) ~ G 上的均匀分布，其中

10,0),( xxyyxG

(1) 求 f (x,y) ；(2) 求 P ( Y > X 2) ；(3) 求 (X ,Y ) 在平面上的落点到 y 轴距离小于0.3 的概率．

解　 (1)

其他,0

10,0,2),(

xxyyxf

(2)

y = x1

0x

y

1

G

y = x2

1

0

2

22

)(x

xdydx

XYP

31

(3) )3.03.0()3.0|(| XPXP

y = x1

0x

y

10.3

09.0)3.0(21

2 2

若二维随机变量 ( X ,Y ) 的联合密度为：

yx

e

yxf

yyxx

,

12

1),(

22

22

21

212

1

21

2

)())((2

)(

)1(2

1

221

　　则称 ( X ,Y ) 服从参数为 1,12,2,2

2, 的正态分布，记作 ( X ,Y ) ~ N(1,1

2 ； 2,22 ；

) ． 其中 1,2> 0, -1< < 1

二维正态分布

正态分布的边缘分布仍为正态分布

xexfx

X ,2

1)(

21

21

2

)(

1

yeyfy

Y ,2

1)(

22

22

2

)(

2

令：

2221

2121

B

B 为正定矩阵．

AB

2221

2121

21

1

1

1

1

，0)1(|| 22

21

2 B

　　再令 则二维正态联合密度为：TyxX ),( 21

AXX T

e

B

yxf 2

1

2

12 ||)2(

1),(

推广：AXX T

e

B

xxxf 2

1

2

12

n21

||)2(

1)(

，，，

二维离散型随机变量的边缘分布律

,2,1,)(1

ippxXP ij

iji

记作

,2,1,)(1

jppyYP ji

ijj

记作

已知联合分布律可以求出边缘分布律；　　已知边缘分布律一般不能唯一地求出联合分布律．