45 ตรีโกณมิติ...

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

ตรโกณมต (เนอหาตอนท 2)

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตและวงกลมหนงหนวย

โดย

รองศาสตราจารย จตรจวบ เปาอนทร

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง ตรโกณมต สอการสอน เรอง ตรโกณมต มจ านวนตอนทงหมดรวม 15 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง ตรโกณมต 2. เนอหาตอนท 1 อตราสวนตรโกณมต

- สมบตของรปสามเหลยมมมฉากและทฤษฎบทพทาโกรส - อตราสวนตรโกณมต - อตราสวนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

3. เนอหาตอนท 2 เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตและวงกลมหนงหนวย - เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต - วงกลมหนงหนวย การวดมม และหนวยของมม

4. เนอหาตอนท 3 ฟงกชนตรโกณมต 1 - ฟงกชนตรโกณมตของคาจรงและของมม - คาฟงกชนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

5. เนอหาตอนท 4 ฟงกชนตรโกณมต 2 - ความแตกตางและความสมพนธของอตราสวนตรโกณมต กบฟงกชนตรโกณมต - คาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตาง ๆ

6. เนอหาตอนท 5 ฟงกชนตรโกณมต 3 - คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวก และผลตางของมม - สตรผลคณ ผลบวก และผลตางของฟงกชนตรโกณมต

7. เนอหาตอนท 6 กฎของไซนและกฎของโคไซน - กฎของไซน - กฎของโคไซน

8. เนอหาตอนท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต - การเปดตารางหาคาฟงกชนตรโกณมต - กราฟของฟงกชนตรโกณมต

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

2

9. เนอหาตอนท 8 ฟงกชนตรโกณมตผกผน

- ฟงกชนตรโกณมตผกผน - สมบตและความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน

8. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 9. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 10. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 11. แบบฝกหด (พนฐาน 4) 12. แบบฝกหด (ขนสง) 13. สอปฏสมพนธ เรอง มมบนวงกลมหนงหนวย 14. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมตและฟงกชนตรโกณมตผกผน 15. สอปฏสมพนธ เรอง กฎของไซนและกฎของโคไซน

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ตรโกณมต นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอน ๆ ทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

3

เรอง ตรโกณมต (เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตและวงกลมหนงหนวย) หมวด เนอหา ตอนท 2 (2 / 8) หวขอยอย 1. เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต 2. วงกลมหนงหนวย การวดมม และหนวยของมม จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน 1. สามารถพสจนและประยกตเอกลกษณในการค านวณอตราสวนตรโกณมตได 2. เกดความเขาใจในมโนทศนของการวดมมในวงกลมหนงหนวย ผลการเรยนร ผเรยนสามารถ 1. เขยนแสดงบทพสจนเอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตได 2. ประยกตเอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตในการค านวณนพจนตาง ๆ ทเกยวของกบ อตราสวนตรโกณมตได 3. อธบายเกยวกบการวดมมทงในหนวยเรเดยน และองศาได 4. เปลยนหนวยของมมได

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

4

เนอหาในสอการสอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

5

เนอหาทงหมด

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

6

1. เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

7

1. เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตคอ สมการทมอตราสวนตรโกณมตปรากฏอยและเปนจรงเสมอ

ส าหรบมมแหลมใด ๆ ตวอยางเชน (sin A)

2 + (cos A)

2 = 1

sin A2

= cos A

ตอไปเปนสมการทไมใชเอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต

sin A – cos A = 0

เนองจากสมการนจะเปนจรงเมอ A เปนมมทมขนาดเทากบ 45 เทานน

จากเรองตรโกณมตเนอหาตอนท 1 นกเรยนไดเหนเอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต

(sin A)2 + (cos A)

2 = 1

ซงเปนสมการทแสดงความสมพนธของอตราสวนตรโกณมต sin กบ cos และเปนจรงเสมอทกมมแหลม A

พอมาถงเรองตรโกณมตเนอหาตอนท 2 น นกเรยนจะไดเหนเอกลกษณอนเพมเตมอก โดยเรมจากการทบทวน

บทนยามของอตราสวนตรโกณมต

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

8

สรป ตอนนเรามเอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตทส าคญ 3 เอกลกษณ ดงน

sin2A + cos

2A = 1

tan2A + 1 = sec

2A เมอ A เปนมมแหลม

cot2A + 1 = cosec

2A

ตอไปเปนตวอยางการใชเอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

9

จากตวอยางทผานมา นกเรยนไดเหนวธทแตกตางกน 2 วธ บางขอเหมาะกบวธหนง บางขอเหมาะกบ

อกวธหนง นกเรยนสามารถเลอกใชได หรอลองท าทง 2 วธ แลวเปรยบเทยบค าตอบกน แตตวอยางตอ ๆ ไป

จะท าเพยงวธเดยว คอใชเอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

10

นกเรยนไดเหนแลววาค าตอบของ 2 ตวอยางขางตนน คงตวเสมอไมวามม A จะมขนาดเทาใด

จงสรปไดวา sin

4A + 2 sin

2A cos

2A + cos

4A = 1

และ (3 sec2A – 2 cos

2A) – (3 tan

2A + 2 sin

2A) = 1

ตางกเปนเอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

11

ตวอยางเพมเตม

ตวอยาง จงพสจนเอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตตอไปน

1. tan2A – sin

2A =

4

2

sin A

cos A

วธท า tan2A – sin

2A =

2

2

sin A

cos A – sin

2A

= 2 2 2

2

sin A sin A cos A

cos A

= 2 2

2

sin A(1 cos A)

cos A

= 2 2

2

sin Asin A

cos A =

4

2

sin A

cos A

2. cot A

tan A cot A = cos

4A

วธท า cot A

tan A cot A =

1

1tan A 1

cot A

= 2

1

tan A 1

= 2

1

sec A = cos

2A

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

12

3. 2(sin A cos A) 1

tan A sin A cos A

= 2 cot

2A

วธท า 2(sin A cos A) 1

tan A sin A cos A

=

2 2sin A 2sin A cos A cos A 1

sin Asin A cos A

cos A

= 2sin Acos A

1sin A cos A

cos A

= 2

2

11

cos A

= 2

2

sec A 1 =

2

2

tan A = 2 cot

2A

4. 2cot A

1cos ec A 1

= cosec A

วธท า 2cot A

1cos ec A 1

= 2cot A cosec A 1

1cosec A 1 cosec A 1

= 2

2

cot A(cosec A 1)

cosec A 1

+ 1

= 2

2

cot A(cosec A 1) 1

cot A

= cosec A

5. sin A 1 cos A

1 cos A sin A

= 2 cosec A

วธท า sin A 1 cos A

1 cos A sin A

=

2

sin A(1 cos A) 1 cos A

1 cos A sin A

= 1 cos A 1 cos A

sin A sin A

= 2

sin A = 2 cosec A

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

13

แบบฝกหดเพมเตม เรอง

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต

1. จงพสจนเอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตตอไปน

1.1 22sin A 1 sin A cos A

2sin A cos A 1 sin A cos A

1.2 sin A (1 – tan A) + cos A (cot A – 1) = cosec A – sec A

1.3 tan A sin A + cos A = sec A

1.4 2sin A sin B (sin A sin B)

2sin B sin A sin Asin B

1.5 sin2 A cos

2 B – cos

2 A sin

2 B = sin

2 A – cos

2 B

1.6 (cot A + cosec A)2 =

1 cos A

1 cos A

1.7 2 2 2

2 2 2

sin A cos A 1 cot A

sin A 5cos A 1 5cot A

1.8 sin4 A – cos

4 A = 1 – 2 cos

2 A

1.9 2

2

cos A 1

sin A 1

= tan

2 A

1.10 cos A 1 sin A

1 sin A cos A

= 2 tan A

2. ก าหนดให sin A = 3

5 และ cos A < 0 จงหาคาของ cos A cot A

cos ec A tan A

3. ก าหนดให sec2 A + tan

2 A =

7

2 และ cos A > 0 จงหาคาของ cos A + sec A

4. ก าหนดให sin A + cos A = 2

5 จงหาคาของ sin A cos A

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

14

5. จงหาอตราสวนตรโกณมตทงหลาย เมอก าหนดให

5.1 tan A = 4

3 , sin A < 0

5.2 cot A = 12

5 , sin A > 0

5.3 sin A = 15

17 , cos A < 0

5.4 cosec A = 5

4 , cos A > 0

5.5 sin A = 4

5 , tan A > 0

5.6 tan A = 4

3 , cos A > 0

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

15

2. วงกลมหนงหนวย การวดมมและหนวยของมม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

16

2. วงกลมหนงหนวย การวดมมและหนวยของมม

เรองทส าคญของวชาตรโกณมต กคอ ฟงกชนตรโกณมต ซงการนยามฟงกชนตรโกณมต เราจะใช

วงกลมหนงหนวยเปนตวก าหนด ดงนนจะทบทวนวงกลมหนงหนวยกนกอน

ถงแมนกเรยนจะรจกมมกนมาบางแลว แตในตอนนจะทบทวนขอตกลงและเงอนไขตาง ๆ ของมม

กนกอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

17

หนวยของมมม 2 หนวย คอ องศาและเรเดยน

ตวอยางการวดมมทมหนวยเปนองศา โดยก าหนดมม 45, 60 และ 90

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

18

ตอไปจะก าหนดมมจากการหมนรอบจดศนยกลาง เชน 1 1 1, ,

2 3 4 และ 1

6 รอบ

สรปเปน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

19

ถาแบงมม 1 องศายอยตอไปอกจะไดลปดาและพลปดา ดงตอไปน

ตวอยางเพมเตม

ตวอยาง มม 12 15 มกพลปดา

วธท า มม 12 มคา 12 60 = 720

มม 720 + 15 = 735 มคา 735 60 = 44100

ดงนน มม 12 15 มคา 44,100 พลปดา

ตวอยาง มม 518400 เปนกองศา

วธท า มม 518400 มคา 518400

60 = 8640

มม 8640 มคา 8640

60 = 144

ดงนน มม 518400 มคา 144

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

20

หนวยของมมอกหนวยหนงคอเรเดยน ก าหนดดงน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

21

ตอไปเปนตวอยางของมม 2 เรเดยน 3 เรเดยน และ 4 เรเดยน

มมทมหนวยเรเดยนมความสมพนธกบวงกลมหนงหนวย ดงน

ตอไปเปนตวอยางมม 2

เรเดยน เรเดยน และ 2

3

เรเดยน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

22

มมในต าแหนงมาตราฐานของมมทมหนวยเปนเรเดยน

ตวอยางของมมในต าแหนงมาตราฐาน 2

เรเดยน 2

3

เรเดยน และ

4

เรเดยน

มมทเกดจากการหมนเกนหนงรอบ

ตวอยาง มมทเกดจากการหมน 8

3 รอบในทศทวนเขมนาฬกา มคากเรเดยน

วธท า มมทเกดจากการหมน 8

3 รอบ จะเทากบมมทเกดจากการหมน 2

3 รอบ

ดงนนมมดงกลาวมคาเทากบ 2

3 2 =

4

3

เรเดยน

ตวอยาง มมทเกดจากการหมน 7

4 รอบในทศตามเขมนาฬกา มคากเรเดยน

วธท า มมทเกดจากการหมน 7

4 รอบ จะเทากบมมทเกดจากการหมน 3

4 รอบ

ดงนนมมดงกลาวมคาเทากบ 3

4

2 = 3

2

เรเดยน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

23

เราสามารถเปลยนหนวยของมมได โดยถอวามมหนงรอบมคาเทากบ 360 องศา และมคาเทากบ 2 เรเดยน

ตวอยางเพมเตม

ตวอยาง มมขนาด 155 องศามกเรเดยน

วธท า มมขนาด 155 องศา = 155 31

180 36

เรเดยน

ตวอยาง มมขนาด 5

24

เรเดยนมกองศา

วธท า มมขนาด 5

24

เรเดยน = 524

180

=

75

2 องศา = 37 30

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

24

อตราสวนตรโกณมตของมมทก าหนดหนวยเปน 6

เรเดยน 4

เรเดยน และ 3

เรเดยน

ตวอยางการหาความยาวดานของรปสามเหลยมมมฉาก

ตวอยางเพมเตม

ตวอยาง จงหาคาของ 5 cos 4

– 3 sin 6

+ sec 3

วธท า 5 cos 4

– 3 sin 6

+ sec 3

= 2 1 5 2 1

5 3 2 2 2 2

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

25

แบบฝกหดเพมเตม เรอง

วงกลมหนงหนวย การวดมมและหนวยของมม 1. จงหาวามมทวดเปนเรเดยนตอไปนแตละมมมขนาดกองศา

1.1 7

12

1.2 13

18

1.3 5

6

1.4 11

24

2. จงหาขนาดของมมตอไปนในหนวยเรเดยน

2.1 35 2.2 110

2.3 63 2.4 246

3. รปสามเหลยมรปหนงมมมสองมมมขนาด 36 และ 4

เรเดยน จงหาขนาดของมมทเหลอ

ในหนวยเรเดยน

4. รปสามเหลยมมมฉากรปหนง มมมหนงมขนาด 55 จงหาขนาดของมมทเหลอในหนวยเรเดยน

5. ถา A มขนาด 12

เรเดยน จงหาคาของ

5.1 cos3A 2cos 4A

sin 3A 2sin 4A

5.2 2cos3A cos 2A

sin 2A 2sin 3A

5.3 tan 2A sec 4A

sec 2A tan 4A

5.4 tan 4A sec3A

sec 4A tan 3A

5.5 cot 3A cos ec 6A

cot 4A cos ec 3A

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

26

สรปสาระส าคญประจ าตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

27

สรปสาระส าคญประจ าตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

28

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

29

เอกสารอางอง

1. ด ารงค ทพยโยธา, เสรมความรมงสโอลมปกคณตศาสตรโลกตรโกณมต,

โรงพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย, 2550.

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

30

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด / เนอหาเพมเตม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

31

แบบฝกหดระคน

1. ก าหนดให cos A = 4

5 และ sin A > 0 จงหาคาของ 5 tan A + 4 sec

2A

ก. 1 ข. 2 ค. 5 ง. 10

2. ก าหนดให sin A = 1

2 และ cos A < 0 จงหาคาของ 3 cosec

2 A – 2 cot

2A

ก. 5

4 ข. 6 ค. 3 ง. 7

4

3. ก าหนดให tan A = 12

5 และ cos A < 0 จงพจารณาวาขอใดตอไปนเปนจรง

ก. sin A + cos A = 17

13 ข. sec A + cos A = 144

65

ค. sec A – cosec A = 91

60 ง. cot A + cosec A =

3

2

4. ขอใดตอไปนไมใชเอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต

ก. sec A + 1 = 2tan A

sec A 1 ข. sin A + cos A =

1

sin A cos A

ค. cosec A – cot A = 1

cos ec A cot A ง. tan A

1cot A

= sec2A

5. จงหาคาของ 5 cos2

3

+ 4

3 sin

2

6

ก. 19

12 ข. 17

12 ค. 5

4 ง. 13

12

6. จงหาคา x ทงหมดทสอดคลองสมการ 2cot x cos ec4 6

x – 48 cos

3

= 0

ก. 4, – 6 ข. – 4, 6 ค. 4, 6 ง. – 4, – 6

7. จงหาผลเฉลยของสมการ tan2 x = 1 cos x

1 sin x

เมอ 0 < x <

ก. 6

ข. 4

ค. 3

ง. 2

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

32

8. จงหามมแหลม A ทท าให sin A cos A – 2

2 sin A – 1

2 cos A +

2

4 = 0

ก. 6

เรเดยน ข. 4

เรเดยน

ค. 3

เรเดยน ง. มค าตอบถกมากกวา 1 ขอ

9. ให ABC เปนรปสามเหลยมมมฉากทม B เปนมมฉาก ถา sin2 A มากกวา cos

2 A อย 1

2

จงหาคาของ tan A

ก. 1 ข. 1

2 ค. 1

3 ง. 3

10. ก าหนดให tan A = a

b จงหาคาของ sin A cos A

sin A cos A

ก. a b

a b

ข. b a

a b

ค. b a

a b

ง. a b

b a

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

33

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

34

เฉลยแบบฝกหด เรอง

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต

2. 32

55 3. 13

6 4. 21

50

5.

ขอ sin A cos A tan A cosec A sec A cot A

5.1 4

5 3

5 4

3

5

4 5

3 3

4

5.2 5

13 12

13 5

12 13

5 13

12 12

5

5.3 15

17

8

17 15

8 17

15 17

8 8

15

5.4 4

5 3

5 4

3 5

4

5

3 3

4

5.5 4

5

3

5 4

3 5

4 5

3 3

4

5.6 4

5 3

5 4

3

5

4 5

3 3

4

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

35

เฉลยแบบฝกหด

เรอง

วงกลมหนงหนวย การวดมม และหนวยของมม

1. 1.1 105 1.2 130 1.3 150 1.4 82 30

2. 2.1 7

36

เรดยน 2.2 11

18

เรดยน 2.3 7

20

เรดยน 2.4 41

30

เรดยน

3. 11

20

เรดยน 4. 7

36

เรดยน

5. 5.1 2 2

2 2 3

5.2 2 2 3

1 2 2

5.3 1 2 3

5

5.4 3 2

3

5.5 0

เฉลยแบบฝกหดระคน

1. ง 2. ข 3. ค 4. ข 5. ก

6. ข 7. ข 8. ง 9. ง 1. ก

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

36

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

37

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

38

เรอง ตอน

ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1

ฟงกชนตรโกณมต 2

ฟงกชนตรโกณมต 3

กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

39

เรอง ตอน

การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1

แนวโนมเขาสสวนกลาง 2

แนวโนมเขาสสวนกลาง 3

การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1

การกระจายสมบรณ 2

การกระจายสมบรณ 3

การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได