เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ราย ... · web...

วชาคณตศาสตรเพมเตม ( ค 30206 )ระดบชนมธยมศกษาปท 6เรอง ทฤษฎกราฟเบองตน

1. กำาเนดทฤษฎกราฟ ( The origin of graph theory )

ครสตศตวรรษท 18 มเมองๆหนงชอ เคอนกสแบรก ( Koningsberg ) ตงอยบนสองฝงของแมนำ$ปรเกล ( Pregel ) ตอม$เปลยนชอเปนค$ลนนกร$ด ( Kalininggrad ) อยในสหภ$พโซเวยตรสเซยท$งด$นตะวนออก ปจจบนเมอสหภ$พโซเวยตถกแบงแยกแลวเมองนสงกดอยกบสหพนธรฐรสเซย เมองเคอนกสแบรกประกอบดวยเก$ะ 2 เก$ะ คอ เก$ะ A และ เก$ะ B ซงเชอมระหว$งเก$ะกบตวเมองดวยสะพ$น 7 แหงดงรป ก

รป ก เนองจ$กช$วเมองมนสยชอบเดนเลน จงตงปญห$เกยวกบก$รเดนขนว$ เปนไปไดหรอไมทคน คนหนงจะเดนข$มสะพ$นทง “ 7 เพยงสะพ$นละหนงครง โดยจะตงตนทไหนและจะสนสดทใดกได ปญห$นไมมใคร”ใหคำ$ตอบได จนกระทงในป ค.ศ. 1736 เลออนฮ$รด ออยเลอร ( Leonhard Euler ) นกคณตศ$สตร ช$วสวสไดใหคำ$ตอบพรอมคำ$

D

C

BA

D

CB

A

อธบ$ยว$ก$รเดนลกษณะดงกล$ว เปนไปไมได เพร$ะก$รทคนคนหนงจะทำ$เชนนนได เข$จะตองเดนม$ทเก$ะ A ( หรอเก$ะ B ) แลวกลบออกไปโดยใชสะพ$นททต$งกนในจำ$นวนครงทเท$กนซงไมอ$จทำ$ได

ถ$คำ$ตอบของออยเลอรมเพยงเท$น ปญห$สะพ$นเคอนกสแบรก คงไมกล$ยเปนปญห$อมตะในวช$คณตศ$สตร แตธรรมช$ตของนกคณตศ$สตรมกไมพอใจเพยงคำ$ตอบเฉพ$ะกรณ เข$มกแสวงห$คำ$ตอบทวไปเพอจะตอบปญห$อนๆทมลกษณะเดยวกนดวย ออยเลอรไดเปลยนรปแบบของปญห$แลวเสนอเปนตวแบบน$มธรรม คอ แทนฝงแมนำ$และเก$ะดวย จดยอด ( vertex หรอ node ) แทนสะพ$นดวยเสนเชอมระหว$ง จดยอด 2 จด เรยกว$ ดาน ( edge หรอ arc ) แผนภ$พนเรยกว$ กราฟ ( ซงแตกตางจากกราฟทแทนฟงกชนของจำานวนจรงในเรขาคณต ) ดงรป ข

รป ข

ตวอยางท 1 สวนส$ธ$รณะแหงหนงมเก$ะอย 2 เก$ะ คอ เก$ะ B และเก$ะ C และมสะพ$นเชอมระหว$ง เก$ะกบฝง A และฝง D ดงรป

A

C

B

D

A

B C

D

A

B C

D

A

BC

D

จงสรางแบบจำาลองดวยกราฟ โดยใหจดยอดแทนเกาะและฝง และเสนเชอมแทนสะพาน

วธทำา จำ$ลองปญห$นดวยกร$ฟ G โดยท จดยอด V(G) = { A , B , C , D }

เสนเชอม E(G) = { AB , AB , AC , BC , BD , DC } แสดงแผนภ$พของกร$ฟ G ไดดงรป

ตวอยางท 2 สวนส$ธ$รณะแหงหนงมเก$ะอย 2 เก$ะ คอ เก$ะ B และเก$ะ C และมสะพ$นเชอมระหว$งเก$ะ กบฝง A และฝง D ดงรป

จงสรางแบบจำาลองดวยกราฟ โดยใหจดยอดแทนเกาะและฝง และเสนเชอมแทนสะพาน

วธทำา จำ$ลองปญห$นดวยกร$ฟ G โดยทจดยอด V(G) = { A , B , C , D }

เสนเชอม E(G) = { AB , AC , BC , BD , DC }แสดงแผนภ$พของกร$ฟ G ไดดงรป

งคขก

DCBA

ABCD

กขคง

ตวอยางท 3 บรษทแหงหนงมตำ$แหนงง$นว$ง 4 ตำ$แหนง คอ A , B , C และ D มผม$สมครง$น 4 คน คอ ก , ข , ค และ ง โดยทแตละคนมคว$มส$ม$รถทำ$ง$นในตำ$แหนงต$งๆดงน

ก มคว$มส$ม$รถทำ$ง$นในตำ$แหนง A ข มคว$มส$ม$รถทำ$ง$นในตำ$แหนง A , B และ D ค มคว$มส$ม$รถทำ$ง$นในตำ$แหนง C และ D ง มคว$มส$ม$รถทำ$ง$นในตำ$แหนง A และ B

บรษทจะจดตำาแหนงงานใหผสมครทงสคนอยางไรโดยทผสมครทกคนสามารถเขาทำางานได

วธทำา จำ$ลองปญห$ดวยกร$ฟ G โดยทV(G) = { A , B , C , D , ก , ข , ค , ง }

E(G) = { ก A , ข A , ข B , ข D , ค C , ค D , ง A , ง B }แสดงแผนภ$พของกร$ฟ G ไดดงรป

จ$กแผนภ$พของกร$ฟ G จะจดง$นใหผสมครทงสคนเข$ทำ$ง$นในทกตำ$แหนงไดดงน

ก ทำ$ง$นในตำ$แหนง A

ข ทำ$ง$นในตำ$แหนง Dค ทำ$ง$นในตำ$แหนง Cง ทำ$ง$นในตำ$แหนง B

แบบฝกทกษะท 1 เรอง กำาเนดทฤษฎกราฟ

1. สวนส$ธ$รณะแหงหนงมเก$ะ A เก$ะ B และเก$ะ C อยกล$งแมนำ$ และมสะพ$นเชอมระหว$ง

เก$ะกบฝง D และฝง E ดงรป

จงสรางแบบจำาลองดวยกราฟ โดยกำาหนดจดยอดแทนเกาะและฝง และเสนเชอมแทนสะพาน

E

D

CBA

2. แดง , ดำ$ , เขยว , ข$ว และ เหลอง สมครเข$ทำ$ง$นในบรษทแหงหนง โดยทบรษทนมตำ$แหนงง$น ว$งอย 5 ตำ$แหนง และบคคลทง 5 คนมคว$มส$ม$รถในก$รทำ$ง$นตำ$แหนงต$งๆดงน

แดง มคว$มส$ม$รถทำ$ง$นในตำ$แหนงท 3 และ 4 ดำ$ มคว$มส$ม$รถทำ$ง$นในตำ$แหนงท 3 เขยว มคว$มส$ม$รถทำ$ง$นในตำ$แหนงท 1 และ 2 ข$ว มคว$มส$ม$รถทำ$ง$นในตำ$แหนงท 4 และ 5 เหลอง มคว$มส$ม$รถทำ$ง$นในตำ$แหนงท 2 และ 5

จงสรางแบบจำาลองดวยกราฟและพจารณาวาเปนไปไดหรอไมทบรษทจะรบบคคลทง 5 คน เขาทำางานในทกตำาแหนง ถาเปนไปได ใครจะทำางานในตำาแหนงใดไดบาง

2. จดยอดและเสนเชอม

ความหมายของกราฟ

บทนยาม กร$ฟ G คอคอนดบ ( V(G) , E(G) ) ประกอบดวย เซตจำ$กด 2 เซต คอ 1. V(G) เปนเซตของจดยอดของ

A

B

C

De4e1 e3e2

e5

e7e6 E

จ$กบทนย$ม กร$ฟจะประกอบไปดวยจดยอดและเสนเชอมเสมอ ซงจดยอดของกร$ฟ ไมเปนเซตว$ง แตเสนเชอมของกร$ฟอ$จจะเปนเซตว$งได

ตวอยางท 1 จ$กกร$ฟ G จงห$ V(G) , E(G)

G

วธทำา จ$กกร$ฟ G จะไดว$ V(G) = { A , B , C , D , E } E(G) = { e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7} หรอ E(G) = { AB , BC , CD , DE , BD , AC , CE }

ตวอยางท 2 จ$กกร$ฟ H จงห$ V(H) , E(H)

H

วธทำา จ$กกร$ฟ H จะไดว$ V(H) = { W , X , O , Y , Z } E(H) = { e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 } หรอ E(H) = { WO , WX , XO , OZ , YZ , YO }หมายเหต

1. ในก$รเขยนแผนภ$พของกร$ฟนน จะกำ$หนดตำ$แหนงของจดยอด ณ ตำ$แหนงใดกได

และล$กเสนเชอมของกร$ฟเปนเสนตรงหรอเสนโคงมคว$มย$วเปนเท$ใดกได เชน

Oe1

e2e3e4

e5

e6ZY

XW

A

e1

e3

B

e2

Ce5e4

De5e4

e3 e2

e1

D C

BA

D C

BA A B

C D

รปท 1 รปท 2 กร$ฟรปท 1 และกร$ฟรปท 2 ถอว$เปน กราฟเดยวกน

2. เสนเชอมสองเสนของกร$ฟอ$จล$กตดกนได โดยทจดตดของเสนทงสองไมถอว$

เปนจดยอดของกร$ฟ เชน กร$ฟ

ซงส$ม$รถเขยนใหมเปน

นกเรยนลองตอบดซว$รปนมจดยอดกจด เสนเชอมกเสน แลวเตมคำ$ตอบลงข$งล$งน

จดยอดม ................จด คอ ...............................................................................................

dc

baA

B

D

C

o

w

x

z

y

A

D

C

B

แบบฝกทกษะท 2เรอง จดยอด และ เสนเชอม

คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณกร$ฟ G V(G) E(G)

ตวอยาง { a , b , c , d }

{ ab , ad , ac , bc , bd , dc }

1.

2.

3.

4.

5.

3. เสนเชอมขนาน และ วงวน

V4 V3

V2V1

V6V5

V1

V2V3

V4

ตวอยางท 1 กำ$หนดกร$ฟดงรป

จ$กรป จะไดว$ 1. เสนเชอม e1 , e2 เปนเสนเชอมขน$น หรอ ด$นซอน 2. เสนเชอม e5 , e6 , e7 เปนเสนเชอมขน$น หรอ ด$นซอน 3. เสนเชอม e8 , e9 เปนวงวน หรอ บวง 4. เสนเชอม e3 , e4 เปนด$นเดยว

ตวอยางท 2 กำ$หนดกร$ฟดงรป

จ$กรป จะไดว$ 1. เสนเชอม e3 , e4 เปนเสนเชอมขน$น หรอ ด$นซอน 2. เสนเชอม e5 , e6 เปนเสนเชอมขน$น หรอ ด$นซอน 3. เสนเชอม e9 เปนวงวน หรอ บวง 4. เสนเชอม e1 , e2 , e7 , e8 เปนด$นเดยว

แบบฝกทกษะท 3เรอง เสนเชอมขนาน และ วงวน

บทนยาม เสนเชอมตงแต 2 เสนทเชอมระหว$งจดยอดคเดยวกนเรยกว$ เสนเชอมขนาน (Parallel edges) เสนเชอมทเชอมจดยอดเพยงจดเดยว เรยกว$ วงวน

e9

e8

A

B

e1 e2 e6C

e3e5

D

e4

e7

e8

e9

C

Ae1

B

e5De4e3

e2

e6

e7

คำาชแจง ใหนกเรยนปฎบตต$มกจกรรมตอไปน1. จ$กกร$ฟตอไปนจงพจ$รณ$ว$ขอคว$มตอไปนถกหรอผด ถ$ถกใหใสเครองหม$ย หน$ขอทถก ถ$ผดใหใสเครองหม$ย หน$ขอทผด

.................1. เสนเชอม e3 , e4 , e5 เรยกว$เสนเชอมขน$น .................2 เสนเชอม e1 , e2 เรยกเสนเชอมขน$น .................3. เสนเชอม e6 , e7 เรยกว$เสนเชอมขน$น .................4. เสนเชอม e3 , e5 เรยกว$วงวน .................5 เสนเชอม e1 , e2 เรยกว$วงวน .................6. เสนเชอม e8 เรยกว$วงวน .................7. เสนเชอม e6 , e7 เรยกว$ด$นเดยว .................8. เสนเชอม e4 เกดกบจดยอด C .................9. เสนเชอม e8 เกดกบจดยอด A ...............10. เสนเชอม e5 เกดกบจดยอด D2. จ$กกร$ฟขอ 1 จงใชตอบคำ$ถ$มพรอมทงบอกเหตผลดงตอไปน 2.1 กร$ฟด$นเดยวคอ ............................................................................................................. เพร$ะ ...................................................................................................................................... 2.2 กร$ฟด$นซอน หรอ เสนเชอมขน$น คอ ......................................................................... เพร$ะ ....................................................................................

e1e7

e4D

e5e3C

e6e2

BAe8

e1 e2 e3 e4

e5

e6 e7A

B C

ED

................................................. 2.3 บวง หรอ วงวน คอ .......................................................................................................... เพร$ะ ......................................................................................................................................

4. จดยอดประชด

ตวอยางท 1 กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$ จดยอดประชด และ เสนเชอมทเกดกบจดยอด A , B , C , D , E

วธทำา จดยอด A ประชดจดยอด B เกดเสนเชอม e1

จดยอด A ประชดจดยอด C เกดเสนเชอม e6

จดยอด B ประชดจดยอด C เกดเสนเชอม e2

จดยอด B ประชดจดยอด D เกดเสนเชอม e5

จดยอด C ประชดจดยอด D เกดเสนเชอม e3

บทนยาม จดยอด u และจดยอด v ของกร$ฟ เปนจดยอดประชด กตอเมอมเสนเชอมระหว$งจดทงสอง เสนเชอม e ของกร$ฟเกดกบ ( incident ) จดยอด v ถ$จดยอด v เปนจดปล$ยจดหนงของ

e8e7

e6

e5e4e3

e2e1

A B

CD

จดยอด C ประชดจดยอด E เกดเสนเชอม e7

จดยอด D ประชดจดยอด E เกดเสนเชอม e4

ตวอยางท 2 กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$ จดยอดประชด และ เสนเชอมทเกดกบจดยอด A , B , C , D

จดยอด A ประชดจดยอด D เกดเสนเชอม e1 , e2

จดยอด A ประชดจดยอด B เกดเสนเชอม e3

จดยอด B ประชดจดยอด C เกดเสนเชอม e4 , e5

จดยอด C ประชดจดยอด D เกดเสนเชอม e6

เสนเชอมทเกดจ$กจดยอด A คอ e7

เสนเชอมทเกดจ$กจดยอด B คอ e8

แบบฝกทกษะท 4เรอง จดยอดประชด

คำาชแจง ใหนกเรยนปฎบตต$มกจกรรมตอไปน

1. จ$กกร$ฟตอไปนจงพจ$รณ$ว$ขอคว$มตอไปนถกหรอผด ถ$ถกใหใสเครองหม$ย หน$ขอทถก ถ$ผดใหใสเครองหม$ย หน$ขอทผด ใชกร$ฟ G ตอบคำ$ถ$มขอ 1 – 5

G

.................1) จดยอด A ประชดกบจดยอด D เพร$ะ ........................................................................ .................2) จดยอด D ประชดกบจดยอด B เพร$ะ ........................................................................ .................3) จดยอด C ประชดกบจดยอด B เพร$ะ ........................................................................ .................4) จดยอด B ประชดกบจดยอด A เพร$ะ .......................................................................

e1e7

e4D

e5e3C

e6e2

BAe8

Ae1

Be5

C

e4

e3e2

e6D

e7

.................5) จดยอด A ประชดกบจดยอด C เพร$ะ .......................................................................

2. จงใชกร$ฟ H ตอบคำ$ถ$มตอไปน

H

1) จดยอด ............. ประชดกบจดยอด ............. เกดเสนเชอม .................................................. 2) จดยอด ............. ประชดกบจดยอด ............. เกดเสนเชอม .................................................. 3) จดยอด ............. ประชดกบจดยอด ............. เกดเสนเชอม .................................................. 4) จดยอด ............. ประชดกบจดยอด ............. เกดเสนเชอม ..................................................

5) จดยอด ............. ประชดกบจดยอด ............. เกดเสนเชอม .................................................. 6) จดยอดประกอบดวย ............................................................................................................. 7) เสนเชอมขน$นหรอด$นซอนประกอบดวย .......................................................................... 8) เสนเชอมด$นเดยวประกอบดวย ........................................................................................... 9) วงวนหรอบวงประกอบดวย ................................................................................................. 10) เสนเชอม e1 , e2 เกดจ$กจดยอด ..........................................................................................

5. ดกรของจดยอด

บทนยาม ดกรของจดยอด V ในกร$ฟ คอจำ$นวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอด V ใชสญลกษณ deg(V) แทนดกรของจด

ED

C

BA

ED

C

BA

A

B C

D

จ$กบทนย$ม จะไดว$ ดกรของจดยอดในกร$ฟกคอ จำานวนเสนทงหมดทตกกระทบกบจดยอดนนๆ กรณเสนเชอมเปนวงวนใหนบเสนเชอมเปน 2 เสน

ตวอยางท 1 กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$ดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟ

วธทำา จ$กบทนย$ม ดกรของจดยอดคอจำ$นวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอดนนๆ ดงนน เสนเชอมทเกดกบจดยอด A คอ AB , AC , AC , AE deg(A) = 4

เสนเชอมทเกดกบจดยอด B คอ BA , BB deg(B) = 3

เสนเชอมทเกดกบจดยอด C คอ CA , CA , CD deg(C) = 3

เสนเชอมทเกดกบจดยอด D คอ DC , DE , DD deg(D) = 4 เสนเชอมทเกดกบจดยอด E คอ EA , ED deg(E) = 2

ตวอยางท 2 กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$ดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟ

A B

CD

วธทำา จ$กบทนย$ม ดกรของจดยอดคอจำ$นวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอดนนๆ ดงนน เสนเชอมทเกดกบจดยอด A คอ AB , AB , AC , AD deg(A) = 4

เสนเชอมทเกดกบจดยอด B คอ BA , BA , BC deg(B) = 3

เสนเชอมทเกดกบจดยอด C คอ CA , CB deg(C) = 2

เสนเชอมทเกดกบจดยอด D คอ DA, DD deg(D) = 3

ตวอยางท 3 กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$ดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟพรอมทงบอกเหตผล

วธทำา จ$กบทนย$ม ดกรของจดยอดคอจำ$นวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอดนนๆ จะไดว$ deg (A) = 4 เพร$ะมเสนเชอมทเกดกบจดยอด A จำ$นวน 4 เสน deg (B) = 4 เพร$ะมเสนเชอมทเกดกบจดยอด B จำ$นวน 4 เสน deg (C) = 4 เพร$ะมเสนเชอมทเกดกบจดยอด C จำ$นวน 4 เสน

E

A

B

C D

FGA

B C

DE

deg (D) = 0 เพร$ะไมมเสนเชอมทเกดกบจดยอด D

ขอตกลง1. ดกรของจดยอดทเปนวงวน จะมดกร

เทากบ 2 เชน ดกรของจดยอด A เทากบ 2 ( deg A = 2 )2. จดยอดทไมมเสนเชอมใหถอวาดกรของจดยอดเปนศนย

แบบฝกทกษะท 6เรอง ดกรของจดยอด

คำาชแจง ใหนกเรยนปฏบตต$มกจกรรมดงตอไปน

1. กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$ดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟ

1) deg ( A ) = ................เพร$ะ................................................... 2) deg ( B ) = ...............เพร$ะ................................................... 3) deg ( C ) = ...............เพร$ะ................................................... 4) deg ( D ) = ................เพร$ะ.................................................. 5) deg ( E ) = ................เพร$ะ...................................................

2. กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$ดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟ

FA

BC

D

E

1) deg ( A ) = ................เพร$ะ................................................... 2) deg ( B ) = ................เพร$ะ................................................... 3) deg ( C ) = ................เพร$ะ................................................... 4) deg ( D ) = ...............เพร$ะ................................................... 5) deg ( E ) = ................เพร$ะ................................................... 6) deg ( F ) = ................เพร$ะ................................................... 7) deg ( G ) = ...............เพร$ะ....................................................

3. กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$ดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟพรอมทงบอกเหตผล

1) deg ( A ) = ....................เพร$ะ...................................................................................................

2) deg ( B ) = ....................เพร$ะ................................................................................................... 3) deg ( C ) = ...................เพร$ะ.................................................................................................... 4) deg ( D ) = ...................เพร$ะ................................................................................................... 5) deg ( E ) = ....................เพร$ะ................................................................................................... 6) deg ( F ) = .....................เพร$ะ..................................................................................................

7. การหาผลรวมของดกรของจดยอด

ED

C

BA

ก$รห$ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟ จะอ$ศยทฤษฎบท ดงตอไปน

พสจน เนองจ$กเสนเชอมแตละเสนในกร$ฟ เกดกบจดยอดเปนจำ$นวนสองครง ดงนน เสนเชอมแตละเสน จะถกนบ 2 ครง ในผลรวมของดกรของจดยอดทกจด นนคอ ผลรวมของดกรของจดยอดทกจด ในกร$ฟเท$กบ สองเท$ของจำ$นวนเสนเชอมในกร$ฟ

ตวอยางท 1 จ$กกร$ฟ G ดงรป จงแสดงว$ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเปนสองเท$ของจำ$นวนเสนเชอมในกร$ฟ

วธทำา จ$กกร$ฟจะไดเสนเชอมทงหมด 8 เสน และ deg ( A ) = 4 , deg ( B ) = 3 , deg ( C ) = 3 , deg ( D ) = 4 , deg ( E ) = 2

ดงนน deg ( A ) + deg ( B ) + deg ( C ) + deg ( D ) + deg ( E ) = 4 + 3 + 3 + 4 + 2 = 16

แสดงว$ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเท$กบ 16 ซงเท$กบสองเท$ของเสนเชอม คอ 2 ( 8 ) = 16

ทฤษฎบทท 1 ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเท$กบสองเท$ของจำ$นวนเสนเชอม ในกร$ฟ

E

D

CB

A

ตวอยางท 2 จ$กกร$ฟ G ดงรป จงห$ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟ G

วธทำา จ$กกร$ฟจะไดเสนเชอมทงหมด 7 เสน และ deg ( A ) = 4 , deg ( B ) = 3 , deg ( C ) = 3 , deg ( D ) = 4 , deg ( E ) = 0

ดงนน deg ( A ) + deg ( B ) + deg ( C ) + deg ( D ) + deg ( E ) = 4 + 3 + 3 + 4 + 0 = 14

ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเท$กบ 14 และผลรวมของดกรของจดยอดทกจดใน กร$ฟเปนสองเท$ของเสนเชอม นนคอ 2 ( 7 ) = 14

ตวอยางท 3 จงห$จำ$นวนจดยอดของกร$ฟทมเสนเชอม 15 เสน และมจดยอด 3 จดทมดกรเท$กบ 4 สวนจดยอดทเหลอมดกรเท$กบ 3

วธทำา ให n เปนจำ$นวนจดยอดทมดกรเท$กบ 3 ดงนน ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟ คอ ( 3 )( 4 ) + ( 3 )( n )

จ$กทฤษฎบท ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเท$กบสองเท$ของเสนเชอมในกร$ฟ

ดงนน ( 3 )( 4 ) + ( 3 )( n ) = ( 2 )( 15 ) 12 + 3n = 30 n = 6

จำ$นวนจดยอดทมดกรเท$กบ 3 มจดยอดทงหมด 6 จด จำ$นวนจดยอดทมดกรเท$กบ 4 มจดยอดทงหมด 3 จด

จำ$นวนจดยอดทงหมดของกร$ฟ คอ 3 + 6 = 9

สรป1.ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟเปนจำานวนค

เสมอ2.จำานวนเสนเชอมในกราฟเทากบครงหนงของผลรวมของด

กรของจดยอดทกจดในกราฟ หรอผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟเปนสองเทาของจำานวนเสนเชอม

แบบฝกทกษะท 7 เรอง ผลรวมของดกรของจดยอด

คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ1. จ$กกร$ฟ G ดงรป จงแสดงว$ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเปนสองเท$ของจำ$นวนเสนเชอมในกร$ฟ

A

B

C

D

E

1) deg ( A ) = ..................................... 2) deg ( B ) = ..................................... 3) deg ( C ) = .....................................

4) deg ( D ) = ..................................... 5) deg ( E ) = .....................................

deg ( A ) + deg ( B ) + deg ( C ) + deg ( D ) + deg ( E ) = ....................................................

ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเท$กบ .................... เสนเชอมมทงหมด .............. เสน ดงนน ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเปน .......................... ของจำ$นวนเสนเชอมในกร$ฟ

2. จ$กกร$ฟ G ดงรป จงห$ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟ

E

F

AB

C

D

1) deg ( A ) = ..................................... 2) deg ( B ) = ..................................... 3) deg ( C ) = ..................................... 4) deg ( D ) = ..................................... 5) deg ( E ) = ..................................... 6) deg ( F ) = ..................................... deg ( A ) + deg ( B ) + deg ( C ) + deg ( D ) + deg ( E ) + deg ( F ) = ....................................................

ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเท$กบ .................... เสนเชอมมทงหมด .............. เสน ดงนน ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเปน..................................ของจำ$นวนเสนเชอมในกร$ฟ หรอ จำ$นวนเสนเชอมในกร$ฟทกเสนเปน............................ของผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟ

3. ถ$กร$ฟมดกรของจดยอด A = 3 , จดยอด B = 2 , จดยอด C = 4 , จดยอด D = 3 แลวเสนเชอมของกร$ฟจะม ........................ เสน

4. ถ$กร$ฟมเสนเชอมทงหมด 14 เสน จะมผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเท$กบ ...................

8. จดยอดค , จดยอดค

ตวอยางท 1 กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$จดยอดค และ จดยอดค

บทนยาม จดยอดทมดกรเปนจำ$นวนค เรยกว$ จดยอดค ( even vertex ) จดยอดทมดกรเปนจำ$นวนค เรยกว$ จด

E

D

CB

A

วธทำา deg ( A ) = 4 , deg ( B ) = 3 , deg ( C ) = 3 , deg ( D ) = 4 , deg ( E ) = 0

ดงนน จดยอดค คอ จดยอด A , D และ E จดยอดค คอ จดยอด B และ C

ตวอยางท 2 กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$จดยอดค และ จดยอดค

วธทำา deg ( A ) = 5 , deg ( B ) = 3 , deg ( C ) = 4 , deg ( D ) = 4 , deg ( E ) = 4 , deg ( F ) = 4

ดงนน จดยอดค คอ จดยอด C , D , E และ F จดยอดค คอ จดยอด A และ B

จ$กตวอย$งท 1 และ 2 ข$งตน

พบว$ กร$ฟมจดยอดคเปนจำ$นวนค ซงเปนไปต$มทฤษฎบท

ตวอยางท 3 ในก$รประชมคณะกรรมก$รนกเรยนซงประกอบดวย ประธ$น , รองประธ$น , เหรญญก,

D

CB

A

FE

ทฤษฎบทท 2 ทกกราฟจะมจดยอดคเปนจำานวนค

ปฏคม และ เลข$นก$ร โดยกำ$หนดว$ ใหคณะกรรมก$รจบมอกนดงน ประธ$นจบมอกบเพอน 4 ครง ,รองประธ$นจบมอกบเพอน 3 ครง , เหรญญกจบมอกบเพอน 3 ครง , ปฏคมจบมอกบเพอน 4 ครง ,เลข$นก$รจบมอกบเพอน 2 ครง จงพจ$รณ$ว$เปนไปไดหรอไมทคณะกรรมก$รนกเรยนจะจบมอทกท$ยกนต$มทกำ$หนด

วธทำา แปลงปญห$ใหเปนกร$ฟ โดยใหจดยอดแทน ประธ$น , รองประธ$น , เหรญญก , ปฏคม และเลข$นก$ร เสนเชอมแทนก$รจบมอทกท$ยของคณะกรรมก$รนกเรยน จะไดว$

กร$ฟนมจดยอด 5 จด โดยให A แทน ประธ$น , B แทน รองประธ$น , C แทน เหรญญก , D แทน ปฏคม และ E แทน เลข$นก$ร

ดงนน จดยอด A มดกรเท$กบ 4 จดยอด B มดกรเท$กบ 3 จดยอด C มดกรเท$กบ 3 จดยอด D มดกรเท$กบ 4 จดยอด E มดกรเท$กบ 2

จะเหนว$ กร$ฟมจดยอดคเปนจำ$นวนค สอดคลองกบทฤษฎบท ดงนน คณะกรรมก$รนกเรยนจะจบมอทกท$ยกนไดต$มทกำ$หนด

A

D

EC

B

แบบฝกทกษะท 8เรอง จดยอดค และ จดยอดค

คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ

1. กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$จดยอดค และ จดยอดค

จ$กกร$ฟ จดยอดค คอ .......................................................................................... จดยอดค คอ ..........................................................................................

2. กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$จดยอดค และ จดยอดค

จ$กกร$ฟ จดยอดค คอ ........................................................................................ จดยอดค คอ

E

A

B

C D

GF

A

DE

CB

.............................................................................

...........

3. จงพจ$รณ$ว$เปนไปไดหรอไมทตำ$บลหนงม 5 หมบ$น โดยม 3 หมบ$นซงแตละหมบ$น มถนนเชอมหมบ$นอนเพยง 3 ส$ย , ม 1 หมบ$นทมถนนเชอมกบหมบ$นอนเพยง 2 ส$ย และม 1 หมบ$นมถนนเชอมกบหมบ$นทเหลอทกหมบ$น

วธทำ$ ……..……………………………………………………………………………………………..… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………...

9. แนวเดน

บทนยาม ให u และ v เปนจดยอดของกร$ฟ แนวเดน u – v ( u – v walk ) คอลำ$ดบจำ$กด

ของจดยอดและเสนเชอมสลบกน u = u0 , e , u1 , e2 , u 2 , e3 ,… , u n - 1 , en ,

un = v โดยเรมตนทจดยอด u และสนสดทจดยอด v และ

e5e4

e3e2e1

A

B

C

D

ตวอยางท 1 กำ$หนดกร$ฟ G ดงรป จงห$แนวเดน A – C , D – B

เพอคว$มสะดวกจะเขยนเสนท$ง จ$ก A – C ดวยลำ$ดบของจดยอดและเสนเชอม

จ$กบทนย$ม จะไดแนวเดน A – C ดงน เสนทางท 1 A , e1 , B , e2 , A , e5 , D , e4 , C หรอ A , B , A , D , C เสนทางท 2 A , e1 , B , e3 , C หรอ A , B , C เสนทางท 3 A , e5 , D , e4 , C หรอ A , D , C

แนวเดน D – B มดงน เสนทางท 1 D , e5 , A , e1 , B หรอ D , A , B เสนทางท 2 D , e5 , A , e2 , B หรอ D , A , B เสนทางท 3 D , e4 , C , e3 , B หรอ D , C , B

ตวอยางท 2 กำ$หนดกร$ฟ G ดงรป จงห$แนวเดน B – D , C – E

A

B

C

DE

เพอคว$มสะดวกจะเขยนเสนท$ง จ$ก B – D ดวยลำ$ดบของจดยอดและเสนเชอม

จ$กบทนย$ม จะไดแนวเดน B – D ดงน เสนทางท 1 B , A , E , D เสนทางท 2 B , A , C , D เสนทางท 3 B , C , A , E , D เสนทางท 4 B , C , A , D เสนทางท 5 B , C , D เสนทางท 6 B , A , D

จ$กบทนย$ม จะไดแนวเดน C – E ดงน เสนทางท 1 C , B , A , D , E เสนทางท 2 C , B , A , C , D , A , E เสนทางท 3 C , B , A , C , D , E เสนทางท 4 C , D , A , E เสนทางท 5 C , B , A , E เสนทางท 6 C , A , D , E เสนทางท 7 C , D , E

หมายเหต สำ$หรบกร$ฟใดๆทไมมเสนเชอมขน$นและไมมวงวนอ$จเขยนแนวเดนดวยลำ$ดบของจดยอด เชน ในตวอย$งท 1 แนวเดน A – C ส$ม$รถเขยนแทนไดดวย A , B , C

e5 Ee6

e9e8 e7e4

e3

e2 e1

FD

C

B

A

แบบฝกทกษะท 9 เรอง แนวเดน

คำาชแจง จ$กกร$ฟจงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ

G

1. แนว เดน A – D คอ ........................................................ หรอ ......................................... 2. แนวเดน B – E คอ ........................................................ หรอ ......................................... 3. แนวเดน A – C คอ ........................................................ หรอ ......................................... 4. แนวเดน B – D คอ ........................................................ หรอ ......................................... 5. แนวเดน B – F คอ ........................................................ หรอ .........................................

2. จ$กกร$ฟ G แนวเดนทกำ$หนดใหจงบอกว$เปนแนวเดนของวถอะไร

e5 Ee6

e9e8 e7e4

e3

e2 e1

FD

C

B

A

6. แนวเดน C , e8 , F , e5 , A , e1 , E เปนแนวเดนของ .......................................................... 7. แนวเดน F , e8 , C , e3 , B , e4 , C , e9 , D เปนแนวเดนของ ............................................. 8. แนวเดน E , e7 , D , e9 , C , e8 , F , e5 , A เปนแนวเดนของ ............................................. 9. แนวเดน F , e5 , A , e1 , E , e7 , D , e9 , C เปนแนวเดนของ .............................................. 10. แนวเดน D , e7 , E , e1 , A , e2 , B , e3 , C เปนแนวเดนของ ................................

10. กราฟเชอมโยง

จ$กบทนย$มจะไดว$ กราฟทจะเปนกราฟเชอมโยง จะตองมแนวเดนระหวางจดยอดทกจดในกราฟ

ตวอยางท 1 จ$กกร$ฟทกำ$หนดใหเปนกร$ฟเชอมโยงหรอไม เพร$ะเหตใด

บทนยาม กร$ฟ G เรยกว$ กร$ฟเชอมโยง ( connected graph ) กตอเมอ สำ$หรบ จดยอด u และ v ทเปนจดยอดต$งกน

E

DC

BA

เปนกร$ฟเชอมโยง เพร$ะว$ มแนวเดน A – C , มแนวเดน B – D มแนวเดน A – E , มแนวเดน D – E เปนตน

ตวอยางท 2 จ$กกร$ฟทกำ$หนดใหเปนกร$ฟเชอมโยงหรอไม เพร$ะเหตใด

เปนกร$ฟเชอมโยง เพร$ะว$ มแนวเดน A – D , มแนวเดน A – E มแนวเดน A – C , มแนวเดน B – D มแนวเดน B – E , มแนวเดน E – D เปนตนตวอยางท 3 จ$กกร$ฟทกำ$หนดใหเปนกร$ฟเชอมโยงหรอไม เพร$ะเหตใด

ไมเปนกร$ฟเชอมโยง เพร$ะว$ ไมมแนวเดน A – E , ไมมแนวเดน B – E

E

D

C

BA

ED C

BA

ไมมแนวเดน C – E , ไมมแนวเดน D – E

ตวอยางท 4 กำ$หนดข$ยง$นก$รเชอมโยงระหว$งเส$ไฟฟ$และส$ยไฟฟ$ในอำ$เภอภก$มย$ว ดงรป ถ$เกดเหตก$รณเส$ไฟฟ$ตนหนงลมแลว จงห$ว$เส$ไฟฟ$ตนใดเมอลมแลวจะทำ$ใหกร$ฟเชอมโยงของข$ยง$นเสยห$ยม$กทสด

วธทำา แปลงปญห$ข$งตนเปนกร$ฟ โดยใหจดยอดแทนเส$ไฟฟ$ เสนเชอมแทนส$ยไฟฟ$ดงรป

จ$กกร$ฟจะพบว$ ถ$ลบจดยอด 3 ( บ$นเจน ) ออกเสนทเกดกบจดยอด 3 ( บ$นเจน ) จะถกลบออกดวย ดงนน กร$ฟทเกดจ$กก$รลบจดยอด 3 ( บ$นเจน ) ออก จะไมเปนกร$ฟเชอมโยง ดงรป

ถ$ลบจดยอดอน เชน จดยอด 1 หรอ จดยอด 2 หรอ จดยอด 4 หรอ จดยอด 5 หรอ จดยอด 6 ออกจ$กกร$ฟ กร$ฟทเกดจ$กก$รลบจดยอดดงกล$ว ยงคงเปนกร$ฟเชอมโยง

65

43

2

1

6

4

5

2

1

6 บานกวาน 5 บานดอกบว

4 บานสนปากอก3 บานเจน

2 บานรอง1 บานรองปอ

ดงนน เส$ไฟฟ$ท 3 (บ$นเจน) จงเปนเส$ไฟฟ$ทสำ$คญทสด เพร$ะถ$เส$ไฟฟ$ท 3 (บ$นเจน) ลม จะทำ$คว$มเสยห$ยม$กกว$เส$ไฟฟ$ตนอนลม

แบบฝกทกษะท 10เรอง กราฟเชอมโยง

คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ

1. กร$ฟตอไปนเปนกร$ฟเชอมโยงหรอไม เพร$ะเหตใด1) ตอบ ................................................................................... เพร$ะ .................................................................................. ................................................................................... .................................................................................... 2) ตอบ ................................................................................... เพร$ะ .................................................................................. ................................................................................... .................................................................................... 3) ตอบ ................................................................................... เพร$ะ .................................................................................. ................................................................................... .................................................................................... 4) ตอบ ................................................................................... เพร$ะ .................................................................................. .....

D

C B

A

FEBA

FDC

B

A

E

D C

BA

.............................................................................. ....................................................................................

5) ตอบ ................................................................................... เพร$ะ .................................................................................. ................................................................................... ....................................................................................

2. กำ$หนดข$ยง$นก$รเชอมโยงระหว$งเส$โทรศพทและส$ยโทรศพทในเขตอำ$เภอแหงหนง ดงรป

ถ$เกดเหตก$รณเส$โทรศพทตนหนงลมแลว จงห$ว$เส$โทรศพทตนใดเมอลมแลวจะทำ$ใหกร$ฟ เชอมโยงของข$ยง$นเสยห$ยม$กทสด

วธทำ$

E

D

C

BA

6

5

43

21

11. วถออยเลอร

ตวอยางท 1 จ$กกร$ฟทกำ$หนดให จงห$วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 และวถออยเลอรย$วเท$กบ 4

วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 คอ A , E , D , C หรอ A , F , C , D หรอ E , F , C , D หรอ B , C , D , E หรอ B , C , F , A หรอ D , C , F , E เปนตน

วถออยเลอรย$วเท$กบ 4 คอ A , B , C , D , E หรอ A , F , E , D , C หรอ A , E , D , C , B หรอ E , F , C , B , A หรอ F , C , B , A , E เปนตน

B

C D

F

EA

ตวอยางท 2 จ$กกร$ฟทกำ$หนดให จงห$วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 จ$ก A – D และ วถออยเลอรย$วเท$กบ 4 จ$ก B – E

วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 จ$ก A – D คอ A , B , C , D หรอ A , C , E , D หรอ A , E , C , D

วถออยเลอรย$วเท$กบ 4 จ$ก B – E คอ B , A , C , D , E หรอ B , C , A , D , C

หรอ B , C , D , A , E

ตวอยางท 3 จ$กกร$ฟทกำ$หนดให จงห$วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 จ$ก B – E และ วถออยเลอรย$วเท$กบ 4 จ$ก C – A

วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 จ$ก B – E คอ B , A , D , E หรอ B , C , D , E หรอ B , D , A , E

วถออยเลอรย$วเท$กบ 4 จ$ก C – A คอ C , B , D , E , A หรอ C , D , B , E , A

E D

C

B

A

E DC

BA

หรอ C , B , E , D , A หรอ C , D , E , B , A

แบบฝกทกษะท 11เรอง วถออยเลอร

คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ

1. จ$กกร$ฟทกำ$หนดให จงห$วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 และวถออยเลอรย$วเท$กบ 4

E

D C

BA

1) วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 จ$ก A – C คอ.............................................................................

2) วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 จ$ก E – B คอ ............................................................................

3) วถออยเลอรย$วเท$กบ 4 จ$ก B – D คอ ...........................................................................

4) วถออยเลอรย$วเท$กบ 4 จ$ก B – A คอ ...........................................................................

2. จ$กกร$ฟทกำ$หนดให จงห$วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 และวถออยเลอรย$วเท$กบ 4

1) วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 จ$ก D – A คอ ...............................................................................

2) วถออยเลอรย$วเท$กบ 4 จ$ก E – D คอ ................................................................................

3) วถออยเลอรย$วเท$กบ 4 จ$ก F – C คอ ...............................................................................

4) วถออยเลอรย$วเท$กบ 4 จ$ก C – B คอ ...............................................................................

3. จงเขยนกร$ฟทมจดยอด 5 จด แลวห$วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 , ย$วเท$กบ 4 และ

GF

A

DE

CB

ย$วเท$กบ 5 ม$อย$งนอย 2 ตวอย$ง

12. วงจรออยเลอร

บทนยาม วงจร ( circuit ) คอ แนวเดนทเสนเชอมทงหมดแตกต$งกน โดยมจดยอดเรมตน และจดสดท$ยเปนจดเดยวกน

ตวอยางท 1 จงเขยนวงจรจำ$นวน 4 วงจร จ$กกร$ฟทกำ$หนดใหตอไปน

วธทำา จ$กบทนย$ม ส$ม$รถเขยนวงจรจ$กกร$ฟไดดงนวงจรท 1 A , B , C , D , Aวงจรท 2 E , C , B , A , Eวงจรท 3 D , E , A , B , C , Dวงจรท 4 C , B , A , D , C

วงจรออยเลอร

ตวอยางท 2 จงห$วงจรออยเลอรจ$กกร$ฟทกำ$หนดให

วธทำา

บทนยาม วงจรออยเลอร ( Euler circuit ) คอ วงจรทผ$นจดยอดทกจด

E D

C

B

A

g f

e

dc

b

a

ขนตอนการหาวงจรออยเลอร 1. เรมตนดวยวงจรเลกๆ เชน e , c , d , e 2. ในวงจร C เลอกจดยอดทเชอมตอกบจดยอดอน โดยใชด$นทนอกเหนอจ$กวงจร C และสร$งวงจรใหม จ$กนนนำ$ไปแทรกในวงจรเดม เชน ในทนมจด c ทเชอมตอกบจดยอดอนดวยด$นนอกวงจร แลวสร$งวงจร C : c , f , g , a , b , c จ$กนนนำ$วงจร C ม$แทรกใน C ในตำ$แหนงของจด c ซงจะไดวงจรทขย$ยใหญขน นนคอ e , c , f , g , a , b , c , d , e 3. ทำ$เชนเดยวกบขอท 2 จนด$นถกใชทกด$นเพยงครงเดยว กจะไดวงจรออยเลอรของกร$ฟทตองก$ร ซงเขยนเปนแผนภ$พแสดงก$รห$วงจรออยเลอรไดดงน C : e , c , d , e C : c , f , g , a , b , c เมอรวมกนจะได e , c , f , g , a , b , c , d , e ดงนนจะไดว$ วงจรออยเลอร คอ e , c , f , g , a , b , c , d , e

ตวอยางท 3 กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$วงจรออยเลอร

วธทำา C : e , c , d , e C : c , f , a , g , c เมอรวมกนจะได e , c , f , a , g , c , d , e

a

b

cd

e

fg

C : c , b , a , c เมอรวมกนจะได e , c , b , a , c , f , a , g , c , d , e C : b , g , f , b เมอรวมกนจะได e , c , b , g , f b , a , c , f , a , g , c , d , e ดงนนวงจรออยเลอร คอ e , c , b , g , f b , a , c , f , a , g , c , d , e

ตวอยางท 4 จ$กกร$ฟทกำ$หนดให จงห$วงจรออยเลอรม$ 3 วงจร

วธทำา จ$กบทนย$มของวงจรออยเลอร ส$ม$รถเขยนวงจรออยเลอรจ$กกร$ฟไดดงน

C : A , B , C , A C : B , D , A , E , B เมอรวมกนจะได A , B , D , A , E , B , C , A C : A , E , F , A เมอรวมกนจะได A , B , D , A , E , F , A , E , B , C , A

ดงนนวงจรออยเลอร คอ A , B , D , A , E , F , A , E , B , C , A หรอ C : A , E , F , A C : E , B , D , A , E เมอรวมกนจะได A , E , B , D , A , E , F , A

F

E DC

BA

C : B , C , A , B เมอรวมกนจะได

A , E , B , C , A , B , D , A , E , F , Aดงนนวงจรออยเลอร คอ A , E , B , C , A , B , D , A , E , F ,

A หรอC : B , C , A , B

C : A , E , F , A เมอรวมกนจะได B , C , A , E , F , A , B C : E , B , D , A , E เมอรวมกนจะได

B , C , A , E , B , D , A , E , F , A , Bดงนนวงจรออยเลอร คอ B , C , A , E , B , D , A , E , F , A ,

B

จากบทนยามของวงจรออยเลอรและตวอยางท 4 พอจะสรปสมบตของวงจรออยเลอรไดดงน

สมบตของวงจรออยเลอร มดงน1.แนวเดนผานเสนเชอมทกเสนของ

กราฟ2.แนวเดนจะตองไมผานเสนเชอมใด

เกนหนงครง3.มจดเรมตนและจดสนสดเปนจด

เดยวกน

แบบฝกทกษะท 12เรอง วงจรออยเลอร

คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ

1. จงเขยนวงจรจ$กกร$ฟทกำ$หนดใหม$ 3 วงจร

วงจรท 1. ……………………………………………………………………………… วงจรท 2. ……………………………………………………………………………… วงจรท 3. ………………………………………………………………………………

E

D

C

B

A

2. จงเขยนวงจรออยเลอรจ$กกร$ฟทกำ$หนดใหม$ 3 วงจร

วงจรท 1. …………………………………………………………………………… วงจรท 2. …………………………………………………………………………… วงจรท 3. ……………………………………………………………………………

3. จงเขยนกร$ฟทมจดยอด 4 จด พรอมทงห$วงจรและวงจรออยเลอรม$อย$งนอยอย$งละ 3 วงจร

D C

BA

13. กราฟออยเลอร

บทนยาม กร$ฟทมวงจรออยเลอร เรยกว$กร$ฟออยเลอร ( Eulerian graph )

จ$กบทนย$ม กร$ฟออยเลอรจะเปนกร$ฟเชอมโยงเสมอ เพร$ะว$ ถ$ u และ v เปนจดยอดสองจด ทแตกต$งกนบนกร$ฟออยเลอร แลวสวนของวงจรออยเลอรทเชอม u และ v จะเปนแนวเดน u – v

ตวอยางท 1 จงพจ$รณ$ว$กร$ฟ G เปนกร$ฟออยเลอรหรอไม

G

วธทำา เนองจ$กกร$ฟ G มแนวเดน A , B , C , D , E , C , E , F , B , F , A เปนวงจรออยเลอร

ดงนน กร$ฟ G จงเปนกร$ฟออยเลอร

ตวอยางท 2 จงพจ$รณ$ว$กร$ฟ G เปนกร$ฟออยเลอรหรอไม

G

วธทำา จ$กบทนย$มของกร$ฟออยเลอร ไมมแนวเดนใดในกร$ฟ G เปนวงจรออยเลอร

ดงนน กร$ฟ G จงไมเปนกร$ฟออยเลอร ในก$รตรวจสอบว$กร$ฟใดๆจะเปนกร$ฟออยเลอรหรอไมนน

นอกจ$กตรวจสอบดวยวงจรออยเลอรแลว ยงมวธก$รตรวจสอบอกโดยใชทฤษฎบท 3 ดวย

ตวอยางท 3 จงพจ$รณ$ว$กร$ฟ G1 , G2 และ G3 เปนกร$ฟออยเลอรหรอไม ถ$เปนจงห$วงจรออยเลอร

HG

F E

CB

DA

B

E

DA

F

C

ทฤษฎบท 3 กำ$หนดให G เปนกร$ฟเชอมโยง G จะเปนกร$ฟออยเลอร กตอเมอ จดยอดทก

E D

C

B

A

D C

BA D

CB

A

G1 G2 G3

วธทำา กร$ฟ G1 เปนกร$ฟออยเลอร เพร$ะจดยอดทกจดของ G1 เปน

จดยอดค ซงมวงจรออยเลอร แทนดวยลำ$ดบของจดยอดดงน A , B , C , D , E , A , C , D , E , A

กร$ฟ G2 ไมเปนกร$ฟออยเลอร เพร$ะมจดยอด A มดกรเท$กบ 3 และจดยอด D มดกรเท$กบ 3

กร$ฟ G3 ไมเปนกร$ฟออยเลอร เพร$ะมจดยอด B มดกรเท$กบ 3 และจดยอด D มดกรเท$กบ 1

แบบฝกทกษะท 13 เรอง กราฟออยเลอร

คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ

จงพจารณาวากราฟทกำาหนดใหเปน หรอ ไมเปนกราฟออยเลอร เพราะเหตใด ถาเปน

กราฟออยเลอรใหเขยนวงจรออยเลอรลงในตารางทกำาหนดใหกร$ฟทกำ$หนดให เปน ไม เหตผล วงจรออย

สรป1.กราฟออยเลอรจะเปนกราฟเชอมโยงเสมอ2.การตรวจสอบวากราฟใดเปนออยเลอรนน

ใหดวาจดยอดทกจดในกราฟตองเปนจดยอดค

E

D

CB

A

F

ED

C

B

A

ED

C

B

A

F E

D

C

B

A

F

E D

C

BA

เปน เลอร1.

2.

3.

4.

5.

14. คานำาหนกของเสนเชอม

บทนยาม ค$นำ$หนก ( weight ) ของเสนเชอม e คอจำ$นวนทไมเปนลบทกำ$หนดใหบนเสนเชอม e

จ$กบทนย$ม จะไดว$ ค$นำ$หนกของเสนเชอมใดๆในกร$ฟกคอ จำ$นวนบวกทเขยนกำ$กบไวบน เสนเชอมนนเอง

ตวอยางท 1 จงห$ค$นำ$หนกของเสนเชอมแตละเสนจ$กกร$ฟตอไปน

วธทำา จ$กบทนย$ม ค$นำ$หนกของเสนเชอมจะไดว$เสนเชอม AB มค$นำ$หนกเท$กบ 6เสนเชอม AC มค$นำ$หนกเท$กบ 3เสนเชอม BC มค$นำ$หนกเท$กบ 4เสนเชอม AE มค$นำ$หนกเท$กบ 3เสนเชอม DE มค$นำ$หนกเท$กบ 2เสนเชอม AD มค$นำ$หนกเท$กบ 5เสนเชอม DC มค$นำ$หนกเท$กบ 2

ตวอยางท 2 จงเขยนกร$ฟ G เมอกำ$หนดใหมจดยอดคอ V(G) = { V , V , V , V } และเสนเชอมE(G) = { V V , V V 3 , V V , V V 2 , V 2 V , V V , V V } โดยทค$นำ$หนกของ V V , V V , V V , V V , V V , V V , V V เปน 4 , 3 , 2 , 3 , 4 , 5 , 2 ต$มลำ$ดบวธทำา จ$กโจทยจะไดว$

ค$นำ$หนกของเสนเชอม V V = 4

4

6

2 2

35

3E

D

CB

A

ค$นำ$หนกของเสนเชอม V V 3 = 3ค$นำ$หนกของเสนเชอม V V = 2ค$นำ$หนกของเสนเชอม V V 2 = 3ค$นำ$หนกของเสนเชอม V 2 V = 4ค$นำ$หนกของเสนเชอม V V = 5ค$นำ$หนกของเสนเชอม V V = 2ซงเขยนกร$ฟไดดงน

กราฟถวงนำาหนกจ$กคว$มรเรองค$นำ$หนกของเสนเชอมในกร$ฟ ส$ม$รถสรปบทนย$ม

ของกร$ฟถวงนำ$หนกไดดงน

ตวอยางท 3 จงพจ$รณ$ว$กร$ฟทกำ$หนดใหเปนกร$ฟถวงนำ$หนกหรอไม เพร$ะเหตใด

54

4

3

3

22V4

V3

V2

V1

บทนยาม กร$ฟถวงนำ$หนก ( weighted graph ) คอกร$ฟทเสนเชอมทกเสนมค$นำ$หนก

4

4

2 22 2D C

BA

4

43

322D C

BA

3 3

13 32 2

2

22

2

2

HGFE

DC

BA

G1 G2 G3

วธทำา G1 เปนกร$ฟถวงนำ$หนก เพร$ะ เสนเชอมทกเสนมค$นำ$หนก G2 ไมเปนกร$ฟถวงนำ$หนก เพร$ะ เสนเชอม AB อก 1 เสนไมมค$นำ$หนก G3 ไมเปนกร$ฟถวงนำ$หนก เพร$ะ เสนเชอม GG ไมมค$นำ$หนก

แบบฝกทกษะท 14เรอง คานำาหนกของเสนเชอม

คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ

1. จ$กกร$ฟ จงห$

1) ค$นำ$หนกของ AB เท$กบ ............................................. 2) ค$นำ$หนกของ BC เท$กบ ............................................. 3) ค$นำ$หนกของ CD เท$กบ ............................................. 4) ค$นำ$หนกของ DE เท$กบ ............................................. 5) ค$นำ$หนกของ EF เท$กบ ............................................. 6) ค$นำ$หนกของ CE เท$กบ ............................................. 7) ค$นำ$หนกของ FC เท$กบ ............................................. 8) ค$นำ$หนกของ AF เท$กบ .............................................

2. จงยกตวอย$งกร$ฟถวงนำ$หนกม$ 2 ตวอย$งพรอมทงบอกค$นำ$หนก...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

D76

5

2

1

3 34

F

E

CB

A

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................

...........................................................

........................................................................................

.................................................................................

15. วถทสนทสด

จดประสงคการเรยนร ห$วถทสนทสดในกร$ฟถวงนำ$หนก และนำ$ไปใชได

สาระสำาคญ วถทสนทสดเปนวถทมผลรวมของค$นำ$หนกของเสนทกเสนในวถนนมค$นอยทสด

สาระการเรยนร วถทสนทสด

บทนยาม จ$กจดยอด A ถงจดยอด Z ในกร$ฟถวงนำ$หนกคอวถ A – Z ทผลรวมของค$ นำ$หนกของเสนเชอมทกเสนในวถ A – Z นอยทสด

จ$กบทนย$มสรปไดว$ วถทสนทสด คอ แนวเดนทมผลรวมของค$นำ$หนกของ เสนเชอมในแนวเดน ( วถ )นนมค$นอยทสด

ตวอยางท 1 จ$กกร$ฟ G ดงรป จงห$วถ A – F ทสนทสด

วธทำา วถท 1 คอ A , B , F มผลรวมค$นำ$หนกเท$กบ 2 + 5 = 7 วถท 2 คอ A , B , C , F มผลรวมค$นำ$หนกเท$กบ 2 + 3 + 1 = 6 วถท 3 คอ A , B , C , D , E , F มผลรวมค$นำ$หนกเท$กบ 2 + 3 + 2 + 4 + 5 = 16 วถท 4 คอ A , D , C , F มผลรวมค$นำ$หนกเท$กบ 2 + 2 + 1 = 5 วถท 5 คอ A , D , E , F มผลรวมค$นำ$หนกเท$กบ 2 + 4 + 5 = 11 วถท 6 คอ A , D , C , B , F มผลรวมค$นำ$หนกเท$กบ 2 + 2 + 3 + 5 = 12

ดงนนวถ A , D , C , F เปนวถทสนทสด มค$นำ$หนกเท$กบ 5

5

5

4

32

2 21

F

ED

C

B

A

ตวอยางท 2 ในตำ$บลๆหนงมหมบ$นอย 6 หมบ$น คอ หมบ$น A , B , C , D , E , F และมถนนเชอม หมบ$น A กบหมบ$น C ย$ว 3 กโลเมตร , หมบ$น C กบหมบ$น E ย$ว 4 กโลเมตร , หมบ$น E กบ หมบ$น B ย$ว 3 กโลเมตร , หมบ$น A กบหมบ$น D ย$ว 1 กโลเมตร , หมบ$น D กบหมบ$น F ย$ว 6 กโลเมตร , หมบ$น D กบหมบ$น E ย$ว 7 กโลเมตร , หมบ$น F กบหมบ$น E ย$ว 1 กโลเมตร และหมบ$น B กบหมบ$น F ย$ว 2 กโลเมตร จงห$ระยะท$งทสนทสดจ$กหมบ$น A ไปยงหมบ$น B

วธทำา แปลงปญห$ใหเปนกร$ฟ โดยใหจดยอดแทนเมอง เสนเชอมแทนถนน และค$นำ$หนกของเสนเชอมแทนระยะท$งระหว$งหมบ$น ( หนวยเปนกโลเมตร ) จะไดกร$ฟดงรป

76

3

32

1 1F

E

D

C

B

A4

วถท 1 คอ A , C , E , B มระยะท$งจ$กเมอง A ไปยงเมอง B ย$วเท$กบ 3 + 4 + 3 = 10 กม.วถท 2 คอ A , C , E , F , B มระยะท$งจ$กเมอง A ไปยงเมอง B ย$วเท$กบ 3 + 4 + 1 + 2 = 10 กม.วถท 3 คอ A , D , E , B มระยะท$งจ$กเมอง A ไปยงเมอง B ย$วเท$กบ 1 + 7 + 3 = 11 กม.วถท 4 คอ A , D , E , F , B มระยะท$งจ$กเมอง A ไปยงเมอง B ย$วเท$กบ 1 + 7 + 1 + 2 = 11 กม.วถท 5 คอ A , D , F , B มระยะท$งจ$กเมอง A ไปยงเมอง B ย$วเท$กบ 1 + 6 + 2 = 9 กม.วถท 6 คอ A , D , F , E , B มระยะท$งจ$กเมอง A ไปยงเมอง B ย$วเท$กบ 1 + 6 + 1 + 3 = 11 กม. ดงนนวถท 5 คอ A , D , F , B เปนวถทสนทสดจากเมอง A ไปยงเมอง B ซงมระยะทางเทากบ 9 กม.

แบบฝกทกษะท 14เรอง วถทสนทสด

จดประสงคการเรยนรห$วถทสนทสดในกร$ฟถวงนำ$หนก และนำ$ไปใชได

คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ

ใชกร$ฟ G ตอบคำ$ถ$มขอ 1 – 3

1. จงเตมคำ$ตอบลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ 1) จำ$นวนวถทงหมดจ$ก A – B เท$กบ ......................... วถ 2) วถ A – B ไดแก ........................................................................................................................ 3) วถ A – B ทสนทสดคอ.............................................................................................................. 4) วถ A – B ทมผลรวมของค$นำ$หนกม$กทสดคอ........................................................................ 5) วถ A – V2 มทงหมด ..............วถไดแก...................................................................................... 6) วถ A – V2 ทสนทสดคอ............................................................................................................. 2. ใหนกเรยนพจ$รณ$วถ V1 – V4 แลวจบควถ กบ จำ$นวนตอไปน 1) วถทงหมดของ V1 – V4 ก. 4 2) วถทสนทสดของ V1 – V4 ข. 5 3) วถทย$วทสดของ V1 – V4 ค. 12

5

5

33

4 211BA

V4

V3

V2V1

4) วถทย$วเท$กนของ V1 – V4 ง. 13 5) วถทใชเสนเชอมเท$กบ 3 เสนย$วเท$กบ จ. 15

3. จงพจ$รณ$ว$ขอคว$มตอไปนถกหรอผด ถ$ถกใหใสเครองหม$ย หน$ขอทถก ถ$ผดใหใสเครองหม$ย x หน$ขอทผด .............. 1. วถ V2 – V4 มทงหมด 5 วถ .............. 2. วถทสนทสดของ V2 – V4 คอวถ V2 , V3 , A , V4 ……….. 3. วถทมผลรวมของค$นำ$หนกม$กทสดคอ V2 , V1 , A , V3 , B , V4 ……….. 4. มวถทสนทสดทย$วเท$กนของวถ V2 – V4 ……….. 5. ผลรวมของค$นำ$หนกทสนทสดของ V2 – V4 คอย$วเท$กบ 6 ……….. 6. ผลรวมของค$นำ$หนกทม$กทสดของ V2 – V4 คอย$วเท$กบ 15

เอกสารประกอบการเรยนท 15 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม ( ค 41202 )

ระดบชนมธยมศกษาปท 4เรอง วฎจกร

จดประสงคการเรยนร

ห$วฎจกรจ$กกร$ฟทกำ$หนดใหได

สาระสำาคญ วฎจกรเปนวงจรทไมมจดยอดซำ$กน ยกเวนจดยอดเรมตนและจดสดท$ย

สาระการเรยนร วฎจกร

บทนยาม วฎจกร คอ วงจรทไมมจดยอดซำ$กน ยกเวนจดเรมตนและจดสดท$ย

e3 e4e2e1

e6e7 EDCB

A

e5

ตวอยางท 1 กำ$หนดกร$ฟ G จงพจ$รณ$ว$ในขอ 1 – 4 ว$ขอใดเปนวฎจกร

1. A , e , B , e , C , e , A 2. A , e , C , e , D , e , A , e , E , e , D , e , A

3. B , e , C , e , D , e , A , e , C , e , B

4. D , e , A , e1 , B , e , C , e , Dวธทำา จ$กบทนย$มของวฎจกรจะไดว$

วงจรท 1 เปนวฎจกร เพร$ะ วงจรไมมจดยอดใดซำ$กนวงจรท 2 ไมเปนวฎจกร เพร$ะ วงจรมจดยอด A ซำ$กนวงจรท 3 ไมเปนวฎจกร เพร$ะ วงจรมจดยอด C ซำ$กนวงจรท 4 เปนวฎจกร เพร$ะ วงจรไมมจดยอดใดซำ$กน

ตวอยางท 2 จ$กกร$ฟ G ดงรป จงห$วฎจกรในกร$ฟม$ 3 วฎจกร

A

EDCB

วธทำา จ$กบทนย$มของวฎจกรจะส$ม$รถเขยนวฎจกรในกร$ฟ G ไดดงน

1. A , B , C , A2. B , C , D , A , B3. C , A , E , D , C4.

จ$กตวอย$งท 1 และตวอย$งท 2 ส$ม$รถสรปลกษระของวฎจกรไดดงน1. เปนวงจร2. ไมมจดยอดในวงจรซำ$กน

แบบฝกทกษะท 15เรอง วฎจกร

จดประสงคการเรยนร ห$วฎจกรจ$กกร$ฟทกำ$หนดใหได

คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ

ใชกร$ฟตอบคำ$ถ$มขอ 1 – 3

1. จ$กร$ฟทกำ$หนดให จงห$วฎจกรม$ 4 วฎจกร 1) ………………………………………………………………………………………………… 2) ………………………………………………………………………………………………… 3) ………………………………………………………………………………………………… 4) ………………………………………………………………………………………………… 2. ใหนกเรยนพจ$รณ$กร$ฟ แลวจบคเปนวฎจกร หรอไมเปนวฎจกร 1) A , B , C , D , B , A ก. เปนวฎจกร 2) A , G , D , C , B , A ข. ไมเปนวฎจกร 3) G , F , D , C , E , F , G 4) E , C , B , D , C , E 5) F , G , D , C , E , F

G FE

D

CB

A

3. จงพจ$รณ$ว$ขอคว$มตอไปนถกหรอผด ถ$ถกใหใสเครองหม$ย หน$ขอทถก

ถ$ผดใหใสเครองหม$ย x หน$ขอทผด .............. 1. วฎจกรจะเรมตนทจดไหนกไดและจดสดท$ยตองเปนจดเดยวกนกบจดเรมตน .............. 2. วฎจกรจะใชแตละจดทไมใชจดเรมตนเพยงครงเดยว ……….. 3. วฎจกรจะใชจดยอดทกจดสองครงกได ……….. 4. กร$ฟใดๆทไมมวงวน จะมวฎจกรและใชจดยอดเพยงสองจดเท$นน ……….. 5. กร$ฟใดๆจะมวฎจกรไดตองมเสนเชอมอย$งนอย 2 เสน

เอกสารประกอบการเรยนท 16 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม ( ค 41202 )

ระดบชนมธยมศกษาปท 4เรอง ตนไม

จดประสงคการเรยนรห$ตนไมจ$กกร$ฟทกำ$หนดใหได

สาระสำาคญ ตนไมเปนกร$ฟเชอมโยงทไมมวฎจกร ซงส$ม$รถนำ$ไปใชในก$รห$ตนไมแผทวได

สาระการเรยนรตนไม

จ$กบทนย$มสรปไดว$ กร$ฟใดๆจะเปนตนไมจะตองเปนกร$ฟเชอมโยง และไมมวฎจกร

บทนยาม ตนไม คอ กร$ฟเชอมโยงทไมมวฎจกร

ตวอยางท 1 จงห$ว$กร$ฟในขอใดเปนตนไม

( 1 ) ( 2 ) ( 3 )

( 4 ) ( 5 ) ( 6 )

วธทำา จ$กบทนย$มของตนไม จะไดว$(1) ไมเปนตนไมเพร$ะมวฎจกร

(2) ไมเปนตนไม เพร$ะว$ไมเปนกร$ฟเชอมโยง และ มวฎจกร(3) เปนตนไม เพร$ะว$เปนกร$ฟเชอมโยง และ ไมมวฎจกร(4) เปนตนไม เพร$ะว$เปนกร$ฟเชอมโยง และ ไมมวฎจกร(5) เปนตนไม เพร$ะว$เปนกร$ฟเชอมโยง และ ไมมวฎจกร(6) ไมเปนตนไม เพร$ะว$ มวฎจกร

ขอสงเกต1. ตนไมไมมเสนเชอมขนานและไมมวงวน2. ตนไมทมจดยอด n จด จะมเสนเชอม n – 1 เสน

เสมอ

แบบฝกทกษะท 16เรอง ตนไม

จดประสงคการเรยนรห$ตนไมจ$กกร$ฟทกำ$หนดใหได

คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ

1. จงพจ$รณ$ว$ขอคว$มตอไปนถกหรอผด ถ$ถกใหใสเครองหม$ย หน$ขอทถก ถ$ผดใหใสเครองหม$ย x หน$ขอทผด…………. 1) ตนไมจะมเสนเชอมขน$นหรอวงวนกได…………. 2) กร$ฟเชอมโยงทไมมวฎจกรเรยกว$ตนไม…………. 3) กร$ฟทไมเปนกร$ฟเชอมโยงจะเปนตนไมไมได…………. 4) กร$ฟทเปนกร$ฟเชอมโยงและมวฎจกรเรยกว$ตนไม…………. 5) กร$ฟทเปนกร$ฟเชอมโยงและไมมวฎจกรเรยกว$ตนไมเสมอ…………. 6) ตนไมทมจดยอด 9 จด จะมเสนเชอมเท$กบ 9 เสนเสมอ…………. 7) กร$ฟทเปนตนไม ถ$มเสนเชอม 12 เสน จะมจดยอด 11 จดเสมอ2. จงห$ว$กร$ฟในขอใดเปนตนไม เพร$ะเหตใด

( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 )……………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. จงยกตวอย$งกร$ฟทเปนตนไมม$ 2 ตวอย$ง พรอมทงใหเหตผลประกอบ

เอกสารประกอบการเรยนท 17 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม ( ค 41202 )

ระดบชนมธยมศกษาปท 4เรอง กราฟยอย และ ตนไมแผทว

จดประสงคการเรยนร ห$กร$ฟยอยและตนไมแผทวจ$กกร$ฟทกำ$หนดใหได

สาระสำาคญ กร$ฟยอยของกร$ฟใดๆ เปนกร$ฟทประกอบดวยจดยอดและเสนเชอมทเปนสบเซตของกร$ฟนน สวนตนไมแผทวเปนตนไมซงเปนกร$ฟยอยของกร$ฟเชอมโยงทบรรจจดยอดทกจดในกร$ฟนน ซงเปน พนฐ$นในก$รห$ตนไมแผทวนอยทสด

สาระการเรยนร กราฟยอยและตนไมแผทว

บทนยาม กร$ฟยอย ( Subgraph ) ของกร$ฟ G คอกร$ฟทประกอบดวยจดยอดและ เสนเชอมใน G กล$วคอ กร$ฟ H เปนกร$ฟยอยของกร$ฟ G ถ$ V(H) V(G)

F D

CBA

ตวอยางท 1 กำ$หนดกร$ฟ G และกร$ฟ H ดงรป

G H

จงแสดงว$กร$ฟ H เปนกร$ฟยอยของ G

วธทำา กร$ฟ H เปนกร$ฟยอยของกร$ฟ G ถ$ V(H) V(G) และ E(H) E(G)

จ$กกร$ฟ G จะได V(G) = { A , B , C , D , E , F } E(G) = { AB , AF , BC , BF , CD , CF , DE , EF }

จ$กกร$ฟ H จะได V(H) = { A , B , C , D , F } E(H) = { AF , BC , BF , CD }

จะเหนว$ V(H) V(G) และ E(H) E(G)ดงนน กร$ฟ H เปนกร$ฟยอยของ G

F

E

D

CBA

ตวอยางท 2 กร$ฟ H1 , H2 , H3 และ H4 กร$ฟใดเปนกร$ฟยอยของ G

G H1 H2

H3 H4

วธทำา จ$กกร$ฟ G ม V(G) = { A , B , C , D , E } และ E(G) = { AB , AC , BC , BD , BE , CD , DE } จ$กกร$ฟ H1 ม V(H1) = { A , B , C , D , E } และ E(H1) = { AE , BE , BD , CD } จะไดว$ V(H1) V(G) และ E(H1) E(G) , นนคอ H1 เปนกร$ฟยอยของ G จ$กกร$ฟ H2 ม V(H1) = { A , B , C , D , E } และ E(H2) = { AB , BC , BE , DE } จะไดว$ V(H2) V(G) และ E(H2) E(G) , นนคอ H2 เปนกร$ฟยอยของ G

E B

CD

E B

CD

CD

E BA

B

A

E

D C CD

E

A

B

จ$กกร$ฟ H3 ม V(H3) = { B , C , D , E } และ E(H3) = จะไดว$ V(H3) V(G) และ E(H3) E(G) , นนคอ H3 เปนกร$ฟยอยของ G จ$กกร$ฟ H1 ม V(H1) = { B , C , D , E } และ E(H4) = { BC , BE , CD , CE } จะไดว$ V(H4) V(G) และ E(H4) E(G) , นนคอ H4 ไมเปนกร$ฟยอยของ G

ตวอยางท 3 กำ$หนดกร$ฟ G ดงรป จงห$ตนไมแผทวของ G

G วธทำา จ$กบทนน$มของตนไมแผทว ส$ม$รถเขยนกร$ฟทเปนตนไมแผทวของ G ไดดงน

ตวอยางท 4 กำ$หนดกร$ฟดงรป H จงเขยนตนไมแผทวม$ 3 แบบ

บทนยาม ตนไมแผทว ( spannimg tree ) คอตนไมซงเปนกร$ฟยอยของกร$ฟเชอมโยง G ทบรรจ จดยอดทกจดของ G

D C

BA B

D C

A

D C

BA

D C

BA

D C

BA

D C

BA

D C

BA

D C

BA

G F E

D

C

B

A

D C

BA

วธทำา จ$กบทนย$มของตนไมแผทว จะไดตนไมแผทวของ H ดงน

ขอสงเกต ตนไมแผทวของกราฟเชอมโยงอาจมมากกวาหนงแบบ

แบบฝกทกษะท 17 เรอง กราฟยอย และ ตนไมแผทว

จดประสงคการเรยนรห$กร$ฟยอยและตนไมแผทวจ$กกร$ฟทกำ$หนดใหได

คำาชแจง จงเขยนกร$ฟยอยและห$ตนไมแผทวของกร$ฟทกำ$หนดใหเพยง 1 แบบใหถกตองสมบรณ

ขอ

กร$ฟทกำ$หนดให กร$ฟยอย ตนไมแผทว

1

……………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

A

B

C

D

EFG A

B

C

D

EFG A

B

C

D

EFG

E D C B

A

2

……………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………

4

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………

5

………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

F E

D

CB

A G F E

DCBA

V6V5

V1

V2V3

V4

E

D

C

B

A

………… ………

เอกสารประกอบการเรยนท 18 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม ( ค 41202 )

ระดบชนมธยมศกษาปท 4เรอง ตนไมแผทวทนอยทสด

จดประสงคการเรยนร ห$ตนไมแผทวทนอยทสดของกร$ฟถวงนำ$หนกทกำ$หนดใหได

สาระสำาคญ ตนไมแผทวทนอยทสด เปนตนไมแผทวทมผลรวมของค$นำ$หนกของแตละเสนเชอมนอยทสด

สาระการเรยนร ตนไมแผทวทนอยทสด

จ$กบทนย$ม ตนไมแผทวทนอยทสดห$ไดโดยก$รห$ผลรวมของค$นำ$หนกของแตละเสนเชอม ในตนไมแผทวทมค$นอยทสด

บทนยาม ตนไมแผทวทนอยทสด ( minimal spanning tree ) คอ ตนไมแผทวทมผลรวมของ ค$นำ$หนกของแตละเสนเชอมนอยทสด

ตวอยางท 1 กำ$หนดกร$ฟถวงนำ$หนกดงรป จงห$ตนไมแผทวทนอยทสด

วธทำา ห$ตนไมแผทวของกร$ฟทกำ$หนดใหทงหมด ดงน H1 ผลรวมค$นำ$หนกของเสนเชอมทงหมดของ H1 เท$กบ 1 + 1 + 1 = 3

H2 ผลรวมค$นำ$หนกของเสนเชอมทงหมดของ H2 เท$กบ 1 + 2 + 1 = 4

H3 ผลรวมค$นำ$หนกของเสนเชอมทงหมดของ H3 เท$กบ 1 + 2 + 1 = 4

ดงนนกร$ฟ H1 เปนตนไมแผทวทนอยทสด

21

11

C

DA

B

111

A

B C

D

21 1

A

B C

D

12

1

A

B C

D

ตวอยางท 2 กำ$หนดกร$ฟถวงนำ$หนกดงรป จงห$ตนไมแผทวทนอยทสด

วธทำาขนท 1 เลอกเสนเชอมทมนำ$หนกนอยทสด ในทน คอ DF มนำ$หนกเท$กบ 3

ขนท 2 เลอกเสนเชอมทมนำ$หนกนอยทสดจ$กเสนเชอมทเหลอ และไมทำ$ใหเกดวฎจกรในทน คอเสนเชอม AE และ BF ซงมค$นำ$หนกเท$กบ 4 จะเหนว$เสนเชอม DF , AE และ BF ไมเปนวฎจกร

ขนตอนตอๆไป ทำ$เชนเดยวกบขนตอนท 2 จนกระทงไดตนไมแผทวขนท 3 เลอกเสนเชอมทมนำ$หนกนอยทสด ในทนคอ มนำ$หนกเท$กบ 5 โดยเลอกเสนเชอม AB หรอ FE เสนใดเสนหนง เพร$ะถ$เลอกทงสองเสนจะทำ$ใหเกดวฎจกร ในทนเลอก AB

B C

DE

A4

58

58

3F4

6

7

B C

DE

A4

58

58

3F4

6

7

B C

DE

A4

58

58

3F4

6

7

D8

8 7

6

34

4

5

5FA

B C

E

ขนท 4 เลอกเสนเชอมทมนำ$หนกเท$กบ 6 ในทนคอเสนเชอม BC

จ$กขนท 1 ถง ขนท 4 จะไดตนไมแผทวทนอยทสด และผลรวมค$นำ$หนกของตนไมแผทวทนอยทสด คอ 3 + 4 + 4 + 5 + 6 = 22 จะไดรป

ตวอยางท 3 บรษทรบเหม$ตดตงโทรศพทแหงหนงตองก$รว$งส$ยโทรศพทเชอมระหว$งหมบ$น A , B , C , D , E และ F โดยจะว$งส$ยไปต$มถนน ค$ใชจ$ยในก$รว$งส$ยโทรศพทขนอยกบคว$มย$วของส$ยโทรศพท บรษทนจะว$งส$ยโทรศพทอย$งไรใหเสยค$ใชจ$ยนอยทสด เมอกำ$หนดต$ร$งแสดงระยะท$ง ( กโลเมตร ) ของถนนเชอมระหว$งหมบ$นดงน

หมบ$น

A B C D E F

A - 30 - - - 40B 30 - 10 - 50 20C - 10 - 20 30 -D - - 20 - 10 20E - 50 30 10 - 60F 40 20 - 20 60 -

B C

DE

A4

58

58

3F46

7

B C

DE

A4

53F

46

วธทำา แปลงปญห$ข$งตนเปนกร$ฟถวงนำ$หนกโดยใช จดยอดแทนหมบ$น เสนเชอมแทนถนน และค$นำ$หนกของเสนเชอมคอระยะท$งระหว$งหมบ$น ดงรป

เนองจ$กตนไมแผทวของกร$ฟจะประกอบดวยจดยอดทกจดของกร$ฟ และมวถระหว$งทกๆคของจดยอดในตนไม ดงนนคำ$ตอบของปญห$น คอ ก$รห$ตนไมแผทวทนอยทสดของกร$ฟ

พจ$รณ$ขนตอนในแตละขนของเสนทเลอก

ขนท 1 เลอกเสนเชอมทมนำ$หนกนอยทสด ในทน คอ เสนเชอม BC และ DE มนำ$หนกเท$กบ 10

ขนท 2 เลอกเสนเชอมทมนำ$หนกนอยทสดจ$กเสนเชอมทเหลอ และไมทำ$ใหเกดวฎจกร ในทน คอเสนเชอม CD , DF และ BF ซงมค$นำ$หนกเท$กบ 20 โดยเลอกเสนเชอม CD , DF และ BF พรอมกนทงส$มเสนไมได เพร$ะจะทำ$ใหเกดวฎจกร ในทนเลอกเสนเชอม CD และ DF

3020A

B C

D

EF

10

10

2030

40 2050

60

60

502040

30 20

10

10

F E

D

CB

A20 30

60

502040

30 20

10

10

F E

D

CB

A20 30

ขนตอนตอๆไปทำ$เชนเดยวกบขนตอนท 2 จนกระทงไดตนไมแผทวขนท 3 เลอกเสนเชอมทมนำ$หนกนอยทสด ในทนคอนำ$หนกเท$กบ 30 โดยเลอกจ$กเสนเชอม CE และ AB จะเหนว$ถ$เลอกเสนเชอม CE จะทำ$ใหเกดวฎจกรจงไมเลอก จะเลอกเสนเชอม AB

จ$กขนท 1 ถงขนท 3 จะไดตนไมแผทวทนอยทสด และผลรวมค$นำ$หนกของเสนเชอมเท$กบ 10 + 10 + 20 + 20 + 30 = 90 ดงนนบรษทรบเหม$แหงนตองว$งส$ยโทรศพทต$มถนนดงรปข$งล$งจงจะเสยค$ใชจ$ยนอยทสด

แบบฝกทกษะท 18 เรอง การหาตนไมแผทวทนอยทสด

จดประสงคการเรยนรห$ตนไมแผทวทนอยทสดของกร$ฟถวงนำ$หนกทกำ$หนดใหได

คำาชแจง 1. จงห$ตนไมแผทวทนอยทสดจ$กกร$ฟทกำ$หนดให พรอมทงเขยนกร$ฟตนไมแผทวทนอยทสด

60

502040

30 20

10

10

F E

D

CB

A20 30

20

30 20

10

10

F E

D

CB

A

ขอ

กร$ฟถวงนำ$หนก ตนไมแผทวทนอยทสด

1

2

3

2. บรษทรบเหม$ตดตงไฟฟ$แหงหนงตองก$รว$งส$ยไฟฟ$เชอมระหว$งหมบ$น A , B , C , D , E และ F โดยจะว$งส$ยไปต$มถนน ค$ใชจ$ยในก$รว$งส$ยไฟฟ$ขนอยกบคว$มย$วของส$ยไฟฟ$

23 1 21

5

54A

B C

D

E

F

1

5

2

354

67

FC

D

A B

E

55

4

42

3 6

7A

B

E

C

D

บรษทนจะว$งส$ยไฟฟ$อย$งไรใหเสยค$ใชจ$ยนอยทสด เมอกำ$หนดต$ร$งแสดงระยะท$ง (กโลเมตร) ของถนนเชอมระหว$งหมบ$นดงน

หมบ$น

A B C D E F

A - 10 - 40 - 60B 10 - 30 40 - -C - 30 - 50 50 20D 40 40 50 - 10 -E - - 50 10 - 30F 60 - 20 - 30 -