acsop3

1. ZH A1. Legyen A ∈ Rn×(n+1), vagyis legyen A olyan mátrix, amelyiknek n sora és

n+ 1 oszlopa van. Legyen továbbá b ∈ Rn, és tegyük fel, hogy r(A) = n.

• (2 pont) Mit mondhatunk Ax = b feladat megoldhatóságáról?• (3 pont) Ha létezik megoldás akkor az egyértelmű-e?• (6 pont) Tegyük fel, hogy A mátrixban oszlopvektorok közül az utolsó

lineárisan függ a többitől. Mit történik, ha valaki rögzíti xn+1 értékét.Meg tudjuk-e oldani a feladatot ekkor a maradék x1, x2, . . . , xn vál-tozó segítségével? Mit mondhatunk ekkor a feladat megoldásnakegyértelműségéről?

2. (4 pont) Határozd meg az alábbi mátrix determinánsát!1 −1 2 10 1 0 02 3 1 −10 9 3 1

3. (3 pont) Mennyi x2, ha tudjuk, hogy

2x1 + 4x2 + 5x3 = 25

x1 + 4x2 − 7x3 = −122x1 + 3x2 + 2x3 = 14.

4. (6 pont) Legyen D ∈ Rn×n, és tegyük fel, hogy D2 = D+3In. Keressünkolyan a, b számokat, melyre

• D3 = aD + bIn;• D4 = aD + bIn;• D−1 = aD + bIn!

5. (6 pont) Legyen adva a következő két mátrix

A =

(1 −10 1

)B =

(2 1−3 0

)!

• Határozd meg a következőket: |A|, |B|, |2A|, AB, |AB|, |A+B|!• Létezik olyan X mátrix, amelyre

AXB−1 = B!

6. (5 pont) Legyen u1, u2, u3, u4 ∈ Rn lineárisan független vektorok. Függetlenek-e a következő vektorok?

• u1 + u2; u2 − u3; u3 + u4; u4 − u1;• u1; u1 + u2; u1 + u2 + u3; u1 + u2 + u3 + u4;

1