fundamentos matematicos
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ESCUELA:
NOMBRES:
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
FECHA:
Ciencias de la Computación
Ing. Ricardo Blacio
ABRIL - AGOSTO 2010
1
4. Funciones polinomiales y racionales
Una función polinomial tiene la forma:
Si el coeficiente se dice entonces que la función polinomial es de grado n, el número se denomina coeficiente principal del polinomio.
Generalmente, a medida que el grado aumenta, la gráfica es más complicada.
011
1 ....)( axaxaxaxf nn
nn
0na
na
Se puede obtener una gráfica totalmente precisa utilizando el procedimiento sugerido a continuación:
1.Calcule (x) para determinar si la gráfica tiene alguna simetría.2.Calcule el intersecto (0) en y. 3.Factorice el polinomio. 4.Determine los intersectos en x, hallando las soluciones reales de la ecuación (x) 0.5.Trace una recta numérica. Determine los signos algebraicos de todos los factores entre los intersectos en x. Esto indicará dónde (x) 0 y donde (x) 0.6.Grafique la función utilizando los resultados de los pasos 1 – 5 y marcando puntos adicionales donde sea necesario.
En los casos en los que (x) son positivos ((x)0), la gráfica de la función está por encima del eje x.
La gráfica de la función esta por debajo del eje x, en aquellos intervalos donde los valores de (x) son
negativos ((x) 0).
5
Funciones racionales Las funciones racionales se definen en términos de cocientes de polinomios. En general, una expresión R es una función racional sí:
g(x), h(x) son polinomios; el dominio de F es el conjunto de todos los números reales tales que h(x) 0. Las funciones racionales son continuas para todo valor de x, con excepción de aquellos para los que el denominador h(x) es cero.
0)()(
)()( xh
xh
xgxF
Asíntotas
Las rectas fijas a las que se aproxima una gráfica, se llaman asíntotas.
Asíntotas verticales Se dice que una recta x a es una asíntota vertical para la gráfica de una función sí.
axoaxquemedidaaxf
óaxoaxquemedidaaxf
)(
)(
Asíntotas horizontales
Sea R una función racional definida como cociente de dos polinomios de la forma:
Teoremas:1.- Sí m< n, el eje x (y = 0) es una asíntota horizontal.2.- Sí m =n, la recta y=am/bn es una asíntota horizontal.3.- Sí m > n, no hay asíntotas.
bxbxbaxaxa
n
n
m
mxF01
01
.......
.......)(
0, ba nm
Gráfica de funciones racionales
Si F(x)= g(x)/h(x) donde g(x) y h(x) son polinomios se debe seguir las siguientes pautas:1.Encontrar las intersecciones con x, haciendo g(x) = 0.2.Hallar la asíntota vertical resolviendo h(x)=0.3.Encontrar las intersecciones con y, obteniendo F(0), trazamos la intersección (0,F(0)).4.Aplicar teorema de asíntotas horizontales y=c.5.Si existen asíntotas horizontales determinar si corta la gráfica con f(x) = c.6.Trazar la gráfica en cada región.
1. Intersección con x hacer y = 0
Ejercicios. Trace la gráfica de f
2)1(
2)(
x
xfa.-
0 = - 2 No hay intersección con x
2. Asíntota vertical
x + 1 = 0
x = - 1
3. Intersección con y hacer x = 0
2)1(
2)(
x
xf2)10(
2
1
2 = - 2
10
4. Asíntota horizontal
2)1(
2)(
x
xf1
1 < 2 Entonces el eje x es la asíntota horizontal
Teorema 1
5. No aplica Este paso se da cuando se tiene el teorema 2 en el paso anterior.
6. Trazar la gráfica x y
1 -1/2
2 -2/9
3 -1/8
-2 -2
-3 -1/2
Asíntota vertical
Asíntota horizontal
Intersección con y
1. Intersección con x hacer y = 0
2
2
16
3)(
x
xxf
b.-
0 = 3x2
2. Asíntota vertical
16 – x2 = 0
3. Intersección con y hacer x = 0
= 0
x = 0
– x2 = - 16 x2 = 16 x = ± 4
2
2
16
3)(
x
xxf
2
2
)0(16
)0(3
4. Asíntota horizontal
2 = 2 La recta y=am/bn es la asíntota horizontal
Teorema 2
5. Determinar si la asíntota horizontal corta la gráfica
2
2
16
3)(
x
xxf
y=3 /-1 y= -3
316
32
2
xx f(x) = c
3x2 = - 48 + 3x2
0 = - 48 La gráfica no cruza la asíntota horizontal y = -3 porque f(x) = - 3 no tiene solución real.
14
6. Trazar la gráfica
x y
1 1/5
2 1
3 27/7
--- ---
--- ---
Asíntota vertical
Asíntota horizontal
Intersección con x, y
15
xx
xxxxf
2
82)(
2
23
)2(
)82()(
2
xx
xxxxf 2
82)(
2
x
xxxf
x2 - 2x – 8 = 0 (x - 4) (x + 2) = 0 x = 4
x = - 2
- x + 2= 0 - x = - 2 x = 2
)0(2)0(
)0(8)0(2)0()0(
2
23
f2
8 = - 4
c.-
1. Intersección con x hacer y = 0
2. Asíntota vertical
3. Intersección con y hacer x = 0
16
2
82)(
2
x
xxxf
12 > 1
4. Asíntota horizontal
No hay asíntota horizontal
Teorema 3
5. No aplica
6. Asíntota oblicua
Una función racional tiene una asíntota oblicua cuando el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador.2
82)(
2
x
xxxf
1
17
x2 - 2x – 8 - x + 2- x2 + 2x
- 8- x
Uno de los métodos más usados es la división sintética para hallar la ecuación de la asíntota oblicua.
Este cociente es la ecuación de la asíntota.
y = - xx y
0 0
1 -1
2 -2
-1 1
-2 2
--- ---
18
Asíntota vertical
Intersección con y
Asíntota oblicua
Intersección con x
6. Trazar la gráfica
Ing. Ricardo Blacio
Docente – UTPL
Correo electrónico: rpblacio@utpl.edu.ec
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