fundamentos matematicos

GUÍA DIDÁCTICA Y MÓDULO

MAURICIO HUMBERTO MONTOYA SÁNCHEZ

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA LUIS AMIGÓ

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS,

ECONÓMICAS Y CONTABLES

Colombia, 2008

COMITÉ DIRECTIVO

Fray Marino Martínez PérezRector

Hernán Ospina AtehortúaVicerrector Administrativo y Financiero Director de Planeación

José Jaime Díaz OsorioVicerrector Académico

Francisco Javier Acosta GómezSecretario General

Fundamentos matemáticosMauricio Humberto Montoya Sánchez

Decana Facultad de Ciencias Administrativas, Económicas y contables:María victoria Agudelo Vargas

Corrección de estilo:SOMOS PROFESIONALES LTDA.

Diseño:Colectivo Docente Facultad de Ciencias Administrativas, Económicas y Contables

Impresión:Departamento de Publicaciones FUNLAM

www.funlam.edu.co

TODOS LOS DERECHOS RESERVADOSMedellín – Colombia2008

Fundamentos Matemáticos 2

http://www.funlam.edu.co/

CONTENIDO

PRIMERA PARTE: PROTOCOLO ACADÉMICO

PRESENTACIÓN 6

1. IDENTIFICACIÓN 8

2. INTENCIONALIDADES FORMATIVAS 9

2.1. Objetivo general ................................................................................................ 9 2.2. Objetivos específicos ......................................................................................... 9 3. UNIDADES TEMÁTICAS 10

UNIDAD 1 .............................................................................................................. 10 UNIDAD 2 ............................................................................................................. 10 UNIDAD 4 .............................................................................................................. 10 4. METODOLOGÍA GENERAL 11

5. EVALUACIÓN INTEGRAL 12

5.1. Sistema de evaluación ....................................................................................... 12 5.2. Actividades de reconocimiento y de profundización ....................................... 13 INTRODUCCIÓN 15

JUSTIFICACIÓN 18

1.TEORÍA DE CONJUNTOS 19

1.1. Definición de conjuntos .................................................................................... 21 Definiciones y conceptos ......................................................................................... 21 1.2. Clasificación de los conjuntos .......................................................................... 24 26

.................................................................................................. 26 1.3. Propiedades de la inclusión .............................................................................. 26 1.4. Operaciones entre conjuntos y sus aplicaciones ............................................... 27 Operaciones entre conjuntos ................................................................................... 27 29

1.5. Conjuntos numéricos ........................................................................................ 39 1.5.1. Definición y concepto de los conjuntos numéricos .................................. 39 1.5.2. Propiedades de los números reales ............................................................ 40


1.5.3.Ley de signos para los números reales en el producto y la división ........... 42 1.6. Operaciones entre conjuntos numéricos ........................................................... 43 ................................................................................................................................ 43

Operaciones combinadas entre conjuntos numéricos .......................................... 43 2. FACTORIZACIÓN, POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN 48

2.1.Expresiones algebraicas y sus operaciones (polinomios) ................................. 49 2.1.1. Operaciones algebraicas básicas ............................................................... 49 2.1.2. Términos semejantes - operaciones ........................................................... 52 2.1.3. Polinomios y operaciones con polinomios ............................................... 53

2.2. Factorización y simplificación de expresiones algebraicas .............................. 58 2.2.1. Factorización y simplificación de polinomios ........................................... 58 2.2.2. Factorización de polinomios ...................................................................... 59 2.2.3. Simplificación de expresiones algebraicas ................................................ 67

2.3. Potencias y radicales ......................................................................................... 68 Propiedades y operaciones de las potencias y los radicales ................................. 68

3. RELACIONES Y FUNCIONES 74

3.1. Concepto de relación y de función .................................................................. 76 3.1.1. Definición de relación y de función ........................................................... 76 3.1.2. Tipos de funciones ..................................................................................... 81

3.2. Función lineal y ecuaciones lineales ................................................................. 81 Función lineal ...................................................................................................... 81

Y = 2x-1 ^ Y = -2x+3 83

Yc=C(x)=mx+b 87

R(x)=P.x 89

3.3. Funciones cuadráticas, exponenciales y logarítmicas ..................................... 102 Concepto de función cuadrática, exponencial y logarítmica ............................. 102

4. DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO 109

OBJETIVOS .......................................................................................................... 109 Desigualdades ........................................................................................................ 110 ESTUDIO DE CASO 117

ACTIVIDADES DE RECONOCIMIENTO 119

ACTIVIDADES DE PROFUNDIZACIÓN 121

BIBLIOGRAFÍA FUNDAMENTAL 133

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 134

GLOSARIO 135


RESPUESTA A PREGUNTAS FRECUENTES 137


PRESENTACIÓN

Apreciado estudiante, bienvenido al programa de Administración de

Empresas con énfasis en Economía Solidaria de la Fundación Universitaria

Luis Amigó.

Este módulo ha sido escrito teniendo presente al estudiante que ingresa en

la metodología a distancia, la cual se constituye en uno de los nuevos retos y

alternativas para la formación de profesionales capaces de intervenir

problemáticas sociales contemporáneas, desde la aplicación de la ciencia y

la tecnología con criterios éticos y de calidad.

La educación a distancia responde a la necesidad de ofrecer un proceso de

formación que supere obstáculos representados en grandes distancias

geográficas y escasez de tiempo de personas deseosas de tener las

oportunidades de desarrollo humano que brinda la educación superior.

Dicha metodología exige a cada estudiante un esfuerzo investigativo,

creativo e innovador soportado por la voluntad del compromiso que demanda

nuestra sociedad.


Por esto, para el alcance de los objetivos en este proceso formativo, más que

construir un texto, se ha tratado de presentar un instrumento de

comunicación académica y dinámica entre la institución y el estudiante, en el

que se diferencian dos partes fundamentales: la guía de estudio y trabajo, el

módulo de aprendizaje. La guía considera las orientaciones sobre el

desarrollo del curso en cuanto define los elementos necesarios para la

interlocución entre estudiantes y asesor, describiendo en la metodología las

actividades a realizar para cada encuentro, bibliografía complementaria,

proceso de evaluación y compromisos adquiridos por el estudiante. El

módulo desarrolla el contenido conceptual básico que permite al estudiante

la comprensión de los problemas potenciales en el campo administrativo.

Seguros de que en dicho material se encuentran los referentes necesarios

para el desarrollo de un proceso académico con calidad, le deseamos éxitos

en este nuevo ciclo de su formación profesional.


1. IDENTIFICACIÓN

CURSO FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

AUTOR MAURICIO HUMBERTO MONTOYA

SÁNCHEZ

INSTITUCIÓN FUNDACIÓN UNIVERSITARIA LUIS AMIGÓ

UNIDAD ACADÉMICA FACULTAD DE CIENCIAS

ADMINISTRATIVAS, ECONÓMICAS Y

CONTABLES

PROGRAMA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS

PALABRAS CLAVE

MATEMÁTICAS, FUNCIÓN, ALGEBRA,

ECUACIÓN

ÁREA DE CONOCIMIENTO BÁSICA

CRÉDITOS 3 (TRES)

CIUDAD MEDELLÍN

FECHA 17 DE MAYO DE 2004

ACTUALIZACIÓN ENERO DE 2008


ADICIÓN DE TEMASAPROBADA POR

2. INTENCIONALIDADES FORMATIVAS

2.1. Objetivo general

Fundamentar al estudiante, en la aprehensión y comprensión de los

conceptos básicos de las matemáticas operativas, propiciando un desarrollo

de su capacidad analítica, con el fin de plantear, interpretar y resolver, en

forma lógica, situaciones propias de su carrera.

2.2. Objetivos específicos

Manejar con propiedad la definición y la clasificación de los conjuntos,

realizando operaciones entre ellos.

Considerar un conjunto especial, el conjunto de los números reales

(conjuntos numéricos) y todas sus operaciones.

Conocer y manejar la definición de Función.

Resolver con claridad desigualdades lineales, cuadráticas, racionales y

desigualdades con valor absoluto.

Aplicar las desigualdades y el valor absoluto a situaciones problema.


3. UNIDADES TEMÁTICAS

UNIDAD 1

Teoría de conjuntos

UNIDAD 2

Factorización, potenciación y radicación

UNIDAD 3

Relaciones y funciones

UNIDAD 4

Desigualdades y valor absoluto


4. METODOLOGÍA GENERAL

Para garantizar el buen desarrollo del curso se establecerán los criterios

definidos en el Reglamento Estudiantil con relación a evaluación y

seguimiento del portafolio personal de desempeño, entre otros.

En los encuentros presenciales se hará claridad sobre aquellos conceptos

que han presentado alguna dificultad en los estudiantes; para ello se

utilizarán explicaciones precisas sobre el tema, ejemplos y aplicación de

éstos al área administrativa. Adicionalmente, se responderán inquietudes

sobre los ejercicios propuestos para ser desarrollados por los estudiantes en

el tiempo destinado al trabajo independiente.

El estudiante debe realizar las actividades de forma consecuente con los

encuentros presenciales, para garantizar el logro de los objetivos propuestos

en el curso.


5. EVALUACIÓN INTEGRAL

5.1. Sistema de evaluación

La evaluación será un proceso permanente, pedagógico e integral, con

participación activa de los estudiantes y que deberá cumplir con las políticas

institucionales de evaluación, hasta consolidar una valoración definitiva.

La evaluación será cualitativa y soportada en el artículo 80 del reglamento

estudiantil, y deberá proporcionar la información necesaria y suficiente para

que el estudiante adquiera capacidad crítica, asuma las competencias y sea

idóneo en la toma de decisiones.

La evaluación tendrá como elemento esencial el portafolio personal de

desempeño, para el desarrollo integral del estudiante y el logro de la

excelencia académica.

La evaluación constará de pruebas escritas e individuales, talleres

individuales o intergrupales y pruebas orales participativas, sustentadas

durante los encuentros y, en lo posible, que apunten hacia las competencias.

Se evalúa también el acompañamiento individual.

Al finalizar el período académico, se hace la homologación de evaluación

cualitativa a cuantitativa, tal y como lo contempla el artículo 80 del

Reglamento Estudiantil de la Institución.


5.2. Actividades de reconocimiento y de profundización

Las actividades de reconocimiento y profundización se desarrollarán en cada

unidad temática y en cada capítulo.


INTRODUCCIÓN

El módulo que aquí se presenta tiene, como propósito general, la provisión

de métodos, técnicas, herramientas de trabajo matemático y estudio

independiente que requieren los estudiantes del programa de Administración

de Empresas y que les permita, de forma efectiva el aprendizaje en todos los

contextos de su carrera. Igualmente, afianzar el uso de métodos, técnicas y

herramientas adecuadas para el trabajo académico y la producción de un

aprendizaje con excelencia.

Se omiten todas las demostraciones de fórmulas y definiciones,

asumiéndolas como correctas y aplicándolas a la solución de situaciones

problema, de tipo empresarial o económico.

Cada capítulo presenta varios ejemplos y deja otros para trabajo del

estudiante, con vigilancia del asesor del curso. No se abordan pormenores

matemáticos, pues, para el estudiante de este programa, la principal

motivación es el uso de estas técnicas en la aplicación a situaciones

problema en la carrera.

El módulo de Desarrollo del pensamiento lógico se ha elaborado a partir de

la compilación de conceptos tratados por varios autores, entre ellos Arya y

Lardner, S. T. Tan, Uribe Calad Julio Alberto y Haeussler y Paul.


Para el logro de dicho propósito, el módulo consta de cuatro unidades

didácticas: la primera tiene como objetivo ubicar al estudiante en el plano de

los conjuntos en general y de uno muy específico: “los conjuntos numéricos”,

con sus definiciones simbólicas y sus representaciones en diagramas, a la

vez que se enfatiza en algunas aplicaciones relacionadas con la

Administración y la Economía.

La segunda unidad aborda los temas más importantes del álgebra, tales

como las expresiones algebraicas (polinomios), con todas sus operaciones;

además de temas como la factorización, las potencias y los radicales,

algunas de sus propiedades y una buena gama de ejercicios prácticos de

cada tema.

La tercera unidad conduce a situaciones de mayor interés y aplicabilidad

para la carrera de Administración de Empresas, entre ellas las funciones y,

en especial, la función lineal, su ecuación gráfica y su interpretación

estrictamente necesaria para los cursos posteriores. De la función lineal se

acompañan las ecuaciones lineales, indispensables y necesarias en los

demás cursos del programa y, no menos importantes, las funciones y

ecuaciones cuadráticas, y las funciones exponenciales y logarítmicas, con

sus respectivos gráficos.

En la cuarta y última unidad, se aborda un tema muy importante: el de

desigualdades y valor absoluto, de gran utilidad en el cálculo, la estadística,

el álgebra lineal y la programación lineal.

Se espera que la lectura y el desarrollo de las actividades que acá se

proponen le proporcionen al estudiante una buena información y lo motiven

en la búsqueda de una mejor formación académica.Fundamentos Matemáticos 16

Las críticas y sugerencias que de él se deriven, permitirán mejorar el módulo

y hacerlo más productivo.


JUSTIFICACIÓN

En el plano de los continuos desafíos que plantean los desarrollos

económicos, administrativos y sociales, no puede escaparse el uso de una

herramienta que permita interpretar dichos desarrollos; es allí donde el

desarrollo del pensamiento lógico cumple su papel. Este módulo ha escogido

aquellas partes de las matemáticas básicas que son de interés para

estudiantes que se especializan en Administración y Economía.

El módulo se justifica porque lo expuesto en él dotará al estudiante de los

elementos necesarios para abordar todos los cursos tanto del área básica

como de la profesional, que deben desarrollarse durante su ciclo

universitario. Las orientaciones en general, sobre aspectos pedagógicos y

didácticos clarifican operativamente los procesos de desarrollo del programa.

Todas las aplicaciones aquí presentadas y expuestas se integran por

completo al módulo, encaminándolas al análisis de tipo empresarial.

Siguiendo los lineamientos de los cursos de Matemáticas, programados por

la Facultad de Ciencias Administrativas, Económicas y Contables de la

FUNLAM, dictados con éxito durante muchos semestres, se ha realizado

este módulo para así disponer de material propio que sea útil para muchos

cursos del Programa, y que permita un mismo lenguaje entre los docentes

que los sirven.

El módulo pretende refrescar muchos conceptos que el estudiante ya cursó

en su vida preuniversitaria y, ahora, adiciona muchos temas nuevos que se

van a manejar a través de la secuencia de cursos que debe completar el

estudiante universitario.


1. TEORÍA DE CONJUNTOS


OBJETIVOS

1. Manejar con propiedad la definición de

conjuntos y su clasificación.

2. Realizar las operaciones básicas de

conjuntos y aplicarlas a la solución de

problemas propios de la administración.

3. Identificar cada uno de los conjuntos

numéricos y su dominio.

4. Realizar las operaciones básicas (suma,

resta, multiplicación y división) que

permita cada conjunto numérico.


OBJETIVOS

1.1. Definición de conjuntos

Definiciones y conceptos

A diario se trabaja con colecciones de distintos tipos de objetos; por ejemplo,

al realizar una encuesta sobre empresas textiles, se puede considerar la

colección de empresas textiles existentes en el departamento de Antioquia

para el año 2004. También podría consultarse acerca de las universidades

que, en Colombia, ofrecen el programa de Administración de Empresas.

Podría tenerse, también, una colección de entidades bancarias que prestan

dinero para vivienda de interés social. Dichas colecciones son ejemplos de

conjuntos. En forma más específica, podría definirse un Conjunto como una

colección bien definida de objetos llamados elementos. Así, al definir el

conjunto, se puede nombrar un objeto, y debe ser posible determinar si éste

pertenece o no a la colección. Los conjuntos se denotan mediante letras

mayúsculas A, B, C..., y se pueden representar gráficamente por medio de

una curva cerrada llamada diagrama, así:


a,i ,

e,o, u,

Elemento

Es cada uno de los objetos que constituyen un conjunto. Se representan con

letras minúsculas, números o símbolos que se pueden identificar. Los

elementos se encierran entre llaves, { }, y se separan por comas.

Ejemplo:

El conjunto A, que tiene como elementos las vocales, se representa:

A = {a, e, i, o, u} ó A

Otro tipo de notación para los conjuntos es la notación constructiva. Es una

regla que describe la propiedad (o propiedades) distintiva que debe cumplir

un objeto x para que pueda pertenecer al conjunto. Con esta notación, el

conjunto A se escribe como:

A = {x / x es una letra de las vocales}

Que se lee: “A es el conjunto de todos los elementos x tales que x es una

letra de las vocales”.


a ei

o u

Relación de pertenencia

Para indicar que un elemento pertenece o no a un conjunto se utilizan los

signos Є y no ∉ respectivamente. Si u es un elemento de un conjunto A, se

escribe u Є A, que se lee “u pertenece a A”, o “u es un elemento de A”.

Ahora, si el elemento u no pertenece al conjunto A, se escribe u Є A, y se

lee “u no pertenece al conjunto A”; por ejemplo, si A = {1, 3, 4, 6, 7}

entonces, 5 ∉ A pero 3 Є A.

Determinación de los conjuntos

Los conjuntos se pueden describir o determinar así:

1. Por comprensión: cuando se enuncia una característica del conjunto.

Ejemplo:

Sea B = {x / x es un divisor positivo de 12}

2. Por extensión: cuando se escriben todos los elementos del conjunto.

Para el ejemplo del numeral 1, sería:

B = {1, 2, 3, 4, 6,12}

Otro ejemplo así:

Sea C = {x / x <6, x Є N} comprensión

N = número natural


Ahora, C = {1, 2, 3, 4, 5} extensión

1.2. Clasificación de los conjuntos

1.2.1. Conjunto vacío

Es un conjunto que no posee elementos y se denota con el símbolo Ø o con

{ }

Ejemplo:

Sea M = {x / x + 3= 0, x Є N} es un conjunto vacío, ya que la ecuación x + 3 =

0 no tiene solución en los números naturales.

1.2.2. Conjunto finito

Es un conjunto en el que se puede determinar con exactitud el número de

elementos; se conocen el primero y el último y, además, pueden contarse.

Ejemplo:

Sea P = {x / -2 < x <2; x є Z}

P = {-2, -1, 0, 1}

1.2.3. Conjunto infinito

Es un conjunto del que no se sabe el número de elementos, o sea, no

pueden contarse sus elementos.

Ejemplo:


Sea D = {x / x Є N} D = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...}

1.2.4. Conjunto universal o referencia

Es un conjunto que puede ser finito o infinito, y se utiliza para realizar

operaciones con conjuntos que tienen menos elementos que él, y los

elementos de esos conjuntos pertenecen al Universal.

Ejemplo:

F = {x / x es una letra del abecedario} Universal

1.2.5. Subconjunto

Sean A y B dos conjuntos diferentes; decimos que A es subconjunto de B, si

todo elemento de A es también elemento de B, y se denota por A C B.

En otras palabras: A C B equivale a: si x Є A entonces x Є B.

Ejemplo:

Consideremos los conjuntos B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y A ={2, 3, 6}; como se

puede observar, todos los elementos de A están en B. Decimos que “A está

incluido en B” o que “A es subconjunto de B”; es decir, A C B.

Una representación visual de los conjuntos, que se obtiene mediante los

diagramas de Venn, es de gran utilidad para comprender los conceptos ya

expuestos, así como para resolver problemas que competen a los conjuntos.

El conjunto universal U se representa mediante un rectángulo, y los

subconjuntos de U, a través de círculos dentro de dicho rectángulo.


Utilizar diagramas de Venn para representar las siguientes afirmaciones:

a) El conjunto A es subconjunto del conjunto B. Ver figura 1

b) El conjunto A no es subconjunto del conjunto B. Ver figura 2

A C B A ¢ B

Figura 1 Figura 2

1.3. Propiedades de la inclusión

P – 1 El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto; si C es un

conjunto cualquiera, entonces, Ø C C

P – 2 Todo conjunto es subconjunto de sí mismo, sea B un conjunto

cualquiera, entonces, B C B

P – 3 Si A es un subconjunto de B y a su vez B es subconjunto de C,

entonces, A es subconjunto de C; así: si A C B Λ B C C, entonces, A C C.


A

B

U

A B

U

1.4. Operaciones entre conjuntos y sus aplicaciones

Operaciones entre conjuntos

Una vez presentado el concepto de conjunto, se verán ahora las operaciones

que entre ellos se pueden realizar, observando las formas en que pueden

combinarse los conjuntos para producir otros.

Se supone que todos los conjuntos son subconjuntos de un conjunto U dado.

Unión de conjuntos

(U). Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de un conjunto universal

U. La unión de A y B, que se escribe A U B, es el conjunto de todos los

elementos que pertenecen a A, a B, o a ambos. Para denominar los

elementos de A U B, se utiliza la disyunción inclusiva (v).

A U B ={x / x Є A v x Є B} ó {x Є A U B o x Є A v x Є B}

La parte sombreada del diagrama de Venn muestra el conjunto A U B.

A U B

Propiedades de la unión


U

U

A B

P – 1 Conmutativa: A U B = B U A

P – 2 Asociativa: A U (B U C) = (A U B) U C

P – 3 Identidad: A U Ø = A, A U U = U

P – 4 Idempotencia: A U A = A

Ejemplo 1:

Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6, 7}

El nuevo conjunto es A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Ejemplo 2:

Sea A = {a, e, i} Λ B = {c, d, f},

entonces, A U B = {a, c, d, e, f, i}

Intersección de conjuntos

(∩). Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de un conjunto universal

U. La intersección de A y B es un nuevo conjunto formado por aquellos

elementos que estén simultáneamente en A y en B, lo cual se escribe A ∩ B,

y que toma los elementos que estén en A y que estén en B.

Para denominar los elementos de A ∩ B, se utiliza la conjunción (Λ).

A ∩ B = {x / x Є A Λ x Є B}

La parte sombreada del diagrama de Venn muestra el conjunto A ∩ B.


A ∩ B

Propiedades de la intersección

P – 1 Conmutativa: A ∩ B = B ∩ A

P – 2 Asociativa: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

P – 3 Distributiva: A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

P – 4 Identidad: A ∩ Ø = Ø; A ∩ U = A

P – 5 Idempotencia: A ∩ A = A

Ejemplo 1:

Sea A = {1, 3, 5, 7, 9} y B = {2, 4, 6, 8, 10},

entonces, A ∩ B = Ø

Ejemplo 2:

Sea A = {x/ -1 < x < 5, x Є Z}

B = {x/ -0 < x < 6, x es número par}

A ∩ B = {0, 2, 4}

Ejemplo 3:


U

U

A B

Sea A = { a, b, c, d, e} y B = { a, e, i, o, u}

A ∩ B = {a, e}

Diferencia de conjuntos

(-). Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de un conjunto universal U.

La diferencia entre A y B, que se escribe A – B, es un nuevo conjunto

formado por los elementos que pertenezcan a A, pero que no pertenezcan a

B. A – B = {x / x Є A Λ x Є B}

La parte sombreada del diagrama de Venn muestra el conjunto A – B

A – B

Propiedades de la diferencia

P – 1: A – B ≠ B - A

P – 2: A – B = A ∩ B’

P – 3: U – A = A’

P – 4: A – A = Ø


U

U

A B

Ejemplo 1:

Dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {4, 5, 6, 7}

Hallar: A – B Λ B – A

A – B = {1, 2, 3} Λ B – A = {6, 7}

Ejemplo 2:

Sea A = {x / x es número primo par, mayor que cero}

B = {x / 0 < x < 5}

A – B = Ø Λ B – A = {0, 1, 3, 4}

Complemento de un conjunto con respecto de un conjunto universal

Si U es un conjunto universal y A es un subconjunto de U, entonces el

conjunto de todos los elementos en U, que no están en A, o los elementos

que le faltan a A, para ser igual al universal, son el complemento de A y se

denota A’.

A’ = {x / x Є U Λ x Є A}

La parte sombreada del diagrama de Venn muestra el conjunto A’


A’

Ejemplo 1:

Sea U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y A = {2, 4, 6, 8, 10}

A’ = {1, 3, 5, 7, 9}

Ejemplo 2:

Sea U = {x / x es divisor de 18} Λ A = {x / x es divisor par de 18}

A’ = {1, 3, 9}

Número de elementos en un conjunto finito

Conteo de los elementos de un conjunto

La solución a algunos problemas en Matemáticas requiere determinar el

número de elementos de un conjunto.

El número de elementos de un conjunto se obtiene contando dichos

elementos y se denota por n(A); por ejemplo, si:

A = {1, 2, 3,.., 10}, B = {h, i}, C = {3}


A

A’

U

Entonces: n(A) = 10, n(B) = 2 y n(C) = 1

n (Ø) = 0

n (A U B) = n (A) + n (B)

En general: n (A U B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B)

Ejemplo 1:

En un estudio de consumidores realizado en un centro comercial, 80

consumidores indicaron que compran la marca A de cierto producto; 68

compran la marca B; y 42 adquieren ambas. Determine la cantidad de

consumidores participantes en el estudio. Quienes compran:

a. Al menos una de estas marcas

b. Exactamente una de estas marcas

c. Sólo la marca A

d. Ninguna de estas marcas

Solución:

Datos:

a. 120 consumidores

b. 80 compran la marca A

c. 68 compran la marca B

Luego, se construye un diagrama de Venn que permite, a través de su

arreglo, organizar los datos y poder concluir acerca de los interrogantes. El

conjunto de los que sólo compran la marca A está dado por: 80 – 42 = 38; los

que sólo compran la marca B está dado por: 68 – 42 = 26.


a. Con base en la figura, aquellos que compran al menos una de las marcas,

corresponde a la unión de A y B, o sea: 38 + 42 + 26 = 106

consumidores.

b. De la figura, los que compran exactamente una de las marcas,

corresponde a la unión de los dos conjuntos, menos la intersección de

los dos conjuntos, es decir, 38 + 26 = 64 consumidores.

c. Para aquellos que sólo compran la marca A, se toma todo el conjunto A

y se resta la intersección de los dos conjuntos, así: 80 – 42 = 38

consumidores.

d. Los que no compran ninguna de las dos marcas son aquellos que

pertenecen al Universal y no pertenecen a A ó a B, es decir, 14

consumidores.

Ejemplo 2:

En un estudio de 100 locales comerciales se halló que 50 de ellos venden a

crédito, 80 venden de contado y 60 lo hacen de contado y a crédito.

¿Cuántos locales venden a crédito o de contado?


38 2642

AB

U

Sea U el conjunto de los 100 locales estudiados y sean:

A = { x Є U / x vende a crédito}

B = { x Є U / x vende de contado}

Entonces, n (A)= 50, n (B)= 80 y n (A ∩ B)= 60

El conjunto de locales que vende a crédito o de contado está dado por A U

B. Con la ecuación se halla la solución así:

n (A U B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B)

= 50 + 80 - 60

= 70

De tal forma que 70 de los 100 locales venden a crédito o de contado.

Ahora, una relación del número de elementos de tres conjuntos A, B y C está

dada por:

n(AUBUC) = n(A)+n(B) + n(C) – n(A∩B) – n(A∩C) – n(B∩C) + n(A∩B∩C)

En la práctica, es más fácil enfrentar un problema directamente con la ayuda

de diagramas de Venn, como lo muestran los siguientes ejemplos:

Ejemplo 3:

Un fabricante de cosméticos anuncia sus productos en tres revistas, así:

Cosmopolitan, Vanidades y Avon.

Un estudio realizado por el fabricante a 500 clientes revela la siguiente

información:

a. 180 se enteran de los productos por Cosmopolitan

b. 200 se enteran de los productos por Vanidades Fundamentos Matemáticos 35

c. 192 se enteran de los productos por Avon

d. 84 se enteran de los productos por Cosmopolitan y Vanidades

e. 52 se enteran de los productos por Cosmopolitan y Avon

f. 64 se enteran de los productos por Vanidades y Avon

g. 38 se enteraron de los productos por las tres revistas

¿Cuántos clientes vieron la publicidad del fabricante en:

a. Al menos una revista

b. Exactamente una revista

Para la solución se apoya en un diagrama de Venn

n (A ∩ V) = 64 – 38 = 26 personas que se informan a través de

Vanidades y Avon.

n (A ∩ C) = 52 – 38 = 14 personas que se informaron a través de

Avon y Cosmopolitan.


C V

U

82

1426

38

9046

114

A

n (C ∩ V) = 84 – 38 = 46 personas que se informaron a través de

Cosmpolitan y Vanidades.

n (A) = 192 – 14 – 38 – 26= 114 personas que se informaron a través

de Avon, solamente.

Así mismo:

n (V) = 200 – 46 – 38 –26 = 90 personas mediante Vanidades

n (C) = 180 –14 – 38 – 46 = 82 sólo por Cosmopolitan

500 – (90 + 26 + 114 + 14 + 82 + 46 + 38) = 90 supieron por otros medios.

Ejemplo 4:

La siguiente encuesta muestra la preferencia que por algunas asignaturas

tiene un grupo de estudiantes del primer semestre del programa de

Administración de Empresas de la FUNLAM:

A 36 les gusta Matemáticas

A 32 les gusta Administración

A 31 les gusta Economía

A 16 les gusta Administración y Economía

A 15 les gustan Matemáticas y Administración

A 14 les gustan Matemáticas y Economía

Y 6 tienen preferencia por las tres asignaturas.

Encontrar:

a. ¿Cuántos estudiantes fueron encuestados?

b. ¿Cuántos estudiantes prefieren solamente Matemáticas?

c. ¿Cuántos no prefieren Economía?Fundamentos Matemáticos 37

d. ¿Cuántos prefieren Matemáticas y Economía pero no

Administración?

Solución:

Se construye el diagrama de Venn que permite una mejor interpretación del

problema. De su lectura se puede dar respuesta a los interrogantes.

Respuesta

a. 60

b. 13

c. 29

d. 8


M A

U

13

810

6

79

7

E

1.5. Conjuntos numéricos

1.5.1. Definición y concepto de los conjuntos numéricos

Números naturales (N)

N = {1, 2, 3, 4, 5,...} Son los números que están en el intervalo de 1 a infinito.

Cualquier número natural se podrá sumar o multiplicar, pero no todos

admiten la diferencia y la división.

Z = Número enteros

Z = {--∞,..., -2, -1, 0, 1, 2,...}

Corresponden a los números naturales positivos y sus opuestos, unidos al

cero. Pueden ejecutarse bajo cualquier operación, exceptuando la división.

Q = Números racionales

Son aquellos que tienen la forma:

a

b

Q = {-∞,..., -7, -1, 2, 9}

4 3

Admiten cualquiera de las cuatro operaciones (suma, resta, multiplicación y

división) entre ellos.


Q`= Números irracionales

Corresponden a raíces inexactas, el número Π y el número e.

Q' = {-∞, …… 1,2− , 1, Π,… + ∞}

Se puede operar en cualquiera de los casos.

R = Números reales

Es el conjunto que reúne a todos los conjuntos anteriores; por ello, se

pueden operar con suma, resta, multiplicación y división.

R = {-∞,..., -3, 0, ½, 20,….+∞}

1.5.2. Propiedades de los números reales

Las propiedades fundamentales, llamadas postulados admitidos sin

demostración, constituyen la teoría básica para los conjuntos numéricos, así:

Para la suma

P - 1 Si a y b son números reales entonces a + b es un número real,

Propiedad Clausurativa.

P - 2 a + b = b + a para toda pareja de números reales. Propiedad

Conmutativa.


P - 3 a + (b + c) = (a + b) + c para cualquier terna de números reales.

Propiedad asociativa.

P - 4 a + 0 = a, para todo número real a. Propiedad modulativa.

P - 5 a + (-a) = 0 para todo número real a. Propiedad inverso

aditivo.

Para el producto

P - 1 Si a y b son números reales, entonces, a.b es un número Real.

Propiedad clausurativa.

P - 2 ab = ba para toda pareja de números reales a, b, Propiedad

conmutativa.

P - 3 a.(b.c) = (a.b).c = a.b.c para toda terna de números reales a, b, c

Propiedad asociativa.

P - 4 a.1 = a, para todo número real a. Propiedad modulativa.

P - 5 a.a-1 = Si es diferente de cero. Propiedad inverso

multiplicativo.

Para producto y suma

a (a + c) = ab + ac para toda terna de números Reales a, b, c. Propiedad

distributiva.


Ejemplos:

1. 5 + 7= 7 + 5 2. 8. (-4) = (-4).8

12 = 12 -32 = -32

3. 10 + (8 + 9) = (10 + 8) + 9

10 + 17 = 18 + 9

27= 27

4. 9 + (-9) = 0 5. 15.1 = 15

6. 7 + 0 = 7 7. 14 x 8 = 8 x 14

112 = 112

1.5.3. Ley de signos para los números reales en el producto y la

división

(+) (+) = + + =+

+

(+) (-) = - +/- = -

(-) (+) = - -/+ = -

(-) (-) = + -/- = +

Un conjunto numérico se asocia a una línea recta así:

-∞ -2 -1 0 1 2 ∞


1.6. Operaciones entre conjuntos numéricos

Operaciones combinadas entre conjuntos numéricos

Operaciones de enteros

a. -25 + 8 - 23 = -40

b. 28 - 40 = -12

c. -15 x (-3) = + 45

d. -32 = 8

-4

e. -25 = -5

5

Operaciones con racionales

Fracciones homogéneas

a. 5 + 9 - 3 = 5 + 9 - 3 = 11

4 7 7 7 7

b. 20 - 32 = 20 - 32 = -12 = -4

15 15 15 15 5


c. 1 + 5 - 15 + 17 + 1 =1+5-15+17+8=1+5-15+17+8=16=2

8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

Fracciones heterogéneas

Para resolverlas es necesario hallar un común denominador que se obtiene a

través del M. C. M.

a. 5 + 23 = 5 + 46 = 51

8 4 8 8

b. 7 + 9 – 5 + 1 = 5 12 4 3 2

5 12 4 3 5 6 2 3 2

5 3 1 3 3

84 + 45 – 75 + 20 = 74 = 37 5 1 1 1 5

60 60 30 1

M.C M = 2x2x3x5

= 60

c. 9 + 3 – 70 + 3 = 900 + 30 – 70 + 3.000 = 3.860 = 193

10 100 1.000 1.000 1.000 50

d. 5 x 9 = 45

4 7 28

e. (- 3 ) x (- 2 ) x ( - 1 ) = - 6 = - 3

5 7 4 140 70


f. 9 ÷ 8 = 9 x 4 = 36 = 3

3 4 8 x 3 24 2

g. 5 ÷ 1 ÷ 3 = 5 . 7 ÷ 4 = 140 = 36

8 7 4 8 1 3 24 5

Operaciones con irracionales

a. 0.35 + 0.7 – 0.4 = 0.65

b. (0.28) (0.36) (-0.3) = 0.03024

c. 1.368 ÷ 2.45 = 5.58

d. 3√ 5 + 7√5 - 4√5 = 6 √5

e. 5 . 8 x 9 . 3 + √3 – 5 = 53.94 + 1.73 – 5 = 50.67

Solución de un polinomio numérico

a. Halle la solución de un polinomio:

125 – {2 – 4 (8 + 7 – 4) – 3 (5 + 9 – 10) – (15 ÷ 3) + 10}=

125 – {2 – 4 x 11 – 3 x 4 –5 + 10}=

125 – {2 – 44 – 12 – 5 + 10}=

125 – 2 + 44 + 12 + 5 – 10 = 174

b. 3 . { 1 – [3 – 1 (1 x 3) – 2 (1 ÷ 3)] – (3 + 1)]Fundamentos Matemáticos 45

4 2 2 4 5 2 4 5 4 4

3 {1 – [3 – 3 - 2. (5) ] – 4} =

4 2 2 40 12 4

3 {1 – [3 – 3 - 10] – 1} =

4 2 2 40 12

3 {1 – 3 + 3 + 5 –1} =

4 2 2 40 6

3 - 9 + 9 + 15 - 5 – 3 =

8 8 60 24 8 4

- 6 - 9 + 5 - 3 =

8 160 8 4

9 - 1 - 3 = 9 – 20 – 120 = 131

160 8 4 160 160


2. FACTORIZACIÓN, POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

OBJETIVOS

1. Conocer con claridad el concepto de

expresión algebraica (polinomios) y las

operaciones entre ellos.

2. Factorizar totalmente cualquier polinomio.

3. Identificar el concepto de potencia, sus

propiedades y operaciones.

4. Distinguir los radicales, sus propiedades y

la forma de extraer cualquier raíz y su

aporte en el álgebra.


OBJETIVOS

2.1. Expresiones algebraicas y sus operaciones (polinomios)

2.1.1. Operaciones algebraicas básicas

Para el desarrollo de este tema se requiere de algunos conceptos básicos así:

Expresión algebraica

Está formada por la combinación de números, letras (llamadas variables) y

símbolos de operación.

Ejemplos:

3 x2 – 5 xy + √2 y2

5 mnp + (3 m n )2

p – 3

Éstas son expresiones algebraicas.

Términos

La parte de la expresión algebraica separada con un más (+) o un menos (-)

se llama término. Dependiendo del número de términos se habla de


monomio, binomio, trinomio, según tenga uno, dos o tres términos y, más

general, polinomio.

Ejemplo:

3x2 + 5 x – 3 Trinomio

5a + (7b)2 Binomio

4 x3 – 5 x2 + 7x – 10 Polinomio

Factor

Son términos formados por números y variables multiplicados entre sí: 2x,

9xyz

Coeficiente

Cuando uno de los factores de un término es un número, se denomina

coeficiente.

Ejemplo:

Para los términos 5 x2y3, 9 √xy; los coeficientes son; 5 y 9

Términos semejantes

Los términos que sólo difieren en sus coeficientes numéricos se denominan

términos semejantes.


Ejemplos:

a) 3 x2yz; 1 x2yz

4

b) 4 m2n2p; √5 m2n2p

c) 3 (x + y); 17 (x + y)

d) –8 (a + b)2; 7 (a + b)2

5

Son términos semejantes.

Potencias

Recordar que xn, con n Є N, indica un producto donde “x” aparece como

factor “n” veces. A “x” se le llama base y “n” exponente de la potencia. Por

lo tanto:

x1 = x

x2 = x.x

x3 = x.x.x

xn = x.x.x.x.x….x “n” veces.

Además, recordar las siguientes propiedades de la potencia:

P – 1 xm . xn = xm+n

P – 2 x m = xm-n

xn

P – 3 (Xm)n = Xm.n


P – 4 (x . y)m = xm . ym

Ejemplos:

- a3. a2 = a5

- m 6 = m4

m2

- (m3)2 = m6

- (a.b.c)3 = a3 b 3c 3

Valor numérico de una expresión

En algún momento es necesario sustituir, en una expresión algebraica, un

número por una letra para obtener un resultado numérico.

Se escribe la expresión y se remplaza la letra por el número.

Ejemplo: Si x = 2 y la expresión es 6x2 – 9x = 6 (2)2 -9 (2)

= 6. (4) – 18

= 24 – 18

= 6

2.1.2. Términos semejantes - operaciones

Los términos semejantes se pueden sumar o restar, porque poseen las

mismas variables elevadas al mismo exponente.


Ejemplos:

a. 2x + x + x = 4x

b. 4x2 + 5x2 – 3x2 = 6x2

c. 5a2b + 9a2b – 4a2b = 10a2b

Sólo se pueden sumar o restar términos que sean semejantes.

2/5 ma + 1/5 + 2ma =

3/5 ma + 2ma/1 = 5

13ma

5

10ma3ma =+

2.1.3. Polinomios y operaciones con polinomios

Se hallarán polinomios con una sola variable.

Ejemplo:

P(x) = x3 – 7x – 14x +8

Y polinomios con distintas variables.

Ejemplo:

P(x, y) = 4x3y2 + 5xy3 – 3x2y2+9

5

Suma y resta de polinomios

Los polinomios cumplen las mismas propiedades de los números reales.

Para sumar dos polinomios o más se deben sumar términos semejantes

entre sí hasta reducir a un solo polinomio, ordenado de mayor a menor.Fundamentos Matemáticos 53

Para restar, se cambian los signos del sustraendo y se procede, luego, igual

que en la suma.

Ejemplo 1:

Efectúe la suma de los siguientes polinomios

( )7x5x4 2 +− ; ( )3x6x3 2 −+ ; ( )4xx2 2 +− , entonces queda:

( ) ( ) ( ) =+−+−+++− 4xx23x6x37x5x4 222

( ) ( ) ( ) =+−+−+−+++ 432765234 222 xxxxxx

89 2 +x

Ejemplo 2:

Efectúe la resta de los polinomios:

354 23 ++ xx con 753 2 ++ xx queda:

( ) ( ) =++−++ 75354 2323 xxxx

354 23 ++ xx - =−− 75 23 xx

43 −3x

Producto de polinomios

Para multiplicar dos polinomios se aplica repetidamente la propiedad

distributiva, multiplicando cada término del primer polinomio por todos los del


segundo y, luego, se suma o resta. Además, se debe tener en cuenta el

producto de potencias de igual base.

Ejemplo:

Realizar el producto de:

a. ( ) ( ) =+−3++ 5794 2 xxx

=+−++− 456327202812 223 xxxxx

454312 23 +−− xxx

b. ( ) =+−3 984 2 xxx

xxx 363212 23 +−

Efectúe la siguiente operación y simplifique:

( ) ( ) ( ) =+−−+−+ 262213 232 xxxxx

xxxxxxxxx 526222636 232223 =−+−+−−++−

Cociente de polinomios o división de polinomios

División de monomios

Se dividen los coeficientes aplicando la ley de signos para la división y, a la

parte literal, se le aplica la propiedad para dividir potencias de igual base,

antes expuesta.

Ejemplos:


Dividir

a. 3

2

5

Xx

x =

b. 222

22

43

83

24 4

ZYXYZX

zyx −=−

División de un polinomio por un monomio

Se divide cada término del polinomio por el monomio.

Ejemplos:

Dividir

833

24

3

9

3

249 233

−=−=−a

a

a

a

a

a

aa

2

4

2

3

22

435

3

24

3

9

3

518

3

24918

x

x

x

x

x

x

x

xxx

−+

−−

−=

−+−

23 836 xxx −+−=

División de un polinomio por otro polinomio

Pasos a seguir:

Se ordenan los polinomios de manera decreciente.


Se divide el primer término del dividendo por el primer término del

divisor, para obtener el primer término del cociente.

Se multiplica este primer término del cociente por cada uno de los

términos del divisor y el resultado se resta del dividendo; así se

obtiene un dividendo parcial.

Continuamos a partir de este dividendo parcial, conforme se indicó en

los dos pasos anteriores, hasta obtener un residuo de menor

exponente que el divisor.

Si el residuo es cero la división es EXACTA.

Ejemplo:

Efectúe las siguientes divisiones:

a. ( ) ( )14441 325462 −+−÷+−+−− mmmmmmmm

14204 3456 −−++−+ mmmmmm

1m

1m4mm3

23

+−+−

3456 mm4mm ++−−

1m4mm 23 −−+

0

1m4mm 23 ++−−

b. ( ) ( )129715113 2245 ++÷++−+ xxxxxx


97150113 2345 ++−++ xxxxx

6x13x5x3

1x2x23

2

+−+++

cociente

3x34x65x3 −−−

234 x15x3x5 −−+

2x53x104x5 −−−

x7x20x13 23 +−−

xxx 132613 23 +++

6126

92062

2

−−−++xx

xx

residuox 38 +−

2.2. Factorización y simplificación de expresiones algebraicas

2.2.1. Factorización y simplificación de polinomios

Antes de abordar la factorización de polinomios consideremos los siguientes

productos notables así:

(a+b)2 = a2 +2ab+b2 binomio al cuadrado

(a-b)2 = a2 -2ab+b2

Ejemplos:

Efectuar:

a. (x+3)2 = x2 +6x+32

= x2+6x+9

(2a-3b)2 = (2a)2 – 2(2a)(3b)+(3b)2


= 4a2 -12ab +9b2

b. (a+b) (a-b) = a2-b2 suma por diferencia

Ejemplo:

(x+7) (x-7) = x2 -72

= x2 – 49

2.2.2. Factorización de polinomios

Al proceso de expresar un polinomio como un producto de otros polinomios

se le da el nombre de factorización.

Cuando un polinomio no puede factorizarse en un determinado conjunto

numérico se dice que es primo en dicho conjunto numérico. Consideremos

varios casos de factorización:

Factor común

El factor común de un polinomio es el máximo común divisor (M.C.D.) de los

términos del polinomio. Para obtener el otro factor se divide el polinomio

dado por el factor común.

Ejemplos:

Factorizar los siguientes polinomios:

a. 8b2m2 + 32b2m + 6bm2 = 2bm (4bm+16b + 3m)Fundamentos Matemáticos 59

b. 26a4 -39a3x +13a3 = 13a (2a-3x+1)

c. 5y (3x+7) – 2m(3x+7) = (3x+7) (5y -2m)

Factor común por agrupación de términos

Se aplica cuando no hay un factor común monomio y el número de términos

sea cuatro o mayor que cuatro y se agrupan en parejas o tríos que tengan

una característica común.

Ejemplos:


a. max +mby + mbx +may =

(max +mbx) + (may + mby) =

mx (a+b) + my (a+b) =

(a+b) (mx+my) =

(a+b) (mx+my)

b. 36am -45an + 4m -5n =

(36am +4m) – (45an + 5n) =

4m (9a + 1) – 5n (9a + 1) =

(9a + 1) (4m – 5n)

Trinomio cuadrado perfecto


Se reconoce porque tiene tres términos, donde el primero y el último son

positivos y tienen raíz cuadrada exacta, y el término de la mitad es el doble

producto de las dos raíces.

Ejemplo:

Factorice los siguientes polinomios:

a. x2 + 18x + 81 = (x+9)2

x 9

2 (x) (9)

b. 9x2 - 48xy + 64y2 = (3x-8y)2

3x 8y

2 (3x) (8y)

c. a2b2 - 20ab + 100 = (ab – 10)2

ab 10

2 (ab) (10) – 10

Diferencia de cuadrados


Una diferencia de cuadrados es igual a la suma de las raíces cuadradas de

los términos, multiplicada por la diferencia de las mismas.

Ejemplo:

Factorice los siguientes polinomios

a. x2 – 81 = (x +9) (x-9)

b. 16A2 – 25B2 = (4A + 5B) (4A- 5B)

c.

−

+=− yb

a

xyb

a

x

b

y

a

X 3392

2

2

2

d. x4 – 81 = (x2 +9) (x2 – 9)

= (x2 + 9) (x + 3) ( x-3)

e. (2x – 5)2 – (3x – 5)2 =

[(2x – 5) + (3x -5)] [(2x – 5) + (3x -5)] =

[2x – 5 + 3x -5] [2x – 5 - 3x -5] =

[5x – 10] [- x]

Trinomio de la forma x2 + bx +c

Un trinomio de esta forma se resuelve con dos paréntesis, donde se coloca

en ambos la raíz del término cuadrático, y hallando dos números, que

multiplicados, den el valor de c y su suma o diferencia dé el valor de b.


a2 – b2 = (a+b) (a-b)

Ejemplo:

Factorice los siguientes polinomios:

a. x2 – 5x - 66 = (x - 11) (x + 6)

b. x2 - 29x + 204 = (x – 17) (x – 12)

c. x2y2 – 3xyz – 10z2 = (xy – 5z) (xy + 27)

d. a4 + 30ª + 81b2 = (a + 27b) (a + 3b)

e. (x –1)2 + 3(x – 1) – 108 =

[(x – 1) + 12] [(x – 1) - 9]

Trinomio de la forma ax2 + bx + c

Se diferencia del caso anterior en el coeficiente del término cuadrático, o sea,

el valor de “a” que es diferente de 1.

Para su solución, se utiliza el método de tanteo, que consiste en

descomponer el primer término y el último en dos factores, de tal forma que

al hacer el producto en cruz y luego sumar o restar dé el término de la mitad;

luego, se escribe la factorización con dos paréntesis.


Ejemplos:


a. 5x2 – 17x + 6 = (5x – 2) (x – 3)

5x - 2

-15x – 2x = -17x

x - 3

b. 10x2 + 79x - 8 = (10x – 1) (x + 8)

10x - 1

80x – x = 79x

x + 8

c. 6x2 – 13xm – 15m2 = (6x + 5m) (x – 3m)

6x + 5m

- 18xm + 5xm = -13xm

x - 3m


d. 8q2 – 38q – 33 = (4q + 3) (2q – 11)

4q + 3

- 44q + 6q = -38q

q -11

Suma o diferencia de cubos

La suma o resta de cubos es igual al producto de un binomio por un trinomio.

El binomio está formado por la suma o la resta de las raíces cúbicas de cada

término.

El trinomio consta de: el cuadrado de la primera raíz, el producto de las dos

raíces y el cuadrado de la segunda raíz.

Los signos del trinomio son:

a. para la suma: (+), (-), (+)

b. para la diferencia: (+), (+), (+)

a3 + b3 = (a +b) (a2 – ab + b2)

a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)


Ejemplo:

Factorice los siguientes polinomios

a. 8x3 + 27y3 = (2x + 3y) (4x2 – 6xy + 9y2)

b.

++

−=−

2520165412564

2233 qpqpqpqp

c. ( ) [ ]baxbax +−=+− )(33 [ ]22 b)ax(b)ax( +−−−

d. )Y100Y6036)(Y106(Y1000216 23 ++−=−

Véase ahora algunos ejercicios combinados:

a. )254(254 22222 −=− axxxa

)52(2 += ax )5a2( −

b. )96(96 2222 +−−=−+− xxaxxa

22 )3( −−= xa

[ ][ ]3()3( −−−+= xaxa

c. x3 + x2 – 42x = x (x2 + x – 42)

= x (x + 7) (x – 6)

d. 3c3 + c2 – 2c = c (3c2 + c – 2)

= c (3c - 2) (c + 1)


2.2.3. Simplificación de expresiones algebraicas

Al igual que las fracciones aritméticas, se dice que una fracción algebraica

está simplificada cuando el numerador y el denominador no tienen más

factor común que la unidad.

Por lo anterior, se debe factorizar tanto numerador como denominador y,

luego, se cancelan los factores comunes.

Simplificar:

a. 28

)2(8

8

168 +=+=+x

xx

b.

3

4

)3)(5(

)2(4

)2)(5(

)5)(5(

152

84

107

2522

2

+=

+−+

++−+

=−−

+++

−

xxx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

c.

1)6)(7(

)1)(5(

)1)(1(

)6)(6(

)5)(6(

)1)(7(

54

42

1

36

3011

782

2

2

2

2

2

=+−+−•

−+−+•

−−−−

−−−−÷

−−•

+−+−

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

a

a

aa

aa


d.

21

3

)1(

)3(2

)3)(3(

)1)(1(

3

1

1

62

9

1

2

2

22

=−−

+++

−+++−

−−÷

+++•

−−3

x

xx

xx

xx

xx

xxx

x

x

xx

x

x

x

2.3. Potencias y radicales

Propiedades y operaciones de las potencias y los radicales

Potencias

Se tienen en cuenta las leyes de los exponentes así.

si x, y son números reales y m, n, son números naturales, entonces:

1. xm.xn = xm+n

2. nymconxxx

x nmn

m

⟩≠,= − 0

3. (xm)n = xmn

4. (xy)m = xmyn

5. 0, ≠=

cony

y

x

y

xn

mm


6. n

n

x

1x =−

7. xº = 1

Ejemplo:

Simplificar utilizando ley de exponentes:

a. (6x3yz) (4x4y5) = 24x7y6z

b. 41216

123

16

34

28

8

25

8

25

2

52

)2(

)5(x

x

x

x

x

x ===−

c. 42 + 32 – 5º = 16 + 9- 1 = 24

d.232

4

222

121

214

16

ab4

a2

bba4

ba4

ba2

=

=

− −−

−−

16

ba

4

ab 6223

=

=

e.2.2.22.2

2.22.2

2.8)2.2(

4.42.2n23n33

nn3

1n23n

nn3

−−=

−−

+

4

1

2

1

2

2

)22(2.2

)22(2.223nn23

nn2

===−−


Radicales

Se representan de la forma nmn xxm /= donde n =índice de la raíz = 2, 3, 4,

…. xm = número al cual se halla raíz. La raíz cuadrada de un número “x” es

otro número “a” que elevado al cuadrado dé el valor de “x”.

Si ax = entonces x = a2

Si fuera raíz cúbica de un número “x” sería otro número “a” que elevado a la

tres reproduce el número “x”.

Cuando se requiere hallar la raíz de un número, se aconseja descomponerlo

en sus factores primos y luego se convierte en potencia para que la solución

sea xm/n.

Cuando “n” es par y x es un número negativo no se obtendrán raíces reales,

sino complejas.

Cuando “n” es impar, entonces, sólo existe una raíz real, así x sea positiva o

negativa.

Evalúe las siguientes raíces:

a. 32221024 510 === porque 32X32 = 1024

b. 55125 3 33 −=−=−

c. 2325 −=−Fundamentos Matemáticos 70

d. 724014 =

e. =−16 no existe

Conversión de un radical a potencia

a. 2/1xx =

b. 3/23 2 xx =

c. 5/15 1 −− = xx

Simplificación de radicales

Suma y resta

a. =+− 5720453

=+− 575x45x93

=+− 575259

714

b. =−− 333 56787531892

=−+ 3 33 33 3 7x57537x32

=−+ 333 71471576

3 77


Producto

a. xyyxyxxy 2824 3 333 223 ==⋅

b. 24.1224243.128 =

22882.3.2.224 222 ==

c. 63.2.2.2.2.2104322x1285 3 333333 ==

33 424043x8x10 ==

Cociente

a. 63

3x3x2

3

108

3

108 22

=== b.2

13

3.2.2

3.3.2

24

108

24

1083

2

22

33

3

===

Racionalización de radicales

Racionalizar radicales significa eliminar las raíces del denominador de la

fracción algebraica. Para hacerlo se multiplican numerador y denominador de

la fracción; el denominador se convierte en una diferencia de cuadrados.

La conjugada de 3+x es 3−x

Racionalizar los denominadores:


a. 55

55

)5(

55

5

5.

5

5

5

52

====

b. 2

31

31

31

)3(1

31

31

31.

31

1

31

12 −

+=−

+=−

+=++

−=

−

c.

)52(31

)52(3

54

)52(3

)5(4

)52(3

52

52.

52

32

−−=−−

=

−−=

−

−=

−−

+


3. RELACIONES Y FUNCIONES


OBJETIVOS

1. A través del concepto de relación, definir

el concepto de función, sus diferentes

tipos y sus gráficos.

2. Definir en todas sus formas el concepto

de función lineal su ecuación y forma de

graficar y su aplicación.

3. Aprender los diferentes métodos de

solución de ecuaciones lineales y

aplicarlos a la solución de ejercicios.

4. Trabajar los conceptos de función

cuadrática, exponencial y logarítmica y

su aplicación a otras áreas de la

administración y la economía.


OBJETIVOS

3.1. Concepto de relación y de función

3.1.1. Definición de relación y de función

Relación

Se llama relación a todo subconjunto de un producto cartesiano formado por

parejas ordenadas así:

Sea A = {1,2} el producto cartesiano AxA = {(1,1); 1,2), (2,1), (2,2)}

Ejemplo:

Dados los conjuntos A = {3,5} y B = {0, 1, 9} construir una relación R: B

(se lee relación de B en A) definida por la función proporcional “x es menor o

igual que y”.

BxA = {(0,3), (0,5) (1,5), (0,9), (9,5)}

Luego, se seleccionan las parejas que hacen verdadera la función

proposicional x menor o igual que y.

R = {(0,3),(0,5),(1,3), (1,5)}

Gráficamente se tiene:


De las parejas que se obtienen en la relación, a las primeras componentes

de la relación se les llama Dominio de la relación (valores de “x” que pueden

ser relacionadas) y a los valores de la segunda componente se les llama

rango o imágenes de la relación.

Ejemplo:

Hallar el dominio y el rango de la relación

R ={(x,y) / 2xy – 3y + 5 =0} definida en los números reales.

Solución:

Dominio: se debe despejar “y” de la relación y analizar “x”.

2xy – 3y + 5 = 0

2xy – 3y = - 5

y (2x – 3 = - 5


0

1

9

3

5

B A

R

0

1

9

3

5

B A

R

y = 3X2

5

−−

2x – 3 ≠ 0 entonces x ≠ 3/2

Rango:

Se despeja x, y se analiza y

2xy = -5 + 3y el rango es para

x = x2

y35 +− 2x = 0 x = 0 o sea reales.

Función

Muchos modelos matemáticos se describen mediante el concepto de

Función.

Un fabricante desea conocer la relación entre las ganancias de su compañía

y su nivel de producción; un biólogo se interesa en el cambio de tamaño de

cierto cultivo de bacterias durante un tiempo; un psicólogo quisiera conocer

la relación entre el tiempo de aprendizaje de un individuo y la longitud de una

lista de palabras; y a un químico le interesa la relación entre la velocidad de

una reacción y la sustancia utilizada. En cada caso la pregunta es la misma:

¿cómo depende una cantidad de otra? Esta dependencia entre dos

cantidades se describe en Matemáticas como una Función.


x1

x2

x3

a

b

c

d

B A

f

x1

x2

x3

a

b

c

d

B A

f

Definición de función

Una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto A uno

y sólo un elemento de un conjunto B.

Ejemplo:

Al conjunto A se le denomina dominio de la función y se denota, como f. Si

x es un elemento de f, entonces el elemento en B se denota por y = f(x) (se

lee “f de x”) y al conjunto de valores de B se le llama conjunto imagen.

Se puede pensar una función f como una máquina donde el dominio es el

conjunto de entradas (la materia prima) para la máquina; la regla describe la

forma de procesar la entrada y los valores de la función son las salidas de la

máquina (ver figura 3).


Figura 3

Es importante entender que la salida f(x) asociada con una entrada x es

única.

Un ejemplo de función surge a partir de la relación entre el área de un círculo

y su radio. Si x es el radio y y el área de un círculo se tiene que y = Π x2.

Para calcular el área de un círculo cuyo radio es 5 cm. Se reemplaza x = 5

en la ecuación y se tiene:

y = Π (5cm)2 = 25 Π cm2

En general para evaluar una Función se reemplazan los valores de x.

Sea f la función definida por la regla f(x) = 2x2 – x + 1.


f

Entrada

X

f (x)

Salida

f

Entrada

X

f (x)

Salida

Calcular:

a. f(1) b. f (-2) c. f(h)

f (1) = 2(1)2 – 1 + 1 = 2

f (-2) = 2 (-2)2 – (-2) + 1 = 11

f(h) = 2(h)2 – h + 1

= 2h2 – h + 1

3.1.2. Tipos de funciones

En el recorrido del módulo se tomarán las funciones de más frecuencia

utilizadas en Administración.

Estas funciones son: Función lineal, Función cuadrática, Función exponencial

y Función logarítmica, con sus respectivas gráficas. Las anteriores funciones

se tratarán más detalladamente en capítulos posteriores a esta unidad.

3.2. Función lineal y ecuaciones lineales

Función lineal

La función f definida por: y = f (x)= mx + b donde m y b son constantes, se

denomina función lineal.

Su nombre se debe al hecho de que su representación, en un sistema de

coordenadas de dos dimensiones, es una línea recta.


El dominio y el rango de esta función es el conjunto de todos los números

reales. A m se le denomina pendiente o inclinación de la recta, y a b el

intercepto o corte con el eje y del plano cartesiano.

La inclinación de la recta dependerá del signo de m y su gráfica:


y

x

(0,b)

m > 0

m≤ 0

y(0,b)

Para graficar una función lineal se elabora una tabla de valores, dando a x

valores arbitrarios, para obtener así los valores de y. Después de ubicar cada

pareja en el plano cartesiano y marcar un punto, se unen éstos para así

obtener su gráfica.

Ejemplo 1:

Graficar las funciones lineales cuyas ecuaciones son:

x 0 1 2 x 0 1 2y -1 1 3 y 3 1 -1


Y = 2x-1 ^ Y = -2x+3

La función lineal presenta otra ecuación muy importante, denominada

ecuación punto-pendiente. Esta ecuación se obtiene luego de conocer las

coordenadas de dos puntos de una misma línea recta o de los datos de un

problema específico.

La ecuación tendrá la siguiente forma así:

y - y1= m (x-x1) ó y - y2= m (x-x2)Fundamentos Matemáticos

y

4

3 y = 2 x - 1

2

1x

-3 -2 -1 1 2 3-1 y = -2 x + 3

-2

-3 y = 2 x - 1

84

Donde P1 (x1,y1) ^ P2 (x2,y2) son las coordenadas de los dos puntos

pertenecientes a la misma línea recta; y la pendiente m se calcula así:

m= 12

12

xx

yy

−−

m=21

21

xx

yy

−−

Ejemplo 2:

Encuentre la ecuación de una línea recta que pasa por los puntos P1(-3, -2) y

P2 (2, 3) y realice su gráfico.

m - y2 – y1 - 3 – (-2) - 3 + 2 - 5 - 1

x2 – x1 2 – (-3) 2 + 3 5

y – y1 = m (x – x1) ó y – y2 = m (x – x2)

y – (-2)= 1 (x – (-3)) y - 3 = 1 (x – 2)

y + 2 = x + 3 y – 3 = x - 2

y = x + 3 – 2 y = x – 2 + 3

y = x + 1 y = x + 1


y

x

(0,1)

(-1,0)

y

x

(0,1)

(-1,0)

Ejemplo 3:

Se pide al estudiante calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos

P1(3, -1) y P2(4,5) y realizar su gráfico.

Las funciones lineales desempeñan un papel muy importante en el análisis

cuantitativo de los problemas comerciales y económicos. Muchos problemas

son lineales por naturaleza y pueden formularse en términos de funciones

lineales. Además, como es tan sencillo trabajar con funciones lineales, en

muchos casos es posible obtener modelos matemáticos aceptables que

aproximan las situaciones reales.

Aplicaciones de las funciones lineales

Las funciones lineales son de gran aplicación en todos los campos del saber;

para nuestro interés, sólo abordaremos lo que se refiere a ellas, en

problemas de Administración y Economía.

La dirección de una empresa (ya sea de un dueño único o una gran

corporación) debe mantener un registro constante de los costos de

operación, de los ingresos resultantes de la venta o servicios y, tal vez, lo

más importante, de las ganancias obtenidas. Tres funciones ofrecen a la

dirección una medida de estas cantidades: la función de costos totales, la

función de ingresos y la función de ganancias.

Para la producción de cualquier bien en una empresa intervienen dos tipos

de costos que se conocen como costos fijos y costos variables. Los costos

fijos no dependen del nivel o cantidad de artículos producidos. Ejemplo de

éstos son: las rentas, los intereses sobre préstamos y los salarios de

administración.Fundamentos Matemáticos 86

Los costos variables dependen del nivel de producción, es decir, de la

cantidad de artículos producidos. Ejemplo de estos son los materiales y la

mano de obra empleada en la producción.

El modelo lineal para el costo es:

Se denota x como el número de unidades producidas o vendidas, m el costo

variable por unidad y b como los costos fijos, entonces, la función de costos

totales es:

Ejemplo 4:

El costo variable de procesar un kilo de granos de café es de 50 ¢ y los

costos fijos por día son de $300.

a. Halle la ecuación de corte lineal y dibuje su gráfica.

b. Determine el costo de procesar 1000 kg de café en un día.

C(x) el costo de procesar x kilos de granos de café por día, donde b= $300 y

m= $0.5, de acuerdo con el modelo lineal queda:


COSTO TOTAL = COSTOS VARIABLES + COSTOS FIJOS

Yc=C(x)=mx+b

C(x)=0.5x+300

Ahora, si x = 0, entonces, C(0)=0.5(0)+300

C(0)=300

Si x = 200, entonces, C(200)=0.5(200)+300

C(200)=100+300

C(200)=$400

Con las dos parejas (0, 300) y (200, 400) se realiza la gráfica.

Si x = 1.000 kg, entonces, C(1.000)=0.5 (1.000)+300

C(1.000)=500+300

C(1.000)=800

Por lo tanto, el costo de procesar 1.000 kg de café al día es de $800.

Ejemplo 5:


0

100

200

300

400

500

600

0 100 200 300 400 500

Kilos

Dó

lare

s

Si cuesta $4.500 producir 75 unidades semanales de un producto y $5.200

producir 100 a la semana. ¿Cuáles son los costos fijos semanales y cuál el

costo variable por unidad?

Resolverlo considerando:

x = número de unidades

y = el precio

y la ecuación y - y1= m(x-x1)

La función de ingresos es:

R(x)= Precio por unidad x cantidad de unidades vendidas del producto

Si x = número de vendidas y P el precio de venta de cada unidad, entonces,

la función de ingreso es:

La función de ganancia es:

G(x)= Ganancia Total obtenida por la fabricación y venta de x unidades del

producto.

La función de ganancia se define como:

Ganancia = Ingresos – costos


R(x)=P.x

G(x)= R(x) - C(x)

Ejemplo 6:

Una empresa, fabricante de filtros para agua, tiene costos fijos por $20.000;

costos de producción de $20 por unidad, y un precio de venta unitario de

$30. Determine las funciones de costos, ingresos y ganancia para dicha

empresa. También la ganancia por la venta de 2.500 unidades.

Sea x el número de unidades producidas y vendidas. Entonces:

C(x)= 20x+20.000

R(x)= 30x

G(x)= R(x) – C (x)

= 30x – (20x+20.000)

= 30x – 20x – 20.000

= 10x – 20.000

Si x = 25.000, entonces, G(2.500) = 10(2.500) – 20.000

=25.000-20.000

=$5.000

Otra aplicación importante de las funciones lineales es la que se denomina

depreciación lineal.

Cuando una empresa compra parte de un equipo o maquinaria, reporta el

valor de ese equipo como uno de los activos en su hoja de balance. En años

subsecuentes este valor debe disminuirse debido al lento desgaste del

equipo, o bien, a que se vuelve obsoleto. Esta reducción gradual del valor de

un activo se denomina depreciación.


Un método común de calcular el monto de la depreciación es reducir el valor,

cada año, en una cantidad constante, de forma tal que dicho valor se

reduzca a un valor de desecho al final del tiempo de vida útil estimado del

equipo. Esto se denomina depreciación lineal.

Se tiene:

Ejemplo 7:

Una empresa compra maquinaria por $150.000. Se espera que el tiempo de

vida útil de la maquinaria sea de 12 años, con un valor de desecho de cero.

Determine el monto de depreciación anual y una fórmula para el valor

depreciado después de x años.

Solución:

Depreciación por año

=(Precio de adquisición inicial – Valor de desecho)

(vida útil en años)

= 150.000 – 0

12

= 12.500 dólares

Valor después de x años = (Valor inicial) – (Depreciación por año) (número

de años) Fundamentos Matemáticos 91

Tasa de depreciación (anual) = (Valor inicial – valor de desecho)

(tiempo de vida en años)

= (150.000) – (12.500) (x años)

= 150.000 – 12.500 x dólares

Resuelve el estudiante.

Ejemplo 8:

Una compañía está utilizando una depreciación lineal para calcular el valor

de su planta, recientemente construida. Después de dos años está valorada

en $8.8 millones, y después de 6 años, en $7.2 millones. ¿Cuál es el costo

inicial y después de cuántos años el valor se deprecia a cero?

Oferta y demanda

Las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales

en cualquier análisis económico. La cantidad x de cualquier artículo, que será

adquirida por los consumidores, depende del precio en que el artículo esté

disponible. A esta relación se le denomina ley de la demanda.

La ley más simple es una relación del tipo: P = mx + b. Donde P es el precio

por unidad del artículo y m y b son constantes. La gráfica de una ley de

demanda se llama curva de demanda.

Es un hecho que si el precio por unidad de un artículo aumenta, la demanda

por el artículo disminuye, porque menos consumidores podrán adquirirlo;

mientras que si el precio por unidad disminuye, la demanda se incrementará.


La pendiente de esta función es negativa y su gráfica se inclina hacia abajo y

hacia la derecha.

La cantidad de un artículo determinado, que sus proveedores están

dispuestos a ofrecer, depende del precio al cual pueden venderlo. Una

relación que especifique la cantidad de cualquier artículo que los fabricantes

(o vendedores) puedan poner en el mercado a varios precios, se denomina

ley de la oferta y su gráfica se le llama curva de oferta.

En general, los proveedores inundarán el mercado con una gran cantidad de

artículos, si pueden colocarle un precio alto.

Ejemplo 9:

Un fabricante de televisores advierte que a un precio de $500 por televisor,

las ventas ascienden a 2.000 televisores al mes. Sin embargo, a $450 por

televisor, las ventas son de 2.400 unidades. Determine la ecuación de

demanda, suponiendo que es lineal, y realice su gráfica.

Solución:

Formando las parejas cantidad (x) y precio (p), se tiene:

(2.000, 500) y (2.400, 450)

m = 450 – 500__ = -50__ = -0.125

2.400 – 2.000 400

Utilizando la ecuación punto – pendiente:

P – P1 = m (X-X1) quedaFundamentos Matemáticos 93

P – 500 = 0.125 (X – 2.000)

P = -0.125X + 250 + 500

P = -0.125X + 750

Si x = 0, entonces, P = 750

Si x = 6,000, entonces, P = 0

Ejemplo 10:

A un precio de $10 por unidad, una compañía proveería 1.200 unidades de

su producto, y a $15 por unidad, 4.200 unidades.

Determine la relación de la oferta, suponiendo que sea lineal.

Solución:

(1.200, 10) y (4.200, 15)

m - 15 – 10 - 5 - 1

4.200 – 1.200 3.000 600

P – P1 = m (x –x1)

P – 10 - 1 (x – 1.200)

600

P - 1 x – 2 + 10

600


P - 1 x + 8

600

Si x = 0, entonces, P = 8

Si x = 6.000, entonces, P = 18

Sistemas de ecuaciones lineales

Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos

expresiones algebraicas. Por lo regular involucra una o más variables y el

símbolo de igualdad, =.

Una ecuación polinomial de grado 1, se denomina ecuación lineal.

La forma canónica de una ecuación lineal en la variable x es:

ax + b = 0 (a ‡ 0)

Donde a y b son constantes.

Ejemplo 1:

a. x – 4 = 0 es una ecuación lineal. Se pasa 4 al lado derecho,

cambiando de signo, se obtiene x = 4 esto equivale a sumar 4 a

ambos lados. Única solución de la ecuación.

b. 2x + 3 = 0 ecuación lineal. Se pasa 3 al lado derecho, se obtiene:

2x = – 3 dividiendo entre 2 a ambos lados, resulta que:


x - -3_, así es la única solución de la ecuación.

2

c. En el caso general,

ax + b = 0

Se pasa b al lado derecho, lo que da:

ax = -b

Dividiendo entre a, a los dos lados de la igualdad se tiene:

x = -b

a

Al resolver ecuaciones, se dejan los términos que incluyen a la variable al

lado izquierdo de la ecuación, y se pasan las constantes al segundo

miembro.

Resolver las ecuaciones siguientes:

1. 5t – 3 = 18 + 3 (1 – t)

5t – 3 = 18 + 3 – 3t

5t + 3t= 18 + 3 + 3

8t = 24

t = 24

8

t = 3

2. 2x – 5 (1 – 3x) = 1 – 3 ( 1 – 2x)


2x – 5 +15x = 1 – 3 + 6x

2x + 15x – 6x = 1 – 3 + 5

11x = 3

x = 3_

11

3. La solución a la ecuación lineal

3z – 2 + 4 (1 – z) = 5 (1 –2z) – 12 es:

a. 1

b. 2

c. –1

d. No tiene solución

Resolver las ecuaciones:

a. 179 – 18 (x-10) = 158 – 3 (x-17)

179 – 18x + 180 = 158 – 3x + 51

- 18x + 3x = 158 – 179 – 180 + 51

- 15x = - 150

x = 15

150

−−

x = 10

b.

9020218918

90

18

)10(2)2(9

5

9

10

2

2

=++−

=++−

=++−

xx

xx

xx

182090X11 +−=


811

88

=

=

x

x

Sistemas de ecuaciones lineales 2 x 2

Resolver un sistema de ecuaciones es hallar el valor de las variables

desconocidas. Aunque se resuelve por varios métodos, en este tema sólo se

verán tres de ellos, así:

Método de igualación

De ambas ecuaciones se despeja la misma variable y, luego, se igualan las

ecuaciones resultantes. Hallada una de las variables, se sustituye ese valor

en alguna de las ecuaciones para hallar la otra variable.

Método de reducción o eliminación

Se elige la variable que va a eliminarse, y se debe buscar que ésta quede

con el mismo coeficiente en las dos ecuaciones, pero con signo contrario.

Luego, se suman o restan verticalmente las dos ecuaciones, se despeja la

variable que queda y se halla su valor. Posteriormente, se reemplaza este

valor en una de las ecuaciones anteriores para hallar la otra variable.


Método por determinantes

Se resuelve con el siguiente arreglo:

Sean las ecuaciones:

222

111

cybxa

cybxa

=+=+

b1

b1

∣b2

¿}

Ü

∣b2

¿}

X=

∣c1

∣c2

Ü

∣a1

∣a2

¿

¿

2

1

2

1

2

1

2

1

b

b

c

c

a

a

a

a

y =

Ejemplos:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

3x + 4y = 10 (1)

4x + y = 9 (2)


Método de igualación

De (1) 3x = 10 – 4y De (2) 4x = 9 – y

3

410 yx

−= (3)4

9 yx

−= (4)

(3) = (4)

4

9

3

410 yy −=−

4(10 – 4y) = 3(9 –y)

40 – 16 y = 27 – 3y

- 16y + 3y = 27 – 40

- 13y = -13

y = 13

13

−−

y = 1

x = 4

19 −

x = 4

8

x = 2


Método de reducción

3x + 4y = 10 (1) por 1

4x + y = 9 (2) por – 4

Queda:

3x + 4y = 10

13

26

2613

36 - 4y -16x -

−−=

−=−=

x

x

x = 2

Método por determinantes

213

26

163

3610

1

4

1

4

4

3

9

10

=−−=

−−==x


113

13

163

4027

1

4

9

10

4

3

4

3

=−−=

−−==y

3.3. Funciones cuadráticas, exponenciales y logarítmicas

Concepto de función cuadrática, exponencial y logarítmica

Función cuadrática

La ecuación es y = f (x) = ax2 + bx +c su dominio es el conjunto de los

números reales y su gráfica es una parábola, con dos formas, así:


a (+)

y

x

a (+)

y

x

a (-)

y

x

a (-)

y

x

Para tener una gráfica aproximada, basta con hallar el vértice, punto mínimo

o máximo. Así:

−

);(,2

xfa

bv

a

bx

2

−=

Ejemplo 1:

Graficar la función

y = 2x2 – 4x + 1

x = 14

4

)2(2

)4(

a2

b ==−−=−

y = 2(1)2 - 4(1) + 1

y = 2 – 4 + 1

y = - 1

V(1, -1)

Ejemplo 2:

y = - 2x2 + 8x


y

x(1,-1)

y

x(1,-1)

y

x

8

1 2

y

x

8

1 2

24

8

)2(2

8

2=

−−=

−−=−=

a

bx

)2(8)2(2 2 +−=y

8

168

16)4(2

=+−=

+−=

V (2,8)

Solución de una ecuación cuadrática

Una ecuación cuadrática tiene la forma ax2 + bx + c = 0 se resuelve por

factorización, o con la fórmula a2

ac4bbx

2 −±=

Ejemplo:

Resolver la ecuación cuadrática: 2x2 + 5x – 12 = 0, por ambos métodos.

a. Factorización:

2x2 + 5x – 12 = 0

2x - 3

8x – 3x = 5x

x + 4

(2x – 3) (x + 4) = 0

2x – 3 = 0 x + 4 = 0


2x = 3 x = - 4

x = 3/2

b. Por la fórmula:

2x2 + 5x – 12 = 0

a = 2 , b = 5, c = 12

4

96255

22

4(2)(-12)-55- x

2 +±−=±

=x

4

115

4

1215- x

±−=±=

2

34

64

115

1

1

1

=

=

±−=

x

x

x

44

164

115

2

2

2

−=

−=

−−=

x

x

x

Función exponencial

Tiene dos formas así:

y = ax base “a” = un número

y = ex base “e”

E = 2.7182, su gráfica es una curva por encima del eje x, debe pasar por el

punto (0,1); su dominio son los números reales, y su imagen va de (0, ∞).


Ejemplo:

X -1 0 1 2Y ½ 1 2 4

x -1 0 1y 037 1 2.7

Las gráficas son:

Es una función creciente cuando la base es “e” o un entero; y decreciente

cuando la base es una fracción.

Esta función es muy utilizada para predecir el crecimiento de población, el

cálculo de interés compuesto y del valor futuro (en Matemáticas Financieras).

Función logarítmica


y

x

(0,1)

ex

2x

y

x

(0,1)

ex

2x

y = 2X y y = eX

Considérese la forma más usada y = Lnx logaritmo natural de x, base e.

Aunque también se tiene el logaritmo decimal logx.

Ejemplo:

Calcular los siguientes logaritmos:

Log2 16 = 4 porque 24 = 16

Log1000 = 3

Ln1 = 0

El dominio de esta función es (0,) su imagen (-∞,∞) queda al lado derecho

del eje y, pasa por el punto (1,0). Su gráfica es:

Se utiliza siempre con la función exponencial y es muy útil en Finanzas e

Ingeniería.


y

x(1,0)

y = lnx

y

x(1,0)

y = lnx

4. DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO

OBJETIVOS

1. Interpretar el concepto de desigualdad,

solucionar desigualdades lineales y de

orden superior y dar su respuesta en

intervalos.

2. Trabajar el concepto de valor absoluto y

resolver desigualdades que contengan

valor absoluto.


OBJETIVOS

3. Aplicar desigualdades a la solución de

problemas de tipo empresarial.

Desigualdades

Las desigualdades se originan en las relaciones de orden y cuando se

comparan números reales diferentes que, además, cumplan una y sólo una

de las siguientes proposiciones:

a < b

a = b

a > b

Para resolverlas, se hace lo mismo que con las ecuaciones, pero utilizando

los símbolos <, =, >.

Antes de abordarlas, se requiere de la ayuda de los intervalos, útiles al dar la

respuesta.


Intervalos finitos

Abierto (a, b) (xxxxxxxx)

a b

Cerrado [a, b] [xxxxxxxx]

a b

Semiabierto (a, b] (xxxxxxxx]

Semiabierto [a, b) [xxxxxxxxx)

Intervalos infinitos

(a, ∞) (xxxxxxxxxxx

a

[a, ∞) [xxxxxxxxxxx

a

(-∞, a) xxxxxxxxxxx)

a

(- ∞, a] xxxxxxxxxxx]

a

Ejercicios sobre desigualdades (se omite la escritura de las propiedades

pero se aplican).

Resolver 3x – 2 < 7

3x – 2 + 2 < 7+ 2

3x < 9


33

9

3

3

<

<

x

x

Solución (-∞, 3)

Resolver 5x – 7 ≥ 2x – 3

5x – 7 + 7 – 2 x ≥ 2x – 3 + 7 – 2 x

3 x ≥ 4

3

43

4

3

3

≥

≥

x

X

Solución

∝,3

4

Resolver 4 ≤ 2 x + 2 < 12

4 – 2 ≤ 2 x + 2 – 2 < 12 – 2

2 ≤ 2 x < 10

512

10

2

2

2

2

⟨≤

⟨⟨

x

x

Solución: [1,5)

Desigualdad por factorización


Ejercicios:

Resolver x2 – 5x + 6 > 0

(x – 3) (x – 2) > 20 Se resuelven por el método de las

cruces o cementerio así:

++++++++++ -------------- ++++++++++ x

2 3

La solución es para los intervalos positivos porque la desigualdad dice > 0

Solución: (-∞, 2) ∪ (3, ∞)

Resolver x2 + x – 2 ≤ 0

(x + 2) (x – 1) ≤ 0

----------------- ++++++++ --------------- x

-2 1

Se toma el intervalo positivo

Solución [-2,1]

Desigualdad que posee un cociente se resuelve igual que las del paso

anterior.

Resolver 03

2 ≥+−x

x

----------------- +++++++++ --------------- x

-3 2

Solución ( - ∞, -3) ∪ [2, + ∞)


Aplicación

El producto interno bruto (PIB) de un país está proyectado en t2 + 2t + 50

miles de millones de dólares, t se mide en años a partir del año en curso.

Determine en qué instante el PIB del país será igual o mayor de $58 mil

millones.

Solución:

t2 + 2t + 50 ≥ 58

t2 + 2t + 50 – 58 ≥ 0

t2 + 2t – 8 ≥ 0

(t + 4) (t – 2) ≥ 0

++++++++++ --------------- ++++++++++ x

-4 2

La solución es (2, ∞) porque t tiene que ser positivo, o sea, dentro de dos

años.

Valor absoluto

El valor absoluto de un número x se denota con /X/ y se define como:

| x | = x si x ≥ 0

-x si x < 0

El valor absoluto de un número siempre es positivo. Así:


|7| = 7

|-5| = 5

Las desigualdades con valor absoluto son de tres formas así:

a. |x –a | = b equivale a:

x – a = b ó x – a = - b

b. |x - a| ≥ b equivale a:

x – a ≤ - b ó x – a ≥ b

c. |x - a| ≤ b equivale a:

- b ≤ x – a ≤ b

Ejercicios:

Resolver las desigualdades:

a. |x - 3| = 5

x – 3 = 5 ó x – 3 = - 5

x = 5 + 3 x = - 5 + 3

x = 8 x = - 2

Solución: {2,8}

b. |2x - 5| = 1

2x – 5 = 1 ó 2x – 5 = -1

2x = 1 + 5 2x = -1 + 5


x = 6/2 2x = 4

x = 3 x = 4/2

x = 2

Solución: {2,3}

Resolver la desigualdad:

|2x + 8| ≥ 4

2x + 8 ≤ - 4 ó 2 x + 8 ≥ 4

2x ≤ - 4- 8 2x ≥ 4 – 8

2

12x

−≤2

4x

−≥

6x −≤ 2x −≥

Solución: (- ∞, - 6] ∪ [- 2, + ∞)

Resolver las desigualdades:

|3x - 5| ≤ 2 ↔ - 2 ≤ 3x – 5 ≤ 2

- 2 + 5 ≤ 3 x ≤ 2 + 5

3 ≤ 3 x ≤ 7

3

7x1

3

7

3

x3

3

3

≤≤

≤≤g

Solución: [1, 7/3]

Aplicación


El diámetro (en pulgadas) de una pieza esférica, producido por una empresa

de partes, satisface la desigualdad |x – 0.1| ≤ 0.01. ¿Cuáles son los

diámetros mínimo y máximo que debe tener una de estas piezas?

|x – 0.1| ≤ 0.01 ↔ -0.001 ≤ x – 0.1 ≤ 0.001

-0.01 + 0.1 ≤ x ≤ 0.01 + 0.1

0.09 ≤ x ≤ 0.11

Solución: [0.09,0.11] pulgadas

ESTUDIO DE CASO

La función lineal cumple un papel muy importante, tanto en el análisis

empresarial como económico. A continuación, se expone un caso en el que

dicha función interviene y que, con mucha frecuencia, se presenta en las

empresas.

Una compañía tiene gastos fijos de US 40.000 y un costo de producción de

US 16, por unidad fabricada. Cada unidad se vende a US 20.

a. ¿Cuál es la función de costo?

b. ¿Cuál es la función de ingresos?

c. ¿Cuál es la función de ganancia?

d. Calcule la ganancia (o pérdida) correspondiente a los niveles de

producción de 5.000, 100.000 y 12.000 unidades.


Solución:

Sea x el número de unidades producidas y vendidas, P = precio de venta por

unidad; C(x), R(x) y G(x) las funciones lineales de costos, ingresos y

ganancias. Entonces queda:

a. C(x) = 16x + 40.000

b. R(x) = Px = 20x

c. G(x) = R(x) – C(x)

G(x) = 20x – (16x + 40.000)

G(x) = 20x – 16x – 40.000

G (x) = 4x – 40.000

d. Si x = 5.000, entonces:

G(5.000) = 4(5.000) – 40.000

= 20.000 – 40.000

= US -20.000 pérdida

Si x = 10.000, entonces:

G(10.000) = 4(10.000) – 40.000

= 40.000 – 40.000

= 0 ni pérdida ni ganancia

Si x = 12.000, entonces:

G(12.000) = 4(12.000) – 40.000

= 48.000 – 40.000

= US 8.000 ganancia


ACTIVIDADES DE RECONOCIMIENTO

UNIDAD 1. Teoría de conjuntos

Este capítulo requiere de la intuición que posea el estudiante sobre lo

que es un conjunto y cómo clasificarlo, y la idea que tenga sobre la

forma de presentarlo en un diagrama.


Conocer los conceptos de conjunto, además de otros conceptos sobre

reunión de elementos de un conjunto y la relación de pertenencia

entre ellos.

Desarrollar un buen manejo sobre conjuntos, manejar las operaciones

básicas de la matemática (+, -, x, ÷) y el conocimiento general de un

número.

Este capítulo requiere mucha claridad sobre conjuntos y sobre la

diferencia entre los conjuntos numéricos y el alcance de los símbolos

matemáticos.

UNIDAD 2. Factorización, potenciación y radicación

Al iniciar este capítulo el estudiante deberá recordar y afirmar sus

conocimientos de las operaciones básicas, para convertirlas en

expresiones algebraicas. Todos los símbolos que se utilicen para

representar elementos denotarán números reales. Por tanto, el estudio

de las operaciones se hará con base en las propiedades e igualdades

de números reales tratadas en la unidad 1.

Para este capítulo es de vital importancia el manejo de multiplicación y

división de potencias de igual base y la utilización con frecuencia de

las propiedades distributivas y asociativas; además, se requiere del

manejo de coeficientes enteros y racionales.

Para este capítulo se requiere un estudio más amplio de exponentes;

se debe saber factorizar y simplificar fracciones algebraicas, producto

y cociente de polinomios y operaciones con números reales.


UNIDAD 3. Relaciones y funciones

Para esta unidad el estudiante debe manejar muy bien la teoría de

conjuntos, el concepto de número reales y el valor numérico, vistos en

la unidad número dos. Además, los conceptos de variable y

constante.

Para este capítulo se deben tener claros los conceptos de función,

valor numérico y números reales, y saber tabular y ubicar puntos en el

plano cartesiano. Además, asociar la función lineal con la gráfica de

una línea recta.

Un buen manejo de funciones requiere el dominio de tabulación y de

ubicación de puntos en el plano cartesiano; también, aplicar los

números reales y la factorización.

UNIDAD 4. Desigualdades y valor absoluto

Para este capítulo es necesario saber todo lo relacionado con

ecuaciones lineales y cuadráticas; también, el tema de factorización y

tener mucha claridad sobre números reales y conjuntos.

ACTIVIDADES DE PROFUNDIZACIÓN

UNIDAD 1. Teoría de conjuntos

1. Responda en forma exacta:

a. ¿Qué es un conjunto vacío?

b. ¿Qué utilidad prestan los conjuntos?


c. ¿Cuántos conjuntos fundamentales existen?

2. Dados los conjuntos por comprensión, expréselos por extensión:

A = {x / x es un número primo par}

B = {x / -5 < x < 3}

C = {x / x > 0, es un divisor de 14}

D = {x / -2 < x < 2}

E = {x / x2 - 1, x∈N dé como resultado un número par menor

que 30}

3. Dados los conjuntos por extensión, expréselos como conjuntos por

comprensión:

A = {1, 2, 3, ...,}

B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2}

C = {1, 2, 3, 6}

D = {4, 8, 12, 16, 20}

4. Responda con precisión:

a. ¿Qué es la intersección entre dos o más conjuntos?

b. En conjuntos (A - B) = (B - A)

c. ¿La intersección entre un conjunto A y su Universal es?

5. Dados los siguientes conjuntos, realice las operaciones indicadas:

U = {x / x es un número par menor o igual que 20}Fundamentos Matemáticos 122

A = {1, 4, 5, 8, 10}

B = {x / x es un múltiplo de 3}

6. Calcular:

a. A – B

b. B - A

c. A'

d. B'

e. A ∩B

7. Resuelva los siguientes ejercicios de aplicación:

a. Una farmacia rebajó el precio de una loción y el de una crema. La

contabilidad, al final de un día, indicó que 66 personas habían

comprado crema; 21, loción, y 12, ambos productos. Se pide:

• ¿Cuántas personas aprovecharon la oferta?

• ¿Cuántas personas compraron solamente loción?

• ¿Cuántas personas compraron solamente la crema?

b. Una mesera tomó una orden de 38 hamburguesas: 18, con cebolla;

23, con mostaza, y 29, con salsa de tomate. De éstas, 3 tenían

sólo mostaza y 8 sólo salsa; 9 de las hamburguesas tenían sólo


mostaza y salsa; y 5, los tres ingredientes. Realice un diagrama de

Venn y encuentre:

• ¿Cuántas hamburguesas llevaban cebolla y salsa

solamente?

• ¿Cuántas sólo llevaban cebolla?

• ¿Cuántas hamburguesas sólo llevaban cebolla y mostaza?

c. En una encuesta a 75 personas se encontró que de los tres

periódicos: El Colombiano, El Mundo y El Tiempo, 23 leían El

Tiempo, 18 leían El Colombiano, 14 leían El Mundo; 10 leían El

Tiempo y El Colombiano; 9 leían El Tiempo y El Mundo; 8 leían El

Colombiano y El Mundo, y 5 leían los tres periódicos.

¿Cuántas no leen ninguno de los tres periódicos?

¿Cuántas leen sólo El Tiempo?

¿Cuántas leen sólo EL Colombiano?

¿Cuántas leen sólo El Mundo?

¿Cuántas no leen ni El Tiempo ni El Colombiano?

¿Cuántas leen El Tiempo o El Colombiano o ambos?

d. En una encuesta sobre hábitos bibliotecarios en la universidad, se

obtienen los siguientes resultados, sobre 120 estudiantes

consultados:

A 57 les sirve el horario de 8 a.m. - 12 m.

A 63 les sirve el horario de 12 m. - 4 p.m.

A 45 les sirve el horario de 4 p.m. - 8 p.m.


A 11 les sirve el horario de 8 a.m. – 12 m. y 12 m. – 4

p.m.

A 21 les sirve el horario de 8 a.m. – 12 m. y 4 p.m. – 8

p.m.

A 32 les sirve el horario de 12 m. – 4 p.m. y 4 p.m. – 8

p.m.

A 9 les sirven los tres horarios

8. Encontrar:

a. ¿A cuántos les sirve solamente el horario de 12 m. - 4 p.m.?

b. ¿A cuántas personas no les sirve ni el horario de 8 a.m. -12

m. ni el horario de 4 p.m. - 8 p.m.?

c. ¿A cuántas personas les sirve el horario de 12 m. – 4 p.m. y

el horario de 4 p.m. – 8 p.m., pero no el horario de 8 a. m. –

12 m.?

d. ¿A cuántas personas les sirve al menos un horario?

e. ¿A cuántas personas no les sirven por lo menos dos

horarios?

f. En un examen de Estadística sobre 3 preguntas, al aplicarlo

a 75 alumnos, se dieron los siguientes resultados:

30 alumnos acertaron las tres preguntas

45 alumnos acertaron la primera y segunda preguntas


35 alumnos acertaron la segunda y tercera preguntas

43 alumnos acertaron la primera y tercera preguntas

60 alumnos acertaron la primera pregunta

53 alumnos acertaron la segunda pregunta

49 alumnos acertaron la tercera pregunta

9. Hallar:

a. ¿Cuántos estudiantes acertaron la segunda y la tercera,

pero no la primera?

b. ¿Cuántos no acertaron ni la primera ni la tercera?

c. ¿Cuántos no acertaron al menos una pregunta?

d. ¿Cuántos acertaron por lo menos dos preguntas?

10.En forma corta defina:

a. Número entero

b. Número real

c. Propiedad conmutativa de la suma y del producto.

d. ¿Para toda pareja de números reales se cumplirá la división?

e. ¿Cuando se suma un número real a su inverso, el resultado

será?

f. Enumere tres propiedades importantes en el producto de

números reales

g. Conteste Falso ó Verdadero, según su criterio y argumente

su respuesta

• 10 - 4 = 4 - 10

• 7 + (-7) = 0

• 5. (8 + 4) = 5 x 8 + 5 x 4

• 14 + 0 = 0

• 7 x 8 = 8 x 7


11.Resuelva las preguntas teóricas y solucione los ejercicios teniendo en

cuenta toda la teoría de conjuntos numéricos.

a. Diga con sus propias palabras cómo se suman y cómo se

restan los números enteros.

b. Diga con sus palabras cómo se realizan suma, resta,

producto y cociente de números racionales.

c. Propóngase algunos ejemplos de las operaciones con

fracciones y resuélvalas.

d. Resuelva los siguientes ejercicios:

1. 146 – 285 + 36 =

2. 200 – 5{13 - 2 [(8 – 7) – 5 (4 – 13 + 2)] + 8 (13 – 20 ) }

3. (-13) . (8). (-4) . (12) =

4. 33

4

10

8

5

7

3

15 +

−÷

+

5.

+

÷−

+−− 8

3

1

4

5

8

1

8

3x

5

7

4

117

6. [ ][ ]5)70(3)715(2)213(81243x5 −−−−+−−−−

7.

−−+

÷•−−

3

12

7

4x

3

10

5

3

4

1

3

1

2

1

4

5

7

8

UNIDAD 2. Factorización, potenciación y radicación

1. Si de 5x2+4 se resta 5x2 se obtiene:Fundamentos Matemáticos 127

a. 10x2 +1

b. 7

c. -4

d. 10x2 +7

2. Efectuar la siguiente operación y simplificar:

(9x-5x2+2x2-1) (3x3+4x2-5x4) – 6x6-7x5-3x4 + 52x3-29x2-31x)

3. Efectuar la siguiente operación y simplificar:

(p-1) (p-2) (p-3) +6p2-11p

4. Efectuar la siguiente división y hallar el cociente y el residuo:

(64x6-16a3x3 +a6) ÷ (4x2-4ax +a2)

5. Efectuar la división y hallar el cociente y el residuo de:

(12a3 + 33ab2 – 35a2b – 10b3) ÷ (4a-5b)

6. Defina la palabra factorizar

7. Diga cómo se factoriza un trinomio de la forma x2+bx+c

8. Factorizar completamente en R

a. 3p2 – 3p – 18

b. 9a3 – 132a2b + 4ab2


c. 2x3 + 7x 2– 15x

d. 16x4 – 81y4

9. Simplificar la fracción algebraica:

axaxax

xx

x

Xx

x

xx

44

6316

4

1811

)2(

14523

2

2

2

2

2

+−+−÷

−+−•

−+−−

10. Conteste F ó V y justifique:

a. Cuando se multiplican potencias de diferente base, se

suman los exponentes.

b. La raíz de índice par de un número es un número real

c. 734 22 =+

d. Defina con sus palabras ¿Qué es hallar la raíz de un

número?

11. Resolver

a.c4ba15

cba753

235

b.312

b3

cba5

−


c.62

4

ba9

c16

c2

ab3

d. 3 432 Rqp27−

e. Racionalice 83

4

+

UNIDAD 3. Relaciones y funciones

1. Defina con claridad ¿Qué es:

a. Una relación

b. Una función

2. Diga qué son el dominio y el rango de una relación2.

3. Resuelva el siguiente ejercicio: dados los conjuntos

C = { 0,1,2} y D = {1,2} construya una relación de C en D que

cumpla: x + 1 = y

a. Diga si la siguiente relación es una función y = ± x

b. ¿Qué gráfica representa una función lineal?


c. ¿Cuáles son las principales aplicaciones de una función lineal

en la Administración y en la Economía?

d. En una función lineal constante su gráfica es una línea

__________________

e. Dados dos puntos P1 (-3,5) y P2 (1,-1), halle la ecuación de

la línea recta y grafíquela.

f. Dadas las funciones de oferta y de demanda de un producto,

hallar el punto de equilibrio y su gráfica

P = 26 + 5x

P = 110 – x

4. Resolver la ecuación:

5x – (3x – 7) - [4 – 2x – (6x – )] = 10

5. Resolver el sistema de ecuaciones:

39x – 8y = 99

52x – 15y = 80

6. ¿Qué figura geométrica representa una función cuadrática?

7. ¿Qué utilidad presentan las funciones exponencial y logarítmica?


8. Hallar el vértice y la gráfica de las siguientes funciones:

a. y = 4x2 – 2x +5

b. y = -3x2 + 6x – 5

9. Resuelva las ecuaciones cuadráticas por factorización:

a. x2 – 4 = 0

b. 3 x2 – x – 4 = 0

c. 6x2 + 5x – 6 = 0

d. 8m2 + 64 m = 0

e. 13m = -5 – 6m2

10. Resuelva por la fórmula

a. 6x2 – 7x – 3 = 0

b. 2x2 = 8x – 3

c. m2 = 4m – 1

11. Grafique la función y = 3X y la función y = (1/2)X

12. Grafique la función y = Ln (x + 2)

UNIDAD 4. Desigualdades y valor absoluto

1. Defina qué es una desigualdad

2. ¿Cómo se define el valor absoluto?

3. Resolver las siguientes desigualdades:Fundamentos Matemáticos 132

a. 7x + 9 – x ≥ 10 + 3x

b. 3(x – 5) + 10 ≤ 4x - 2

c. x2 – 2x – 15 ≤ 0

d. 2x2 – 5x + 3 ≥ 0

e. 01x

3x ≥+−

g

4. Resolver las siguientes desigualdades con valor absoluto:

a. |5x – 8| = 5

b. |9 – 3x| ≥ 3

c. |7x + 2| ≤ 1

d. |0.3x – 0.5| ≤ 2

BIBLIOGRAFÍA FUNDAMENTAL

ARUA Kagdosj C. y LARDNER, Robin W. Matemáticas aplicadas a la

Administración y a la Economía. 3ra ed. México: Pearson Educación, 2002,

842p.

HAEUSSLER, Ernest, F. PAUL, Jr. Richard S. Matemáticas para la

Administración, la Economía, Ciencias Sociales y de la Vida. 8ª ed. México:

Pearson Prentice Hall.


TAN S.T. Matemáticas para Administración y Economía. 2ª. ed. México:

Thomson Leaming, 2002. 992p.

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

URIBE CALAD, Julio Alberto. Matemáticas básicas y operativas. 2ª ed.

Medellín: Susaeta ediciones, 1986, 639p.

DIEZ, Luis H. Matemáticas operativas. 2ª ed. Medellín: Universidad de

Antioquia.


GLOSARIO

Álgebra: Lenguaje matemático que usa letras y números. Las letras

representan números desconocidos. 10x – 3 = 17.

Análisis: Es la fundamentación de todos los procesos lógicos que

intervienen en el cálculo.

Base: Número que se usa como factor en una potencia. En 103, la base es

10, es decir, 103 = 10x10x10.


Conjunción: En Matemáticas representa la i.

Conjunto: Colección bien definida de objetos llamados elementos.

Disyunción: En Matemáticas representa la o.

Ecuación: Enunciado matemático que contiene el signo de igualdad (=).

Expresión que contiene variables que representan cantidades numéricas

desconocidas y relacionadas por operaciones algebraicas, funcionales o las

del cálculo.

Eje horizontal o vertical: Son las rectas horizontal o vertical del plano

cartesiano de coordenadas.

Evaluar: Calcular el valor de una expresión sustituyendo las variables por

números.

Exponente: Número de veces que la base de una potencia se usa como

factor: 53, exponente 3.

Expresión algebraica: Combinación de variables, números y, al menos, una

operación.

Función: Correspondencia unívoca entre los elementos de dos conjuntos

determinados y especificada por una regla operacional.

Mínimo común múltiplo: El menor múltiplo común de dos o más números.

El mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6.


Par ordenado: Par de números que se utiliza para ubicar un punto en el

plano de coordenadas (x,y).

Solución: Cualquier número que satisfaga una ecuación. La solución de 12

= x + 7 es igual a 5.

Variable: Un símbolo, por lo general una letra, que se usa para representar

números.

RESPUESTA A PREGUNTAS FRECUENTES

1. ¿Para qué sirven los conjuntos?

Para escribir o mostrar en forma visual muchos eventos que de otra forma

presentarían dificultades; también, como ayuda en estudios estadísticos,

como es el caso de las probabilidades.

2. ¿Cuál es el resultado de dividir un número por cero y dividir cero entre un

número?

Dividir un número por cero, da como resultado una indeterminación o un

error y, en Matemáticas, se dice que la división por cero no está definida. En Fundamentos Matemáticos 137

cálculo de límites, el resultado sería infinito y la división de cero, entre un

número, es igual cero, porque si se reparten manzanas entre x personas no

les toca manzana alguna.

3. ¿Para qué se simplifica una expresión algebraica?

Para expresar algo muy complejo en forma simple, que permite reemplazar

valores numéricos y realizar sus operaciones más fácilmente.

4. ¿A qué conjunto pertenecen las raíces de índice par de números

negativos?

Pertenecen al conjunto de los números complejos, que es de más amplitud

que el conjunto de los reales, pero que se aplica más frecuentemente en

Ingeniería.

5. ¿Qué aplicaciones importantes tiene la función lineal?

La función lineal tiene múltiples aplicaciones, por ejemplo, la depreciación en

línea recta para hallar las funciones de costos, ingresos y ganancias, y oferta

y demanda de un producto, etc.

6. En Administración ¿dónde se utiliza la función exponencial?

En Matemática Financiera, curso de la carrera, para calcular el valor futuro;

igualmente, para el cálculo del interés compuesto (sistema de ahorro, o

préstamo a interés).

7. ¿Dónde se utilizan las desigualdades?


En situaciones de la vida real donde se necesite expresar modelos que

incluyen restricciones, un mínimo en la producción, el nivel mínimo de

ganancia, o el máximo ingreso, en la representación de medidas de

distancias y medidas de tiempo.

8. ¿Para qué sirve el valor absoluto?

Para representar una magnitud que no se puede expresar con valores

negativos, por ejemplo: no se puede considerar tiempos negativos ni

distinciones negativas ni hablar de número de artículos negativos; sólo

interesa su magnitud.


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