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Coordinación de Matemática y Estadística ME-003 Cálculo I

Límites indeterminados

Presentación

2

Tema: Límites indeterminados, Unidad II

Este material tiene como finalidaddesarrollar las habilidades y destrezasnecesarias para resolver límitesindeterminados.

Para ello, se plantean una serie deejercicios, los cuales serán desarrolladospaso a paso, resaltando aquellos aspectosimportantes para resolver cada uno deellos.

Es importante recalcar que este tema, esde suma importancia para el cálculo delímites.

Índice

Presentación 2

Límites indeterminados 4

Ejemplo #1 5

Ejemplo #2 9

Ejemplo #3 13

Ejemplo #4 18

A manera de cierre_________________22

Créditos__________________________23

3

Tema: Límites indeterminados, Unidad II

Límites Indeterminados

4

Tema: Límites indeterminados, Unidad II

Al aplicar sustitución directa en un límite

se obtiene una forma indeterminada0

0.

Para calcular este tipo de límites esnecesario factorizar o racionalizar laexpresión algebraica.

Ejemplo #1

5

Tema: Límites indeterminados, Unidad II

Resuelva el siguiente límite:

lim𝑥→−3

2𝑥4 + 54𝑥

𝑥2 − 9

Paso 1Evaluar el límite

lim𝑥→−3

2𝑥4 − 54𝑥

𝑥2 − 9

=2 −3 4 + 54 −3

−3 2 − 9

=0

0

6

Tema: Límites indeterminados, Unidad II

Ejemplo #1

Paso 2Factorizar el denominador y el numerador

lim𝑥→−3

2𝑥4 + 54𝑥

𝑥2 − 9

= lim𝑥→−3

2𝑥 𝑥3 + 27

𝑥 − 3 𝑥 + 3

= lim𝑥→−3

2𝑥 𝑥 + 3 𝑥2 − 3𝑥 + 9

𝑥 − 3 𝑥 + 3

7

Tema: Límites indeterminados, Unidad II

Ejemplo #1

Paso 3Simplificar la expresión algebraica

= lim𝑥→−3

2𝑥 𝑥 + 3 𝑥2 − 3𝑥 + 9

𝑥 − 3 𝑥 + 3

= lim𝑥→−3

2𝑥 𝑥2 − 3𝑥 + 9

𝑥 − 3

Paso 4Evaluar el límite

lim𝑥→−3

2𝑥 𝑥2 − 3𝑥 + 9

𝑥 − 3

=2(−3) −3 2 − 3 −3 + 9

−3 − 3= 27

8

Tema: Límites indeterminados, Unidad II

Ejemplo #1

Paso 5Dar la respuesta

lim𝑥→−3

2𝑥4 + 54𝑥

𝑥2 − 9= 27

Ejemplo #2

9

Tema: Límites indeterminados, Unidad II

Resuelva el siguiente límite:

lim𝑥→𝑎

3𝑎𝑥 − 2𝑎 + 2𝑥 − 3𝑎2

5𝑎𝑥 + 𝑎 − 5𝑎2 − 𝑥

Paso 1Evaluar el límite

=3𝑎 𝑎 − 2𝑎 + 2 𝑎 − 3𝑎2

5𝑎 𝑎 + 𝑎 − 5𝑎2 − 𝑎

=3𝑎2 − 2𝑎 + 2𝑎 − 3𝑎2

5𝑎2 + 𝑎 − 5𝑎2 − 𝑎

=0

0

10

Tema: Límites indeterminados, Unidad II

Ejemplo #2

Paso 2Factorizar el denominador y el numerador

lim𝑥→𝑎

3𝑎𝑥 − 2𝑎 + 2𝑥 − 3𝑎2

5𝑎𝑥 + 𝑎 − 5𝑎2 − 𝑥

= lim𝑥→𝑎

3𝑎𝑥 − 3𝑎2 + 2𝑥 − 2𝑎

5𝑎𝑥 − 𝑥 + 𝑎 − 5𝑎2

= lim𝑥→𝑎

3𝑎 𝑥 − 𝑎 + 2 𝑥 − 𝑎

𝑥 5𝑎 − 1 + 𝑎 1 − 5𝑎

= lim𝑥→𝑎

3𝑎 𝑥 − 𝑎 + 2 𝑥 − 𝑎

𝑥 5𝑎 − 1 − 𝑎 5𝑎 − 1

= lim𝑥→𝑎

𝑥 − 𝑎 3𝑎 + 2

5𝑎 − 1 𝑥 − 𝑎

11

Tema: Límites indeterminados, Unidad II

Ejemplo #2

Paso 3Simplificar la expresión algebraica

lim𝑥→𝑎

𝑥 − 𝑎 3𝑎 + 2

5𝑎 − 1 𝑥 − 𝑎

= lim𝑥→𝑎

𝑥 − 𝑎 3𝑎 + 2

5𝑎 − 1 𝑥 − 𝑎

= lim𝑥→𝑎

3𝑎 + 2

5𝑎 − 1

Paso 4Evaluar el límite

=3𝑎 + 2

5𝑎 − 1

12

Tema: Límites indeterminados, Unidad II

Ejemplo #2

Paso 5Dar la respuesta

lim𝑥→𝑎

3𝑎𝑥 − 2𝑎 + 2𝑥 − 3𝑎2

5𝑎𝑥 + 𝑎 − 5𝑎2 − 𝑥=3𝑎 + 2

5𝑎 − 1

Ejemplo #3

13

Tema: Límites indeterminados, Unidad II

Resuelva el siguiente límite:

lim𝑥→9

2𝑥 − 2 − 4

𝑥 − 3

Paso 1Evaluar el límite

lim𝑥→9

2𝑥 − 2 − 4

𝑥 − 3

=2 9 − 2 − 4

9 − 3

=0

0

14

Tema: Límites indeterminados, Unidad II

Ejemplo #3

Paso 2Racionalizar el denominador y elnumerador

lim𝑥→9

2𝑥 − 2 − 4

𝑥 − 3∙

2𝑥 − 2 + 4

2𝑥 − 2 + 4∙

𝑥 + 3

𝑥 + 3

= lim𝑥→9

2𝑥 − 22− 42 𝑥 + 3

𝑥 2 − 32 2𝑥 − 2 + 4

= lim𝑥→9

2𝑥 − 2 − 16 𝑥 + 3

𝑥 − 9 2𝑥 − 2 + 4

= lim𝑥→9

2𝑥 − 18 𝑥 + 3

𝑥 − 9 2𝑥 − 2 + 4

15

Tema: Límites indeterminados, Unidad II

Ejemplo #3

Paso 3Factorizar el numerador y simplificar

= lim𝑥→9

2 𝑥 − 9 𝑥 + 3

𝑥 − 9 2𝑥 − 2 + 4

= lim𝑥→9

2 𝑥 − 9 𝑥 + 3

𝑥 − 9 2𝑥 − 2 + 4

= lim𝑥→9

2 𝑥 + 3

2𝑥 − 2 + 4

16

Tema: Límites indeterminados, Unidad II

Ejemplo #3

Paso 4Evaluar el límite

=2 9 + 3

2 9 − 2 + 4

=3

2

Paso 5Dar la respuesta

lim𝑥→9

2𝑥 − 2 − 4

𝑥 − 3=3

2

Ejemplo #4

17

Tema: Límites indeterminados, Unidad II

Resuelva el siguiente límite:

lim𝑥→5

2 −3𝑥 + 3

𝑥2 − 6𝑥 + 5

Paso 1Evaluar el límite

lim𝑥→5

2 −3𝑥 + 3

𝑥2 − 6𝑥 + 5

=2 −

35 + 3

5 2 − 6(5) + 5

=0

0

18

Tema: Límites indeterminados, Unidad II

Ejemplo #4

Paso 2Racionalizar el numerador y factorizar eldenominador

lim𝑥→5

2 −3𝑥 + 3

𝑥2 − 6𝑥 + 5

= lim𝑥→5

2 −3𝑥 + 3

𝑥2 − 6𝑥 + 5∙2 2 + 2

3𝑥 + 3 +

3𝑥 + 3

2

2 2 + 23𝑥 + 3 +

3𝑥 + 3

2

= lim𝑥→5

2 3 −3𝑥 + 3

3

(𝑥 − 5) 𝑥 − 1 4 + 23𝑥 + 3 +

3𝑥 + 3

2

= lim𝑥→5

8 − 𝑥 + 3

(𝑥 − 5) 𝑥 − 1 4 + 23𝑥 + 3 +

3𝑥 + 3

2

19

Tema: Límites indeterminados, Unidad II

Ejemplo #4

= lim𝑥→5

8 − 𝑥 − 3

(𝑥 − 5) 𝑥 − 1 4 + 23𝑥 + 3 +

3𝑥 + 3

2

= lim𝑥→5

5 − 𝑥

(𝑥 − 5) 𝑥 − 1 4 + 23𝑥 + 3 +

3𝑥 + 3

2

= lim𝑥→5

− 𝑥 − 5

(𝑥 − 5) 𝑥 − 1 4 + 23𝑥 + 3 +

3𝑥 + 3

2

20

Tema: Límites indeterminados, Unidad II

Ejemplo #4

Paso 3Simplificar la expresión algebraica

= lim𝑥→5

− 𝑥 − 5

(𝑥 − 5) 𝑥 − 1 4 + 23𝑥 + 3 +

3𝑥 + 3

2

= lim𝑥→5

− 𝑥 − 5

(𝑥 − 5) 𝑥 − 1 4 + 23𝑥 + 3 +

3𝑥 + 3

2

= lim𝑥→5

−1

𝑥 − 1 4 + 23𝑥 + 3 +

3𝑥 + 3

2

21

Tema: Límites indeterminados, Unidad II

Ejemplo #4

Paso 4Evaluar el límite

=−1

5 − 1 4 + 235 + 3 +

35 + 3

2

=−1

48

Paso 5Dar la respuesta

lim𝑥→5

2 −3𝑥 + 3

𝑥2 − 6 + 5=−1

48

Factorizar la expresión

22

Tema: Límites indeterminados, Unidad II

Espero que estos ejercicios le sean de utilidadpara reforzar los conceptos necesarios para elcálculo de límites indeterminados, y de estamanera pueda construir los nuevos conocimientosde Cálculo I.

“Lo que sabemos es una gota de agua. Lo que

ignoramos es el océano”.

Isacc Newton

Créditos

23

Universidad Técnica Nacional

Coordinación de Matemáticas y Estadística

Contenido

Autor: Evelyn Delgado Carvajal

Producción del recurso didáctico:

Productora académica: Guadalupe Camacho Zúñiga

Diseño Gráfico y multimedia: Karol González Ugalde

Derecho de Autor

Queda prohibida la reproducción, transformación,distribución y comunicación pública de la obramultimedia [Racionalización], por cualquier medio oprocedimiento, conocido o por conocerse, sin elconsentimiento previo de los titulares de los derechos,así como de las obras literarias, artísticas o científicasparticulares que contiene.

Tema: Límites indeterminados, Unidad II