ef02 métodos de parámetros indeterminados
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Métodos de Parámetros Indeterminados(Residuos Ponderados)
Las técnicas de Elementos Finitos pueden considerarse una extensión de estos métodos
Hugo Scaletti – Universidad Nacional de Ingeniería – Facultad de Ingeniería Civil - Lima
Planteamiento del problema
Determinar la(s) solución(es) u
de la(s) ecuación(es) diferencial(es) L(u) = fcon las restricciones (condiciones de borde) Bi (u) = 0
La forma débil del planteamiento operacional es
para v arbitrario
Ambas formas serían equivalentes si las posibles v incluyeran funciones delta de Dirac
Alternativamente, puede tenerse un planteamiento
variacional: I(u) = estacionario
0))(( dfuLv
Ecuación diferencial de equilibrio
con condiciones de borde
Principio de trabajos virtuales
Principio de mínima energía potencial:
qvEI IV
0)()0( Lvv
dxMdxqvdxqvEIvLL
IV
L**0)(*
0)()0( Lvv
mínimo)( 2
2
1 dxqvdxvEIVULL
p
Ejemplo: viga simplemente apoyada
Aproximación de las funciones
),(),(),(ˆ332211 yxNayxNayxNauu
La función se aproxima como la suma de un conjunto
de funciones Ni conocidas multiplicadas por
parámetros inicialmente indeterminados ai
Aplicando alguno de los criterios que se mencionan
más adelante, se determinan los parámetros ai que hacen mínimo el error en un cierto sentido
La calidad de los resultados depende principalmente de las funciones de aproximación empleadas
L
xsena
L
xsena
L
xsenavv
32ˆ
321
L
xsenN1
L
xsenN
33
La función es muy similar a la solución
correcta; en menor medida, también
contribuye a la solución
Sin embargo, la inclusión de , que es
ortogonal a la solución exacta, no es adecuadaL
xsenN
22
Ejemplo: viga simplemente apoyada
El éxito de los procesos de parámetros
indeterminados en su forma clásica depende de las
funciones de aproximación planteadas
Por ello, las aplicaciones de los métodos de
parámetros indeterminados que se encontraban
en la literatura estaban limitadas a ejemplos
“académicos” con geometría, propiedades de los
materiales y condiciones de borde muy simples
Errores o “residuos”
),,(ˆ yxNauu jj
podrá en algunos casos cumplir, al menos parcialmente,
las condiciones de borde: 0)ˆ(uBi
pero por lo general no satisfacerá exactamente la(s)
ecuación(es) diferencial(es), teniéndose un error o
“residuo”: 0),,()ˆ( yxRuL
La aproximación
Ejemplo: ecuación diferencial ordinaria
Ecuación diferencial: 100 xxuu
Condiciones de borde: 0)1()0( uu
Suponiendo la aproximación )()1(ˆ21 xaaxxuu
que satisface las condiciones de borde, se obtiene elresiduo:
La solución exacta es xsen
xsenxu
1)(
232
12 )62()2()( axxxaxxxxR
Criterio de colocación
Se exige que el residuo sea cero en por lo menos tantos
puntos como parámetros desconocidos
0)(2
1R
232
12 )62()2()( axxxaxxxxR
0)(4
1R
0)(4
3R 43
21
41
2
1
64151
1629
87
47
6435
1629
a
a
)172043.0192973.0()1(ˆ xxxuu
Criterio de subregiones
05.0
0dxR
8
3
8
1
2
1
192
229
12
11
192
53
12
11
a
a
)170213.0187621.0()1(ˆ xxxuu
0),,(i
dyxR
Se hace cero la integral del residuo en por lo menos tantas
subregiones independientes como parámetros desconocidos
01
5.0dxR
Criterio de momentos
01
0dxR
3
1
2
1
2
1
20
19
12
11
12
11
6
11
a
a
)169492.0187981.0()1(ˆ xxxuu
01
0dxRx
0dR
0dRx
02 dRx 0dRzyx rqp
Criterio de mínimos cuadrados
0
2
dRa
R
mínimodR
i
0)2( 21
0dxRxx
20
19
12
11
2
1
35
131
60
101
60
101
30
101
a
a
)169471.0187542.0()1(ˆ xxxuu
0)62( 321
0dxRxxx
Criterio de Galerkin
• Las funciones de peso Ni son las mismas empleadaspara aproximar la solución
• Este criterio está muy relacionado con el método deRayleigh – Ritz, mencionado más adelante
• Si el operador diferencial es auto adjunto, producesistemas de ecuaciones con matrices de coeficientessimétricas
0dRNiPara cada una de las funciones Ni :
Criterio de Galerkin
0)1(1
0dxRxx
0)1(1
0
2 dxRxx
22
1 )1()1(ˆ axxaxxuu
232
12 )62()2()( axxxaxxxxR
Ecuación diferencial: u”+u+x=0
con condiciones de borde:
Aproximación:
Residuo:
20
1
12
1
2
1
105
13
20
3
20
3
19
3
a
a
)170732.0192412.0()1(ˆ xxxuu
0)1()0( uu
Criterios para minimizar el residuo
Todos los métodos antes tratados son un caso particularde ponderación de los residuos:
0dRwi
)( ix
Criterio
Colocación Delta de Dirac
Subregiones Función escalón
Momentos
Mínimos cuadrados
Galerkin
iw
iaR /
22 yxyxyx
)(xiN
Método de Rayleigh - Ritz
Al sustituir la aproximación
... 0)(ia
IiaestacionarI a
)(ˆ xjj Nauu
en el principio variacional (funcional) I(u)=estacionario
éste se convierte en una simple función de los parámetros indeterminados . Por lo tanto:
Método de Rayleigh - Ritz
0xuu
Sustituyendo en I(u) la aproximación:
)(xu
)()1(ˆ21 xaaxxuu
mínimodxuxuuuI1
0
2
2
12
2
1 ))(()(
Satisface la ecuación diferencial:
y su consecuencia:
22
1 )32()21( axxaxu
La función sujeta a las restricciones
que hace estacionario (mínimo) el “funcional”:
0)1()0( uu
201
1211
02
105
13
20
320
3
19
31
02
2
2
1
)1(
)1(
3221
)3221(
dxxxx
xx
dxxxx
xxx
a
a
b
A
a
Se obtiene: mínimoI TTbaAaaa
21)(
0bAaa
IDe resulta el mismo sistema
de ecuaciones que con el criterio de Galerkin
donde
Criterio empleado u(0.25) u(0.50) u(0.75)
Colocación 2 puntos 0.04493 0.07143 0.06221
Colocación 3 puntos 0.04425 0.06975 0.06038
Subregiones 0.04316 0.06818 0.05911
Momentos (w=1, x) 0.04319 0.06818 0.05908
Mínimos cuadrados 0.04311 0.06807 0.05900
Galerkin, Rayleigh-Ritz 0.04408 0.06944 0.06009
Solución exacta 0.04401 0.06975 0.06006
Comparación de Resultados
21 )(senˆ xxu
Los resultados obtenidos son aproximados, a menos quela expresión propuesta incluya a la solución exacta.
Para el ejemplo precedente, la “aproximación”produciría la solución correcta.
Los resultados mejoran al incluir un mayor número detérminos, de modo que se trabaje con un espacio “máscercano” a la solución.
Los diversos criterios comparados producen distintosresultados. No puede afirmarse en forma general queuno sea mejor que otro.
Algunas observaciones
Un caso bidimensional: Losa rectangular sometida a flexión
D
q
y
w
yx
w
x
w4
4
22
4
4
4
2
Ecuación diferencial de equilibrio:
00,0
00,0
2
2
2
2
y
wwby
x
wwax
Condiciones de borde (losa simplemente apoyada):
b
ynsen
a
xmsenaww
m n
mnˆ
La aproximación (Navier, 1862):
satisface las condiciones de borde, pero al sustituirla en la ecuación diferencial se tiene un residuo:
D
q
b
ynsen
a
xmsen
b
n
a
mayxR
m n
mn
2
2
2
2
24),(
Deben determinarse los parámetros amn que optimicen en un cierto sentido la solución. Usando el criterio de Galerkin:
0),(0 0
dydxb
yksen
a
xjsenyxR
a b
Dado que:mj
a adx
a
xjsen
a
xmsen
20
y similar resultado para la dirección Y
20 0
4dydx
b
yksen
a
xjsenq
a b
Siendo q constante, se tiene (para j,k impares)
Con lo que se obtienen ecuaciones desacopladas para cada coeficiente
2
2
2
2
26
16
b
n
a
mmnD
qamn
Galerkin:
• Gauss, C.F. (1795) Véase “Carl Friedrich Gauss
Werks”, Vol. VII, G33öttingen, 1871.
• Galerkin, B.G. (1915) “Solución en serie de algunos
problemas de equilibrio elástico de barras y placas”
(en ruso), Vestn. Inzh. Tech., 19, 897-908.
• Biezeno, C.B. y J.J. Koch (1923) “Over een Nieuwe
Methode ter Berekening van Vlokke Platen”, Ing.
Grav., 38, 25-36.
Referencias
Métodos de Residuos Ponderados