los números complejos
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LOS NÚMEROS
COMPLEJOS
Imagen tomada del blog de Alberto Montt http://www.dosisdiarias.com
0a.Un problema algebraico
La NECESIDAD de resolver ecuaciones ha
dado lugar a los distintos CONJUNTOS
NUMÉRICOS
Resolviendo ecuaciones…
x-1=0 x=1 solución en N
x+1=0 x=-1 solución en Z
2x=3 x=2/3solución en Q
x2=3 x=√3 solución en I
¿La ecuación
x2 = -1tiene solución en R?
No
Por eso se introduce un nuevo conjunto:
C, los números Complejos
i = √-1
0a.Un problema algebraico
Los conjuntos
numéricos
0a.Un problema algebraico
S. I a. de C.(En el Maediterráneo se
extiende el Imperio Romano)
Herón de
Alejandría
Obtiene raíces negativas
resolviendo pirámides
S. XVIFelipe II
Miguel de Cervantes
Nicolás Copérnico
Tartaglia y
Cardano
Obtienen raíces negativas
al resolver ecuaciones
polinómicas de grado 2 y
3
S. XVIIÚltimo Austria (Carlos II)
Francisco de Quevedo
Isaac Newton
Descartes Introduce el término
“Número imaginario”
S. XVIIÚltimo Austria (Carlos II)
Francisco de Quevedo
Isaac Newton
Euler Introduce la notación “i”
S. XIXGuerras Napoleónicas
Gustavo A. Becquer
Louis Pasteur
Gauss Extiende su uso
0b. Algo de historia
1. Aspectos básicos de los nº
complejosUnidad imaginaria: i = √-1 → i2 = -1
Números complejos:
C = {a+bi, a,b números reales}
Ejemplos: 3-5i, -7+i, 2+4i…
a es la parte real (es un nº real)
b es la parte imaginaria (también es un número real)
z=a+bi es la forma binómica de un número complejo
si b = 0 z=a es un número real.
Luego todos los reales son nº complejos
si b ≠ 0 → z=a+bi es un número imaginario
si a = 0 →z=bi es un número imaginario puro
1. Aspectos básicos de los nº
complejos
Igualdad: Dos números complejos son iguales cuando
sus partes reales son iguales y la imaginarias también:
z=a+bi y z’=a’+b’iz=z’ ↔ a=a’ y b=b’
Opuesto: el opuesto de z=a+bi es –z=-a-bi
Conjugados: a+bi y a-bi se llaman conjugados
1. Aspectos básicos de los nº
complejos
Sea z=-3+5iEl opuesto es: -z = -(-3+5i) = 3-5iEl conjugado es: z = -3-5i
¿Cuánto deberían valer las letras para que estos números complejos sean iguales?z=3-bi y z’=a+5iz=z’ ↔ a=3, b=-5
EJEMPLOS:
Números imaginarios: 2-3i, -5+√3i, 1+iπ…Números reales: 2+0i, π, 2/3…Números imaginarios puros: 3i, πi, -1234i…
1. Aspectos básicos de los nº
complejos
Representación gráfica:
a es un número real: lo representamos
en el
eje horizontal (Eje Real)
b es un número real: lo representamos
en el
eje vertical (Eje Imaginario)
A cada punto del plano le corresponde un
ºn complejo z = x+yi y viceversa
Por eso se habla del PLANO COMPLEJO
1. Aspectos básicos de los nº
complejos
Representación gráfica:
1. Aspectos básicos de los nº
complejos
Observa que:
•El número complejo z=3+2i
•El punto P(3,2)
•Y el vector libre de componentes v=(3,2)
coinciden
EJEMPLOS. Representa gráficamente los siguientes números complejos:
z1=2+5iz2=-3-3iz3=iz4=8z5=-6iz6=12/5z7=-7+iz8=4-5i
1. Aspectos básicos de los nº
complejos
Resolución de ecuaciones en C:
En el conjunto de los números complejos, las
ecuaciones polinómicas de segundo grado sin
solución real tienen dos soluciones complejas
conjugadas
Ejemplo:
1. Aspectos básicos de los nº
complejos
SUMA
2. Operaciones con nº complejos
Ejemplos:
(3-5i)+(2+9i) = 5+4i
(-2+i)-(6-2i) = -8+3i
2+(1-i) = 3-i
PRODUCTO
2. Operaciones con nº complejos
Ejemplo:
(3-5i)·(2+9i) = 6+27i-10i-45i2=6+45+27i-10i=51+17i
¿Qué pasa si multiplicamos un número por su
conjugado?
(a+bi)·(a-bi) =a.a-abi+bia-bbi2 = a2-b2
COCIENTE:
Se multiplica y divide por el conjugado del
denominador
2. Operaciones con nº complejos
No se puede dividir por cero
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES:
• El 0 es el elemento neutro de la suma
z+0=z
• El opuesto de a+bi es -a-bi
• El inverso de a+bi es
El 0 no tiene inverso
En la práctica, operamos con los complejos como
si fueran reales, teniendo en cuenta que i2 = -1
2. Operaciones con nº complejos
• Las potencias de i son:
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2 · i = -i
i4 = i2 · i2 =1
i5 = i4 · i = i
in ·= i(resto de dividir n entre 4)
2. Operaciones con nº complejos
3. Nº complejos en forma polar
Si representamos un número complejo z:
|z| Módulo: de z: módulo
del vector z
α Argumento de z: ángulo
que forma el vector con el eje
real.
Forma polar de z: z = rα
3. Nº complejos en forma polar
Paso de forma binómica a polar:
3. Nº complejos en forma polar
Paso de forma polar a binómica:
3. Nº complejos en forma polar
Algunos ejemplos:
¿Cuál es la forma polar de los siguientes complejos?
z = 1
z = -1
z = i
z = -i
= 10º
= 1180º
= 190º
= 1270º
4. Operaciones en forma polar
Producto:
El módulo es el producto de los módulos
El argumento es la suma de los argumentos
Ejemplo:
Observa que
Multiplicar = estirar (o encoger) el vector (r·r’) y girarlo
(α+β)
4. Operaciones en forma polar
Producto:
Multiplicar por un complejo de módulo 1 es realizar
un giro de amplitud β
4. Operaciones en forma polar
Cociente:
El módulo es el cociente de los módulos
El argumento es la resta de los argumentos
Ejemplo:
4. Operaciones en forma polar
Potencia:
El módulo se eleva al exponente
El argumento se multiplica por el exponente
Ejemplo:
4. Operaciones en forma polar
Potencia:
Si aplicamos las operaciones con potencias a un
complejo de módulo 1 obtenemos:
Por otra parte:
Con lo que obtenemos la fórmula de Moivre, que
relaciona las razones de nα con las de α:
4. Operaciones en forma polar
Raíz n-sima de un nº complejo :
El módulo es la raíz n-sima del módulo
El argumento es el argumento dividido por n
Con k=0, 1, 2,…n-1
Por lo tanto, un número complejo tiene n raíces n-ésimas,
todas con el mismo módulo y diferentes argumentos
Si n>2 los puntos afijos de las n raíces de un número
complejo son los vértices de un n-ágono regular con
centro en el origen de coordenadas
4. Operaciones en forma polar
Raíz n-sima de un nº complejo :Vamos a calcular las tres
raíces cúbicas de 8i
Llamaremos a la raíces z1 z2 y z3
4. Operaciones en forma polar
Raíz n-sima de un nº complejo : Si representamos las
raíces vemos que ocupan los vértices de un triángulo equilátero
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