números complejos - el campo c de los números complejos · Álgebra semestre2018-1...

ÁlgebraSemestre 2018-1

El Conjunto de Julia Llenopara la función holomorfa

f(z) = z2 + c

Animación por Ted Burke

Números ComplejosEl campo C de los números complejos

Araceli Guzmán

Guillermo GarroFacultad de Ciencias UNAM

https://batchloaf.wordpress.com/2013/02/10/another-julia-set-animation/

Números Complejos Álgebra

La fórmula más notable en las matemáticas – R. Feymann

eiπ + 1 = 0

Señores:

Esto es seguramente cierto,es absolutamente paradójico.No lo podemos entender,y no sabemos qué significa.Pero lo hemos demostrado,y por consiguiente sabemos quedebe ser verdad.

Benjamin PierceLeonhard Euler

Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM


La variable compleja

La variable compleja es una rama central de lasmatemáticas teóricas y aplicadas, además deser un pilar fundamental de la física. Una formación matemática sólida incluye conocimien-tos de variable compleja, ya que ésta proporciona una visión unificada del álgebra, el análi-sis, la geometría y la topología. Más aún, temas estudiados al inicio de la licenciatura queinvolucran pruebas largas o complicadas, como los círculos coaxiales o algunos aspectos dela geometría analítica del plano, se comprenden de manera simple y clara bajo la luz de lavariable compleja. Asimismo, muchas integrales reales impropias y algunas trigonométri-cas, solamente pueden resolverse con la variable compleja. Hadamard llegó a decir que elcamino más corto entre dos verdades del dominio real pasaba por el dominio complejo

Antonio Lascurain, Curso básico de variable compleja.



El sistema de los números complejos C

El sistema de los números complejos, denotado por C, es el conjunto R2 junto con lasreglas usuales de la adición de vectores y la multiplicación escalar por un número real,a saber: Para todo (x1, y1) y (x2, y2) en R2,

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2);

y para todo a ∈ R y (x, y) ∈ R2,

a(x, y) = (ax, ay).

Y definimos también la multiplicación compleja: para todas (x1, y1) y (x2, y2) en R2,

(x1, y1)(x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + y1x2).

Observe que la multiplicación compleja, a diferencia del producto punto (o interior) queestudiamos en los cursos de Geometría analítica, produce un vector (o meor dicho, unnúmero complejo, de acuerdo a este contexto) a partir de otros dos.



La geometría de los números complejos

Geométricamente, los números complejos son sencillamente los puntos del plano R2.La suma de número complejos y el producto por un escalar son deifinidas exactamentecomo se definiene para el espacio lineal R2, así que la representación geométrica deéstas es típica.



La suma es asociativaSi (xj , yj) ∈ C, j = 1, 2, 3,

[(x1, y1) + (x2, y2)] + (x3, y3) = (x1 + x2, y1 + y2) + (x3, y3)

=((x1 + x2) + x3, (y1 + y2) + y3

)=

((x1 + x2) + x3, (y1 + y2) + y3

)=

(x1 + (x2 + x3), y1 + (y2 + y3)

)= (x1, y1) + (x2 + x3, y2 + y3)

= (x1, y1) + [(x2, y2) + (x3, y3)]



La suma es conmutativaSi (xj , yj) ∈ C, j = 1, 2,

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)

= (x2 + x1, y2 + y1)

= (x2, y2) + (x1, y1)



(0, 0) es el neutro aditivo

Si (x, y) ∈ C,(x, y) + (0, 0) = (x+ 0, y + 0) = (x, y).

Y por conmutatividad de la suma compleja,

(0, 0) + (x, y) = (x, y).



Existencia de inversos aditivosSi (x, y) ∈ C entonces (−x,−y) ∈ C es el inverso de (x, y):

(x, y) + (−x,−y) = (x− x, y − y) = (0, 0).

Observe:−(x, y) = (−x,−y).



El producto es asociativoSi (xj , yj) ∈ C, j = 1, 2, 3,

[(x1, y1)(x2, y2)](x3, y3) = (x1x2 − y1y2, y1x2 + y2x1)(x3, y3)

=((x1x2 − y1y2)x3 − (y1x2 + y2x1)y3, (y1x2 + y2x1)x3 + (x1x2 − y1y2)y3

)=

(x1(x2x3 − y2y3) − y1(y2x3 − x2y3), y1(x2y3 − y2y3) + x1(y2x3 + x2y3)

)= (x1, y1)(x2x3 − y2y3, y2x3 + x2y3)

= (x1, y1)[(x2, y2)(x3, y3)]



El producto es conmutativo

Si (xj , yj) ∈ C, j = 1, 2,

(x1, y1)(x2, y2) = (x1x2 − y1y2, y1x2 + x1y2)

= (x2x1 − y2y1, x2y1 + y2x1)

= (x2, y2)(x1, y1)



(1, 0) es el neutro para la multiplicación

Si (x, y) ∈ C,

(1, 0)(x, y) = (1x− 0y, 0x+ 1y) = (x, y).

Y por conmutatividad del producto complejo

(x, y)(1, 0) = (x, y).



Existencia de inversos para complejos no nulos

Sea (a, b) ∈ C tal que (a, b) ̸= (0, 0). Para encontrar el inverso multiplicativo de (a, b)necesitamos resolver la ecuación

(a, b)(x, y) = (1, 0), equivalentemente (ax− by, bx+ ay) = (1, 0).

Esto es, debemos resolver el sistema{ax− by = 1

bx+ ay = 0

Por la Regla de Cramer,

x =a

a2 + b2y y =

−b

a2 + b2.

El inverso de (a, b) ̸= (0, 0) es el complejo(a

a2 + b2,

−b

a2 + b2

).



Ley Distributiva para números complejosSean (xj , yj) ∈ C, j = 1, 2, 3.

(x1, y1)[(x2, y2) + (x3, y3)] = (x1, y1)(x2 + x3, y2 + y3)

=(x1(x2 + x3) − y1(y2 + y3), y1(x2 + x3) + x1(y2 + y3)

)=

((x1x2 − y1y2) + (x1x3 − y1y3), (y1x2 + x1y2) + (y1x3 + x1y3)

)= (x1x2 − y1y2, y1x2 + x1y2) + (x1x3 − y1y3, y1x3 + x1y3)

= (x1, y1)(x2, y2) + (x1, y1)(x3, y3).

Por conmutatividad del producto complejo,

[(x1, y1) + (x2, y2)](x3, y3) = (x3, y3)[(x1, y1) + (x2, y2)]

= (x3, y3)(x1, y1) + (x3, y3)(x2, y2)

= (x1, y1)(x3, y3) + (x2, y2)(x3, y3).



El campo complejo

Todo lo anterior prueba el siguiente

Teorema

El conjunto C con las operaciones antes definidas es un campo.

Ejemplos

Otros conjuntos que son campos con las operaciones usuales de suma y producto:

1. R.2. Q.3. {p+ q

√2 : p, q ∈ Q}.



La “unidad compleja”

Hay un número complejo particularmente especial, llamado a veces unidad compleja(o imaginaria), definido como

i = (0, 1).

Teorema

Para todo z = (x, y) ∈ C,

z = (x, 0) + i(y, 0).

Demostración.

Observe que

i(y, 0) = (0, 1)(y, 0) = (0y − 0 · 1, 1y + 0 · 0) = (0, y)

De donde,

z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = (x, 0) + i(y, 0).



La “unidad compleja”

Hay un número complejo particularmente especial, llamado a veces unidad compleja(o imaginaria), definido como

i = (0, 1).

Teorema

i2 = (−1, 0)

Demostración.

Hacemos el cálculo directo,

i2 = i i = (0, 1)(0, 1) = (0 · 0− 1 · 1, 1 · 0 + 0 · 1) = (−1, 0).



La parte real y la parte imaginaria

Teorema

Paa cualesquiera reales x1, x2, y1, y2,

(x1, 0) + i(y1, 0) = (x2, 0) + i(y2, 0) si y sólo x1 = x2 y y1 = y2.

Demostración.

Si (x1, 0) + i(y1, 0) = (x2, 0) + i(y2, 0) entonces (x1, y1) = (x2, y2), de donde x1 =

x2 y y1 = y2. Si x1 = x2 y y1 = y2 es obvio que (x1, y1) = (x2, y2), esto es,(x1, 0) + i(y1, 0) = (x2, 0) + i(y2, 0).

Dado cualquier complejo z = (x, y), diremos que (x, 0) es la parte real y (y, 0) es laparte imaginaria. El teorema anterior dice entonces que todo número complejo estáúnicamente determinado por su parte real y su parte compleja. Usamos la notación

Re(z) = (x, 0) y Im(z) = (y, 0),

y escribimosz = Re+ Im(z)i.



La inmersión de R en C

Teorema

Sea φ : R → C dada por φ(x) = (x, 0), para toda x ∈ R. Entonces

1. φ es inyectiva.

2. Para todo x1 y x2 en R, φ(x1 + x2) = φ(x1) + φ(x2).

3. Para todo x1 y x2 en R, φ(x1x2) = φ(x1)φ(x2).

4. φ(0) = (0, 0).

5. φ(−x) = −φ(x), para toda x ∈ R.

6. φ(1) = (1, 0).

7. Si x ̸= 0, φ(x−1) = (φ(x))−1.

8. Si x ∈ R y z = (a, b) ∈ C, φ(x)z = (xa, xb) y φ(x) + z = (x+ a, b).



La notación compleja

En virtud del teorema anterior, podemos “identificar” el conjunto de los números realesR con su imagen

φ(R) = {(x, 0) ∈ C : x ∈ R}

(Geométricamente, se trata del eje real). Demaneraque vamos a considerar los númerosreales como números complejos

Así que para cada número real x, vamos a denotar con x mismo al número compleo(x, 0). En particular, 1 es el complejo (1, 0) y 0 es el neutro (0, 0).

Por lo tanto, todo número complejo z = (x, y) será descrito con la notación

z = x+ iy,

donde i2 = −1, como ya hemos probado.

De aquí en adelante vamos a considerar a los números complejos como el conjunto

C = {x+ iy : x, y ∈ R, i2 = −1}.




Como un ejercicio vamos a comprobar que las operaciones complejas son consistentescon esta notación.

Para la suma compleja:

Para todo z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2,

z1 + z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2)

=((x1, 0) + i(y1, 0)

)+

((x2, 0) + i(y2, 0)

)= (x1, y1) + (x2, y2)

= (x1 + x2, y1 + y2)

= (x1 + x2, 0) + i(y1 + y2), 0)

=(x1 + x2

)+ i

(y1 + y2

)




Como un ejercicio vamos a comprobar que las operaciones complejas son consistentescon esta notación.

En cuanto al producto:

Para todo z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2, vamos a calcular z1z2 de dos formas,

directamente:

z1z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2)

=((x1, 0) + i(y1, 0)

)((x2, 0) + i(y2, 0)

)= (x1, y1)(x2, y2)

= (x1x2 − y1y2, y1x2 + x1y2)

= (x1x2 − y1y2, 0) + i(y1x2 + x1y2, 0)

= x1x2 − y1y2 + i(y1x2 + x1y2).

usando las propiedades de campo:

z1z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2)

= x1x2 + ix1x2 + iy1x2 + i2y1y2

= x1x2 − y1y2 + i(x1x2 + y1x2)




Dado un complejo z = x + iy, la parte real de z es x y la parte imaginaria de z es y.Esto es

Re(z) = x y Im(z) = y.

Teorema

Si z ∈ C, entonces

Re(−z) = −Re(z) y Im(−z) = −Im(z).

Teorema

Sean z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 números complejos. Entonces

Re (z1 + z2) = Re(z1) + Re(z2) y Im(z1 + z2) = Im(z1) + Im(z2).



El álgebra de los números complejos

Si z = x+ iy ∈ C y z ̸= 0, entonces definimos (como es usual)

1

z= z−1.

Esto es, definimos 1z como el inverso múltiplicativo de z.

Teorema

Si z = x+ iy ∈ C y w = u+ iv ∈ C y z ̸= 0, entonces

w

z=

ux+ vy

a2 + b2+ i

xv − yu

a2 + b2.

Demostración.

Hacemos el cálculo directo

w

z= wz−1 = (u+ iv)

(x

x2 + y2− i

y

x2 + y2

)=

ux+ vy

x2 + y2+

xv − yu

x2 + y2.

Una fórmula para recordar

u+ iv

x+ iy=

ux+ vy

x2 + y2+ i

xv − yu

x2 + y2.

En particular

z−1 =1

x+ iy=

x

x2 + y2− i

y

x2 + y2.




Podemos probar para los números complejos todos los resultados que son típicamenteválidos en R, salvo los relativos al orden. Veamos solo algunos

Teorema

Sean zj = xj + iyj ∈ C, j = 1, 2, 3. Entonces z1 = z2 si y sólo si z1 + z3 =

z2 + z3.

Teorema

Sean zj = xj + iyj ∈ C, j = 1, 2, 3 y z3 ̸= 0. Entonces z1 = z2 si y sólo siz1z3 = z2z3.

Teorema

Sean zj = xj + iyj ∈ C, j = 1, 2. Entonces z1z2 = 0 si y sólo si z1 = 0 ó z2 = 0.




Podemos probar para los números complejos todos los resultados que son típicamenteválidos en R, salvo los relativos al orden. Veamos solo algunos

Teorema

Sean zj = xj + iyj ∈ C, j = 1, 2, no nulos. Entonces (z1z2)−1 = z−11 z−1

2 . Enotras palabras

1

z1z2=

1

z1

1

z2.

Teorema

Sean zj = xj + iyj ∈ C, j = 1, 2, 3, 4, y z2 ̸= 0 ̸= z4. Entonces

z1z3z2z4

=z1z2

z3z4

.




Ejemplo

Divide 2− i entre 1 + i.

Solución.

Vamos a usar un truquito algebraico:

2− i

1 + i=

2− i

1 + i

1− i

1− i=

1− 3i

2=

1

2− i

3

2.

O bien, podemos usar directamente la fórmula encontrada antes

2− i

1 + i=

(2)(1) + (−1)(1)

12 + 12+

(1)(−1)− (1)(2)

12 + 12=

1

2− i

3

2.




Ejemplo

Demuestra que 1i = −i y que 1

1+i = 1−i2 .

Solución.

Por un lado1

i=

1

i

−i

−i=

−i

−i2=

−i

1= −i.

Y por otra parte,1

1 + i=

1

1 + i

1− i

1− i=

1− i

2.




Ejemplo

Encuentre la forma a+ ib del complejo 1i + 3

1+i .

Solución.

Un número complejo está únicamente determinado por sus partes real e imaginaria.Así que para resolver este ejercicio basta encontrar Re

(1i + 3

1+i

)y Im

(1i + 3

1+i

).

En esta caso,

Re(1

i+

3

1 + i

)= Re

(1

i

)+ Re

(3

1 + i

)= Re(−i) + Re

(3

2− i

3

2

)=

3

2.




Ejemplo


1+i .

Solución.


(1i + 3

1+i

)y Im

(1i + 3

1+i

).

En esta caso,

Im(1

i+

3

1 + i

)= Im

(1

i

)+ Im

(3

1 + i

)= Im(−i) + Im

(3

2− i

3

2

)= −1− 3

2

= −5

2.




Ejemplo


1+i .

Solución.


(1i + 3

1+i

)y Im

(1i + 3

1+i

).

De donde,1

i+

3

1 + i=

3

2− i

5

2.



Raíces de ecuaciones cuadráticas

Teorema

Sea z ∈ C. Entonces existe un w ∈ C tal que w2 = z.

Demostración.

Sea z = a+ ib. Queremos encontrar un número complejo w = x+ iy tal que

(x+ iy)2 = w2 = z = a+ ib. (1)

Pero(x+ iy)2 = (x2 − y2) + i(2xy).

Por lo tanto, la ecuación (1) es válida si y sólo si

x2 − y2 = a y 2xy = b.

Observe que el signo de b determinará los signos de x y de y. Si b es positivo, entoncesx y y tienen el mismo signo, y si b es negativo entonces x y y tienen signos distintos. Sib = 0 entonces x o y serán igual a cero.Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM



Teorema


Demostración.

De las igualdadesx2 − y2 = a y 2xy = b,

se sigue

a2 = (x2 − y2)2

= x4 − 2x2y2 + y4

= x4 + 2x2y2 + y4 − 4x2y2

= (x2 + y2)2 − b2.

De donde

a2 + b2 = (x2 + y2)2, esto es, x2 + y2 =√

a2 + b2.Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM



Teorema


Demostración.

Tenemos así las igualdades

x2 − y2 = a y x2 + y2 =√

a2 + b2.

De las cuales obtenemos

x2 =a+

√a2 + b2

2y y2 =

−a+√a2 + b2

2.

Observe que ambas igualdades están perfectamente definidas. Más aún, si b = 0

observe que

x = 0 si a ≤ 0

y = 0 si a ≥ 0.




Teorema


Demostración.

Definimos los números reales no negativos,

α =

√a+

√a2 + b2

2y β =

√−a+

√a2 + b2

2.

Por lo tanto, si b ≥ 0, elegimos

x = α y y = β, o bien x = −α y y = −β.

Y si b < 0, elegimos

x = α y y = −β, o bien x = −α y y = β.




Teorema


Demostración.

Introducimos la función signo dada por

sign(b) =

{1 si b ≥ 0

−1 si b < 0.

Tenemos así, que la ecuación w2 = z tiene soluciones

w = ± (α+ i sign(b)β) .

Una fórmula para recordar

Sea z = a+ ib un número complejo. Entonces w2 = z si y sólo si

w = ±

√a+

√a2 + b2

2+ i signo(b)

√−a+

√a2 + b2

2

.

A veces usamos la notación

w =√a+ ib.




Ejemplo

Resuelva la ecuación z2 + i = 0 en z ∈ C.

Solución.

Tenemos,z2 + i = 0 ⇔ z2 = −i.

Ocupamos la fórmula anterior, con a = 0 y b = −1, para obtener

z = ±(

1√2− i

1√2

).

Es decir, obtenemos las dos raíces

z1 =1√2− i

1√2

y z2 = − 1√2+ i

1√2




Ejemplo

Resuelva la ecuación (z + 1)2 = 3 + 4i en z ∈ C.

Solución.

Nuevamente, ocupando la fórmula con a = 3 y b = 4, obtenemos

z + 1 = ± (2 + i) ,

de donde obtenemos las soluciones

z1 = 1 + i y z2 = −3 + i.



Unicidad de C y orden

Teorema

Si F es un campo tal que R ⊂ F, y tal que la ecuación

z2 = w, z, w ∈ F,

entonces C ⊂ F.

Teorema

No existe ninguna relación de orden en C compatible con las operaciones de C


números complejos - el campo c de los números complejos · Álgebra semestre2018-1...

Documents