INSTITUTO TECNOLGICO DE CIUDAD JUREZ

INSTITUTO TECNOLGICO DE CIUDAD JUREZLGEBRA LINEAL

TRABAJO DE INVESTIGACIN I

HISTORA DE LOS NMEROS COMPLEJOS

M.C. Jos de Jess Flores ArroyoGrupo: J2Equipo# 6Maguregui Hernandez Ivn AlbertoMedina Carlos RaMelndez Ponce GustavoSoto Ochoa EulogioCd.Jurez Chih. 23/Febrero/2015INTRODUCCIN ANTECEDENTESLos primeros matemticos ms importantes no tenan problemas al tener nmeros reales en algunas de sus frmulas, el problema empez cuando empezaron a encontrar races pares de nmeros negativos en ellas, as fue como naci la necesidad de inventar los nmeros complejos para poder resolver ecuaciones o la resolucin de un problema particular.

La primera referencia conocida a races cuadradas de nmeros negativos proviene del trabajo de los matemticos griegos, como Hern de Alejandra en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible seccin de una pirmide. Los complejos se hicieron ms patentes en el Siglo XVI, cuando la bsqueda de frmulas que dieran las races exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fue encontrada por matemticos italianos como Tartaglia, Cardano. Aunque slo estaban interesados en las races reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con races de nmeros negativos.

HISTORIA DEL ARTEPero el primero en usar los nmeros complejos para la resolucin de las ecuaciones cuadrticas fue el matemtico italiano Gerolamo Cardanoquien los us en la frmula para resolver lasecuaciones cbicas.

El trmino nmero complejo fue introducido por el gran matemtico alemnCarl Friedrich Gauss(17771855) cuyo trabajo fue de importancia bsica enlgebra,teora de los nmeros,ecuaciones diferenciales,geometra diferencial,geometra no eucldea,anlisis complejo,anlisis numricoymecnica terica, tambin abri el camino para el uso general y sistemtico de los nmeros complejos. Gauss un matemtico alemn, considerado uno de los mejores fue el primero en demostrar el teorema fundamental del lgebra, donde explica que todo polinomio con coeficientes complejos tendr por lo menos una raz compleja.

Los nmeros complejos aparecieron por primera vez en el libro magna de Girolamo Cardano. Tartaglia descubri como resolver ecuaciones de tercer grado pero el no amplio el conocimiento de los nmeros complejos.

Wessel fue un matemtico noruego que en el ao 1796 escribi su primer libro y nico documento para interpretar geomtricamente los nmeros complejos. Este documento fue publicado por la real academia Danesa de ciencias y letras. Ms tarde Argand y gauss llegaron a las mismas conclusiones con idnticos resultados.

Descartes en el siglo XVll fue el primero en tener una idea ms clara para las races imaginarias. Tambin le cambio el nombre de nmeros complejos a Nmeros imaginarios.

En el siglo XVlll Leonhard Euler integr la letra i para hacer referencia a los nmeros imaginarios.

MARCO TEORICO Plano de los nmeros complejosEl concepto de plano complejo permite interpretargeomtricamentelos nmeros complejos. La suma de nmeros complejos se puede relacionar con lasumaconvectores, y lamultiplicacinde nmeros complejos puede expresarse simplemente usandocoordenadas polares, donde la magnitud del producto es el producto de las magnitudes de los trminos, y el ngulo contado desde el eje real del producto es la suma de los ngulos de los trminos.

Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de lospolosy loscerosde unafuncinen el plano complejo.El anlisis complejo, la teora de las funciones complejas, es una de las reas ms ricas de la matemtica, que encuentra aplicacin en muchas otras reas de la matemtica as como enfsica,electrnicay muchos otros campos.

Soluciones de ecuaciones polinmicas

Unrazocerodelpolinomiopes un complejoztal quep(z)=0; Un resultado importante de esta definicin es que todas las ecuaciones polinmicas (algebraicas) de gradontienen exactamentensoluciones en elcuerpo de los nmeros complejos, esto es, tiene exactamentencomplejoszque cumplen la igualdadp(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades.

Tambin se cumple que sizes una raz entonces su conjugado tambin es unarazdelpolinomiop. A esto se lo conoce comoTeorema Fundamental del lgebra, y demuestra que los complejos son uncuerpo algebraicamente cerrado; por esto los matemticos consideran a los nmeros complejos unos nmeros msnaturalesque losnmeros realesa la hora de resolver ecuaciones.Variable compleja o anlisis complejo

Al estudio de lasfuncionesde variable compleja se lo conoce como elAnlisis complejo. Tiene una gran cantidad de usos como herramienta dematemticas aplicadasas como en otras ramas de las matemticas. El anlisis complejo provee algunas importantes herramientas para la demostracin de teoremas incluso enteora de nmeros; mientras que las funciones reales de variable real, necesitan de un plano cartesiano para ser representadas; las funciones de variable compleja necesitan un espacio de cuatro dimensiones, lo que las hace especialmente difciles de representar.

Se suelen utilizar ilustraciones coloreadas en un espacio de tres dimensiones para sugerir la cuarta coordenada o animaciones en3D para representar las cuatro.

Ecuaciones diferenciales

Enecuaciones diferenciales, cuando se estudian las soluciones de lasecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, es habitual encontrar primero las races (en general complejas)delpolinomio caracterstico, lo que permite expresar la solucin general del sistema en trminos de funciones de base de la forma:

FractalesMuchos objetosfractales, como el conjunto de Mandelbrot, pueden obtenerse a partir de propiedades de convergencia de una sucesin de nmeros complejos. El anlisis del dominio de convergencia revela que dichos conjuntos pueden tener una enorme complejidadautosimilar.

Los nmeros complejos se usan eningeniera electrnicay en otros campos para una descripcin adecuada de las seales peridicas variables(verAnlisis de Fourier). En una expresin del tipo podemos pensar enr como la amplitudy encomo lafasede unaonda sinusoidalde unafrecuenciadada.

Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una funcin de variable compleja de la forma donde representa lafrecuencia angulary el nmero complejoznos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las frmulas que rigen lasresistencias,capacidadeseinductorespueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos ltimas (verredes elctricas). Ingenieros elctricos y fsicos usan la letrajpara la unidad imaginaria en vez deique est tpicamente destinada a la intensidad de corriente.

El campo complejo es igualmente importante enmecnica cunticacuya matemtica subyacente utilizaEspacios de Hilbertde dimensin infinita sobreC().En larelatividad especialy larelatividad general, algunas frmulas para la mtrica delespacio-tiemposon mucho ms simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria.

JUSTIFICACIN Los nmeros complejos los aplicamos en varios aspectos, en la vida, la escuela el trabajo, etc.Por ejemplo, en matemticas para resolver ecuaciones algebraicas, en un trabajo para encontrar aceleraciones y lneas de corriente de la aerodinmica

Se utilizan desde los componentes electrnicos hasta las fuerzas de la fsica entonces como acabamos de ver los nmeros complejos se utilizan a lo largo de un estudio y en ciertos trabajos entonces este proyecto se hace para tener bases firmes sobre lo que son los nmeros complejos, sus aplicaciones y demostrar que son matemticas bsicas las que deberemos dominar para poder resolver ecuaciones algebraicas.

OBJETIVOEste trabajo de investigacin tiene varios objetivos el principal es para cumplir con la obligacin de trabajo en equipo de la materia de lgebra lineal y los objetivos secundarios son, comprender un poco la historia de los nmeros complejos para asimilar el comportamiento en la resolucin de problemas de este tipo, tambin debemos tener cierto conocimiento de quien, cuando y porque se crearon las formulas de los nmeros complejos ya que en un futuro nos pueda servir de ayuda para otra materia.Entonces siendo as es nuestro objetivo realizar un trabajo de investigacin claro, preciso y ordenado visualmente para su mejor entendimiento y para tener una buena calificacin en la materia.MATERIALES Y MTODOSSumando y restandoPrimero, considera la siguiente expresin.(6x+ 8) + (4x+ 2)Para simplificar esta expresin, combina los trminos semejantes, 6xy 4x. Estos son los trminos semejantes porque tienen la misma variable con el mismo exponente. De manera similar, 8 y 2 son trminos semejantes porque ambos son constantes, sin variables.(6x+ 8) + (4x+ 2) = 10x+ 10

De la misma manera, puedes simplificar expresiones con radicales.

Puedes sumar con porque ambos trminos tienen el mismo radical, del mismo modo que 6xy 4xtienen la misma variable y exponente.El nmeroiparece una variable, pero recuerda que es igual a Lo interesante es que no hay reglas nuevas de las cuales preocuparse, ya sea que lo trates como una variable o un radical, aplican las mismas reglas para sumar y restarnmeros complejos. Combinas las partes imaginarias (los trminos coni) y combinas las partes reales.

Multiplicando nmeros complejos

De nuevo, considera la siguiente expresin. Antes de seguir leyendo, piensa en cmo la podras simplificar.(5x)(3x)Puedes simplificar multiplicando los coeficientes, luego las variables.

(5x)(3x)=(5)(3)(x)(x)=15x2Multiplicar dos nmeros imaginarios (pero no complejos!) funciona del mismo modo, pero hay un paso adicional. Empieza con el mismo mtodo para multiplicar 5iy3i.

Hasta ahora todo va bien, pero eli2se puede simplificar ms.

(5i)(3i)=(5)(3)(i)(i)=15i2Cuando multiplicas una raz cuadrada por s misma, obtienes el nmero dentro del radical. Esto es lo que significa una raz cuadrada.

Bueno,itambin es una raz cuadrada. Es igual a

Entonces, el ltimo paso para simplificar (5i)(3i) =15i2es reemplazari2con1

(5i)(3i)=(5)(3)(i)(i)=15i2=15(1)=15Divisin de nmeros complejos

Hasta ahora, cada operacin con nmeros complejos ha funcionado de la misma manera que con expresiones radicales. Esto no debera sorprenderte, el nmeroies el radical, despus de todo, por lo que los nmeros complejos son expresiones radicales!Veamos a la divisin en dos partes, como hicimos con la multiplicacin. Primero, veamos la situacin cuando el divisor es un monomio.

Cuando el divisor (esto es, el denominador en la fraccin) es un nmero complejo con partes real e imaginaria distintas de cero, debes racionalizar el denominador usando el conjugado complejo. Recuerda que el producto de un nmero complejo con su conjugado complejo siempre es un nmero real, por lo que el denominador ser un nmero real. Esto significa que el resultado ser equivalente, pero racionalizado.

SumarioLos nmeros complejos se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir usando las mismas ideas que con los radicales y las variables. Con la multiplicacin y la divisin, podras necesitar reemplazari2con 1 y continuar simplificando.

METODOLOGAInvestigacin ExploratoriaPara explorar un tema relativamente desconocido se dispone de un amplio espectro de medios y tcnicas para recolectar datos en diferentes ciencias como son la revisin bibliogrfica especializada, entrevistas y cuestionarios, observacin participante y no participante y seguimiento de casos.

cuando nuestro conocimiento del tema es tan vago e impreciso que nos impide sacar las ms provisorias conclusiones sobre qu aspectos son relevantes y cules no se requiere en primer trmino explorar e indagar, para lo que se utiliza la investigacin exploratoria.Este trabajo de investigacin de los nmeros complejos, nos dimos a la tarea de consultar libros especializados sobre el tema y consultando a la en paginas de internet para obtener mayor informacin y elaborar un trabajo eficienteLa elaboracin de este documento nos llevo a que consultramos otros tipos de libros ya que la informacin venia muy escasa.

GRAFICAS Y FIGURAS

ResultadosSuma y resta de N.CLa suma y diferencia de nmeros complejos se realiza sumando y restando las partes reales y las partes imaginarias entre s, respectivamente.(a+bi) + (c+di) =(a + c)+(b+d)i(a+bi) (c+di) =(a c)+(b d)iEjemplo:(5 + 2i) + ( 8 + 3i) (4 2i) == (5 8 4) + (2 + 3 + 2)i=7 + 7i

Multiplicacin N.CEl producto de los nmeros complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta quei2= 1.(a + bi) (c + di) =(ac bd) + (ad + bc)iEjemplo:(5 + 2i) (2 3i) == 10 15i+ 4i 6i2 = 10 11i+ 6 =16 11i

Divisin de los N.CEl cociente de nmeros complejos se realiza multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este.

Ejemplo:

CONCLUSIONESEn este documento se redact la historia y el origen de los nmeros complejos y como estos son fundamentales para muchas actividades de hoy en da, Gerolamo fue el primero en utilizar y resolver los nmeros complejos ya que Euclides de Alejandra no pudo darle solucin a los nmeros con races negativas. Gerolmo se dio obligado para resolver las ecuaciones cuadrticas y de tercer grado, pero el no amplio el concepto de los nmeros complejos. Gauss fue quien amplio el conocimiento de los nmeros imaginario donde demostr que todo polinomio con coeficiente complejos tendr poro menos una raz compleja. As como grandes matemticos encontraron la resolucin a esas races complejos, otros apartaron con una explicacin extensa o para el mejor manejo sin confusin de los nmeros complejos, como wessel quien hizo un libro para interpretar geomtricamente los nmeros complejos y descartes tuvo la idea de cambiar el nombre a los nmeros imaginarios despus Euler integro la letra i que es la literal con la que se reconoce actualmente los nmeros imaginarios.

Cada personaje aporto y nos dej un conocimiento amplio sobre los nmeros complejos y como resolver ecuaciones con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones cada una de ellas de distintas maneras para que hoy en da sus conocimientos sean trasferidos y as resolver problemas de la vida cotidiana de esta misma manera esta investigacin nos dej ms conocimientos que desconocamos.

REFERENCIASCRDITOSActividadAlumnoPeriodoPortadaEulogio Soto27/01/2015 - 31/01/20152. AntecedentesIvan Maguregui31/01/2015 - 03/02/20153. Historia del ArteIvan Maguregui03/02/2015 06/02/20154. Marco tericoCarlos Medina06/02/2015 10/02/20155. JustificacinGustavo Melndez10/02/2015 13/02/20156. ObjetivosEulogio Soto13/15/2015 16/02/20157. MetodologaCarlos Medina16/02/2015 18/02/20158. Base de datosEulogio Soto18/02/2015 20/02/20159. Grafas y figurasCarlos Medina20/02/2015 22/02/201510. Resultados Eulogio Soto22/02/2015 23/02/201511. ConclusionesGustavo Melndez23/02/2015 26/23/201512.13Bibliografas David C. Lay. (2007). Algebra Lineal y sus Aplicaciones 3RA EDICION. PEARSON EDUCACION. MEXICO: ISBN.LAY, DAVID C.. (2012). Algebra Lineal y Sus Aplicaciones 4 EDICION. Mexico, PEARSON EDUCACION: ISBN.JUAN CARLOS DEL VALLE SOTELO. (2011). ALGEBRA LINEAL PARA ESTUDIANTES DE INGENIERIA Y CIENCIAS. dELEGACION LVARO OBREGON C.P 01376, MEXICO, D.F: PUNTA SANTA FE.http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Complejos/complejos.htm#frmula de Euler