matemática básica · 2014-03-31 · ementa do curso noções de lógica. função. números...
Post on 14-Feb-2020
1 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Matemática Básica
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 1
7 de março de 2012
Aula 1 Matemática Básica 1
Apresentação do curso
Aula 1 Matemática Básica 2
Ementa do curso
Noções de lógica.Função.Números inteiros, racionais e irracionais: axiomas epropriedades.Números complexos.Série geométrica.Função exponencial.Função logarítmica.Função potência.
Aula 1 Matemática Básica 3
Bibliografia
Iaci Malta; Sinésio Pesco; Hélio Lopes. Cálculo a UmaVariável. Volume 1: Uma Introdução ao Cálculo. ColeçãoMatMídia, Edições Loyola, Editora PUC-Rio, 2002.
Aula 1 Matemática Básica 4
Bibliografia
Elon Lages Lima; Paulo Cezar Pinto Carvalho; EduardoWagner; Augusto César Morgado. A Matemática do EnsinoMédio. Volume 1. Coleção do Professor de Matemática,Sociedade Brasileira de Matemática, 2003.
Aula 1 Matemática Básica 5
Bibliografia
Elon Lages Lima. Logaritmos. Coleção do Professor deMatemática, Sociedade Brasileira de Matemática, 2002.
Aula 1 Matemática Básica 6
Bibliografia
James Stewart. Cálculo, volume 1, Quarta edição, EditoraPioneira, 2001.
Aula 1 Matemática Básica 7
Bibliografia
Marlene Dieguez Fernandez. Matemática Básica. Notas deAula, Departamento de Matemática Aplicada, UniversidadeFederal Fluminense, 2011.
Sebastião Marcos Antunes Firmo. Lições de MatemáticaBásica. Departamento de Matemática Aplicada,Universidade Federal Fluminense, 2011.
Aula 1 Matemática Básica 8
Outras informações
Página WEB do curso: http://www.professores.uff.br/hjbortol/.Clique no link DISCIPLINAS no menu à esquerda.
Conteúdo: cronograma dia a dia, lista de execícios, materialextra, notas das provas.
Não deixe de consultar os horários de monitoria no GMA.
Vamos definir agora um horário de atendimento para estaturma.
Aula 1 Matemática Básica 9
Outras informações
Página WEB do curso: http://www.professores.uff.br/hjbortol/.Clique no link DISCIPLINAS no menu à esquerda.
Conteúdo: cronograma dia a dia, lista de execícios, materialextra, notas das provas.
Não deixe de consultar os horários de monitoria no GMA.
Vamos definir agora um horário de atendimento para estaturma.
Aula 1 Matemática Básica 10
Outras informações
Página WEB do curso: http://www.professores.uff.br/hjbortol/.Clique no link DISCIPLINAS no menu à esquerda.
Conteúdo: cronograma dia a dia, lista de execícios, materialextra, notas das provas.
Não deixe de consultar os horários de monitoria no GMA.
Vamos definir agora um horário de atendimento para estaturma.
Aula 1 Matemática Básica 11
Datas das provas
1a VE 18/04/2012 (peso 2)
2a VE 25/05/2012 (peso 2)
3a VE 27/06/2012 (peso 3)
VR 29/06/2012
VS 04/07/2012
Frequência mínima: 75%.
Aula 1 Matemática Básica 12
Datas das provas
1a VE 18/04/2012 (peso 2)
2a VE 25/05/2012 (peso 2)
3a VE 27/06/2012 (peso 3)
VR 29/06/2012
VS 04/07/2012
Frequência mínima: 75%.
Aula 1 Matemática Básica 13
Elementos de Lógica e LinguagemMatemáticas
Aula 1 Matemática Básica 14
O significado das palavras
linguagem do cotidiano6=
linguagem matemática
Aula 1 Matemática Básica 15
O significado das palavras
linguagem do cotidiano6=
linguagem matemática
Aula 1 Matemática Básica 16
Exemplo
João disse que:
Se
eu viajar para a região Sul do Brasil,
então
eu visitarei o estado do Paraná oueu visitarei o estado de Santa Catarina oueu visitarei o estado do Rio Grande do Sul oueu visitarei o estado da Bahia.
A afirmativa de João é verdadeira ou falsa? Quais são as regras do jogo? Veremos quepelas regras da linguagem matemática, a afirmativa de João é verdadeira!
Aula 1 Matemática Básica 17
Exemplo
João disse que:
Se
eu viajar para a região Sul do Brasil,
então
eu visitarei o estado do Paraná oueu visitarei o estado de Santa Catarina oueu visitarei o estado do Rio Grande do Sul oueu visitarei o estado da Bahia.
A afirmativa de João é verdadeira ou falsa? Quais são as regras do jogo? Veremos quepelas regras da linguagem matemática, a afirmativa de João é verdadeira!
Aula 1 Matemática Básica 18
Exemplo
João disse que:
Se
eu viajar para a região Sul do Brasil,
então
eu visitarei o estado do Paraná oueu visitarei o estado de Santa Catarina oueu visitarei o estado do Rio Grande do Sul oueu visitarei o estado da Bahia.
A afirmativa de João é verdadeira ou falsa? Quais são as regras do jogo? Veremos quepelas regras da linguagem matemática, a afirmativa de João é verdadeira!
Aula 1 Matemática Básica 19
Exemplo
João disse que:
Se
eu viajar para a região Sul do Brasil,
então
eu visitarei o estado do Paraná oueu visitarei o estado de Santa Catarina oueu visitarei o estado do Rio Grande do Sul oueu visitarei o estado da Bahia.
A afirmativa de João é verdadeira ou falsa? Quais são as regras do jogo? Veremos quepelas regras da linguagem matemática, a afirmativa de João é verdadeira!
Aula 1 Matemática Básica 20
Exemplo
João disse que:
Se
eu viajar para a região Sul do Brasil,
então
eu visitarei o estado do Paraná oueu visitarei o estado de Santa Catarina oueu visitarei o estado do Rio Grande do Sul oueu visitarei o estado da Bahia.
A afirmativa de João é verdadeira ou falsa? Quais são as regras do jogo? Veremos quepelas regras da linguagem matemática, a afirmativa de João é verdadeira!
Aula 1 Matemática Básica 21
Exemplo
João disse que:
Se
eu viajar para a região Sul do Brasil,
então
eu visitarei o estado do Paraná oueu visitarei o estado de Santa Catarina oueu visitarei o estado do Rio Grande do Sul oueu visitarei o estado da Bahia.
A afirmativa de João é verdadeira ou falsa? Quais são as regras do jogo? Veremos quepelas regras da linguagem matemática, a afirmativa de João é verdadeira!
Aula 1 Matemática Básica 22
Exemplo
João disse que:
Se
eu viajar para a região Sul do Brasil,
então
eu visitarei o estado do Paraná oueu visitarei o estado de Santa Catarina oueu visitarei o estado do Rio Grande do Sul oueu visitarei o estado da Bahia.
A afirmativa de João é verdadeira ou falsa? Quais são as regras do jogo? Veremos quepelas regras da linguagem matemática, a afirmativa de João é verdadeira!
Aula 1 Matemática Básica 23
Exemplo
João disse que:
Se
eu viajar para a região Sul do Brasil,
então
eu visitarei o estado do Paraná oueu visitarei o estado de Santa Catarina oueu visitarei o estado do Rio Grande do Sul oueu visitarei o estado da Bahia.
A afirmativa de João é verdadeira ou falsa? Quais são as regras do jogo? Veremos quepelas regras da linguagem matemática, a afirmativa de João é verdadeira!
Aula 1 Matemática Básica 24
Exemplo
João disse que:
Se
eu viajar para a região Sul do Brasil,
então
eu visitarei o estado do Paraná oueu visitarei o estado de Santa Catarina oueu visitarei o estado do Rio Grande do Sul oueu visitarei o estado da Bahia.
A afirmativa de João é verdadeira ou falsa? Quais são as regras do jogo? Veremos quepelas regras da linguagem matemática, a afirmativa de João é verdadeira!
Aula 1 Matemática Básica 25
Exemplo
João disse que:
Se
eu viajar para a região Sul do Brasil,
então
eu visitarei o estado do Paraná oueu visitarei o estado de Santa Catarina oueu visitarei o estado do Rio Grande do Sul oueu visitarei o estado da Bahia.
A afirmativa de João é verdadeira ou falsa? Quais são as regras do jogo? Veremos quepelas regras da linguagem matemática, a afirmativa de João é verdadeira!
Aula 1 Matemática Básica 26
Exemplo
A afirmação seguinte é verdadeira ou falsa?
Se x (x2 − 2 x + 1) = 0, então x = 0 ou x = 1 ou x = 2.
Quais são as regras do jogo? Veremos que pelas regras da linguagem matemática, estaafirmativa é verdadeira!
Aula 1 Matemática Básica 27
Exemplo
A afirmação seguinte é verdadeira ou falsa?
Se x (x2 − 2 x + 1) = 0, então x = 0 ou x = 1 ou x = 2.
Quais são as regras do jogo? Veremos que pelas regras da linguagem matemática, estaafirmativa é verdadeira!
Aula 1 Matemática Básica 28
Exemplo
A afirmação seguinte é verdadeira ou falsa?
Se x (x2 − 2 x + 1) = 0, então x = 0 ou x = 1 ou x = 2.
Quais são as regras do jogo? Veremos que pelas regras da linguagem matemática, estaafirmativa é verdadeira!
Aula 1 Matemática Básica 29
Exemplo
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. Depois da divulgação do resultadodo vestibular, João foi visto com um carro novo. É então verdade que João foi aprovadono vestibular?
Resposta: não! João poderia, por exemplo, não ter sido aprovado no vestibular e terganhado o carro em um sorteio.
Equívoco: na linguagem do cotidiano, é comum assumir que se a sentença
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
é verdadeira, então também é verdadeira a sentença
Se João tem um carro novo, então João foi aprovado no vestibular.
Aula 1 Matemática Básica 30
Exemplo
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. Depois da divulgação do resultadodo vestibular, João foi visto com um carro novo. É então verdade que João foi aprovadono vestibular?
Resposta: não! João poderia, por exemplo, não ter sido aprovado no vestibular e terganhado o carro em um sorteio.
Equívoco: na linguagem do cotidiano, é comum assumir que se a sentença
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
é verdadeira, então também é verdadeira a sentença
Se João tem um carro novo, então João foi aprovado no vestibular.
Aula 1 Matemática Básica 31
Exemplo
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. Depois da divulgação do resultadodo vestibular, João foi visto com um carro novo. É então verdade que João foi aprovadono vestibular?
Resposta: não! João poderia, por exemplo, não ter sido aprovado no vestibular e terganhado o carro em um sorteio.
Equívoco: na linguagem do cotidiano, é comum assumir que se a sentença
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
é verdadeira, então também é verdadeira a sentença
Se João tem um carro novo, então João foi aprovado no vestibular.
Aula 1 Matemática Básica 32
Exemplo
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. Depois da divulgação do resultadodo vestibular, João foi visto com um carro novo. É então verdade que João foi aprovadono vestibular?
Resposta: não! João poderia, por exemplo, não ter sido aprovado no vestibular e terganhado o carro em um sorteio.
Equívoco: na linguagem do cotidiano, é comum assumir que se a sentença
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
é verdadeira, então também é verdadeira a sentença
Se João tem um carro novo, então João foi aprovado no vestibular.
Aula 1 Matemática Básica 33
Exemplo
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. Depois da divulgação do resultadodo vestibular, João foi visto com um carro novo. É então verdade que João foi aprovadono vestibular?
Resposta: não! João poderia, por exemplo, não ter sido aprovado no vestibular e terganhado o carro em um sorteio.
Equívoco: na linguagem do cotidiano, é comum assumir que se a sentença
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
é verdadeira, então também é verdadeira a sentença
Se João tem um carro novo, então João foi aprovado no vestibular.
Aula 1 Matemática Básica 34
Se A, então B: hipótese e tese
Aula 1 Matemática Básica 35
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Hipótese: m e n são inteiros pares.Tese: o produto m · n é um inteiro par.
Aula 1 Matemática Básica 36
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Hipótese: m e n são inteiros pares.Tese: o produto m · n é um inteiro par.
Aula 1 Matemática Básica 37
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Hipótese: m e n são inteiros pares.Tese: o produto m · n é um inteiro par.
Aula 1 Matemática Básica 38
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Hipótese: m e n são inteiros pares.Tese: o produto m · n é um inteiro par.
Aula 1 Matemática Básica 39
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Hipótese: m e n são inteiros pares.Tese: o produto m · n é um inteiro par.
Aula 1 Matemática Básica 40
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Hipótese: m e n são inteiros pares.Tese: o produto m · n é um inteiro par.
Aula 1 Matemática Básica 41
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Hipótese: m é um inteiro múltiplo de 3.Tese: m é um inteiro múltiplo de 9.
Aula 1 Matemática Básica 42
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Hipótese: m é um inteiro múltiplo de 3.Tese: m é um inteiro múltiplo de 9.
Aula 1 Matemática Básica 43
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Hipótese: m é um inteiro múltiplo de 3.Tese: m é um inteiro múltiplo de 9.
Aula 1 Matemática Básica 44
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Hipótese: m é um inteiro múltiplo de 3.Tese: m é um inteiro múltiplo de 9.
Aula 1 Matemática Básica 45
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Hipótese: m é um inteiro ímpar.Tese: existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Aula 1 Matemática Básica 46
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Hipótese: m é um inteiro ímpar.Tese: existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Aula 1 Matemática Básica 47
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Hipótese: m é um inteiro ímpar.Tese: existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Aula 1 Matemática Básica 48
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Hipótese: m é um inteiro ímpar.Tese: existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Aula 1 Matemática Básica 49
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Hipótese: n é um inteiro positivo.Tese: n2 + n + 41 é um número primo.
Aula 1 Matemática Básica 50
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Hipótese: n é um inteiro positivo.Tese: n2 + n + 41 é um número primo.
Aula 1 Matemática Básica 51
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Hipótese: n é um inteiro positivo.Tese: n2 + n + 41 é um número primo.
Aula 1 Matemática Básica 52
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Hipótese: n é um inteiro positivo.Tese: n2 + n + 41 é um número primo.
Aula 1 Matemática Básica 53
Se A, então B: exemplo econtraexemplo
Aula 1 Matemática Básica 54
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Exemplo: m = 18.Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3.Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9.
Contraexemplo: m = 6.Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3.Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9.
Aula 1 Matemática Básica 55
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Exemplo: m = 18.Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3.Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9.
Contraexemplo: m = 6.Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3.Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9.
Aula 1 Matemática Básica 56
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Exemplo: m = 18.Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3.Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9.
Contraexemplo: m = 6.Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3.Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9.
Aula 1 Matemática Básica 57
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Exemplo: m = 18.Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3.Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9.
Contraexemplo: m = 6.Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3.Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9.
Aula 1 Matemática Básica 58
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Exemplo: m = 18.Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3.Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9.
Contraexemplo: m = 6.Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3.Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9.
Aula 1 Matemática Básica 59
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Exemplo: m = 18.Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3.Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9.
Contraexemplo: m = 6.Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3.Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9.
Aula 1 Matemática Básica 60
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Exemplo: m = 18.Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3.Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9.
Contraexemplo: m = 6.Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3.Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9.
Aula 1 Matemática Básica 61
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Exemplo: m = 18.Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3.Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9.
Contraexemplo: m = 6.Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3.Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9.
Aula 1 Matemática Básica 62
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Exemplo: m = 18.Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3.Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9.
Contraexemplo: m = 6.Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3.Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9.
Aula 1 Matemática Básica 63
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Exemplo: m = 1.Satisfaz a hipótese: m = 1 é um inteiro ímpar.Satisfaz a tese: se k = 0, então 2 · k2 + 1 = 2 · (0)2 + 1 = 1 = m.
Contraexemplo: m = −3.Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar.Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0para todo inteiro k e m = −3 < 0.
Aula 1 Matemática Básica 64
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Exemplo: m = 1.Satisfaz a hipótese: m = 1 é um inteiro ímpar.Satisfaz a tese: se k = 0, então 2 · k2 + 1 = 2 · (0)2 + 1 = 1 = m.
Contraexemplo: m = −3.Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar.Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0para todo inteiro k e m = −3 < 0.
Aula 1 Matemática Básica 65
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Exemplo: m = 1.Satisfaz a hipótese: m = 1 é um inteiro ímpar.Satisfaz a tese: se k = 0, então 2 · k2 + 1 = 2 · (0)2 + 1 = 1 = m.
Contraexemplo: m = −3.Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar.Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0para todo inteiro k e m = −3 < 0.
Aula 1 Matemática Básica 66
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Exemplo: m = 1.Satisfaz a hipótese: m = 1 é um inteiro ímpar.Satisfaz a tese: se k = 0, então 2 · k2 + 1 = 2 · (0)2 + 1 = 1 = m.
Contraexemplo: m = −3.Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar.Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0para todo inteiro k e m = −3 < 0.
Aula 1 Matemática Básica 67
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Exemplo: m = 1.Satisfaz a hipótese: m = 1 é um inteiro ímpar.Satisfaz a tese: se k = 0, então 2 · k2 + 1 = 2 · (0)2 + 1 = 1 = m.
Contraexemplo: m = −3.Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar.Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0para todo inteiro k e m = −3 < 0.
Aula 1 Matemática Básica 68
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Exemplo: m = 1.Satisfaz a hipótese: m = 1 é um inteiro ímpar.Satisfaz a tese: se k = 0, então 2 · k2 + 1 = 2 · (0)2 + 1 = 1 = m.
Contraexemplo: m = −3.Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar.Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0para todo inteiro k e m = −3 < 0.
Aula 1 Matemática Básica 69
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Exemplo: n = 1.Satisfaz a hipótese: n = 1 é um inteiro positivo.Satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (1)2 + 1 + 41 = 43 é um número primo.
Contraexemplo: n = 40.Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo.Não satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 não éum número primo.
Aula 1 Matemática Básica 70
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Exemplo: n = 1.Satisfaz a hipótese: n = 1 é um inteiro positivo.Satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (1)2 + 1 + 41 = 43 é um número primo.
Contraexemplo: n = 40.Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo.Não satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 não éum número primo.
Aula 1 Matemática Básica 71
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Exemplo: n = 1.Satisfaz a hipótese: n = 1 é um inteiro positivo.Satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (1)2 + 1 + 41 = 43 é um número primo.
Contraexemplo: n = 40.Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo.Não satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 não éum número primo.
Aula 1 Matemática Básica 72
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Exemplo: n = 1.Satisfaz a hipótese: n = 1 é um inteiro positivo.Satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (1)2 + 1 + 41 = 43 é um número primo.
Contraexemplo: n = 40.Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo.Não satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 não éum número primo.
Aula 1 Matemática Básica 73
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Exemplo: n = 1.Satisfaz a hipótese: n = 1 é um inteiro positivo.Satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (1)2 + 1 + 41 = 43 é um número primo.
Contraexemplo: n = 40.Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo.Não satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 não éum número primo.
Aula 1 Matemática Básica 74
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Exemplo: n = 1.Satisfaz a hipótese: n = 1 é um inteiro positivo.Satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (1)2 + 1 + 41 = 43 é um número primo.
Contraexemplo: n = 40.Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo.Não satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 não éum número primo.
Aula 1 Matemática Básica 75
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Exemplo: m = 2 e n = 2.Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares.Satisfaz a tese: m · n = (2) · (2) = 4 é um inteiro par.
Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamentetambém irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n sãointeiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par esatisfaz a tese.
Aula 1 Matemática Básica 76
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Exemplo: m = 2 e n = 2.Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares.Satisfaz a tese: m · n = (2) · (2) = 4 é um inteiro par.
Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamentetambém irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n sãointeiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par esatisfaz a tese.
Aula 1 Matemática Básica 77
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Exemplo: m = 2 e n = 2.Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares.Satisfaz a tese: m · n = (2) · (2) = 4 é um inteiro par.
Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamentetambém irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n sãointeiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par esatisfaz a tese.
Aula 1 Matemática Básica 78
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Exemplo: m = 2 e n = 2.Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares.Satisfaz a tese: m · n = (2) · (2) = 4 é um inteiro par.
Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamentetambém irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n sãointeiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par esatisfaz a tese.
Aula 1 Matemática Básica 79
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Exemplo: m = 2 e n = 2.Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares.Satisfaz a tese: m · n = (2) · (2) = 4 é um inteiro par.
Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamentetambém irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n sãointeiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par esatisfaz a tese.
Aula 1 Matemática Básica 80
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Exemplo: m = 2 e n = 2.Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares.Satisfaz a tese: m · n = (2) · (2) = 4 é um inteiro par.
Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamentetambém irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n sãointeiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par esatisfaz a tese.
Aula 1 Matemática Básica 81
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Exemplo: m = 2 e n = 2.Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares.Satisfaz a tese: m · n = (2) · (2) = 4 é um inteiro par.
Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamentetambém irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n sãointeiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par esatisfaz a tese.
Aula 1 Matemática Básica 82
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Exemplo: m = 2 e n = 2.Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares.Satisfaz a tese: m · n = (2) · (2) = 4 é um inteiro par.
Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamentetambém irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n sãointeiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par esatisfaz a tese.
Aula 1 Matemática Básica 83
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objetomatemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Exemplo: m = 2 e n = 2.Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares.Satisfaz a tese: m · n = (2) · (2) = 4 é um inteiro par.
Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamentetambém irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n sãointeiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par esatisfaz a tese.
Aula 1 Matemática Básica 84
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Aula 1 Matemática Básica 85
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Com relação a uma sentença da forma “Se A, então B.”:
(1) Ela possui um e somente um dos atributos: verdadeira e falsa.
(2) Ela é verdadeira se não possui contraexemplos.
(3) Ela é falsa se possui pelo menos um contraexemplo.
Regras do Jogo
Aula 1 Matemática Básica 86
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Com relação a uma sentença da forma “Se A, então B.”:
(1) Ela possui um e somente um dos atributos: verdadeira e falsa.
(2) Ela é verdadeira se não possui contraexemplos.
(3) Ela é falsa se possui pelo menos um contraexemplo.
Regras do Jogo
Aula 1 Matemática Básica 87
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Com relação a uma sentença da forma “Se A, então B.”:
(1) Ela possui um e somente um dos atributos: verdadeira e falsa.
(2) Ela é verdadeira se não possui contraexemplos.
(3) Ela é falsa se possui pelo menos um contraexemplo.
Regras do Jogo
Aula 1 Matemática Básica 88
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Contraexemplo: m = 6.Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3.Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9.
Logo a sentença (proposição) é falsa!
Aula 1 Matemática Básica 89
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Contraexemplo: m = 6.Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3.Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9.
Logo a sentença (proposição) é falsa!
Aula 1 Matemática Básica 90
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Contraexemplo: m = 6.Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3.Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9.
Logo a sentença (proposição) é falsa!
Aula 1 Matemática Básica 91
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2·k2+1.
Contraexemplo: m = −3.Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar.Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0 para todo inteiro k em = −3 < 0.
Logo a sentença (proposição) é falsa!
Aula 1 Matemática Básica 92
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2·k2+1.
Contraexemplo: m = −3.Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar.Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0 para todo inteiro k em = −3 < 0.
Logo a sentença (proposição) é falsa!
Aula 1 Matemática Básica 93
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2·k2+1.
Contraexemplo: m = −3.Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar.Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0 para todo inteiro k em = −3 < 0.
Logo a sentença (proposição) é falsa!
Aula 1 Matemática Básica 94
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Contraexemplo: n = 40.Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo.Não satisfaz a tese:n2 + n + 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 nãoé um número primo.
Logo a sentença (proposição) é falsa!
Aula 1 Matemática Básica 95
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Contraexemplo: n = 40.Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo.Não satisfaz a tese:n2 + n + 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 nãoé um número primo.
Logo a sentença (proposição) é falsa!
Aula 1 Matemática Básica 96
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Contraexemplo: n = 40.Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo.Não satisfaz a tese:n2 + n + 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 nãoé um número primo.
Logo a sentença (proposição) é falsa!
Aula 1 Matemática Básica 97
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hi-pótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato:se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pa-res. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n éinteiro par e satisfaz a tese.
Logo a sentença (proposição) é verdadeira!
Aula 1 Matemática Básica 98
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hi-pótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato:se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pa-res. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n éinteiro par e satisfaz a tese.
Logo a sentença (proposição) é verdadeira!
Aula 1 Matemática Básica 99
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hi-pótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato:se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pa-res. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n éinteiro par e satisfaz a tese.
Logo a sentença (proposição) é verdadeira!
Aula 1 Matemática Básica 100
A recíproca de “Se A, então B.”
Aula 1 Matemática Básica 101
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
Se B, então A.
Sentença: se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.Sentença: (a sentença é falsa)
Recíproca: se m é um inteiro múltiplo de 9, então m é um inteiro múltiplo de 3.Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!)
Aula 1 Matemática Básica 102
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
Se B, então A.
Sentença: se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.Sentença: (a sentença é falsa)
Recíproca: se m é um inteiro múltiplo de 9, então m é um inteiro múltiplo de 3.Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!)
Aula 1 Matemática Básica 103
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
Se B, então A.
Sentença: se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.Sentença: (a sentença é falsa)
Recíproca: se m é um inteiro múltiplo de 9, então m é um inteiro múltiplo de 3.Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!)
Aula 1 Matemática Básica 104
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
Se B, então A.
Sentença: se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.Sentença: (a sentença é falsa)
Recíproca: se m é um inteiro múltiplo de 9, então m é um inteiro múltiplo de 3.Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!)
Aula 1 Matemática Básica 105
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
Se B, então A.
Sentença: se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.Sentença: (a sentença é falsa)
Recíproca: se m é um inteiro múltiplo de 9, então m é um inteiro múltiplo de 3.Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!)
Aula 1 Matemática Básica 106
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
Se B, então A.
Sentença: se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.Sentença: (a sentença é falsa)
Recíproca: se m é um inteiro múltiplo de 9, então m é um inteiro múltiplo de 3.Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!)
Aula 1 Matemática Básica 107
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
Se B, então A.
Sentença: se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.Sentença: (a sentença é falsa)
Recíproca: se existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1, então m é um inteiro ímpar.Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!)
Aula 1 Matemática Básica 108
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
Se B, então A.
Sentença: se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.Sentença: (a sentença é falsa)
Recíproca: se existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1, então m é um inteiro ímpar.Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!)
Aula 1 Matemática Básica 109
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
Se B, então A.
Sentença: se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.Sentença: (a sentença é falsa)
Recíproca: se existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1, então m é um inteiro ímpar.Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!)
Aula 1 Matemática Básica 110
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
Se B, então A.
Sentença: se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.Sentença: (a sentença é falsa)
Recíproca: se existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1, então m é um inteiro ímpar.Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!)
Aula 1 Matemática Básica 111
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
Se B, então A.
Sentença: se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.Sentença: (a sentença é verdadeira)
Recíproca: se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares.Recíproca: (a recíproca é falsa: prove!)
Aula 1 Matemática Básica 112
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
Se B, então A.
Sentença: se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.Sentença: (a sentença é verdadeira)
Recíproca: se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares.Recíproca: (a recíproca é falsa: prove!)
Aula 1 Matemática Básica 113
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
Se B, então A.
Sentença: se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.Sentença: (a sentença é verdadeira)
Recíproca: se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares.Recíproca: (a recíproca é falsa: prove!)
Aula 1 Matemática Básica 114
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
Se B, então A.
Sentença: se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.Sentença: (a sentença é verdadeira)
Recíproca: se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares.Recíproca: (a recíproca é falsa: prove!)
Aula 1 Matemática Básica 115
top related