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1Bertolo
Aplicações das Séries Uniformes
JUROS COMPOSTOS Séries Uniformes
2Bertolo
O Sonho é ver as formas invisíveis da distância imprecisa,e, com sensíveis movimentos da Esperança e da Vontade,
buscar na linha fria do horizonte,a árvore, a praia, a flor, a ave, a fonte,
os beijos merecidos da verdade.
Fernando Pessoa
3Bertolo
O que veremos hoje
Coeficiente de Financiamento
Série Gradiente
Perpetuidade
Inflação e Taxa Real
4Bertolo
Coeficiente de FinanciamentoO coeficiente de financiamento é um fator financeiro que multiplicando o valor presente de um financiamento apura as prestações. Assim,
Coef.Financ.X Financiamento = Prestações
Ou
Logo o C.F. é o inverso do
nn
ii
i
1
11an i
APLICAÇÕES: - CDC – Crédito Direto ao Consumidor
- Leasing ou Arrendamento Mercantil
VP x a-1 n i = PGTO.
5Bertolo
Coeficiente de FinanciamentoVP x a-1 n i = PGTO.
Na HP – 12C
f FIN f 6
1 CHS PV
N n
Taxa i
PMT
Isto dá o a-1 n i
EXEMPLO – Construir o coeficiente financeiro de um contrato de financiamento envolvendo 15 prestações mensais, iguais e sucessivas, a uma taxa de juros de 3,5% a.m.
Solução
Na HP-12Cf FIN f 61 CHS PV15 n3,5 iPMT
Na verdade o que calculamos foi:
n
n
ii
i
1
11an i
1
6Bertolo
Outro ExemploAdmita que uma instituição financeira divulgue que seu coeficiente para financiamentos a serem liquidados em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas atinge 0,189346 (geralmente seis casas).
a.Qual o valor das prestações de um financiamento de $ 16.000?
b.Qual a taxa de juros?
7Bertolo
Soluçãoa. VP x a-1
n i = PGTO.
16.000 x 0,189346 = 3.029,54
b. Para encontrarmos a taxa de juros, recorremos a HP-12C:
16000 CHS PV
3029,54 PMT
6 N
i
Isto resulta em 3.77%
8Bertolo
Mais um exemploUma empresa está avaliando o custo de determinado financiamento. Para tanto, identificou as seguintes condições em dois bancos.a. Coeficiente = 0,119153
Pagamento = 10 prestações mensais, iguais e sucessivas
b. Coeficiente = 0,307932
Pagamento = 4 prestações trimestrais, iguais e sucessivas.
Determinar a proposta que apresenta o menor custo mensal.
Solução com vocês!!!
9Bertolo
Um agora da página 46Uma financeira publica que seus coeficientes para financiamento de carros, em 24 meses, são:
Carros 0 - km Carros Novos
0,06480 0,06815
Qual é a taxa de juros de cada coeficiente?
Resp : Carros - Novos 3,89% a.m. e Carros - Usados 4,39% a.m.
10Bertolo
Economizando para APOSENTADORIA
Um executivo, prevendo sua aposentadoria, resolve efetuar, durante 4 anos, depósitos mensais iguais à taxa de 2,5% a.m.. Este pecúlio deverá permitir 5 retiradas anuais de R$ 500.000,00, ocorrendo a primeira 2 anos após o último depósito. De quanto devem ser os depósitos mensais? Resp: R$ 9.167,56
Observação:- Neste problema temos misturadas taxas anuais e mensais. Cuidado com isso!!
11Bertolo
Solução
.........
0 1 2 3 47 48
1 2 3 4 5 6
500.000
PGTO
# 1- Determinar a taxa efetiva anual
(1+iaa)=(1+iam)12
Na HP-12C, temos:
f FIN f6
1 CHS PV
2,5 i
12 n
FV 1 –
100 x 34,49% a.a.
# 2 – Determinar o valor presente das 5 retiradas anuais
PV = 500.000 a5 34,49
Na HP -12 C
F FIN f 2
500000 CHS PMT
5 n
34,49 i
PV
12Bertolo
Solução
0 1 2 3 47 48
1 2 3 4 5 6
PGTO
1.120.217,24
# 3 Transferir este valor presente para o período 48, isto é, voltar 1 ano.
PV = FV (1+i)-1
Na HP – 12C, temos
F FIN f2
1.120.217,24 CHS FV
1 N
34,49 i
PV ..... 832.937,20
# 4 Calcular os PGTO que acumulem este valor 832.937,20
FV = PMT s48 2,5
Na HP-12C
F FIN f 2
832.937,20 CHS FV
48 N
2,5 i
PMT ..... 9.167,30
832.937,20
13Bertolo
Um Problema RealUm banco e uma empresa firmaram um contrato de empréstimo para capital de giro no valor de R$ 720.000,00, para ser liquidado em seis prestações mensais. A operação foi contratada a uma taxa de juro de 1% a.m. (equivalente a 12,68% a.a.), mais um flat (comissão antecipada) de 3,6% além do IOF de 0,0083% ao dia e da correção calculada com base na TR. Admitindo-se que a TR do dia da contratação fosse 2,84%, calcular:
a.O valor das prestações mensais; Resp: R$ 124.234,82
b.O valor corrigido da “primeira” prestação; Resp: R$ 127.763,09
c.O valor líquido creditado na conta da empresa; Resp: R$ 687.832,25
d.A taxa efetiva anual da operação tomando-se como base o valor líquido recebido pela empresa beneficiária do crédito Resp: 32,08% a.a.
A solução será enviada por e-1/2
14Bertolo
SÉRIE GRADIENTE Denomina-se série em gradiente a uma série de pagamentos G, 2G, 3G, ....., (n-1)G que ocorrem nos períodos 2, 3, 4, ......., n, respectivamente, 1 2 3 4 n
G 2G 3G (n -1) G
15Bertolo
SÉRIE GRADIENTEExistem fórmulas que não iremos tratá-las aqui. Vamos
resolver tudo na HP – 12C.
f FIN f2
0 g CF0
Valor g CFj
Valor g CFj
e daí, após introduzir todos os valores, temos duas opções:
a. Calcular o valor presente líquido (VPL) apertando f NPV
b. Calcular a taxa interna de retorno (TIR) apertando f IRR
16Bertolo
EXEMPLO1. Determine o valor atual do fluxo de caixa que se segue, a
juros de 10% por período. 0 1 2 3 4 5 6 100 120
140 160 180 250 2 00
17Bertolo
EXERCÍCIOS Quanto devemos aplicar hoje, a uma taxa de
juros efetiva de 6% a.m., de modo que sejam possibilitados cinco saques consecutivos? O primeiro saque deverá ser de $ 20.000 daqui a dois anos e os outros gradativamente crescentes, formando uma série gradiente uniforme igual a $ 20.000, $ 40.000, $ 60.000, $ 80.000 e $ 100.000 Resp: $ 229.187,23
Uma máquina permite uma economia de custos de $ 10.000 no 1º ano e gradativamente crescente até o 5º ano de sua vida útil. Considerando uma taxa de juros efetiva de 12% a.a., calcular o valor atual dessa economia de custos. Resp: $ 100.018,00
18Bertolo
Outro Exercício Calcular a taxa de juros efetiva cobrada
em um financiamento de $ 692,78 que será pago em cinco prestações mensais segundo o esquema a seguir.
0 1 2 3 4 5
$ 250
$ 200$ 150
$ 100$ 50
19Bertolo
PERPETUIDADE
Em algumas aplicações, o número de pagamentos ou anuidades pode ser considerado infinito (série de rendas uniformes perpétuas) e, nesse caso, a expressão do principal fica como segue:
i
PGTO
ii
iPGTOVP
n
n
]
)1(
1)1(lim[.
O limite é tomado com n. Ou, seja o principal ou valor atual de uma série de rendas uniformes perpétuas é igual ao valor da anuidade dividido pela taxa de juros.
20Bertolo
EXERCÍCIO 1
Ao participar de um Programa de Demissão Voluntária (PDV), um trabalhador recebeu da empresa $ 10.000. De modo que percebesse uma renda quinzenal indefinidamente, aplicou a importância em uma instituição financeira a juros efetivos de 1,5% a.m.. Considerando que a taxa de juros não variará, calcular o valor da renda quinzenal perpétua postecipada.
21Bertolo
EXERCÍCIO 2
O pedágio de uma rodovia estadual arrecada em média $ 200.000/mês. Calcular o valor presente dessas rendas considerando um custo de capital de 2% a.m.
22Bertolo
EXERCÍCIO 3
Uma universidade receberá uma doação à perpetuidade. O primeiro importe de $ 50.000 será aplicado na compra de livros e os seguintes de $ 10.000, a serem entregues no início de cada ano, serão usados na manutenção. A juros efetivos de 10% a.a., calcular o valor presente da doação.
23Bertolo
EXERCÍCIO 4
Uma jazida de ouro com reservas para exploração por mais de cem anos produz lucros médios de $ 4.000.000/ano. Calcular o valor da mina, considerando que nos próximos dois anos a mina não operará por motivos de renovação de equipamentos. O custo de oportunidade do capital é de 15% a.a..
24Bertolo
EXERCÍCIO 5
Uma sociedade de beneficiência pública ganhou de um mecenas uma doação de $ 25.000/ano em forma indefinida, recebidos no início de cada ano depois de transcorridos dois anos contados a partir da data da doação. A juros de 15% a.a., calcular o valor presente dessa doação.
25Bertolo
EXERCÍCIO 6
Uma ação promete pagar um dividendo de $ 3,50 por ação ao ano. Estimando-se que os dividendos cresçam a uma taxa constante de 5% a.a., calcular o valor da ação se o custo de oportunidade do capital for de 14% a.a.. Considere os dividendos como uma perpetuidade.
26Bertolo
EXERCÍCIO 7Um canal de irrigação teve um custo inicial de $
500.000. O engenheiro hidráulico projetista da obra estima que, para estar permanentemente em condições operacionais, a cada três anos deve ser realizada uma reforma do canal a um custo aproximado de $ 150.000. Pede-se:
calcular a quantia que deve ser aplicada hoje a juros de 15% a.a., de modo que assegure a reforma perpétua do canal.
Determinar o custo capitalizado do canal admitindo-se um custo do capital de 15% a.a.
27Bertolo
Para Casa Um canal de irrigação tem um custo de construção de $ 40.000.
Para mantê-lo em condições operacionais deve ser efetuada uma reforma integral ao custo de $ 8.000 a cada 5 anos indefinidamente. Calcular seu custo capitalizado a uma taxa efetiva de 8% a.a. Resp: $ 57.045,65
Uma ponte tem um custo de construção de $ 30.000 e sua vida útil é de 10 anos. Depois desse tempo deve ser reformada a cada 10 anos indefinidamente a um custo de $ 15.000. Calcular seu custo capitalizado a uma taxa efetiva de 1% a.m. Resp: $ 36.520,64
A prefeitura de uma cidade recebeu 2 propostas para construir uma passarela para pedestres. A primeira propõe construí-la de madeira ao custo de $ 10.000 com um custo de manutenção de $ 4.000 a cada 3 anos indefinidamente. A segunda propõe construí-la de aço ao custo de $ 20.000 com custo de manutenção de $ 6.000 a cada 6 anos. Considerando-se um custo do capital de 6% a.a., selecionar a melhor proposta. Resp: Custo capitalizado (madeira) = $ 30.940,65; Custo capitalizado (aço) = $ 34.336,26 selecionar de madeira
Vamos mandar por e-1/2
28Bertolo
INFLAÇÃOO processo inflacionário de uma economia pode ser entendido pela elevação generalizada dos preços dos vários bens e serviços.
Em sentido contrário, diante de uma baixa predominante dos preços de mercado dos bens e serviços, tem-se o fenômeno definido por deflação.
Tradicionalmente, o desenvolvimento da economia brasileira tem-se caracterizado pela presença marcante da inflação, apresentando taxas, na maior parte do tempo, em níveis relevantes.
É importante acrescentar, ainda, que mesmo diante de cenários econômicos de reduzida taxa de inflação, o conhecimento do juro real permanece bastante importante para a Matemática Financeira. Nestas condições, mesmo pequenas oscilações nos índices de preços produzem impacto relevante sobre as taxas de juros ao longo do tempo, alterando a competitividade dos ativos negociados no mercado.
Em contextos inflacionários, deve-se ficar atento para a denominada ilusão monetária ou rendimento aparente das aplicações e investimentos
29Bertolo
Índices de PreçosUm índice de preços procura medir a mudança que ocorre nos níveis de preços de um período para outro. No Brasil, a maioria dos cálculos de índices de preços está a cargo da Fundação Getúlio Vargas (FGV) do Rio de Janeiro, que publica mensalmente na revista Conjuntura Econômica os índices nacionais e regionais. Outras instituições que elaboram índices de preços são: o IBGE, a Fipe e o Dieese em São Paulo, a Fundare em Recife e o Ipead-UFMG em Belo Horizonte.
O índice mais geral disponível é o Índice Geral de Preços – disponibilidade interna da FGV (IGP-di). Ele é indicado para inflacionar ou deflacionar valores monetários, cujas causas foram devidas a muitos fatores, pois esse índice mede a inflação do País.
30Bertolo
Representatividade dos valores financeiros em ambientes inflacionários
O processo inflacionário obriga a quem faz cálculos financeiros, ou toma decisões de investimento ou financiamento, a prestar atenção especial ao significado econômico dos lucros e contas nominais apresentadas pelas empresas, ao impacto da inflação na avaliação dos investimentos e, sobretudo, a como o processo decisório é afetado.
Como resultado da inflação, o significado das medidas contábeis e econômicas de rentabilidade (lucros e custos) diverge e essa divergência é maior à medida que a inflação se acelera.
31Bertolo
EXEMPLO
No último trimestre do ano, o salário nominal de um operário, recebido no último dia de cada mês, foi o seguinte: outubro = $ 12.000; novembro = $ 13.800; dezembro = $ 16.560. Calcular a taxa de crescimento real do salário considerando que o índice de preços escolhido teve as seguintes variações: novembro = 19%, dezembro = 22%.
32Bertolo
SoluçãoPara deflacionar (colocar os salários em moeda de outubro), usamos um deflator que assume o valor 1,0000 em outubro. Em novembro seu valor será de 1,0000 x 1,19 = 1,1900 e em dezembro, de 1,1900 x 1,22 = 1,4518.
Mês Salário em valores nominais (1)
Variação do índice (2)
Deflator(base Out.)
(3)
Salário deflacionado (preços de Out.)
(1) / (3)
Crescimento real (% a.m.)
Crescimento aparente (% a.m.)
Out. $ 12.000 1,0000 $ 12.000
Nov. $ 13.800 19% 1,1900 $ 11.596,64
Dez. $ 16.560 22% 1,4518 $ 11.406,53
33Bertolo
SoluçãoCom os salários dos três meses colocados em moeda do mês de outubro (moeda constante de outubro), podemos, agora, calcular o crescimento real no mês de novembro:
%36,30336,0100,000.12$
64,596.11$rS
%64,10164,0164,596.11$
53,406.11$rS
O crescimento real em dezembro será:
Mês Salário em valores nominais (1)
Variação do índice (2)
Deflator(base Out) (3)
Salário deflacionado (preços de Out.) (1) / (3)
Crescimento real (% a.m.)
Crescimento aparente (% a.m.)
Out. $ 12.000 1,0000 $ 12.000
Nov. $ 13.800 19% 1,1900 $ 11.596,64 -3,36%
Dez. $ 16.560 22% 1,4518 $ 11.406,53 -1,64%
34Bertolo
Solução
Mês Salário em valores nominais (1)
Variação do índice (2)
Deflator(base Out.)
(3)
Salário deflacionado (preços de Out.) (1) / (3)
Crescimento real (% a.m.)
Crescimento aparente (% a.m.)
Out. $ 12.000 1,0000 $ 12.000
Nov. $ 13.800 19% 1,1900 $ 11.596,64 -3,36% 15%
Dez. $ 16.560 22% 1,4518 $ 11.406,53 -1,64% 20%
Em novembro houve em termos reais uma perda de -3,36% em relação ao mês de outubro e, em dezembro, houve uma perda real de -1,64% em relação ao mês anterior. No período considerado, a perda real total foi de -4,95% na capacidade geral de compra do salário:
%95,40495,0100,000.12$
53,406.11$rS
35Bertolo
SoluçãoPor outro lado, o crescimento nominal ou aparente mostra taxas positivas de 15% e 20% para os meses de novembro e dezembro, respectivamente. Este exemplo ilustra a importância de estimar o crescimento real dos fluxos e valores financeiros.
36Bertolo
Taxas de Juros Aparente x NominaisA taxa aparente (chamada nominal nas transações financeiras e comerciais) é aquela que vigora nas operações correntes.
A taxa real é o rendimento ou custo de uma operação, seja de aplicação ou captação, calculado depois de serem expurgados os efeitos inflacionários. A taxa aparente embute uma expectativa inflacionária.As taxas aparente e real relacionam-se da seguinte forma:.
(1+iaparente) = (1+ireal)(1+iinflação)
37Bertolo
EXEMPLOS
Calcular o custo real de um empréstimo contratado a uma taxa efetiva de 20%, considerando uma inflação para o mesmo período de 15% para o período
38Bertolo
Exercícios
Calcular o custo efetivo anual em moeda nacional de um empréstimo em moeda estrangeira contratado a juros nominais de 8% a.a., com capitalização mensal, considerando uma desvalorização da moeda nacional de 2% a.m..
39Bertolo
Exercícios
Uma aplicação de $ 100 teve um rendimento aparente de $35. Considerando uma inflação durante o período de investimento de 30%, calcular a rentabilidade aparente e real da operação.
40Bertolo
Exercícios
Uma pessoa comprou no início de um determinado ano um terreno por $ 140.000, vendendo-o no fim do mesmo ano por $ 220.000. Considerando uma inflação anual de 40%, estimar o ganho real da operação.
41Bertolo
Exercícios
Um capital de $ 2.000 aplicado por dois anos rende juros de 5% a.a. mais atualização monetária calculada com base nas variações do IGP-di. Considerando uma variação do IGP-di de 40% e 50% para o primeiro e segundo anos, respectivamente, calcular a rentabilidade real da operação e o montante ao fim do 2º ano.
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