ANUALIDADESMonto y valor presente de una anualidad simple

anticipada

Mg. Percy PEÑA MEDINADocente UCCIppena@continental.edu.pe

S1

¿Cómo se calcula el valor presente de una anualidad simple anticipada?

¿Cómo se calcula el monto de una anualidad simple anticipada?

Propósito de la sesión de aprendizaje 01

Calcula el monto y valor presente de una anualidad simple anticipada.

𝑺=𝑹𝒂 (𝟏+𝒊 )[ (𝟏+𝒊 )𝒏−𝟏𝒊 ]

Anualidades

Comprar una casa

LOS JARDINES SAC

Banco del Sur

Solicitan un préstamo

Pagos mensuales durante un plazo que varía generalmente entre 10 y los 30 años

Anualidades

Una anualidad se define como una serie de pagos generalmente iguales realizados en intervalos de tiempo iguales. El término anualidad parece implicar que los pagos se efectúan cada año, sin embargo, esto no es necesariamente así, ya que los pagos pueden ser mensuales, quincenales, etc.

Ejemplos

El pago mensual de un crédito

hipotecario

Los abonos mensuales para pagar una computadora

comprada al crédito.

El pago anual de la prima del seguro de

vida

AnualidadesEl concepto de anualidad es de gran importancia en matemática financiera ya que es muy frecuente que las transacciones comerciales impliquen una serie de pagos hechos en intervalos iguales de tiempo, en vez de un pago único realizado al final del plazo.

ANUALIDADP1 P2::

Pn

Se pueden conocer como:

Pago periódico

Abono

Renta

TÉRMINOS

El importe de cada flujo de efectivo, ingreso o egreso de efectivo, que se puede realizar en el horizonte temporal de la anualidad, recibe el nombre de renta (R) y el conjunto de rentas constituye la anualidad.

Anualidades

𝑹𝒌𝑹𝒌−𝟏Periodo de renta

• Anual• Semestral• Mensual• Etc.

Tiempo transcurrido entre dos pagos sucesivos.

...0 1 2 nn-1

R R R R

Plazo de la anualidad

Anualidad Anticipada

Anualidades anticipadas

Anualidades simple, temporal, anticipada

Puede ser

Cuando los periodos de tasa, periodos de renta y los importes de las rentas son uniformes.

Cuando el horizonte temporal de la anualidad es un plazo determinado

Cuando las rentas se inician al comienzo de cada periodo de renta.

Esquema de una anualidad simple anticipada

Cuando las rentas se inician al inicio de cada periodo de renta.

...1 2 nn-1

Ra Ra Ra

Plazo de la anualidad

Periodo de renta• Anual• Semestral• Mensual• Etc.

0

Ra

Monto de una anualidad simple anticipadaEl valor futuro de la anualidad es igual a la suma de los montos parciales de cada Ra llevado al final del horizonte temporal.

...1 2 nn-1

Ra Ra Ra

0

Plazo de la anualidad

𝑹 (𝟏+𝒊 )𝒏−𝟏

𝑹 (𝟏+𝒊 )𝒏

𝑹 (𝟏+𝒊 )𝟏

S

Ra

𝑹 (𝟏+𝒊 )𝒏−𝟐

Monto de una anualidad simple anticipada

Monto de una anualidad simple anticipada

𝑺=𝑹𝒂 (𝟏+𝒊 )[ (𝟏+𝒊 )𝒏−𝟏𝒊 ]

𝑺=𝑹𝒂 (𝟏+𝒊 )[ (𝟏+𝒊 )𝒏−𝟏𝒊 ]⏟

𝑭𝑪𝑺𝒊 ;𝒏 Factor de capitalización de la serie uniforme.

El FCS a una tasa i por periodo, durante «n» periodos de renta transforma una serie uniforme de rentas R en un valor futuro S.

Problema 06

En un cuatrimestre se efectúan depósitos de 1000 um al inicio de cada mes, en un banco que remunera esos depósitos con una TNA de 36% capitalizable mensualmente. ¿Qué monto se acumulará al final del cuarto mes?

Rpta: 4309.14um

Problema 07

El primer día útil de cada mes la compañía Prodinsa coloca en un banco 20% de sus excedentes de caja que ascienden a 500 um. Si por dichos depósitos percibe una TEM de 3%, ¿Cuánto habrá acumulado al término del sexto mes?

Rpta: 3331.23um

Problema 08

Una persona deposita en una cuenta de ahorros a inicios de cada trimestre un importe constante de 2000 um. ¿Qué monto acumulará en el plazo de dos años si percibe una TNA de 24% capitalizable trimestralmente?

Rpta: 20982.63um

Problema 09

¿Qué monto puede acumularse durante 3 años consecutivos si se depositan 1000 um al inicio de cada mes en un banco que remunera esos depósitos con una TNA de 24% capitalizable mensualmente?

Rpta: 53034.25um

Problema 10

¿Cuál será el importe del monto al final del sexto mes, si se efectúan depósitos de 1000um a inicios de cada mes en una institución bancaria que paga una TNA de 36% con capitalización trimestral?

Rpta: 6642.60um

Problema 11

¿Qué monto se habrá acumulado en una cuenta de ahorros si a inicios de mes y durante 8 meses consecutivos se depositó 800um en un banco que remunera a esos ahorros con una TEA de 12%?

Rpta: 6679.41um

Valor presente de una anualidad simple anticipada

...1 2 nn-1

Ra Ra RaRa

0

Plazo de la anualidad

P

𝑹𝒂(𝟏+𝒊 )

𝑹𝒂(𝟏+𝒊 )𝟐

𝑹𝒂(𝟏+𝒊 )𝒏−𝟏

Valor presente de una anualidad simple anticipada

Valor presente de una anualidad simple anticipada

𝑷=𝑹𝒂 (𝟏+𝒊 )[ (𝟏+𝒊 )𝒏−𝟏𝒊 (𝟏+𝒊 )𝒏 ]

𝑷=𝑹𝒂 (𝟏+𝒊 )[ (𝟏+𝒊 )𝒏−𝟏𝒊 (𝟏+𝒊 )𝒏 ]⏟

𝑭𝑨𝑺𝒊 ;𝒏 Factor de actualización de la serie uniforme.

El FAS a una tasa i por periodo, durante «n» periodos de renta transforma una serie uniforme de rentas R en un valor presente P.

Ejemplo N° 12

El alquiler de un local comercial es 500um, pago que debe efectuarse a inicios de cada mes. El dueño del local le propone al arrendatario efectuar un descuento en las cuotas mensuales, con una TEM de 4% en el caso que le abone anticipadamente los alquileres correspondientes a un año. Calcule el valor presente de los doce pagos anticipados.

Rpta: 4880.24um

Ejemplo N° 13

Un crédito mutual que devenga una TNA de 36% capitalizable trimestralmente fue contratado para amortizarse con 20 imposiciones trimestrales uniformes de 250um. Al vencimiento de la imposición 12, el cliente decide cancelarla conjuntamente con las cuotas insolutas. ¿Cuál es el importe total por cancelar en esa fecha?

Rpta: 1633.70um

Ejemplo N° 14

¿Cuál es el pecio de contado equivalente de una máquina que se vende a crédito con 12 cuotas mensuales anticipadas de 200um cada una? El costo de oportunidad es una TEM de 2%.

Rpta: 2157.37um

Ejemplo N° 15

Calcule el importe total del interés por pagar en la amortización d un préstamo pactado a un TEM de 4% durante medio año con imposiciones iguales mensuales de 500um.

Rpta: 274.09um

Ejemplo N° 16

Para la adquisición de una máquina se dispone de 20% de su precio de contado. El saldo será financiado por el mismo proveedor con 12 imposiciones iguales mensuales de 500um cada uno, con una TEM de 3%. Calcule el precio de contado equivalente de la máquina.

Rpta: 6407.89um

Ejemplo N° 17

Calcule el valor presente de una anualidad compuesta de 20 rentas uniformes trimestrales anticipadas de 2000um cada una, aplicando una TEM de 1,5%.

Rpta: 27045.03um

Síntesis de la sesión de aprendizaje 01

1. Una anualidad se define como una serie de pagos generalmente iguales realizados en intervalos de tiempo iguales.

2. El importe de cada flujo de efectivo, ingreso o egreso de efectivo, que se puede realizar en el horizonte temporal de la anualidad, recibe el nombre de renta (R) y el conjunto de rentas constituye la anualidad.

3. El monto de una anualidad simple anticipada se determina con la fórmula:

4. El factor de capitalización de la serie uniforme está dada por: 5. El valor presente de una anualidad simple anticipada se determina con la fórmula:

6. El factor de actualización de la serie uniforme está dada por:

ANUALIDADESCálculo de la renta uniforme,

número de periodos de renta y tasa efectiva de una anualidad

simple anticipada

Mg. Percy PEÑA MEDINADocente UCCIppena@continental.edu.pe

S2

¿Cómo se calcula el tasa efectiva en una anualidad simple anticipada?

¿Cómo se calcula el la renta uniforme y el número de periodos de renta de una anualidad simple anticipada?

Propósito de la sesión de aprendizaje 01

Calcula la renta uniforme, el número de periodos de renta y la tasa efectiva de una anualidad simple anticipada.

𝑺=𝑹𝒂 (𝟏+𝒊 )[ (𝟏+𝒊 )𝒏−𝟏𝒊 ]

Calculo de la renta uniforme

Se deduce a partir de:

𝑺=𝑹𝒂 (𝟏+𝒊 )[ (𝟏+𝒊 )𝒏−𝟏𝒊 ] 𝑷=𝑹𝒂 (𝟏+𝒊 )[ (𝟏+𝒊 )𝒏−𝟏

𝒊 (𝟏+𝒊 )𝒏 ]

Renta uniforme anticipada en función de S

Problema N° 18

La compañía Jacobs tomó la decisión de adquirir, dentro de seis meses, una nueva camioneta para distribuir sus productos (se estima que el precio de la camioneta será 13000um). Para este efecto, decide ahorrar mensualmente, en ese plazo, una determinada cantidad uniforme al inicio de cada mes. Calcule el importe de la cuota constante anticipada que le permita formar dicho fondo a fines del sexto mes, sí sus ahorros perciben una TEM de 2%.

Rpta: 2020.43um

Problema N° 19

Se estima que dentro de 4 meses deberá adquirirse una máquina cuyo precio será 5000um. Si se empieza hoy, ¿Qué cantidad uniforme deberá depositarse cada 30 días durante ese período de tiempo, en un banco que paga una TEM de 1% a fin de comprar dicha máquina con los ahorros capitalizados?

Rpta: 1219.21um

Problema N° 20

Calcule el importe de la imposición uniforme que colocada cada mes en un banco, con una TEM de 1,5% durante el plazo de 4 años, permita acumular un fondo para reemplazar una máquina cuyo precio se estima al finalizar ese período en 32000um.

Rpta: 453.20

Problema N° 21

Calcule el importe de la renta constante que colocada al inicio de cada trimestre durante 4 años permita constituir un monto de 20000um. La TEA aplicable es 12%.

Rpta: 974.15um

Renta uniforme anticipada en función de P

Problema N° 22

Un préstamo de 5000um debe cancelarse en el plazo de un año con cuotas uniformes mensuales anticipadas. El préstamo devenga una TEA de 24%. Calcule el importe de la cuota anticipada.

Rpta: 458.96um

Problema N° 23

La empresa Equipos S.A. vende sus máquinas al contado en 10000um, pero debido a que consiguió un financiamiento del exterior está planeando efectuar ventas a crédito con una cuota inicial y seis cuotas mensuales uniformes, todas iguales. Si la TEA que se piensa cargar al financiamiento es 25%, calcule el importe de las cuotas del programa de ventas a plazo.

Rpta: 1509.49um

Problema N° 24

La empresa Eletrofax dedicada a la venta de grupos electrógenos, con un precio al contado de 3000um, está planeando efectuar ventas al crédito sin cuota inicial y seis cuotas mensuales uniformes anticipadas cargando una TEM de 4%. ¿Cuál será el importe de cada cuota?

Rpta: 550.27um

Cálculo de «n» en una anualidad

anticipada

Problema N° 25

¿En cuánto tiempo podrá acumularse un monto de 2000um, si se efectúan depósitos quincenales anticipados de 150um? El banco paga una TNA de 24% capitalizable mensualmente.

Rpta: 12.47 quincenas

Problema N° 26

¿Cuántos depósitos mensuales anticipados de 250um deben efectuarse en un banco para acumular un monto de 2000, si se percibe una TEM de 3%?

Rpta: 7.09

Problema N° 27

¿Cuántas cuotas mensuales anticipadas de 1650um serán necesarias para cancelar un préstamo de 8500um? La deuda se contrajo en un banco que cobra una TNA de 24%, con capitalización trimestral.

Rpta: 5.37

Problema N° 28

Un electrodoméstico tiene un precio de 1200um al contado. Para incrementar las ventas se piensa ofrecer a crédito sin cuota inicial y con cuotas mensuales iguales anticipadas de 100um. ¿Cuántas cuotas debe tener ese programa de crédito al que se le carga un TEM de 4%?

Rpta: 15.78

Cálculo de «i» en una anualidad

anticipada

Interpolación lineal

Interpolación lineal

Cuando en una anualidad se conoce P, R, S y n, excepto la tasa efectiva periódica, es posible hallar ésta si se plantea su respectiva ecuación de equivalencia y se calcula con el método de tanteo por prueba y error, se busca por aproximaciones sucesivas un par de valores que se hallen uno por encima y otro por debajo del valor buscado, y con estos datos (polos) se aproxima a su verdadero valor por interpolación lineal.

Problema 29

Por campaña escolar, una casa comercial ofrece “paquetes escolares” por un importe de 1200um, que se amortizará en el plazo de un año con cuotas mensuales anticipadas de 120um cada una. ¿Cuál es la TEM cargada?

Rpta: 3.5%

Problema 30

Una máquina puede adquirirse de contado en 2500um y a crédito con 6 cuotas iguales mensuales anticipadas de 450um. Calcule la TNA.

Rpta: 38.23%

Síntesis de la sesión de aprendizaje 02

1. Una anualidad se define como una serie de pagos generalmente iguales realizados en intervalos de tiempo iguales.

2. El importe de cada flujo de efectivo, ingreso o egreso de efectivo, que se puede realizar en el horizonte temporal de la anualidad, recibe el nombre de renta (R) y el conjunto de rentas constituye la anualidad.

3. La renta y el número de periodos de renta se obtienen a partir de la fórmula del monto y el valor presente de una anualidad simple anticipada.

4. El cálculo de la tasa i en una anualidad simple anticipada se determina por interpolación lineal.

Evaluación N° 06

Mg. Percy PEÑA MEDINADocente UCCIppena@continental.edu.pe

S3

Propósito

Resuelve ejercicios diversos.