ukuran pusat dan letak data

BAB 4Ukuran Pemusatan dan

Letak Data

Pengertian

Ukuran pemusatan atau disebut juga rata-rata (average)menunjukkan dimana suatu data memusat atau suatu kumpulan pengamatan memusat.

Ukuran pemusatan data yang akan dipelajari adalah rata-rata hitung (arithmetic mean), median, modus, rata-rata ukur (geometric mean), dan rata-rata harmonis (harmonic mean). Sedangkan ukuran letak data, yaitu kuartil, desil, dan persentil.

RATA-RATA HITUNG

Rata-rata hitung atau sering disebut rata-rata dirumuskan sebagai berikut:

Rata-rata hitung

RATA-RATA HITUNGPerumusan dan perhitungan rata-rata hitung

akan lebih mudah dilakukan dengan memakai symbol-simbol dari nilai data kuantitatif, yaitu X1, X2, X3,…, Xn, bilaman ada n nilai data. Symbol n menyatakan bahwa data bersumber dari sampel, sedangkan symbol N menyatakan bahwa data bersumber dari populasi, tepatnya n menyatakan banyaknya sampel dan N menyatakan banyaknya populasi. Rata-rata hitung dari sampel dilambangkan dengan , sedangkan rata-rata hitung dari populasi dilambangkan dengan

RATA-RATA HITUNGBila X1, X2, X3,…,Xn adalah pengamatan

dari sampel, maka sesuai dengan rumus 4.1, rata-rata hitung dirumuskan sebagai berikut

RATA-RATA HITUNGBila suatu data dimana masing-

masing nilai data mengulang dengan frekuensi tertentu, katakanlah nilai X1 mengulang dengan f1, X2 mengulang dengan f2, X3 mengulang dengan f3,…, dan Xn mengulang dengan fn, maka nilai rata-rata hitungnya adalah:

Contoh 4.3

Rata-rata hitung data dalam tabel distribusi frekuensi

Untuk data yang telah dikelompokkan dalam tabel distribusi frekuensi, maka nilai data X diwakili oleh nilai tengah kelas. Sedangkan frekuensi f diwakili oleh frekuensi nilai tengah kelas. Dengan pengertian ini, maka perhitungan nilai rata-rata untuk data berkelompok dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dilakukan dengan memakai rumus 4.3

Rata-rata hitung dengan memakai kode (U)Cara lain yang sangat sederhana dan

mudah dipakai untuk menentukan nilai rata-rata hitung adalah dengan memakai kode, yang sebenarnya merupakan suatu transormasi linear. Cara ini dipakai untuk menentukan rata-rata hitung dari data berkelompok.

Secara umum dari transformasi tersebut, maka nilai rata-rata hitung data berkelompok dihitung dengan rumus:

Rata-rata hitung berbobot (tertimbang)Kadang-kadang nilai data X1, X2, X3,

…, Xn masing-masing mempunyai bobot atau timbangan

w1, w2, w3,…,wn. Dalam kasus ini, nilai rata-rata hitung ditentukan dengan rumus berikut.

MEDIANMedian adalah nilai tengah dari

kelompok data yang telah diurutkan (membesar atau mengecil). Dengan kata lain, median adalah nilai yang paling tengah, jika banyaknya data ganjil, atau rata-rata dari dua nilai tengah jika banyaknya data genap. Biasanya median disingkat dengan med.

Median data tidak berkelompok dapat ditentukan langsung setelah datanya diurutkan.

MEDIANContoh: Median dari data 3,4,4,5,6,8,8,9,10

adalah nilai ke-5,yaitu sama dengan 6, sebab banyaknya data n = 9 adalah ganjil. Ditulis med = 6

Untuk data berkelompok yang dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, mediannya dihitung dengan memakai rumus berikut

MEDIAN

Med = L0 + c

dimanaMed= medianL0= batas bawah kelas medianc= lebar kelasn= banyaknya dataF= jumlah frekuensi semua kelas sebelum

kelas yang mengandung medianf= frekuensi kelas median 

MODUSUntuk data kuantitatif, modus adalah nilai

data yang paling banyak muncul atau nilai data yang mempunyai frekuensi paling besar.

Bila data telah dikelompokkan menjadi tabel distribusi frekuensi, maka modusnya dihitung

Mod = L0 + c

Di mana,

MODUSMod= modusL0= batas bawah kelas modusc= lebar kelasb1= selisih antara frekuensi kelas

modus dengan frekuensi tepat satu kelas sebelum kelas modus

b2= selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi tepat satu kelas sesudah kelas modus

HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA NILAI RATA-RATA HITUNG, MEDIAN, DAN MODUSJika nilai rata-rata hitung, median, dan

modus berdekatan (hamper sama) satu sama lain, maka kurva dari data tersebut akan mendekati simetri.

Jika nilai modus lebih kecil dari median , dan median lebih kecil dari nilai rata-rata hitung, maka kurva dari distribusi data akan miring atau menceng ke kanan.

Jika sebaliknya, nilai rata-rata hitung lebih kecil dari median, dan median lebih kecil dari modus, maka distribusi data akan miring atau menceng ke kiri.

HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA NILAI RATA-RATA HITUNG, MEDIAN, DAN MODUSDalam hal distribusi data tidak simetri; miring ke kanan atau miring ke kiri, maka terdapat hubungan empiris antara rata-rata hitung dengan median dan modus.

Rata-rata hitung – modus = 3 (rata-rata hitung - median)

RATA-RATA UKUR (GEOMETRIC MEAN)Rata-rata ukur dipakai untuk

menggambarkan keseluruhan data, khususnya bila data tersebut mempunyai ciri tertentu, yaitu banyak nilai data yang satu sama lain saling berkelipatan sehingga perbandingan tiap dua data yang berurutan tetap atau hampir tetap. Bila suatu kelompok data mempunyai ciri seperti ini, maka rata-rata ukur akan lebih baik daripada rata-rata hitung.

RATA-RATA UKUR (GEOMETRIC MEAN)

Rata-rata ukur (G) dari kelompok data X1, X2, X3,…, Xn didefinisikan sebagai berikut

G =

KUARTIL, DESIL, PERSENTIL1.Kuartil

Kuartil terbagi atas tiga, yaitu kuartil pertama (Q1), kuartil kedua (Q2), dan kuartil ketiga (Q3). Kuartil pertama disebut juga kuartil bawah, kuartil kedua disebut juga kuartil tengah, dan kuartil ketiga disebut juga kuartil atas.

Nilai kuartil ke-I, yaitu Qi, ditentukan dengan rumus berikut, untuk data tidak berkelompok

Qi = nilai yang ke

KUARTIL, DESIL, PERSENTILUntuk data bekelompok

Qi

Di mana

L0 = batas bawah kelas kuartil

C = lebar kelasF = jumlah frekuensi semua kelas sebelum

kelas kuartil Qif = frekuensi kelas kuartil Qi

KUARTIL, DESIL, PERSENTIL2. Desil Jika sekelompok data, dibagi menjadi 10

bagian yang sama banyak, maka akan terdapat 9 pembagi, masing-masing disebut nilai desil, yaitu D1, D2, D3,…,D9.

Nilai desil ke-I, yaitu Di ditentukan dengan rumus sebagai berikut

Untuk data tidak bekelompok:

 Di

KUARTIL, DESIL, PERSENTILUntuk data berkelompok:

Di manaL0 batas bawah kelas desil Dic = lebar kelasF = jumlah frekuensi semua kelas sebelum

kelas desil DiF = frekuensi kelas desil Di

KUARTIL, DESIL, PERSENTIL3. PersentilAkhirnya, jika sekelompok data dibagi

menjadi 100 bagian yang sama banyak,maka akan terdapat 99 pembagi yang masing-masing disebut persentil (P), yaitu P1, P2, P3,…,P99

Nilai persentil ke-I, yaitu Pi dihitung dengan rumus berikut,

Untuk data tidak berkelompok:

1, 2, 3,…,99

KUARTIL, DESIL, PERSENTILUntuk data berkelompok

Di manaL0 = batas bawah kelas persentil Pic = lebar kelasF= jumlah frekuensi semua kelas sebelum

kelas Pif= frekuensi kelas Pi