unidad 4: comportamiento transitorio en dc

UNIDAD 4: Comportamiento transitorio en DC

Tema 4.1.

Circuitos de primer orden

1

Elementos pasivos: Condensador

Elemento que almacena energía en forma de carga eléctrica, proporcional a la tensión entre sus extremos.

Compuesto por dos placas conductoras separadas por un material aislante.

C = capacidad

Unidades: Faradios [F]

1F=1C/1V

𝑞 = 𝐶 ∙ 𝑉𝐴𝐵

𝑖 𝑡 = 𝐶𝑑𝑣𝐴𝐵(𝑡)

𝑑𝑡

𝑣𝐴𝐵 𝑡 = 𝑣𝐴𝐵 𝑡0 +1

𝐶 𝑖 𝑡 𝑑𝑡𝑡

𝑡0

C

A B

I

C

2

Comportamiento de C en continua

En corriente continua (y régimen permanente) las tensiones e intensidades del circuito son constantes.

En un condensador, i(t) = C∙dvAB(t)/dt = C∙0 = 0

i(t)=0 -> El condensador equivale a un circuito abierto.

Para estudiar un circuito en corriente continua y régimen permanente, se sustituyen los condensadores por circuitos abiertos:

+

- 5V

2KΩ

6KΩ 5mF +

- 5V

2KΩ

6KΩ

3

Tipos de condensadores

4

¿Dónde hay condensadores?

Flash

Vehículo eléctrico

Equipo corrección factor potencia Circuito electrónico

5

Elementos pasivos: Bobina

Elemento que almacena energía magnética.

Compuesto por un hilo conductor devanado en forma helicoidal.

L = inductancia.

Unidades: Henrios [H].

𝑣𝐴𝐵 𝑡 = 𝐿𝑑𝑖(𝑡)

𝑑𝑡

𝑖 𝑡 = 𝑖 𝑡0 +1

𝐿 𝑣𝐴𝐵 𝑡 𝑑𝑡𝑡

𝑡0

L

A B

I

L

I

6

Comportamiento de L en continua

En corriente continua (y régimen permanente) las tensiones e intensidades del circuito son constantes.

En una bobina, vAB(t) = L∙di(t)/dt = L∙0 = 0

vAB(t)=0 -> La bobina equivale a un cortocircuito.

Para estudiar un circuito en corriente continua y régimen permanente, se sustituyen las bobinas por cortocircuitos :

+

- 5V 6KΩ +

- 5V

10mH

6KΩ

7

Tipos de bobinas

8

¿Dónde hay bobinas?

Ferrita (interferencias)

Transformador

Circuito electrónico

Cocina inducción

Motor eléctrico

9

Principio de dualidad

Bobinas y condensadores son elementos duales.

Su modelo matemático coincide con sólo cambiar C por L y V por I: Condensador: i(t) = C∙dv(t)/dt

Bobina: v(t) = L∙di(t)/dt

En DC, un condensador es un circuito abierto.

En DC, una bobina es un cortocircuito.

10

Asociación de bobinas en serie

Elementos en serie:

Dos elementos en serie comparten un nodo al que no llega ningún otro elemento.

Por todos los elementos conectados en serie circula la misma corriente.

Elemento equivalente: se puede sustituir por el conjunto de los elementos en serie.

L1 L2 A B C

Leq A C

Las inductancias en serie se suman.

Leq = L1 + L2

11

Asociación de bobinas en paralelo

Elementos en paralelo:

Dos elementos en paralelo están conectados a dos nodos comunes.

En todos los elementos conectados en paralelo cae la misma tensión.

A

L1 L2

B

Leq

A

B

𝟏

𝐋𝐞𝐪=𝟏

𝐋𝟏+𝟏

𝐋𝟐

Los inversos de las inductancias en paralelo se suman.

12

Asociación de condensadores en serie

Elementos en serie:

Dos elementos en serie comparten un nodo al que no llega ningún otro elemento.

Por todos los elementos conectados en serie circula la misma corriente.

Elemento equivalente: se puede sustituir por el conjunto de los elementos en serie.

C1 C2 A B C

Ceq A C

Los inversos de las capacidades en serie se suman.

𝟏

𝐂𝐞𝐪=𝟏

𝐂𝟏+𝟏

𝐂𝟐

13

Asociación de condensadores en paralelo

Elementos en paralelo:

Dos elementos en paralelo están conectados a dos nodos comunes.

En todos los elementos conectados en paralelo cae la misma tensión.

Las capacidades en paralelo se suman.

C1 C2

A

B

Ceq

A

B

Ceq = C1 + C2

14

Régimen permanente vs. transitorio

Régimen permanente o estacionario: es la respuesta de un circuito para tiempos que tienden a ∞.

Régimen permanente en DC: las tensiones y corrientes son constantes.

Régimen permanente en AC: las tensiones y corrientes son funciones cosenoidales.

15

Régimen permanente vs. transitorio

Régimen transitorio: es la respuesta de un circuito para tiempos pequeños.

Sólo estudiaremos Régimen transitorio en DC.

Dos tipos de circuitos:

Circuitos de primer orden

Circuitos de segundo orden

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Circuitos de primer orden Características

Su comportamiento se representa por una ecuación diferencial de primer orden.

Los circuitos de primer orden se pueden reducir a:

+

-

R

L VS

CIRCUITO RL

Is

R C

CIRCUITO RC

17

Circuitos de primer orden Características

Cualquier circuito con una sola bobina o un solo condensador es un circuito de primer orden, basta hacer los equivalentes de Thevenin o Norton para el resto del circuito:

L ? C ?

18

Circuitos de primer orden Características

Si hay varias bobinas o varios condensadores pero se pueden reducir a un solo elemento por agrupaciones serie o paralelo estamos en el mismo caso.

Si en el circuito hay simultáneamente bobinas y condensadores, el circuito NO es de primer orden.

19

Ecuación diferencial de primer orden Circuitos RL y RC

Ecuación de malla:

−Vs + VR + VL=0

−VS + i · R + Ldi

dt= 0

di

dt+R

L· i =

VSL

Ecuación de nodo:

−IS + i1 + i2=0

−IS +v

R+ C

dv

dt= 0

dv

dt+1

RC· v =

ISC

+

-

R

L VS

CIRCUITO RL

i

Solución: i(t)

Is

R

C

CIRCUITO RC

i1 i2

v

Solución: v(t)

20

Ecuación diferencial de primer orden

Ecuación de malla:

−Vs + VR + VL=0

−VS + i · R + Ldi

dt= 0

di

dt+R

L· i =

VSL

Ecuación de nodo:

−IS + i1 + i2=0

−IS +v

R+ C

dv

dt= 0

dv

dt+1

RC· v =

ISC

dx(t)

dt+ 𝑎 · x(t) = 𝑏

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN

21

Ecuación diferencial de primer orden Solución general

Ecuación diferencial:

dx(t)

dt+ 𝑎 · x(t) = 𝑏

Solución:

x t =𝑏

𝑎+ 𝑘 · e−𝑎t

o a, b, k son constantes

o x(t) es la variable; para el circuito RL es la corriente de malla i(t) y para el circuito RC es la tensión de nodo v(t).

o el valor de k se obtiene aplicando condiciones iniciales:

x 0 =𝑏

𝑎+ 𝑘

𝑘 = x 0 −𝑏

𝑎

22

Ecuación diferencial de primer orden Circuito RL

Ecuación diferencial: di

dt+R

L· i =

VSL

Solución:

i t =VSR+ k · e−

RLt

o VS, R, L son datos del circuito

o i(t) es la corriente de malla del circuito RL

o el valor de k se obtiene aplicando condiciones iniciales:

k = i 0 −VSR

23

Ecuación diferencial de primer orden Circuito RC

Ecuación diferencial: dv

dt+1

RC· v =

ISC

Solución:

v t = IS · R + k · e−1RCt

o VS, R, C son datos del circuito

o v(t) es la tensión de nodo del circuito RC

o el valor de k se obtiene aplicando condiciones iniciales:

k = v 0 − IS · R

24

Ecuación diferencial de primer orden Representación gráfica de x(t)

25

• En el gráfico, la constante de tiempo τ es el instante de tiempo en que la pendiente en el origen corta a la asíntota del valor final de x(t).

• En el circuito RL, τ=L/R, y en el circuito RC, τ=RC. Las unidades de τ son segundos.

Métodos de resolución de problemas

Método de la ecuación diferencial o método de reducción.

Método paso por paso

26

Método de la ecuación diferencial

Caso: circuitos con bobinas

27

+

-

R

L VS

CIRCUITO RL

i

di

dt+R

L· i =

VSL

i t =VSR+ k · e−

RLt

• el valor de k se obtiene

aplicando C.I.:

k = i 0 −VSR

1) Reducir a: 2) Encontrar i(t):

3) Calcular el valor solicitado a partir del dato de i(t)

Método de la ecuación diferencial

Caso: circuitos con condensadores

28

dv

dt+1

RC· v =

ISC

v t = IS · R + k · e−1RCt

• el valor de k se obtiene

aplicando C.I.: k = v 0 − IS · R

1) Reducir a: 2) Encontrar v(t):

Is

R

C

CIRCUITO RC

i1 i2

v

3) Calcular el valor solicitado a partir del dato de v(t)

Método de la ecuación diferencial ¿Por qué se trabaja con i(t) para las bobinas y con v(t)

para los condensadores?

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Porque es más fácil aplicar C.I.

En las bobinas, la i no varía bruscamente:

i(0-)=i(0+) v(0-)≠v(0+)

En los condensadores, la v no varía bruscamente:

v(0-)=v(0+) i(0-)≠i(0+)

0- = antes del cambio 0+ = después del cambio

t t

i(t) v(t)

t t

v(t) i(t)

Método de la ecuación diferencial Ejemplo (1)

El interruptor ha estado en la posición 1 por largo tiempo, en t=0 el interruptor se mueve a la posición 2. Calculad la corriente i(t) por la resistencia R2, para t>0.

VS=12V, R1=6kΩ, R2=3kΩ, C=100μF

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