limiti di funzioni -...

Limiti di funzioni

Hynek Kovarik

Universita di Brescia

Analisi Matematica 1

Hynek Kovarik (Universita di Brescia) Limiti e continuita Analisi Matematica 1 1 / 38

Cenni di topologia

La nozione di intorno

Sia x0 ∈ R e r > 0. Consideriamo

Ir (x0) = {x ∈ R : |x − x0| < r}= {x ∈ R : x0 − r < x < x0 + r},

l’intorno sferico aperto di centro x0.


Definizione

Sia A ⊆ R.

1 Diciamo che p ∈ R e interno a A se:esiste r > 0 tale che Ir (p) ⊆ A.

2 Diciamo che p ∈ R e d’accumulazione per A seper ogni r > 0 si ha (A \ {p}) ∩ Ir (p) 6= ∅;

3 Diciamo che p ∈ R e punto isolato di A seesiste r > 0 tale che A ∩ Ir (p) = {p}.


Esempio

SiaA =]− 1, 1] ∪ {2}

Allora

Ogni punto p di [−1, 1] e di accumulazione per A: in ogni intorno dip ci sono punti di A, diversi da p stesso.

2 e un punto isolato di A. Infatti, non e vero che in ogni suo intornoci sono punti dell’insieme diversi da 2: si prenda, per esempio, comeintorno

]32 ,

52

[.

−1 6∈ A, ma e punto di accumulazione.

A = [−1, 1] ∪ {2} e l’insieme dei punti aderenti di A.


Esempio

Sia

A =

{1

n + 1: n ∈ N

}Allora

0 6∈ A e l’unico punto di accumulazione per A.

A e costituito solo di punti isolati.


Definizione di limite

Definizione

Sia A ⊆ R e sia f : A→ R una funzione reale definita in A. Sia x0 unpunto di accumulazione di A. Diremo che la funzione f tende al numeroL ∈ R per x → x0 se

∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ A, 0 < |x − x0| < δ ⇒ |f (x)− L| < ε.

Il numero L si dice il limite di f per x → x0, e si scrive

limx→x0

f (x) = L.


Osservazione:Non si richiede che la disuguaglianza |f (x)− L| < ε sia soddisfatta perx = x0. Infatti, il valore di f in x0 non influenza il valore del limite:

Esempio

Sia f : R→ R definita da

f (x) =

{x2 se x 6= 0

α ∈ R se x = 0.

Alloralimx→0

f (x) = 0

indipendentemente da α!.


Perche si deve richiedere che x0 sia un punto diaccumulazione?

Nella definizione di limx→x0 f (x) = L

∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ A, 0 < |x − x0| < δ ⇒ |f (x)− L| < ε.

e essenziale “potersi avvicinare indefinitamente” al punto x0 rimanendosempre in A.

Esempio

Sia

f (x) =√x2(x − 2)

NON ha senso calcolare limx→0

√x2(x − 2), poiche non ci si puo avvicinare a

x = 0, rimanendo nel domf .


Teorema di unicita

Sia x0 di accumulazione per dom f . Se f (x)→ L e f (x)→ L′ per x → x0,allora L = L′.

Dimostrazione: Consideriamo per semplicita il caso x0, L, L′ ∈ R.

Per assurdo sia L 6= L′.

Allora per ogni ε > 0

∃ δ > 0 : x0 6= x ∈ dom f , |x − x0| < δ ⇒ |f (x)− L| < ε,

∃ δ′ > 0 : x0 6= x ∈ dom f |x − x0| < δ′ ⇒ |f (x)− L′| < ε.

Quindi ponendo ε = |L− L′|/4 per x 6= x0 e |x0 − x | < min{δ, δ′} si ha

0 < |L− L′| ≤ |L− f (x)|+ |f (x)− L′| < 2ε =|L− L′|

2

Assurdo.


Estensioni della definizione di limite

Abbiamo visto la definizione di limx→x0 f (x) = L nel caso x0, L ∈ R .Vogliamo estendere questa definizione ai seguenti casi:

Caso 1 : x0 reale, L infinito

Caso 2 : x0 infinito, L reale

Caso 3 : x0 infinito, L infinito


Caso 1(a): x0 ∈ R & L = +∞

Definizione

limx→x0

f (x) = +∞ ⇔

∀M ∈ R ∃δ > 0 : ∀x ∈ A, 0 < |x − x0| < δ ⇒ f (x) ≥ M.


Caso 1(b): x0 ∈ R & L = −∞

Definizione

limx→x0

f (x) = −∞ ⇔

∀M ∈ R ∃δ > 0 ∀x ∈ A, 0 < |x − x0| < δ ⇒ f (x) ≤ M


Caso 2(a): x0 = +∞ & L ∈ R

Definizione

limx→+∞

f (x) = L ⇔

∀ε > 0 ∃ρ ∈ R : ∀x ∈ A, x ≥ ρ ⇒ |f (x)− L| < ε.


Caso 2(b): x0 = −∞ & L ∈ R

Definizione

limx→−∞

f (x) = L ⇔

∀ε > 0 ∃ρ ∈ R : ∀x ∈ A, x ≤ ρ ⇒ |f (x)− L| < ε.


Caso 3(a): x0 = +∞ & L = +∞

Definizione

limx→+∞

f (x) = +∞ ⇔

∀M ∈ R ∃ρ ∈ R : ∀x ∈ A, x ≥ ρ f (x) ≥ M.

Caso 3(b): x0 = +∞ & L = −∞

Definizione

limx→+∞

f (x) = −∞ ⇔

∀M ∈ R ∃ρ ∈ R : ∀x ∈ A, x ≥ ρ f (x) ≤ M


Caso 3(c): x0 = −∞ & L = +∞

Definizione

limx→−∞

f (x) = +∞ ⇔

∀M ∈ R ∃ρ ∈ R : ∀x ∈ A, x ≤ ρ f (x) ≥ M.

Caso 3(d): x0 = −∞ & L = −∞

Definizione

limx→−∞

f (x) = −∞ ⇔

∀M ∈ R ∃ρ ∈ R : ∀x ∈ A, x ≤ ρ f (x) ≤ M.


Algebra dei limitiSia A ⊆ R e sia x0 ∈ R un punto di accumulazione per A. Sianof , g : A→ R due funzioni e supponiamo che

limx→x0

f (x) = L ∈ R, limx→x0

g(x) = M ∈ R.

Allora le seguenti identita

limx→x0 (f (x) + g(x)) = L + M,

limx→x0 f (x) · g(x) = L ·M,

limx→x0

f (x)g(x) = L

M (M 6= 0)

valgono in assenza di forme indeterminate

∞−∞, 0 · ∞, ∞∞.


Algebra dei limiti: caso M = 0

Nel caso limx→x0 f (x) = L 6= 0 e limx→x0 g(x) = 0 vale:

1 Se esiste r > 0 tale che g(x) > 0 per ogni x ∈ Ir (x0) \ {x0}, allora

limx→x0

f (x)

g(x)=

{+∞ se L > 0

−∞ se L < 0.

2 Se esiste r > 0 tale che g(x) < 0 per ogni x ∈ Ir (x0) \ {x0}, allora

limx→x0

f (x)

g(x)=

{−∞ se L > 0

+∞ se L < 0.

3 Se la funzione g cambia segno in ogni intorno di x0, allora

limx→x0

f (x)

g(x)@


Esempi

SIa A = R, x0 = 0 e f (x) = 2− x . Allora

limx→0

2− x

x2= +∞

limx→0

2− x

x2 − |x |= −∞

limx→0

2− x

x@


Teorema di permanenza del segno

Sia A ⊆ R, f : A→ R e sia x0 ∈ R un punto di accumulazione di A. Selimx→x0 f (x) = L 6= 0, allora

esiste U intorno di x0 tale che la restrizione di f a

U \ {x0} ∩ A

ha lo stesso segno di L

Dimostrazione: supponiamo che x0 ∈ R e che L > 0. Ponendo ε = L/2 sitrova un δ > 0 tale che

∀ x ∈ Iδ(x0) ∩ (A \ {x0}) :L

2< f (x) <

3L

2

Da cui la tesi con U = Iδ(x0). La dimostrazione nel caso x0 = ±∞ eanaloga.


Teorema del confronto

Sia A ⊆ R e siano f , g : A→ R e sia x0 ∈ R un punto di accumulazione diA. Supponiamo che f e g ammettano limite per x → x0 e chef (x) ≤ g(x) per ogni x ∈ A. Allora

limx→x0

f (x) = L ≤ M = limx→x0

g(x).

Dimostrazione: Supponiamo per assurdo che L > M. Allora

limx→x0

(f (x)− g(x)) = L−M > 0.

Allora per il Teorema di permanenza del segno esiste un intorno U di x0

tale che∀x ∈ U ∩ (A \ {x0}) : f (x) > g(x).

Questo e in contraddizione con l’ipotesi del Teorema.


Teorema dei due carabinieri

Sia A ⊆ R e siano f , g , h : A→ R e sia x0 ∈ R un punto di accumulazionedi A. Supponiamo che per ogni x ∈ A si abbia

g(x) ≤ f (x) ≤ h(x).

Se limx→x0 h(x) = limx→x0 g(x) = L, allora anche f ammette limite perx → x0 e si ha limx→x0 f (x) = L.

Dimostrazione: Sia ε > 0. Allora esiste δ > 0 tale che

∀ x ∈ Iδ(x0) ∩ (A \ {x0}) : |g(x)− L| < ε ∧ |h(x)− L| < ε.

Dunque per ogni x ∈ Iδ(x0) ∩ (A \ {x0}) si ha

f (x)− L ≤ h(x)− L < ε ∧ f (x)− L ≥ g(x)− L ≥ −|g(x)− L| > −ε,

da cui |f (x)− L| < ε.


Definizione

Sia A ⊆ R e sia f : A→ R una funzione. Diciamo che f e limitata in A se

∃M > 0 : |f (x)| ≤ M ∀ x ∈ A.


Esempio

Sia f : R \ {0} → R data da

f (x) = x

√1 + sin2(1/x)

Siccome√

1 + sin2(1/x) ≤√

2 per ogni x ∈ R \ {0}, il teoremaprecedente implica

limx→x0

f (x) = 0.


Teorema di limitatezza locale

Sia f : a→ R e Sia x0 ∈ R un punto di accumulazione per A. Supponiamoche

∃ limx→x0

f (x) = L ∈ R.

Allora esiste un intorno U di x0 tale che f e limitata in U ∩ A.

Dimostrazione: Dimostriamo il teorema nel caso x0 ∈ R. Poniamo ε = 1nella definizione del limite. Quindi esiste δ > 0 tale che

∀ x ∈ A : 0 < |x − x0| < δ : |f (x)| ≤ |L|+ 1.

Sia U = Iδ(x0). Se x0 6∈ A, allora la tesi e dimostrata. Se x0 ∈ A, alloraf (x0) ∈ R, e si ha

∀ x ∈ U ∩ A : |f (x)| ≤ |L|+ 1 + |f (x0)|


Limiti destro e sinistro

Definizione

Sia f : A→ R e x0 ∈ R. Si supponga che

x0 sia di accumulazione per l’insieme A ∩ (x0,+∞).

Allora diciamo che f ammette in x0 il limite destro L ∈ R e scriviamo

limx→x+

0

f (x) = L,

se vale la seguente affermazione:

∀ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀x ∈ (x0, x0 + δ) ∩ A : |f (x)− L| < ε.


Limiti destro e sinistro

Definizione

Sia f : A→ R e x0 ∈ R. Si supponga che

x0 sia di accumulazione per l’insieme A ∩ (−∞, x0).

Allora diciamo che f ammette in x0 il limite sinistro L ∈ R e scriviamo

limx→x−0

f (x) = L,

se vale la seguente affermazione:

∀ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀x ∈ (x0 − δ, x0) ∩ A : |f (x)− L| < ε.


Limiti destro e sinistro: caso L = ±∞

Definizione

Sia f : A→ R e sia x0 ∈ R un punto di accumulazione per l’insiemeA ∩ (x0,∞). Allora

limx→x+

0

f (x) = +∞,

se∀M ∈ R ∃ δ > 0 : ∀x ∈ (x0, x0 + δ) ∩ A : f (x) ≥ M.

Analogamente,lim

x→x+0

f (x) = −∞,

se∀M ∈ R ∃ δ > 0 : ∀x ∈ (x0, x0 + δ) ∩ A : f (x) ≤ M.


Limiti destro e sinistro: caso L = ±∞

Definizione

Sia f : A→ R e sia x0 ∈ R un punto di accumulazione per l’insiemeA ∩ (−∞, x0). Allora

limx→x−0

f (x) = +∞,

se∀M ∈ R ∃ δ > 0 : ∀x ∈ (x0 − δ, x0) ∩ A : f (x) ≥ M.

Analogamente,lim

x→x−0

f (x) = −∞,

se∀M ∈ R ∃ δ > 0 : ∀x ∈ (x0 − δ, x0) ∩ A : f (x) ≤ M.


Legame fra il limite e limiti destro e sinistro

Proposizione

Sia f : A→ R e sia x0 ∈ R un punto di accumulazione per A ∩ (x0,+∞) eper (−∞, x0) ∩ A. Si ha

(I ) ∃ limx→x0

f (x) = L

m

(II ) limx→x+

0

f (x) = L e limx→x−0

f (x) = L.

In particolare, se

almeno uno fra limx→x+0f (x) o limx→x−0

f (x) non esiste, o

limx→x+0f (x) e limx→x−0

f (x) esistono, ma sono diversi

allora il limite limx→x0 f (x) NON esiste.Hynek Kovarik (Universita di Brescia) Limiti e continuita Analisi Matematica 1 31 / 38

Esempio


f (x) =x2 + x4

|x |+ x2

Allora

limx→0+

f (x) = limx→0+

x2(1 + x2)

x(1 + x)= lim

x→0+x = 0,

limx→0−

f (x) = limx→0−

x2(1 + x2)

−x(1− x)= lim

x→0−(−x) = 0.

Quindilimx→0

f (x) = 0.


Esempio


f (x) =x√

x2 + x4

Allora

limx→0+

f (x) = limx→0+

x

|x |√

1 + x2= lim

x→0+

x

x= 1,

limx→0−

f (x) = limx→0−

x

|x |√

1 + x2= lim

x→0−

x

−x= −1.

Quindilimx→0

f (x) @


Funzioni monotone

Definizione

Una funzione f : A→ R si dice

(i) crescente se

∀ x , y ∈ A : x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y);

(ii) decrescente se

∀ x , y ∈ A : x ≤ y ⇒ f (x) ≥ f (y);

(iii) strettamente crescente se

∀ x , y ∈ A : x < y ⇒ f (x) < f (y);

(iv) strettamente decrescente se

∀ x , y ∈ A : x < y ⇒ f (x) > f (y);


Teorema (limiti di funzioni crescenti)

Sia f : A→ R una funzione crescente e sia x0 ∈ R un punto diaccumulazione per A ∩ (x0,+∞) e per (−∞, x0) ∩ A. Allora

∃ limx→x+

0

f (x), ∃ limx→x−0

f (x)

e si halim

x→x−0

f (x) = sup{f (x) : x ∈ A, x < x0} (1)

limx→x+

0

f (x) = inf{f (x) : x ∈ A, x > x0}. (2)

Dimostrazione: Per dimostrare (3) poniamo

L− = sup{f (x) : x ∈ A, x < x0}.

Quindi f (x) ≤ L− per ogni x ∈ A, x < x0. Inoltre, per ogni ε > 0 esistexε ∈ A, xε < x0 tale che f (xε) > L− − ε.


Siccome f e crescente, si ha

∀ x ∈ A ∩ (xε, x0) : L− − ε < f (xε) ≤ f (x) ≤ L−.

Da cui (3).

Definiamo adesso

L+ = inf{f (x) : x ∈ A, x > x0}.

Quindi f (x) ≥ L+ per ogni x ∈ A, x > x0. Inoltre, per ogni ε > 0 esistexε ∈ A, xε > x0 tale che f (xε) < L+ + ε. Siccome f e crescente, si ha

∀ x ∈ A ∩ (x0, xε) : L+ < f (x) ≤ f (xε) ≤ L+ + ε.

Da cui (4)

N.B. Il teorema NON garantisce l’esistenza di

limx→x0

f (x) !


Nel modo del tutto analogo si dimostra

Teorema (limiti di funzioni descrescenti)

Sia f : A→ R una funzione decrescente e sia x0 ∈ R un punto diaccumulazione per A ∩ (x0,+∞) e per (−∞, x0) ∩ A. Allora

∃ limx→x+

0

f (x), ∃ limx→x−0

f (x)

e si halim

x→x−0

f (x) = inf{f (x) : x ∈ A, x < x0} (3)

limx→x+

0

f (x) = sup{f (x) : x ∈ A, x > x0}. (4)

Dimostrazione: esercizio.


Alcuni limiti notevoli

limx→0

sin(ax)

x= a ∀ a ∈ R

limx→0

eax − 1

x= a ∀ a ∈ R

limx→0

log(1 + ax)

x= a ∀ a ∈ R

limx→0

(1 + x)a − 1

x= a ∀ a ∈ R

limx→+∞

(1 +

a

x

)x= ea ∀ a ∈ R


limiti di funzioni -...

Documents