análisis de circuitos 2

Universidad Tecnológica de Puebla

Análisis de circuitos II

Manual de asignatura

Carrera

Electricidad y Electrónica Industrial

Programa 2004

M en C. Marco A Sobrevilla González

Carrera de Electricidad y Electrónica Industrial Análisis de circuitos II

Elaboró: M en C. Marco A Sobrevilla González Página 2

Créditos

Elaboró: M en C. Marco A Sobrevilla González Colaboradores: Revisó: Ing. Marcos Espinosa Martínez ) Revisión ortográfica, formato y estilo: Lic. José Luis Catzalco León



Medidas de seguridad

El técnico electrónico trabaja con electricidad, dispositivos electrónicos, motores y otras

máquinas rotatorias. Tiene que usar frecuentemente herramientas de mano y mecánicas para

construir los prototipos de nuevos dispositivos a realizar experimentos. Utiliza instrumentos de

prueba para medir las características eléctricas de los componentes, dispositivos y sistemas

electrónicos.

Estas tareas son interesantes e instructivas, pero pueden presentar ciertos riesgos si se

efectúan descuidadamente. Por consiguiente es esencial que el estudiante aprenda los

principios de seguridad en cuanto comienza su carrera y que practique estos ejercicios en toda

su actividad subsiguiente de trabajo.

La realización del trabajo en condiciones de seguridad requiere seguir deliberadamente

un procedimiento apropiado para cada labor. Antes de emprender una tarea, el técnico debe

tener perfecto conocimiento de lo que tiene que hacer y de cómo ha de hacerlo. Debe planear

su labor, colocar en el banco de trabajo limpiamente y de manera ordenada las herramientas,

equipo e instrumentos que ha de necesitar. Debe quitar todos los objetos extraños y apartar los

cables todo lo posible de manera segura.

Cuando trabaje en máquinas rotatorias o cerca de ellas debe tener bien sujeto y

abrochado su traje de trabajo, de modo que no pueda ser enganchada ninguna parte de él.

Las tensiones de línea (de energía) deben ser aisladas de tierra por medio de un

transformador de separación o de aislamiento. Las tensiones de línea de energía pueden matar,

por lo que no deben ponerse en contacto con ellas las manos ni el cuerpo. Se deben comprobar

los cables o cordones de línea antes de hacer uso de ellos, y si su aislamiento está roto o

agrietado no se deben emplear estos cables. El alumno debe evitar el contacto directo con

cualquier fuente de tensión. Medir las tensiones con una mano en el bolsillo. Usar zapatos con

suela de goma o una alfombra de goma cuando se trabaja en el banco de experimentación.

Cerciorarse de que las manos están secas y que no se está de pie sobre un suelo húmedo

cuando se efectúan pruebas y mediciones en un circuito activo, o sea conectado a una fuente

de tensión. Desconectar ésta antes de conectar los instrumentos de prueba en un circuito

activo.



Utilizar enchufes o clavijas de seguridad en los cables de línea de las herramientas

mecanizadas y equipos no aislados (clavijas con tres patas polarizadas). No anular la propiedad

de seguridad de estas clavijas utilizando adaptadores no conectados a tierra. No invalidar

ningún dispositivo de seguridad, tal como un fusible o un disyuntor, cortocircuitándolo o

empleando un fusible de más amperaje del especificado por el fabricante. Los dispositivos de

seguridad están destinados a protegerle a usted y a su equipo.

UN COMPORTAMIENTO JUICIOSO Y CON SENTIDO COMÚN EN EL LABORATORIO

SERÁ GARANTÍA DE SEGURIDAD Y HARÁ SU TRABAJO INTERESANTE Y FRUCTÍFERO.

PRIMEROS AUXILIOS.

Si ocurre un accidente, desconecte inmediatamente la red o línea de energía.

Comunique inmediatamente el accidente a su instructor.

Una persona accidentada debe permanecer acostada hasta que llegue el médico, y bien

arropado para evitar la conmoción. No intentar darle agua ni otros líquidos si está inconsciente y

asegurarse de que nada pueda causarle aún más daño. Se le cuidará solícitamente

manteniéndola en postura cómoda hasta que llegue el médico.

RESPIRACIÓN ARTIFICIAL.

Una conmoción eléctrica fuerte puede causar un paro respiratorio. Hay que estar

preparado para practicar la respiración artificial inmediatamente, si esto ocurre. Se recomiendan

dos técnicas:

1. Respiración de boca a boca, que se considera la más eficaz.

2. Método de Schaeffer.

Estas instrucciones no están destinadas a desanimarle, sino a advertirle de los riesgos que se

pueden presentar en el trabajo de un técnico electrónico.



Índice

Créditos ..................................................................................................................................... 2 Medidas de Seguridad ............................................................................................................ 3 Índice ........................................................................................................................................ 5 Capítulo 1 TOPOLOGIA DE REDES. 1.1. Árboles y Análisis de Nodos Generalizados ...................................................................... 7 1.2. Eslabones y Análisis de Lazos ........................................................................................... 9 1.3. Dualidad ............................................................................................................................ 16 1.4. Construcción Gráfica de redes duales ............................................................................. 17 Capítulo 2 CONCEPTO DE FASOR 2.1. Números complejos .......................................................................................................... 19 2.2. Conversiones .................................................................................................................... 21 2.3. Relaciones Fasoriales para R.L.C.................................................................................... 22 2.4. Impedancia y Admitancia.................................................................................................. 25 Capítulo 3 POTENCIA MEDIA Y VALORES (RMS) RAÍZ CUADRÁTICA M. 3.1. Potencia Activa ................................................................................................................. 34 3.2. Potencia Aparente ............................................................................................................ 34 3.3. Potencia Reactiva ............................................................................................................. 34 3.4. Triángulo de Potencias .................................................................................................... 34 3.5. Potencia Compleja ............................................................................................................ 35 3.6. Corrección del factor de Potencia..................................................................................... 37 Capítulo 4 CIRCUITOS POLIFÁSICOS BALANCEADOS. 4.1. Generación de voltajes Polifásicos................................................................................... 52 4.2. Sistemas Bifásicos y Tetrafásicos .................................................................................... 54 4.3. Sistemas Trifásicos Cuatrifilares de 1 Ems generadas.................................................... 55 4.4. Conexión en Delta............................................................................................................. 56 4.5. Cargas en estrella y Delta balanceados........................................................................... 56



Capítulo 5 CÁLCULO DE POTENCIA EN SISTEMAS BALANCEADOS 5.1. Calculo de potencia en ., ΦΦ− VASenVACosVA ............................................................. 58 5.2. Cargas Trifásicas balanceadas en paralelo ..................................................................... 59 5.3. Potencia Monofásica y Trifásica balanceadas ................................................................. 59 5.4. Sistemas Trifásicos de cuatro Hros.................................................................................. 59 Capítulo 6 CIRCUITOS POLIFÁSICOS NO BALANCEADOS. 6.1. Cargas en delta y en estrella no balanceadas ................................................................. 60 6.2. Cargas conectadas en delta y en estrella. ....................................................................... 67 Capítulo 7 CIRCUITOS DE POTENCIA POLIFÁSICA NO BALANCEADA. 7.1. Método de los 3 vatímetros para medición de potencia. ................................................. 69 7.2. ΦVASen y Factor de potencia.......................................................................................... 69 7.3. Medición de ΦVACos , ΦVASen ,VA en sistemas de CA. ............................................... 70 Bibliografía ............................................................................................................................. 74



Capítulo 1 Topología de las Redes

1.1. ÁRBOLES Y ANÁLISIS DE NODOS GENERALIZADOS. Ciertos aspectos del comportamiento de la red se ponen mejor de relieve si se considera

la red como una grafica. Para construir esta grafica reemplazamos cada rama de la red por una

línea sin tener en cuenta los cimientos del circuito que constituyen esta rama. Ejemplo: Fig. 1 a)

b) Es una representación grafica de las ramas desconocidas de a).

Como se ve en la figura "b” la red tiene 4 nodos, 6 ramas, 2 mallas interiores y 10 mallas

exteriores.

Una solución de la red basada en la corriente de espira o la corriente de malla requiere

el empleo del número correcto de ecuaciones independientes de voltaje, si esta basada en

voltajes de pares de nodos, la solución requiere que se formulen el número correcto de

ecuaciones independientes de corriente.

Ciertos aspectos generales del problema o de los problemas pueden ser resueltos

mediante el ojo de un árbol topológico.



Árbol: Es un conjunto de ramas, dispuestas del tal forma que a cada nodo esta

conectado cuando menos una rama, el conjunto no debe contener trayectorias cerradas y

puede encontrase un paso único que unan 2 nodos cualesquiera de la grafica a la cual es

aplicable el árbol.

En la figura siguiente se representas cuatro graficas de extremos abiertos, basados en la

figura 1b. 4 triángulos dibujados.

a), b), c), d). Cuatro árboles topológicos correspondientes a la red de la fig. 1b.

Para formar un árbol es necesario abrirse ciertas ramas, las ramas reciben el nombre de

eslabones.

De la figura 2a) tenemos las ramas: a-b, b-c, a-c. De la figura 2b) son: a-b, a-d, d-c. Es

obvio que los eslabones y las tres ramas se combinan para formar la grafica de toda la red. La

identificación de las corrientes de eslabón con las corrientes de espiras o mallas llevan

directamente a las corrientes mensurables de espira.

Una vez que se ha formado una árbol topológico bajo una red en particular, la

determinación de corrientes independientes resulta un procedimiento automático simplemente

ciérrese un eslabón, como por ejemplo el eslabón a-b de la figura 2a) y utilice la espira o malla

así formada como trayecto de la corriente de espira No. 1, en este caso nos quedara la

corriente de la espira es igual a la corriente del eslabón. ....1 abdaIIIeslabonIespira === .

Ábrase a continuación este eslabón (a-b) y cierre otro para establecer la trayectoria (c-d)

de una segunda corriente de la espira y repítase el procedimiento hasta que cada corriente del

eslabón haya sido identificada con una corriente de espira.



.

.

3

2

cdac

cbdc

IIIeslabonIespiraIIIeslabonIespira

======

1.2. ESLABONES Y ANÁLISIS DE LAZOS “Concepto sobre redes”.

..

..

.

TRSST

TRSRS

RSTS

RSSI

T

IEVIV

VVEVEV

adelabaterialdesalidaVoltajeTotV

−=∴=

+=−=

=

RI 2 Es la potencia calorífica desarrollada internamente y como tal es aprovechable para su

distribución a toda la red.

.

.)(.

..

2STTRS

STSRS

RSTRS

RSST

T

RIIP

IRIEVRIV

VEVIVP

−=

−==

−==

Nota: P es la división de tensión y de corriente.

“Variables de la red”.

En una red que consiste en “b” ramas de un número infinito de ramas hay en general

2”b” incógnitas, b corrientes de rama desconocidas representadas por bI , b voltajes de las

ramas desconocidas y se representan por bV . Sin embargo existe una relación directa entre

cada corriente de rama y su correspondiente voltaje, cuando las ramas son resistivas

tendremos que el voltaje de la rama b:

.tan..Re.ciaConducDondeGVGI

sistenciaDondeRIRV

BBBB

BBBB

====



.22

TRVR

V =

.*

21

12 RR

RII T

+=

.*

21

21 RR

RII T

+=

Los métodos sistemáticos de análisis de redes emplean generalmente en combinaciones

lineales de corriente o de voltaje de una rama más bien que las cantidades mismas, porque así

pueden formularse el reducido número de ecuaciones. Las variables de la red que están en

relación lineal son las corrientes y voltajes de la rama; se llaman corrientes de espira y voltajes

de pares de nodos.



.

....

.

36

25

324

313

312

11

IIII

IIIIIIIII

II

B

B

B

B

B

B

==

−=−=−=

=

.0)(:3.0)()()(:2

.25)(:1

3232654

322131432

3311621

=+−−=+−=−−−−−=−−

=−−−=−−

IIIIIIINodoIIIIIIIIINodo

IIIIIIINodo

BBB

BBB

BBB

Nota: Las corrientes hechas están mal.

Encontrar .2I Por cualquier método:

Usando mallas:

.02416.04312.

326

123

312

231

=−−=−−

=−−

IIIIII

EIII S

.01642.04123

236

3121

3211

321

=+−−=−+−

=−−

IIIIIIEIII S



.10539.081686)2412(1

0420123136

.06862.081656)848(1

1602403216

.2156.0816176)16192(1

16404120231

.816241201056

)12(2)40(3)176(6)2412(2)848(3)16192(61642

4123236

3

2

1

AI

AI

AI

==+=∆

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

=

==−−−=∆

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

==−=∆

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

=+−=

−−−+⇒−−−−+−=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=∆

*Supóngase que se desea encontrar la forma de la matriz de la resistencia de la red en

la figura cuando se establecen las Ec. de voltaje recorriendo las trayectorias cerradas descritas

por las corrientes de espiras diseñadas.

.0328.4.0326.3

.0225.20226.1

3141

4213

312

4321

=−+−⊗=−++−⊗

=−+−⊗=+++−⊗

IIIIIII

IIIIIII

.506

83023621

02522126

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=∆

.0328.4.0826.3

.0226.20226.1

314

4213

132

4321

=+−−⊗=+++−⊗

=+−−⊗=+++−⊗

IIIIIII

IIIIIII

.08302.4.4362..3.044252.2

4226.1

4321

4321

321

4321

=+−+−⊗=−+−−⊗=+−−+−⊗

=+++−⊗

IIIIvIIII

IIIvIIII



.134.0506

804.670302462102524126

.68.0506

08.34480023421

00522426

.078.0506

468.3983023641

02022146

.482.0506

892.24383003624

02502124

0404

83023621

02522126

4

3

2

1

Amp

Amp

Amp

Amp

IIII

==∆

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

=∆

==∆

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=∆

==∆

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

=∆

==∆

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

=∆

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=∆

Voltajes pares de nodos.

La diferencia de potencial entre 2 nodos cualesquiera de una red se les llama voltaje de

par de nodos. Si se escogen apropiadamente los voltajes de pares de nodos pueden usarse

como variables independientes en el análisis de la red en vez de las corrientes de espiras.

Vamos a analizar la red de la figura siguiente:



.

....

25

34

233

312

211

eVeV

eeVeeVeeV

B

B

B

B

B

==

−=−=−=

Siguiendo trayectoria cerrada:

Ley de kirchoff para los nodos 1, 2,3 de (6) serán:

255

344

2333

3122

2111

2211

1115.05.05.05.05.05.0

eVIeVI

eeVIeeVIeeVI

BB

BB

BB

BB

BB

====

−==−==−==

Las Ec. de la ley de corriente son:

.05.215.0:3.15.35.0:2

.5.05.01:1

321432

2321531

132121

=+−−=++−−=−+−−=+−−

=−−=+

eeeIIINodoIeeeIIINodo

IeeeIINodo

BBB

SBBB

SBB



Puesto que 1SI e 2SI son cantidades conocidas pueden obtenerse directamente los

valores numéricos de las “e” y de estos deducir inmediatamente los voltajes de rama. En este

ejemplo determinaremos el valor numérico de: 2Ba VV = de la fig. c)

5.215.015.35.05.05.01

015.015.35.0

25.01

5.21015.355.05.02

312

−−−−−−

−−−−

−−

−−−−−

=−= eeVB

.556.175.5

)5.0(5.8312 VoltseeVV Ba =

−−=−==

...

...

325

214

33

22

11

EEVEEV

EVEVEV

+=+=

===

.33.2.2

..2

.

325

214

33

22

11

EEIEEI

EIEI

EI

+=+=

===

.1023.2..1

321

411

=++−+=−

EEEIII S

.02.2..1

321

312

=+−−+=−

EEEIII S

.3430.2..1

321

533

=++−+=−

EEEIII S



.46.253.193.0)512.0(3)31.0(3.86.062.024.0)31.0(2)12.0(2

.512.0.62.0)31.0(2

.12.0

5

4

3

22

1

AmpIAmpI

AmpIAII

AmpI

=+=+==+=+=

====

=

33

22

11

3

2

1

512.04121330

021123

31.04113430

101013

12.0415433

120021

41833)4(2)38(3430121023

301

430121023

VVoltsE

VVoltsE

VVoltsE

EEE

===−−

=∆

−

=

===−−

=∆

=

==−−

=∆

−

=

−=∆⇒−−⇒−−−=−=∆

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

1.3. “DUALIDAD”. Cuando dos elementos del circuito están en serie como en la sig. Figura la selección

natural de variable es la corriente, por lo tanto podemos decir que:



..

.

321

321

RRRRIRV

VIRIRIR

T

TTab

abTTT

++==

=++

.T

abT I

VR =

Cuando los elementos están en paralelo como en la figura siguiente, la selección natural

de la variable seria el voltaje y por lo tanto tendremos que:

.)( 321

321

B

BB

BbbB

VI

GGGG

IVGVGVG

=++=

=++

.B

BB V

IG =

La semejanza entre las dos ecuaciones de las redes

anteriores ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ==

B

BB

B

BB I

VRVIG , resulta evidente que en cada una de ellas se plica la ley de

voltaje y en la otra la ley de corriente.

1.4. CONSTRUCCIÓN GRÁFICA DE REDES DUALES

Siempre que los elementos de un sistema en correspondencia unívoca con los

elementos de otro sistema, esta correspondencia se llama dualidad. Desde el punto de vista

algebraico, dos redes son duales si las ecuaciones nodales de una son de la misma forma que

las ecuaciones de espira de la otra, como por ejemplo tenemos las siguientes figuras.

Para (a) por mallas

.)(.)(

223231

132131

S

S

eIRRRIeRIIRR=++−

=−+, Otorgando valores

.2,4,2,5,5 32121 Ω=Ω=Ω=== RRRee SS ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−55

6224

2

1

II

.562.524

21

21

=+−=−

IIII



.5.120

10205254

,220

10306525

.20424

2211 =⇒+

⇒∆

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

==⇒+

=∆

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

=

=∆⇒−=∆

IIII

Para (b)

.)(.2.)(.1

223213

123131

S

S

IVGGVGIVGVGG=++−−⊗

=−+−⊗

..5.0,25.0,5.0,25.1,5.2 32121 Ω=Ω=Ω=== GGGAIAI SS

.25.175.05.0.5.25.01

21

21

=+−=−

VVVV

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−25.15.2

75.05.05.01

2

1

VV

.55.0

25.125.125.15.05.21

55.0

625.0875.175.025.15.05.2

.5.025.075.0

22

11

VVV

VVV

=⇒+

⇒∆

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=

=⇒+

=∆

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

=

=∆⇒−=∆



Capítulo 2 Concepto de fasor

2.1. NÚMEROS COMPLEJOS

Números reales:

El cuerpo de los números reales se compone de números racionales e irracionales.

La raíz cuadrada de un número real negativo no es un número real, es un número “imaginario”,

por ejemplo son números imaginarios 1− , 2− , 3− ,… n− diremos que 1j −= ∴ j 2= -1

Electrónicamente un número complejo lo vamos a representar por una “Z” y es la

impedancia del sistema, la impedancia del sistema se representa jyxz ±= , o también es el

número imaginario.

En nuestro sistema de coordenadas lo podemos representar de la siguiente manera:

Donde x es la parte real y jy es la parte imaginaria.

Si la parte imaginaria vale cero xz =

Y si la parte real vale cero jy z =

Por ejemplo: 61 =Z , 332 JZ −= , 43 JZ = , 234 JZ +−= , 545 JZ −−= , 336 JZ +=



Formas de expresar un número complejo Tenemos:

)( 212

1

2

1 ϑϑ −= ejrr

ZZ

jyxz += ϑrCosx =

)( ϑϑϑϑ

jSenCosrzjrSenrCosz

+=+=

rxCos =ϑ

xyrySen

=

=

ϑ

ϑ

tan

Donde 222 yxr += y entonces 22 yxr += y se le llama modulo de Z.

xyg 1-t=ϑ Y recibe el nombre de argumento de Z.

Forma de Euler

ϑϑ jSenCose je +=

Esta fórmula permite expresar en forma exponencial un número complejo, podemos

decir que: ϑϑ jrSenrCosz +=

ϑϑ jrSenrCosre je +=

A continuación vamos a expresar las fórmulas más importantes de los números

complejos:

Forma Binómica jyxz +=

Forma Polar ϑ∠= rz

Forma Exponencial rez =

Forma Trigonométrica )( ϑϑϑϑ jSenCosrjrSenrCosz +=+=

Conjugado de un número complejo

El conjugado de cualquier numero complejo jyxz += se representa jyxz −=* , para

la forma polar ϑ∠= rz , ϑ−∠′= rz* , y para ϑjrez = , ϑjrez −=

Operaciones con números complejos Por ejemplo:



251 jZ −= , 832 jZ −−=

( ) ( ) 102832521 jjjZZ −=−−+−=+

( ) ( ) 68832521 jjjZZ +=−−−−=−

( ) ( ) 68258312 jjjZZ −−=−−−−=−

( )( )

( ) ( )2

22

2

21212121

22

22

22

11

2

1

jxyxxyyyxx

jyxjyx

jyxjyx

ZZ

−+++

=++

⋅++

=

212121 ϑϑ +∠=∗ rrZZ 111 ϑ∠= rZ

)21(2122

ϑϑ +=∗ jerrZZ 222 ϑ∠= rZ

21

2

1

2

1 ϑϑ −∠=rr

ZZ

)21(

2

1

2

1 ϑϑ += jerr

ZZ

2.2. CONVERSIONES

Para expresar conversiones de números complejos es aconsejable manejar la

calculadora con el propósito de llegar a una rápida y eficaz conversión en cualquier sentido.

°∠= 1.5350Z

rySen =ϑ

rxCos =ϑ

Hallar la expresión: 21

21

ZZZZ+

cuando

67.1217.272530105

2

1

jZjZ

+=°∠=+=

82.609.527.5352.8 j+=°∠

Conversión de coordenadas rectangulares a polares.



Conversión de coordenadas polares a rectangulares.

2.3. RELACIONES FASORIALES PARA R, L, C.

Esta figura representa una rama “R”. La impedancia de esta rama “r” es

de la forma °∠= 0RZ

IRV =

IZV =

LCRIjxZ =

“R” se expresa en ohms ( )Ω , la impedancia también se expresa en ohms, además, en el

circuito puramente resistivo la corriente está en fase con la onda de voltaje. Si el voltaje de

alimentación que se aplica a la red es SenwtVV m= es igual a fπ2 , la ecuación será:

IRV = , Donde SenwtRVI m

= , donde mI=RVm

Potencia en la rama R

Potencia: es la terminación de la velocidad a que la energía eléctrica es generada o

absorbida, es en general un problema importante y por lo tanto vamos a estudiar la potencia en

la rama R.

Potencia Instantánea: se representa por una “P”

PS =

VIS =

VIP = (Potencia absorbida de la rama R)



180=π

fπω 2= ∴ T

f 1=

Tπω 2

= ∴ fπω 2=

( )tSenVV m ω=

( )tSenII m ω=

( ) ( )tSenItSenVP mm ωω=

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⇒= tCosIVPItSenVP mmmm ωω 2

21

212

22

2tCosIVIV

P mmmm ω−=

Los valores positivos de P indican que el circuito está recibiendo energía de la fuente, y

los valores negativos indican que los elementos reactivos () están liberando energía.

Rama en L

( )tSenVV m ω=

dtd

LV j= tCost

VP m ω

ω2−=



dtd

LtSenV jm =ω , como ( )°−=− 90tSentCos ωω

( ) ∫∫ = diLdttSenVm ω

LidttSenVm =− ∫ ωω

( )°−= 90tSenL

VI m ω

ω

LitCosVm =− ωω

( )°−= 90tSenII m ω

LItCosVm =− ωω

L

VI m

m ω=

ESTO VENIA CON LAPIZ Y DECIA BUSCAR:

FASOR: Un fasor es una constante de un número complejo que representa la amplitud

compleja (magnitud y fase) de una función de tiempo sinusoide. Usualmente se expresa en

forma de una exponencial. Los fasores se utilizan en ingeniería para simplificar los cálculos con

sinusoides, ya que permiten reducir un problema de ecuaciones diferenciales a uno algebraico.

ONDA SENOIDAL: Se trata de una señal análoga, puesto que sus valores oscilan en

una rama de opciones prácticamente infinita, así pues, podemos ver en la imagen que la onda

describe una curva continua. De hecho, esta onda es la gráfica de la función matemática seno,

que posee los siguientes atributos característicos:

• En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo ha, que se designa por sen a, es

igual a la longitud del cateto opuesto al ángulo dividida por la longitud de la hipotenusa.

• El seno de un ángulo cualquiera se asigna mediante la circunferencia goniométrica. Es

la ordenada del punto en que el segundo lado del ángulo la corta:



TRABAJO: En mecánica, el trabajo efectuado por una fuerza aplicada sobre una

partícula durante un cierto desplazamiento se define como la integral del producto escalar del

vector fuerza por el vector desplazamiento. El trabajo es una magnitud física escalar, y se

representa con la letra (del inglés Work) para distinguirlo de la magnitud temperatura,

normalmente representada con la letra .

En termodinámica el trabajo que se realiza cuando un gas se expande o se comprime

ejerciendo una presión desde un volumen A hasta otro volumen B viene dado por

El trabajo es, en general, dependiente de la trayectoria y, por lo tanto, no constituye una

variable de estado. La unidad básica de trabajo en el Sistema Internacional es newton × metro y

se denomina joule o julio, y es la misma unidad que mide la energía. Por eso se entiende que la

energía es la capacidad para realizar un trabajo o que el trabajo provoca una variación de

energía.

2.4. IMPEDANCIA Y ADMITANCIA

IMPEDANCIA DE LA RAMA “L”

La impedancia se opone a la velocidad de cambio de la corriente y por estas razones

algunas veces se da el nombre de inercia eléctrica. En la

ecuación anterior m = vm / wl podemos decir que wl = vm / m que la intensidad de corriente se

retrasa con respecto al voltaje un cuarto de ciclo (90º), por lo tanto podemos decir que la

impedancia en la rama l, zl=wl 190º y podremos decir también que si W= πf tendremos que XL=

πf L.

Cuando w se expresa en radianes/seg. “l” en henrios, la reactancia inductiva se expresa

en ohms.



La reactancia inductiva e una bobina de 10 mili henrios en un circuito de 60 ciclos será

XL=WL=π f L; ¿encontrar la importancia del sistema?

L = 10 mH

F = 60 ciclos

XL = WL

XL = 2π f L

XL = 2 π(60) (10X10-3) = 3.77 Ω

Z = WL 90º ---- 3.77 90º = 0+3.77 j

ZL = XL 90º

Si F = 6000 ciclos

XL = 2 π (60 000) (10 X 10 -3) 3770

ZL = 3770 90º

Si se aplican a la bobina de 10 mili henrios un voltaje sinusoidal cuyo valor máximo es

de 10 v, se tiene que

V = Vm sen WT F = 60 ciclos

W = 2 πF

W = 377 V = 100 sen 377

= -Vm/XL cos WT

= M sen (WT – 90º)

M = VM/WL – VM/XL – 100 Volts/3.77 = sen (377t – 90º)

Encontrar la corriente que existe en la bobina, con los sigs. Datos:



L = 25 mH, f = 50 ciclos/s, el voltaje máximo Vm = 125 Volts.

Encontrar la forma de onda del voltaje y de la corriente.

V = Vm sen wt w = 2 f

= m sen (wt – 90º) w = 2 (80) = 503

Im = Im = 125/503 (25 X 10 -3

I = 10 sen (wt – 90)

I = 10 sen (503 t -90)

Y V = 125 sen 503 t

I = 10 sen (503 t -90º)

L = XL = WL

XL = 2π f L

XL = 13 90º ZL = 13 90º

“POTENCIAL PARA LA RAMA L”

P = VI donde V = Vm sen Wt

I = Im sen (Wt – 90º)

P = (Vm sen Wt) (Im sen Wt – 90º)

P = Vm Im sen Wt – (1- 90º)

P = Vm Im – sen Wt cos Wt

P = - Vm Im sen 2 Wt / 2

P = - Vm fm sen 2 Wt / 2



Si “L” esta expresada en Hemrios, “Im” en Amperios, “Wl” la energía la rama L se

expresa en Joules.

“LA RAMA C”

Se supone que un voltaje sinusoidal V = Vm sanase se aplica a un sensor ideal como se

muestra en la figura siguiente:

La expresión de equilibrio en la siguiente V = q/c, Vm son Wt = q/c.

Mando la derivada de la EC. Anterior con respecto al tiempo tenemos que dq/dt = Vm wc con

wt.

Vm = sen wt = q / c = C Vm sen wt = dq / dt = dq / dt = C Vm cos wt . w dq / dt = Vm wc

cos wt

Por lo tanto podemos decir que: i = Vm sen (wt + 90º)

i/wc

i = Im sen (wt + 90º)

Entonces

Vm



“IMPEDANCIA DE LA RAMA C”

La razón de Vm a Im en la rama C = I/WC, y la corriente se adelanta con respecto al

Voltaje un Angulo de 90º.

La impedancia será entonces para la rama “C” :

Zc = - 90º

La magnitud de la impedancia I/WC recibe el nombre de Xc (reactancia capacitada y de

esto resulta que la reactancia en es inversamente proporcional a la frecuencia.

Dentro de la reactancia tenemos la reactancia capacitiva y la reactancia inductiva.

NOTA:

En un condensador la corriente se adelanta 90º con respecto al voltaje y la impedancia

de una bobina, la corriente se atrasa 90º con respecto al voltaje.

XL=2Πfl =WL

XC= = = W2Πf

Si en la notación de la reactancia “W” se expresa en Ra “C” en faradios, “Xc” en OHMS,

pero supongamos que la capacitancia se expresa en microfaradios, la formula será le siguiente:

Xc= Ω

La reactancia capacitiva de un condensador de 15 mf en un circuito de 25 ciclos es:

Xc= = xc =xc=425Ω

Z = Xc = - 90º Zc = 425 - 90º



Si aplicamos al condensador una frecuencia de 250 ciclos su Xc será

Xc=

Si aplicamos al mismo condensador una frecuencia de 25 ciclos y 200 Voles valor

máximo su corriente y voltaje será la siguiente:

V = Vm sen Wt W = 2πf

I = Im sen (Wt + 90º) W = 2π(25) W = 157

xc= =

V = 200 sen 157 t Xc = 425

im= I= sen(157t+ )amp

“POTENCIA Y ENERGÍA DE UNA RAMA “C”

P = V I

P = (Vm sen lot) [ Im sen ( Wt + 90º )]

P = Vm Im sen Wt sen ( Wt + 90º )

P = Vm Im sen Wt (cos Wt ) sen Wt cos Wt = ½ sen 2 Wt

P= sen 2wt

La energía recibida por un condensador durante un cuarto de ciclo será ponemos los límites t = o, t = T/4, tendremos que la energía para la rama será:

Wc= sen 2wt

RESUMEN DE LAS RAMAS “R” “L” Y “C”

RAMA R



ZR = R 0º IMPEDANCIA

Nota:

En la rama “R” el voltaje esta en fase con la corriente.

RAMA L

XL =

2 -- fL = WL

Nota:

La corriente esta atrasada 90º con respecto al voltaje.

RAMA C

En la rama “L”



Nota:

La corriente esta adelantada a 90º con respecto al voltaje.

En la rama “C”

“RAMA RL”

SUMA DE ONDAS SENOIDALES

e = 125 sen (Wt + 20º)

e = 250 sen (Wt – 30º)

e = 500 sen Wt

Nota: Para poder realizar la suma “W” debe ser igual

Determinar Et de las siguientes ondas sinusoidales

Continuación

E1 = 40 sen (200t + 30º) ET = F1 + F2



E2 = 20 (200t + 60º)

ET = [40 sen (200t + 30º)] + [20 sen (200t + 60º)]

“RAMA RL”

“IMPEDANCIA DE LA RAMA RL”

Z= r 0

Z=

IMPEDANCIA DEL SISTEMA

Si r =

VM= iM(r)

=

La corriente se retrasa con respecto al voltaje un ángulo determinado

0=



Capítulo 3

“Potencia eléctrica y factor de potencia”

Existen tres tipos de potencias que vamos a analizar y que son: potencia activa,

potencia aparente y potencia reactiva.

3.1. POTENCIA ACTIVA:

Se representa por una “p”, su formula es: θcosVIP = , sus unidades serian: Kw.

(kilowatts) o watts.

El termino “ θcos ” se llama factor de potencia y se abrevia FP. Donde “θ ” es el ángulo

de defasamiento entre las ondas de voltaje y de corriente comprendido entre °± 90 . Para

indicar el signo “θ ” diremos que en un circuito inductivo en el que la corriente esta atrasada

respecto a la tensión, tiene un factor de potencia en retraso. En un circuito capacitivo la

corriente se adelanta °90 con respecto al voltaje, tiene factor de potencia en adelanto.

3.2. POTENCIA APARENTE:

Se representa por una [ ]S o una [ ]VA su formula es: VIS = o VIVA = , su unidad es el

voltampere.

3.3. POTENCIA REACTIVA:

Su símbolo es una [ ]Q o [ ]VAR su formula es θVIsenQ = o θVIsenVAR = , sus

unidades son voltampere reactivos el [ ]θsen se llama factor reactivo.

3.4. “TRIANGULO DE POTENCIAS”

Las potencias se pueden expresar por medio de un triangulo que se llama triangulo de

potencia, como se muestra en la siguiente figura:



3.5. “POTENCIA COMPLEJA”

Los tres lados del triangulo ""S ""P y ""Q de potencias se deducen del producto ( )*VI

de la tensión por el conjugado de la intensidad.

Resultado de este producto es un número complejo que se llama potencia compleja (s

negrita en el libro) y se representa por una Sc. Su parte real es la potencia activa ( )P y su parte

imaginaria es la potencia reactiva ""Q

Ejemplo:

Sea: jaVeV = e ( )θ+= ajIeI

∴ *VISc =

( ) ( )( )θε +−= ajja IVeSc

A continuación pondremos las formulas de los 3 tipos de potencias:

POTENCIA ACTIVA R

VRIVIP R

22cos === θ watts

POTENCIA REACTIVA C

CAP

L

IND

XV

XV

XIVIsenQ22

2 ==== θ var



POTENCIA APARENTE Z

VZIVIS2

2 === voltampere

FACTOR DE == θcosPOTENCIA =ZR

SP

1. Trazar un triangulo de potencias de un circuito cuya impedancia es igual a 43 j+ y su

voltaje de alimentación es °⟨30100 volts.

“DATOS”

V= °⟨30100 θcosVIP =

Z= 43 j+ °⟨= 13.535Z °⟨−=⇒°⟨°⟨

== 13.235013.53530100 I

ZVI

( )( )°⟨°⟨⇒= 13.232030100* ScVISc

°⟨= 13.532000Sc

99.15991200 jSc +=

321QP

jSc 16001200 +=

3333.112001600

.

.tan ⇒⇒=ACOCθ

°= 13.53θ



3.6. CORRECCION DEL FACTOR DE POTENCIA

Para corregir el factor de potencia se procede de la siguiente manera:

Del ejemplo anterior corregir el factor de potencia de 9.0 en retraso utilizando

condensadores en paralelo. Hallar el valor de la potencia aparente nueva después de introducir

la corrección y la potencia reactiva necesarios para obtener dicha corrección.

9.0cos =θ

( )ANGULO°= 26θ

θcoscos PS

SP

=⇒=

13339.0

1200==S

SsenQSQsen °=⇒= 26θ

( )( )

VARcQQ

10155851600585

1333103837.4 1

=−∴=

×= −

°26°13.53



Determinar el triangulo de potencias de cada rama del circuito paralelo de la figura

siguiente y obtener luego el triangulo de potencias para el circuito completo.

Rama 1

( )( )WATTSP

P

ATRASOfpjZ

I

ZVIIZV

6.8630cos520

_865.0446.3246.3

3053046020

1

=°=

==∴+=

°⟨=°⟨°⟨

=

=⇒=

( )( )

( )( )VAS

SATRASOENVARQ

senQ

100520

__5030520

===

°=

Rama 2

( )( )( )( )( )( ) VASS

ATRASOVARQsenQWATTSPP

IZVI

ATRASOENfpjZZ

80420_26.6960420

4060cos420

046056020

__605.055.233.45.2605

22

2

22

=⇒==⇒°==⇒°=

°⟨=°⟨°⟨

=⇒=

°===∴+=⇒°⟨=



( ) ( )

728.088.1736.126

88.1732.1196.126

2.1192.69506.126406.86

22

=⇒=⇒=

=

+=

=⇒+==⇒+=

fpfpSPfp

SS

VARQQVATIOSPP

TT

TT

o

°=

==

28.43

728.0cos

θ

θSp



KVAR3.159

KVOLTIOS1414

Determinar los componentes del triangulo de potencias de la asociación de 3 cargas

definidas de la forma siguiente:

Carga 1: 250 voltamperios con factor de potencia 0.5 en retraso.

Carga 2: 180 vatios con factor de potencia 0.8 en adelanto.

Carga 3: 300 voltamperios y 100 voltamperios reactivos en retraso.

Carga 1:

( )( )

( ) VARQsenQSQsen

WPP

SPSP

RETRASOENfpVAS

5.21625060

605.0cos5.0cos1252505.0

5.0cos.,*coscos

_5.0.,250

1

=⇒°=⇒=

°=⇒=∴=

=⇒=

==⇒=

==

−

θ

θθθ

θθθ



CARGA 2:

( ) 09.1352259.36

9.368.0cos

2258.0

180cos

cos

__8.0cos.,180

=⇒=⇒=

=∴=

=⇒=⇒=⇒=

=⇒=

QsenQSQsen

VASSPSSP

ATRASOENfpVATIOSP

θ

θθθ

θ

θ

CARGA 3:

( ) WPPSP

sensenSQsen

VARQVAS

8.28230047.19coscos47.19

333.0300100

100.,300

=⇒°=⇒=∴°=

=⇒=⇒=

==

θθ

θθθ



( ) ( )

955.615.17cos

37.6155.181588

5.1811001355.216587282150125

15.17

3.0tan588

5.181tan

22

=°=

=+=

=+−==++=

°=

=⇒=

FpFpS

QP

T

T

T

θ

θθ

Determinar el triangulo de potencia total del circuito paralelo de la siguiente figura

sabiendo que la potencia disipada en la resistencia de Ω2 es de 20 vatios (watts).

( )

[ ] [ ]

AMPI

IIZVI

ZjZvVvVZIV

ZjZ

AMPII

II

RIP

PvatiosP R

66.12

4506.124541.1017

4541.1110172.6858.52.6816.30172.6838.516.3

2.6838.55.2

16.3220

220220

20

2

222

2

22

1

1

11

21

21

21

22

=

°⟨−=⇒°⟨

°⟨=⇒=

°⟨=⇒+=°⟨=⇒⟨−°⟨⇒°⟨=⇒°⟨−⇒=

°⟨−=⇒=

=⇒=

=⇒=

=

==



°⟨−=°⟨−=⇒−=⇒−++=

°⟨−+°⟨=⇒+=

302.11302.1159.569.952.852.893.217.1

4506.122.6816.321

T

TTT

TT

IIjIjjI

IIII

[ ]

°=

=

+=±=

°⟨=°⟨°⟨=

=

3089.1642.95tan

2.9589.164

304.190302.11017

*

θ

θ

jSJQPS

SS

VIS

T

T

T

T

T

POTENCIAS DE LA RAMA RL

θϖτθϖτθϖτθϖτ

sensenVmVmVmP

senVmsenPVIP

)2(2Im))(cos2(cos

2Im

2cosIm

))(Im(

+−=

+==

TRIANGULO DE POTENCIAS



“RAMA R L C”

Cuando XL es menor la corriente se adelanta en el sistema

Cuando XL es mayor la corriente se atrasa

RAMA “R “ “C” YSU IMPEDANCIA EN EL SISITEMA

Si la reactancia inductiva es cero por lo el sistema capacitivo en

Si R=10Ω, L=0.056 HENRIOS, C=50µF, cual será la impedancia de la rama “RLC” y la

corriente que pasa a través de ella si tenemos un voltaje de alimentación v=200 sen 377t v.

¿encontrar la corriente que pasa a través de ellos?

ϖτsenz

vmi =



XL=ϖτ

XL=(377)(0.056)H

XL=21.11Ω

Ω==>==>= − 53)1050)(377(

116 XCFx

xcc

XCϖ

Z=33.42 -72.58º

“POTENCIA DE LA RAMA RLC”

Sabemos que p=VI, si C=Im senϖτ y V=vm sen(ϖτ +senθ )

ϖτθϖτθ 22Imcos)2(cos

2Imcos

2Im senVmVmVmp +−=



“IMPEDANCIA DE LA FORMA CARTESIANA”

Z=R+J(XL-XC) FORMA RECTANGULAR O CARTESIANA

Convirtiendo a forma polar:

22 )( XCXLJRz −+=R

xcxltg −−1

EJERCICIO:

XL=ϖτ

XL=(247)(0.086)

XL=21.242Ω

Ω=== − 476.67)1060)(247(

116xc

XCϖ

)60.66247(9852.160.66374.50

247100

60.66374.50)20

476.67242.21(374.50

)()476.67472.21(20)(

1

12222

°+=°−∠

=

°−∠=−

=

−−+=−+=

−

−

ττ sensenI

tgz

RxcxltgXCXLRz



El signo (+) indica una subcentancia capacitiva y el signo(-)una subceptancia inductiva

En el circuito siguiente hallar las intensidades de i, con los siguientes datos:

R1=3Ω,R2=10Ω,C=-4J,V=50<0°

°∠=°∠°∠

=

°∠=°−∠

°∠=

−°∠

=

050100502

13.531013.535

050430501

I

JI

“ADMITANCIA DE UNA RAMA”



EJERCICIO

Hallar la impedancia z1del circuito de 3 ramas en paralelo de la siguiente fig. It=31.5<24º

JZ

ZZJ

ZY

Z

JYJJYJJY

YeqYYYJYeq

YeqYeqVIYeqVYeqI

Z

221

º4586.21º4535.0

1125.025.0

111

11

25.025.0112.016.01.037.051.0137.051.012.016.01.01

32137.051.0

º3663.0º6050º245.31)(

?1

+=

∠==>−∠

==>−

==>=

−==>+−−−=−=−++

=++−=

−∠==>∠∠

==>===

=



EJERCICIO:

Y1=50<30º

Z2=10<40º

Z3<-15º

HALLAR LA IMPEDANCIA Z1

ZZZZ

YZ1111

61

311

11

++=

+−−=

º56.884.2º56.83518.0105239.03479.0

05176.01931.006427.00766.00644.06176.01

1

º152.0º401.0)º66211.0(º155

1º4010

1º661.1

11

129.182.4

142.666.7

11682.06011.1

11

129.182.4

142.666.7

11

11682.016011

13

12

111

1682.06011.1º661.1º245.31

º3050

−∠=∠=−=

++−++−=−

∠+−∠+−∠−=−∠

+∠

+∠

−=−

−+

++

+=−

−+

++=

+

++=

+=∠=∠∠

==

ZJZ

JJJZ

Z

JJJZ

JJZJ

ZZZIZT

JITVmZT



(15-8j)i1-10i2-5i3=0

-10i1+(18+4j)i2-8i3=-5 °∠30

-5i1-8i2+(16+4j)i3=-10 °∠0

°−∠=−=°∠=>+

−−++=>°∠+°∠−°∠

27.5136124.12523.135518.794.539664.67461.5354

81.997.84994.39951.37462.42047.18655.85531.113.203909.5127.422J

JJJ



-1509.9<22.37°+1113.8<195.61°

1392.57-573.12j-1072.71-299.71j=>-2465.28-872.83j

2615.23<-160.50°

9027.1712014.23º1033.1791726.22

º2466.15592.11

3.15592.127.51361

5.16023.26151

∠=∠=−∠=

°−∠=°−∠°−∠

=

iii

i



Capítulo 4 Sistemas Polifásicos Balanceados

4.1. GENERACIÓN DE VOLTAJES POLIFÁSICOS

Los voltajes son generados en la misma forma que los monofásicos. Un sistema

polifásico está formado por varios sistemas monofásicos. Los sistemas monofásicos que forman

los polifásicos están generalmente interconectados en alguna forma.

Fig. 1

Generador Trifásico Elemental

En la figura 1 se muestra una bobina única AA1 en la armadura ó inducido de una

maquina bipolar, cuando los polos están en la posición mostrada es máxima la FEM del

conductor A de la bobina AA1 y su sentido es alejándose del lector.

Si se coloca un conductor en la posición B a 120° de A, se daría en el mismo una FEM

máxima, en un sentido que se aleja del lector, cuando el eje del polo norte estuviera en B o sea

120° eléctricos después de que estuviera en A.

De manera semejante para un conductor C, la FEM máxima en un sentido que se aleja

del lector, ocurrirá a 120° después de que estuviera en B y 240° después de que estuviera en A.

Las ondas de FEM generadas se representan en la figura siguiente y se llama sistema

trifásico por que hay 3 ondas de diferente fase de tiempo.



Una cantidad alterna dada se retrasa con respecto de otra se llega a un cierto punto se

su onda después de que la otra ha llegado al punto correspondiente de la suya, otro modo de

decir lo mismo, es mediante la indicación de que el máximo positivo de la cantidad delantera se

produce andes del máximo positivo de la cantidad retrasada.

A=0°, B=120°, C=240°

El desplazamiento eléctrico entre fases para un sistema balanceado de n fases es de

360° entre n° eléctricos (360/n). La secuencia de fase de los voltajes aplicados a una carga es

determinada por el orden en que las líneas trifásicas están conectadas. El intercambio de

cualquier

De líneas invierte la secuencia de fase, para motores trifásicos invierte la dirección de

rotación. Para cargas trifásicas no balanceadas el efecto es en general, causar un conjunto de

valores completamente diferentes de las corrientes de línea.

• Determine la magnitud y posición del voltaje ECA de la figura siguiente, siendo ECD =-

100<30° y EAB =-100<0°

Solución:

51.76<105°

-86.6+j50 + 105+j0



4.2. SISTEMAS BIFÁSICOS Y TETRAFÁSICOS

Un sistema bifásico en un sistema eléctrico en que los voltajes están 90° fuera de tiempo

(desfasados 90°) y se representa de la siguiente manera:

Un sistema bifásico es equivalente a 2 sistemas

monofásicos que están separados 90°

en Fase de Tiempo.

Sistema tetrafásico con conexión estrella

Un sistema tetrafásico y uno bifásico difieren solamente en las conexiones alternas. La

figura siguiente representará una conexión estrella de 4 fases.

Sistema en conexión estrella.

En la figura anterior los voltajes EDA , EAB y ECD se llaman voltajes entre una línea y otra

línea y los voltajes E0A , E0B E0c y E0D son los voltajes de una fase con respecto al neutro y se

llaman voltajes a neutral ó voltajes con respecto al neutro, por lo tanto podemos decir que el

voltaje que existe en los puntos EDA=ED0+ E0A y así sucesivamente para todos.

Así en la estrella de 4 fases el voltaje de línea VL = 2 VF y están desfasados 45° ó 135°.



Sistema tetrafásico en conexión malla.

La siguiente figura se conoce como conexión malla 4 fases.

Malla de 4 fases

Las conexiones de línea se hacen en los puntos A, C y D. La corriente de la línea A A 1 es

igual a IAA1 + IDA como se muestra en la figura anterior. Los voltajes VAD, VAB, VBC son los voltajes

de línea ó voltajes de fases, por lo tanto podemos decir que para una malla de 4 fases el voltaje

de línea es igual al voltaje de fase (VL = VF ) y la corriente de línea IL= 2 IF están desfasados

45° ó 135°.

Formula para mallas

Malla 4 Fases (Delta) Estrella 4 fases

IL= 2 IF

VL = VF

IL=IF

VL = 2 VF

4.3. SISTEMAS TRIFÁSICOS CUATRIFILARES

3 fases (φ ) cuatro hilos

Si conectamos a un punto común 3 circuitos monofásicos,

se obtendrá un sistema llamado sistema de 3 fases o

sistema trifásico con 4 hilos como se muestra en la figura

siguiente:



Los 3 voltajes mostrados se llaman voltajes de línea entre los puntos AB, BC y CA, los

voltajes An, Bn y Cn son los llamados voltajes de línea con respecto al neutro ó voltajes de fase.

Por lo tanto, podemos decir que el voltaje de línea para la conexión estrella trifásica es:

VL = 3 VF y todas las corrientes de línea son igual a las corrientes de Fase IL=IF y todas están

desfasadas 120°

4.4. CONEXIÓN DELTA

El sistema delta o sistema malla trifásico se representa en la siguiente figura:

Muestra que los VF = VL están desfasados 120°

junto con las corrientes IL= 3 IF

por lo tanto podemos hacer la siguiente tabla:

Estrella Delta

VL = 3 VF

IL=IF

VF = VL

IL= 3 IF

4.5. CARGAS EN ESTRELLA Y DELTA BALANCEADAS

Cuando las impedancias en un sistema trifásico son idénticas y los voltajes de

aumentación son los mismos, podemos decir que las corrientes son iguales y entonces por

regla general todos los circuitos trifásicos balanceados se calculan por fase exactamente como

se hicieron en los circuitos monofásicos.

por ejemplo:

• Se dan los voltajes de línea en la siguiente figura:



VL=220volts encontrar IL, IF , PF, y PT

R=6Ω

XL=8Ω

como en estrella VL = 3 VF ∴ VF = 3

VL VF =3

220 = 127 volts

IF = F

F

ZV

IF =56

127j+

IF =10

127 =12.7 ∴ IL =12.7 amperes

PF = VF (IF) = (127)(12.7) = 1612.9 Volt Ampere ó

Z(IF)2 = (10)(12.7)2 =1612.9 Volt ampere

PF (ACTIVA)= (IF)2 R = (6) (12.7)2 = 967.74 watts (por fase)

PF(REACTIVA)= XL(IF)2 = (8) (12.7)2 =1290.32 VAR (por fase)

PTOTAL : PF = (3)(1612.9) = 4838.7 va.

PF = (3)(967.74) = 2903.22 watts

PF = (3)(1290.32) = 3870.96 VAR



Capítulo 5 Cálculo de potencias en sistemas

trifásicos balanceados

5.1. CÁLCULO DE POTENCIA EN ., ΦΦ− VASenVACosVA

En estos sistemas, para determinar la potencia se hacia por fase, si el voltaje por fase se

representa “Vp” e “Ip” es la representación de la corriente por fase, entonces:

Pp=Vp*Ip*cosθ Es la potencia por fase

O bien:

Pf=Vf*If*cosθ

Y Pt= n*Pp cuando la potencia es “n” fases

=n*Vf*If*cosθ

Si consideramos un sistema trifásico Pt=3*Vf*If*cos .Si la potencia trifásica la vamos a

encontrar, para una conexión estrella tendremos:

Vl= √3 *Vf

Vf=Vl/√ 3, If=Il sustituyendo

Pt=3*Vl/√3*Il*cosθ (formula para una estrella trifásica)

Para una delta:

Pt=√3Vf*If, Vf=Vl

If=Il/3



Sustituyendo: formula (para una delta trifásica.).

Podemos decir por lo tanto que las potencias en delta y en estrella son idénticas y que

para un circuito trifásico debe recordarse que cos”θ” (Vp) es el ángulo entre el voltaje de fase y

la corriente de fase.

Hay varios métodos para determinar si una lectura debe tomarse positiva o negativa en

vatímetro, uno de los métodos mas importantes es uno de los que sigue a continuación,

basándose en la figura anterior.

Ábrase la línea “a” , entonces toda la potencia se transfiere ala carga por las líneas b y c.

si se conecta el vatímetro “b” del modo que lea “ascendiendo en la escala”, entonces sabrá que

tiene esta desviación cuando la potencia que de va hacia la carga. Reconecte a continuación la

línea “a” y abra la “b”. Conecte entonces el vatímetro “a” de manera que lea ascendiendo en la

escala. Cierre ahora la línea “b”, si en cualquier momento después de esto, el indicador del

vatímetro marcha de reversa, hacia la posición de parada, esto es la posición de cero, esta

siendo transferida potencia acumulada a través de este vatímetro y esta potencia debe de ser

de signo opuesto ala registrada por el otro y por lo tanto se tiene que restar. La bobina de

potencial o la de corriente debe ser invertida para obtener una lectura ascendente.

Por ejemplo:

En el circuito mostrado en la figura anterior “vatímetro a” da una lectura de 800 watts

“Wb” da una lectura de 400watts. Cuando la bobina de potencia de vatímetro “b” desconecta en

“c” y se conecta en “a” la aguja marcha en sentido descendente, calcular la potencia total, la

razón de los vatios y b el factor de potencia.

P=Wa+Wb voltamper reactivos

P=800+(-400) =400vatios Q=√3(Wa-Wb)

Vatios Wb=-400/800=-0.5 tg θ=√3(Wa-Wb)/Wa+Wb

θ =cos(tg √3(Wa-Wb)/(Wa+Wb)

Q=√3[(800)-(-400)]=2078 VAR

S=√(p) ²+(Q) ²=√(400) ²+(2078) ²=2114VA

FP=P/S=400/2114=0.19



Capitulo 6 Circuitos polifásicos no balanceados

6.1. CARGAS NO BALANCEADAS O DESVALANCEADAS

Existe un sistema desbalanceado cuando la impedancia de la corriente y el voltaje no

son iguales y por lo tanto es necesario manejar el sistema de otra manera que como lo hemos

ido manejando.

Por ejemplo: para una carga delta no balanceada, secuencia ab-ca-bc.

Iab=Vab/Zab=100+j0/6+8j=10²8-6=°53.1-ےj

Ibc=Vbc/Zbc=-50+86.6j/4-3j=207.86+18.39-=°156.9 ےj

Ica=-50-86.6j/20+0j=5432-2.5-=°120- ےj

Vab=100+0j V

Vbc=100120 ے°

Vca=100120- ے100=86.60254*50-=°120- ے°



Las corrientes de línea son:

Ia’a=Iab+Iac=6+8j+2.5+4038j=8.5-3.67j=9.2523.3- ے°

Ib’b=Iba+Ibc=-6+8j-18.39+7.856j=-24.39+15.856j=2933- ے°

Ic’c=Ica+Icb=-2.5-4.33j+18.39-7.850j=15.89-12.166j=2037.3- ے°

CARGAS EN ESTRELLAS NO BALANCEADAS

Secuencia de fases ab-bc-ca

Vab=21290 ے°

Vbc=212150- ے°

Vca=21230- ے

Zab= (Zan*Zbn+Zbn*Zcn+Zcn*Zan)/Zcn=5/Zcn

Zbc=5/Zan

Zca=5/Zbn



Iab=Vab/Zab=1450+14.5-=°180 ے14.5=°60 ے10/°240 ےj

Ibc=20028.28- 28.28=°45- ے40=°45 ے5/°0 ےj

Ica=13011.93+14.22=40 ے18.57=°80 ے7/°120 ےj

Ia+Ica=Iab

Ia=Iab-Ica= (-14.5+0j)-(14.22+11.93j)

=-28.72-11.93j=31.09157.44- ے°

Ib=Ibc-Iab

=42.78-28.28j

°33.46- ے51.28=

Ic=Ica-Ibc=-14.06+40.21j

°109.27 ے42.59=



Zab=300-300j/0-20j=15+15j=21.245 ے°ω

Zbc=300-300j/10-0j=30-30j=42.445- ے° ω

Zca=300-300j/10+10j=0-30j=30.090 ے° ω

Iab=Vab/Zab=21245 ے10=°45 ے21.2/°90 ے°A

Ibc=Vbc/Zbc=212105- ے5=°45- ے21.2/°150-ے°A

Ica=Vca/Zca=21260 ے7.07=°90- ے30/°30- ے°A

Ia’a=Iab-Ica

125.1A- ے14.56=°45 ے10-°105- ے5=10=

°15 ے3.66=°60 ے7.07-45°

Ib’b=Ibc-Iab

125.1A- ے14.56=°45 ے10-°105- ے5=

Ic’c=Ica-Ibc=7.07105- ے5-°60 ے°

A°66.2 ے11.98=

Un sistema trifásico de secuencia CBA de 208 volts tres fases, 4 conductores alimentan

una carga conectada en estrella. Con Za=60 ے°.Zb=630 ے° y Zc=545 ے°. Obtener las

corrientes de línea.



Ian=Van/Zan=12090- ے20=°0 ے6/°90- ے°A

Ibn=Vb/Zbn=1200 ے20=°30 ے6/°30 ے°A

Icn=Vcn/Zcn=120105 ے24=°45 ے5/°150 ے°A

In=-(Ia+Ib+Ic)=-(20105 ے24+°0 ے20+°90- ے°)A

In=14.1166.9- ے°A

Se conectan en estrella tres impedancias idénticas de 530- ے°, el sistema es trifásico de

tres conductores, 150V de alimentación y secuencia de CBA; encontrar las potencias.



Van=150/√3 90- ے86.6=°90-ے°

Vbn=150/√330 ے8.6=°30 ے°

Vcn=150/√3150 ے86.6=°150 ے°

Ia=Van/Z=68.660- ے17.32=°30- ے5/°90- ے°

Ib=Vbn/Z=86.660 ے17.32=°30- ے5/°30 ے°

Ic=Vcn/Z=86.6180 ے17.32=°30- ے5/°150 ے°

P=√3*Vl*Il*cos θ

P=√3150 (17.32) cos -30°

P=3900W

cos θ= θVf/ θIf por lo tanto An=-90°/-60°=-30° = θVbn/ Ib=30°/60°=-30°

= θVcn/Ic=150°/180°=-30°

CONEXIÓN DE DOS VATTÍMETROS PARA MEDIR POTENCIA TRIFASICA

Wa=V*I*cos(θ-30°)

Wb=V*I*cos (θ+30°)

Wt=Wa+Wb

=V*I*cos(θ+30°)+V*I*cos(θ-30°)

=V*i(cos θ*cos30°-sen θ*sen 30°+cos θ*cos30°+sen θ*sen30)



Wt=√ 3*V*I*cos θ

Wa=Vac*Iac*cos (θ-30°)

Wb=Nbc*Ibc*cos (θ+30°)

Zab=(Zan*Zbn+Zbn*Zcn+Zcn*Zan)/Zcn

°30 ے5/(°30 ے5*°30 ے5)+(°30 ے5*°30 ے5)+(°30 ے5*°30 ے5) =

°30 ے5/(°60 ے25+°60 ے25+°60 ے25) =

=37.5+64.95j/530 ے°

°30 ے15=°30 ے5/°60 ے75=

FACTOR DE POTENCIA PARA CIRCUITOS NO BALANCEADOS

F.P. vectorial= (∑V*I*cos θ)/ √(∑V*I*sen θ)² + (∑V*I*cos θ)²

F.P=cos * (tan)-1 ∑V*I*senθ /∑V*I*cosθ =cosβ

F.P=∑V*I*cos θ /Magnitud de ∑V*I

Encontrar el factor de potencia vectorial del problema anterior.

F.P.v =733/150+733=0.98

Y el factor medio aritmético= F.P.1/2= ∑F:p: de las líneas/No. De fases

F.P.a=cos45°=0.7071

F.P.b=cos0°=1

F.P.c =cos60°=0.5

F.P.t=2.2071

F.P.1/2=2.2071/3=0.7357



Iab=Vab/Zab=240150 ے9.6=°90 ے25/°240 ے

Ibc=Vbc/Zbc=24030 ے16=°30 ے15/°0 ے°

Ica=Vca/Zca=240120 ے12=°0 ے20/°120 ے°

Ia=Iab+Iac=9.6247.7 ے6.06=°120 ے12-°150 ے°

Ib=Iba+Ibc=-9.630- ے16+°150 ے°

Ic=Ica+Icb=1230- ے16-°120 ے°

Pab=Iab²Rab, Zab=2590 ے°

Pab= (9.6) ² (0)=0

6.2. CARGAS CONECTADAS EN DELTA Y ESTRELLA

Algunas veces las cargas conectadas en delta se hacen funcionar conjuntamente con

cargas conectadas en estrella. Las soluciones pueden ser relativamente sencillas, convirtiendo

primero la carga en estrella en una carga delta equitativamente, las dos deltas en paralelo

pueden entonces combinarse para formar una carga única equivalente en delta y ser calculadas

directamente las corrientes en delta equivalente como:

Iab=Vab/Zeq

CARGA DESEQUILIBRADA CONECTADA EN ESTRELLA CON 5 CONDUCTORES Si solamente hay 3 líneas A, B, C conectadas a una carga en estrella desequilibrada, el

punto común de las 3 impedancias de carga no esta al potencial del neutro y se designa por la



letra “o” en lugar de “n”. Las tensiones entre los extremos de las tres impedancias pueden variar

considerablemente desde el valor de la tensión simple como se ve en el triangulo de tenciones

que relaciona todas las tensiones del circuito. Tiene particular interés el desplazamiento de “o”

hasta “n”, tensión de desplazamiento del neutro.

Por ejemplo:

Un sistema trifásico CBA, trificar de 208 voltios tiene una carga en estrella con Za=6ے

0°, Zb=630 ے°, Zc=54 ے°, obtener las corrientes de línea y la tensión en cada impedancia.

(6v0°+630 ے°) (-30 ے6°) (I1) (208240 ے°)

(°0 ے208) (I2) (°45 ے5+°30 ے6) (°30 ے6-) =

I1=23.3261.1 ے°A , I2=26.563.4- ے°A

Ia=I1

Ib=I2-I1

Ic=-I2

Vab=Za*Ia=6261.1 ے139.8=(°261.1 ے23.3)°0 ے°

Vbc=Zb*Ib=(630 ے°)(2.5- ے15.45°)=27.5 ے92.7°

Vca=Zc*Ic=5161.6 ے132.5=(°116.6 ے26.5)°45 ے°

Van=Vca+Van=-139.890- ے120+°261.1 ے°

°134.8 ے28.5-=



Capítulo 7 Circuitos de Potencia Polifásica no

balanceada

7.1. MÉTODO DE LOS 3 VATÍMETROS PARA LA MEDICIÓN DE POTENCIA EN FASE.

..))((

.))((

.)(

.

WcWbWaPTICosIVWc

ICosIVWb

ICosIVWa

VICosP

CN

BN

AN

V

CCCN

V

BBBN

V

AAAN

++=∠=

∠=

∠=

= φ

Método de los 2 vatímetros.

..

.

.

.

CBCA

ACAB

V

CCCB

V

AAAB

IIIcIIIa

DondeICosIVWc

ICosIVWa

VICosP

CB

AB

+=+=

∠=

∠=

= φ

7.2. ΦVASen Y FACTOR DE POTENCIA

VoltsAmpéres *Reactivos en un sistema trifásico no balanceado de 4 hilos.

.

.

.

.

CN

BN

AN

V

CNCNCN

V

BNBNBN

V

ANANAN

ISenIVVARc

ISenIVVARb

ISenIVVARa

VISenP

∠=

∠=

∠=

= φ



Los Voltajes de la figura anterior son los siguientes:

º6020,º050,º4524,º240100,º120100,º0100 −∠=∠=∠=−∠=−∠=∠= CNBNANCNBNAN ZZZVVV

º.454º4525º0100

º.1805º6020º240100

º.1202º050

º120100

−∠=∠∠

==

−∠=−∠−∠

==

−∠=∠−∠

==

AN

ANAN

CN

CNCN

BN

BNBN

ZV

V

ZV

V

ZV

V

.633250200283.250º60)5(100

.200º0.)2(100

.283º45)4(100

.01.150433253)(

.433º180º240)5)(100(

.0120

º120)2)(100(

.283º45)4(100º45

º0)4)(100(

WWcWbWaNWCosICosIVc

WCosICosIVb

WCosICosIVa

VARVARVARVARVISenVAR

VARSenISenIVc

SenISenIVb

VARSenSenISenIVa

Vcn

CNANAN

Vbn

BNANAN

Van

ANANAN

CBA

Vcn

CNCNCN

Vbn

BNBNBN

Van

ANANAN

=++=++==−=∠=

==∠=

==∠=

−=−=++=

−=−∠−∠

=∠=

=−∠−∠

=∠=

==−∠∠

=∠=

φ

.6210.288033300

.2880)20()12(

.020º020,

.3330)13()16(

.5.413º3015,

2

2

2

2

WPPPPP

WP

jZRIP

WP

jZRIP

T

CABCABT

CA

CACACACA

BC

BCBCBCBC

=++=++=

==

+=∠===

==

+=∠===

7.3. “MEDICIÓN DE VACosΦ , VASenΦ ”, VA EN SISTEMAS DE CA

Medidor a de Var.

El medidor de a de voltamperios reactivos lee:

]⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

AA

ABAAAB I

VSenIV

'' φ



El medidor de a de voltamperios reactivos lee:

]⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

CC

CBCCCB I

VSenIV

'' φ

Vatímetros y cargas en estrella con cuatro conductores

Un vatímetro es un aparato de medida con una bobina de tensión y otra de intensidad,

dispuestas de forma que la desviación proporcional a VACosφ , en dondeφ es el ángulo entre

la tensión y la intensidad. Una carga conectada en estrella, con cuatro conductores, necesita

tres vatímetros dispuestos en cada línea como muestra la figura 14-22(a).

El diagrama fasorial de la figura 14-22(b) supone que la corriente está retrasada en la

fase A y adelantada en las fases B, C con desfases Aφ , Bφ y Cφ respectivamente. Las lecturas del

vatímetro son, entonces,

.AN

AANA ACosIVW ∠= , .BN

BBNB BCosIVW ∠= .CN

CCNC CCosIVW ∠= (14)

En dondeANA∠ representa el ángulo entre el ., AAN eIV El vatímetro .AW lee la potencia en

la fase A y los BW y .CW en las fases By C. La potencia total es:

.CBAT WWWP ++=

Método de los dos vatímetros.

La potencia total en una carga trifásica con tres conductores viene dada por la suma de

las lecturas de dos vatímetros conectados en dos líneas cualesquiera con sus bobinas de

tensión conectadas a la tercera línea, como se representa en la fig. 14-23. las lecturas de los

dos aparatos son:

.;;CBAB V

CCCB

V

AAAB ICosIVWcyICosIVWa ∠=∠= (16)



Aplicando las leyes de Kirchoff a los nudos Ay C de la carga en triangulo se obtiene:

.;.; CBCAACAB IIIceIIIa +=+= (17)

º120440º120440

º0440

−∠=∠=∠=

CA

BC

AB

VVV

Sustituyendo las expresiones (17) de .AI e .CI en las ecuaciones (16) se obtienen:

.

.CBCB

ABAB

V

CBCBCB

V

CACACB

V

ACACAB

V

ABABAB

ICosIVICosIVWc

ICosIVICosIVWa

∠+∠=

∠+∠=(18)

Los términosABV

ABABAB ICosIV ∠ yCBV

CBCBCB ICosIV ∠ se reconocen inmediatamente, ya que

son las potencias en las fases AB y CB de la carga. Los otros 2 términos contienen ACAC IV y

CACB IV que pueden escribirse ahora como ACL IV , ya que tanto ABV como CBV son tensiones

compuestas entre líneas ABV e CBV .Para identificar estos dos términos se construye el diagrama

fasorial de la figura 14-24, en que se ha supuesto que la corriente ACI retrasa respecto ACV de

un ánguloφ .

El diagrama deduce,

Φ+=∠ º60ABAC y Φ−=∠ º60CB

CA (19)

Sumando los dos términos restantes de (18) y sustituyendo (60º+φ )y(60º-φ ) en lugar

de ABAC∠ y CB

CA∠ respectivamente,

)º60()º60( φφ −++ CosIVCosIV ACLACL (20)

Como Cos(x± y)=cos x cos y± sen x sen y, se puede escribir:

)º60cosº60cosº60cosº60( φφφφ sensensensenCosIV ACL ++− (21)



O bien φCosIV ACL (22)

Que es la potencia en la fase restante, esto es, en AC. Por tanto, hemos demostrado

que dos vatímetros dan la potencial total en una carga conectada en triangulo. La aplicación del

método de los dos vatímetros al caso de una carga conectada en estrella se deja como ejercicio

al alumno.

Método de los dos vatímetros aplicado a cargas equilibradas.

Por ser la aplicación del método de los dos vatímetros a cargas equilibradas

considerando la conexión en estrella de tres impedancia iguales representada en la figura.14-

25(a). En la Fig.(b) se ha dibujado el diagrama fasorial para la secuencia ABC en la hipótesis de

corriente en retrasoφ .

Con los vatímetros en las líneas A y C sus lecturas son:

ABV

AAAB ICosIVWa ∠= y CBV

CCCB ICosIVWc ∠=

Del diagrama fasorial,

Φ+=∠ º30ABA y Φ−=∠ º30CB

C



Bibliografía

• ADMINISTER Joseph A., KERCHNER Y CORCOVAN, Circuitos Eléctricos

análisis de circuitos 2

Engineering