Trabajo

De

Circuitos Elctricos II

TEMA: Anlisis transitorios de circuitos

Nombre: Kevin Coyago Barrera

Profesor: Ing. Freddy Campoverde

Ciclo: IIIAo

2014-2015Anlisis Transitorios de Circuitos

A.-) Respuesta natural de un circuito RL y RCEs importante hacer notar que tanto el resistor, el capacitor y el inductor son elementos pasivos, la diferencia entre ellos es su comportamiento ya que el resistor disipa la potencia que recibe en forma de calor, mientras que el inductor y el capacitor almacenan la energa temporalmente en forma de corriente y voltaje respectivamente. La ecuacin que rige la relacin de voltaje y corriente en el resistor es la ley de Ohm; para el capacitor y el inductor es:

Todo circuito que contenga un solo elemento reactivo, sea una bobina o un capacitor, es un circuito de primer orden, es decir su comportamiento se representa mediante una ecuacin diferencial de orden uno. La solucin de la ecuacin diferencial representa la respuesta del circuito y se le conoce de las siguientes maneras:Respuesta Natural.- Puesto que depende de la naturaleza del circuito, es decir, de las interconexiones, de los elementos que conforman al circuito, delos valores de los elementos pasivos.Respuesta Transitoria.- Debido a que la energa no puede almacenarse porsiempre, los resistores asociados con los inductores y capacitores a la larga convertirn toda la energa almacenada en calor.Respuesta Forzada.- Se refiere al efecto que tienen una o ms fuentes independientes sobre los inductores y capacitores de un circuito.Respuesta Completa.- Consiste en la suma de la respuesta forzada y la respuesta natural.El circuito RLConsiderando que en el circuito que se presenta a continuacin el inductor cuenta con un almacenamiento inicial de carga, se desea determinar una ecuacin que represente la respuesta natural del circuito:

Al aplicar la LVK se obtiene una ecuacin diferencial de primer orden:

Dicha ecuacin puede resolverse separando diferenciales, es decir, se procede como sigue:

Para resolver esta ecuacinse integran ambosmiembros, con loque seobtiene:

El valor de la constante de integracin K, se obtiene aplicando a la ltima expresin las condiciones iniciales, es decir: ent = 0 se tiene i = Io por lo tanto ln Io= KEste valor se sustituye en la ecuacin:

La respuesta del circuito RL est dada por:

El circuito RCLa respuesta del circuito RC es anloga al circuito RL, solo que el almacenamiento de energa se da en forma de voltaje:

La ecuacin que define la respuesta del circuito RC est dada por:

B.-) Respuesta Escaln de un circuito RL y RC.La respuesta de escaln corresponde a las corrientes y voltajes que resultan de cambios abruptos en las fuentes de cc que se conectan al circuito (conexin de las fuentes).

RESPUESTA ESCALON DE CIRCUTO RLEl circuito de primer orden se ve en la figura 1. Suponemos que la bobina est descargada y que en el instante t=0, el conmutador se coloca en la posicin A. Por el circuito pasar una intensidad i de tal forma que se cumple:

La solucin de la ecuacin diferencial anteriores nos da para la tensin y voltaje, las siguientes expresiones:

El cociente =L/R es la constante de tiempo del circuito. Se puede afirmar que cinco constantes de tiempo despus de que ha ocurrido la conmutacin, las corrientes y voltajes han alcanzado sus valores finales.RESPUESTA ESCALON DE CIRCUITO RCEn circuito de la figura 3 suponemos que el condensador est inicialmente descargado y luego el conmutador se coloca en la posicin A.

Como ya sabemos, aplicando la LKM a la malla de la izquierda, tenemos:

Si resolvemos esta ecuacin, y teniendo en cuenta que para t=0 se tiene Vc=0, se obtienen para el voltaje en el condensador y para la corriente en la malla, las siguientes expresiones:

La constante de tiempo del circuito es =RC. El condensador tericamente tarda un tiempo infinito en cargarse, pero en la prctica se supone cargado cuando han transcurrido 5 . Con esta aproximacin se comete un error del 0,7%.C.-) Respuesta natural y forzada de un circuito RL y RCLa respuesta naturalObservemos primero que en un circuito sin fuente. Q debe ser cero y la solucin consiste en la respuesta natural.

Podemos ver que la constante P nunca es negativa en un circuito slo con resistencias, inductores y capacitores; su valor depende nada ms de los elementos pasivos del circuito y de su interconexin en el circuito. Por lo tanto, la respuesta natural se aproxima a cero cuando el tiempo aumenta sin lmite. ste debe ser el caso del circuito RL simple debido a que la energa inicial se disipa de modo gradual en la resistencia, en forma de calor La respuesta forzadaA continuacin podemos ver que el primer trmino de la ecuacin depende de la forma funcional de Q(t), la funcin forzada. Siempre que tenemos un circuito en que la respuesta natural se desvanece conforme t se vuelve infinita.Por ahora decidimos considerar slo los problemas que implican la aplicacin repentina de fuentes de cd, asi que Q(t) ser entonces una constante para todos los alores del tiempo. Si deseamos, podemos evaluar ahora la integral en la ecuacin para obtener la respuesta forzada.

Y la respuesta completa

EJEMPLO:Determinar i(t) para todos los valores de tiempo en el circuito el cual tiene 2 fuentes de voltajes DC V1=50v y V2=50u(t)V una resistencia de 2 ohm y un inductor de 3H

Recordamos que

Por lo tanto la respuesta natural es una exponencial negativa como se vio antes.

Debido a que la funcin forzada es una fuente de cd, la respuesta forzada ser una corriente constante. El inductor acta como un cortocircuito en la cd, de modo que

Por lo tanto,

Para calcular K, debemos establecer el valor inicial de la corriente del inductor. Antes de t=0, la corriente es igual a 25 A y no puede cambiar en forma instantnea, en consecuencia,

Por consiguiente

Completamos la solucin al establecer tambin

O al escribir una expresin simple vlida para cualquier t,

D.-) Respuesta natural de un circuito RLC en paralelo y en serie.Circuito en paralelo sin fuente

SOLUCION:

Caso Sobre amortiguado

EJEMPLO Determine Vc(t)despus de t=0 en el circuito de la figura

Amortiguado Crtico

Elegiremos R, aumentando su valor hasta que se obtenga el amortiguamiento crtico, y luego dejamos a wo inalterada. El valor necesario de R es , L sigue siendo 7 H y C se mantienen en 1/42 F. As, tenemos.

Forma de una respuesta crticamente amortiguada

Circuitos RLC en serie sin fuente

El circuito RLC en serie es el dual del circuito RLC en paralelo, as que este simple hecho resulta suficiente para hacer que su anlisis sea un asunto trivial. La figura la presenta al circuito en serie. La ecuacin integrodiferencial fundamental es:

En trminos del circuito que se presenta en la figura, la respuesta sobre amortiguada es:

La forma de la respuesta crticamente amortiguada es

Y la respuesta subamortiguada se escribira como

EjemploDado el circuito RLC en serie de la figura en el que L=1H, R=2kohm, C=1/401microfaradios, i(0)=2mA y Vc(0)=2v, encuentre y dibuje i(t).

E.-) Respuesta completa de un circuito RLC.La parte fcilLa respuesta completa de un sistema de segundo orden consiste en una respuesta forzada:

Que es una contante de la excitacin cd, y una respuesta natural:

En consecuencia:

Suponemos que s1, s2 y Vf ya se determinaron en el circuito y en las funciones forzadas que se indican; queda por conocer A, B, v y t, de modo que la sustitucin del valor conocido de ve en t=0+ nos das entonces una sola ecuacin que relaciona A y B.

Esta es la parte fcilLa otra parteDesafortunadamente, se requiere otra relacin entre A y B la cual se obtiene casi siempre al tomar la derivada de la respuesta:

Y al sustituir el valor conocido de dv/dt en t=0+. As tenemos dos ecuaciones que relacionan A y B y que se resolveran de manera simultnea para evaluar las dos constantes.

EJEMPLO Hay 3 elementos pasivos en el circuito de la figura adems la tensin y la corriente se definen para cada uno de ellos. Determine los valores de estas seis cantidades tanto en t=0- como en t=0+.