Analysis of Variance (ANOVA)

CH 13 變異數分析

What is ANOVA? 檢定 3 個或 3 個以上的母體平均數是否相等的統計檢

定

檢定多個母體平均數是否相同

比較大二、大三、大四學生實習滿意度是否一樣 ? ( 來自相同的 population)

比較文學院，理學院，管學院學生對吉堡餐廳滿意度是否一樣 ?

不同學院的學生對吉堡餐廳的滿意度是否有顯著差異 ?

不同職業的消費者對連鎖咖啡廳的忠誠度是否有顯著差異 ?

factor variable

不同學院的學生對吉堡餐廳的滿意度是否有顯著差異 ?– Factor 因子

• Measurement scale 須為 nominal• Factor 有不同的 level (or treatment)• For example: 學院 (factor) ； 文，理，工，管，農 (5

level)

– Variable 變數 : 須為 ordinal, interval, or ratio

不同職業的消費者對連鎖咖啡廳的忠誠度是否有顯著差異 ?

factor variable

Different ANOVA Models

Oneway ANOVA 單因子變異數分析– 變異數分析中只包含一個因子 (factor)

Factorial ANOVA 二因子變異數分析– 變異數分析中包含二個因子 (factors)

• 學院 & 年級之交互作用對滿意度的影響

ANOVA 假設

Ho: 1=2=3 or H o: j = k

H1: at least one population mean is different from the others.

H1: 不全等，至少有二個不同， i 不全等 H 1: j ≠ k

Model underlying oneway ANOVA

ijjij eY

the grand mean for everyone in the sample

ij the treatment or group effect

The model indicates that any person's score, , iscomprised of three components

ijY

ijerandom error for a person, i.e., theextent to which a person differs fromthe rest of the group

朱老師用三種不同教學方法教統計 學生統計分數是否因教法不同而有顯著差異

– Factor: 教學方式 ( 互動，死背，實驗 )– Variable: 分數

小明的分數概念模型

– 小明分數 =( 大四 + 大三 + 大二 ) + 教學方式差異 + 隨機個人差異

– 55=62 + (-3) + (-4)

系統性差異 隨機誤差

系統性誤差 (p.318)– 因不同的 treatment 條件 (ex: 教學方式 ) 之差異而

導致分數間有系統的誤差– Ex: 溫度 對 考試成績的影響 (p.317 example)

隨機誤差 (p.318)– 隨機所發生的差異，分數變化存屬隨機

• 個體差異• 實驗技術誤差

變異比 (F)=

當系統誤差 =0 時，變異比為 1 ( 表示各組之間的分數無顯著差異 )

當系統誤差 >0 時，變異比 >1 ( 表示各組之間的分數有顯著差異 )

隨機誤差隨機誤差系統誤差

組間變異

組內變異

F=

Variance between sample means

Variance expected by chance

group 1 group 2 group 3

difference between groups

difference within group

組間變異

組內變異

組間變異 between-treatment variance– 系統差異 + 隨機誤差– 因 treatment不同而造成的差異

組內變異 within-treatment variance– 隨機誤差 ( 個人差異或實驗技術誤差 )

Calculating the F statistic which is the test statistic in ANOVA

w

b

ww

bb

MS

MS

dfSS

dfSSF

/

/

where SS represents sums of squares, df represents degrees of freedom, MS representsmean squares

Mean Square均方

N

XXSStotal

2

SSSSwithin

N

G

n

TSSbetween

22

Treatment total Grand

total

withinbetweentotal SSSSSS

dfbetween=k-1; k=# of treatment (level)

dfwithin =N-k; N=total sample size

dftotal =N-1

withinbetweentotal dfdfdf

F table 如何查 Fc? Fdfb,dfw , =0.05

dfb , 在上方 dfw , 在左方

F distribution 特質 F ratio 恆為正值

– Why? 不為左右兩側對稱之分佈 不再區分單雙尾

dfbetween ( 分子 )

dfwithin

( 分母 )

ResultsDescriptives

TYPOS

3 7.0000 2.0000

3 2.0000 1.0000

3 4.0000 1.0000

9 4.3333 2.5000

1.00

2.00

3.00

Total

N MeanStd.

Deviation

ANOVA

TYPOS

38.000 2 19.000 9.500 .014

12.000 6 2.000

50.000 8

Between Groups

Within Groups

Total

Sum ofSquares df Mean Square F Sig.

ANOVA

TYPOS

38.000 2 19.000 9.500 .014

12.000 6 2.000

50.000 8

Between Groups

Within Groups

Total

Sum ofSquares df Mean Square F Sig.