1Pgina 27 El paso de

NMEROS REALES

REFLEXIONA Y RESUELVE

ZaQ

Di cules de las siguientes ecuaciones se pueden resolver en Z y para cules es necesario el conjunto de los nmeros racionales, Q. a) 5x = 60 d) 6x 2 = 10 Se pueden resolver en Hay que recurrir a b) 7x = 22 e) 3x 3 = 1 c) 2x + 1 = 15 f) x + 7 = 6

Z a), c), d) y f).

Q para resolver b) y e).

El paso de

Qab) 5x 2 15 = 0 e) 7x 2 7x = 0 c) x 2 3x 4 = 0 f) 2x 2 + 3x = 0

Resuelve, ahora, las siguientes ecuaciones: a) x 2 9 = 0 d) 2x 2 5x + 1 = 0 a) x 2 9 = 0 8 x = 3 b) 5x 2 15 = 0 8 x 2 = 3 8 x = 3 c) x 2 3x 4 = 0 8 x = 3 9 + 16 35 = = 2 2 5 17 5 25 8 = = 4 4

4 1 5 + 17 4 5 17 4

d) 2x 2 5x + 1 = 0 8 x =

e) 7x 2 7x = 0 8 x 2 x = 0 8 x = 0, x = 1 f) 2x 2 + 3x = 0 8 x (2x + 3) = 0 8 x = 0, x = 3 2

Unidad 1. Nmeros reales

1

Nmeros irracionales

Demuestra que 2 es irracional. Para ello, supn que no lo es: 2 = al cuadrado y llega a una contradiccin.

p . Eleva q

Supongamos que 2 no es irracional. Entonces, se podra poner en forma de fraccin:

2 =

p p2 8 2 = 2 8 p 2 = 2q 2 q q

En p 2, el factor 2 est un nmero par de veces (es decir, en la descomposicin de factores primos de p 2, el exponente de 2 es par). Lo mismo ocurre con q 2. Por tanto, en 2q 2 el exponente de 2 es un nmero impar. De ser as, no se podra cumplir la igualdad. Suponiendo que 2 = p llegamos a una contradiccin: q

p 2 = 2q 2, pero p 2 no puede ser igual a 2q 2. Por tanto, 2 no puede ponerse en forma de fraccin. No es racional.

Obtn el valor de F teniendo en cuenta que un rectngulo de dimensiones F : 1 es semejante al rectngulo que resulta de suprimirle un cuadrado. 1 F1

F

F 1 = 8 F(F 1) = 1 8 F2 F 1 = 0 1 F1 1 1 + 4 = 2 1 + 5 2 1 5 (negativo) 2

F=

Como F ha de ser positivo, la nica solucin vlida es F =

5 + 12

.

2

Unidad 1. Nmeros reales

UNIDAD

1

Pgina 281. Sita los siguientes nmeros en el diagrama:

3 ; 5; 2; 4,5; 7, 3; 6 ; 64 ; 27 ; 8 Q

)

3

3

Z

N

33 6

Q4,5

) 7,3

Z23

N

8

27 = 3

5 64 = 8

2. Sita los nmeros del ejercicio anterior en los siguientes casilleros. Cada nmero puede estar en ms de una casilla.NATURALES, ENTEROS,

N Q

Z

RACIONALES, REALES,

NO REALES

Aade un nmero ms (de tu cosecha) en cada casilla.NATURALES, ENTEROS,

N Q

5; 64 5; 2; 64; 273

Z

3

RACIONALES, REALES,

5; 2; 4,5; 7, 3; 27; 64

)

3; 5; 2; 4,5; 7,3; 6; 64; 27 8

)

3

3

NO REALES

Unidad 1. Nmeros reales

3

Pgina 293. Representa los siguientes conjuntos: a) (3, 1) b) [4, + @) 1 0 3 6 9 c) (3, 9] d) ( @, 0) 0 4 0

a) c)0

3

b) d)

4. Representa los siguientes conjuntos: a) { x / 2 x < 5} c) ( @, 0) (3, +@) b) [2, 5) (5, 7] d) ( @, 1) (1, + @) 5 3

a) c)

2

0 0

b)

2

0 0 1

5

7

d)

Pgina 301. Halla los siguientes valores absolutos: a) |11| d) |0| g) |1 2 | a) 11 d) 0 f) |3 2 | = 3 2 h) | 2 3 | = 3 2 b) || e) |3 | h) |2 3 | b) c) | 5| f) |3 2| i) |7 50 | c) 5 e) |3 | = 3 g) |1 2 | = 2 1 i) |7 50 | = 50 7

2. Averigua para qu valores de x se cumplen las siguientes relaciones: a) |x| = 5 d) |x 4| 2 a) 5 y 5 c) 6 y 2 e) x < 2 o x > 6; (@, 2) (6, +@) b) |x| 5 e) |x 4| > 2 c) |x 4| = 2 f ) |x + 4| > 5

b) 5 x 5; [5, 5] d) 2 x 6; [2, 6] f) x < 9 o x > 1; (@, 9) (1, +@)

4

Unidad 1. Nmeros reales

UNIDAD

1

Pgina 311. Simplifica: a) x 9 d) 8 a) x 9 = x 3 c) y 10 = y2 e) 64 = 26 = 22 = 49 9 3 3 5 12 4 6 12

b) x 8 e) 6412 3 9

12

c) y 10 f) 81 b) x 8 = x 2 d) 8 = 23 = 2 f ) 81 = 34 = 38 8 6 6 8

5

2. Cul es mayor, 31 o 13 ? Reducimos a ndice comn:4

4

3

31 = 29 791 ; Por tanto, es mayor 31 .4

12

3

13 = 28 561

12

3. Reduce a ndice comn: a) a 5 y a 7 a) a 5 = a 15 ; a 7 = a 1412 36 18 36 12 18

b) 513

3

y 132 6509 9

9

b) 51 = 132651 ; 132650

4. Simplifica: a)

( )8 k 8 a) ( k ) = k8

b) x 10 b) x 10 = x 215 3

5 3

c) (x )6 c) x 6 = x6

3

Pgina 325. Reduce: a) 2 215 15 15 3 5 3 6 4 4 3

b) 9 3

c) 2 2 2

8

d) 8 4

a) 25 23 = 28 b) 34 3 = 35 c) 24 22 2 = 27 d) 83 44 = (23)3 (22)4 = 217 = 2 2512 12 12 12 12 8 8 8 8 6 6 6

Unidad 1. Nmeros reales

5

6. Simplifica:5

a)

x 3 x

b) x3 = x5

a b 3 a bb)

6

c)

a3 3 a2

4

d)

a3 b5 c a b3 c3

a)

6 3

6

1 = x 2 x2

6

6 a3 b3 = a b a2 b2

c)

a3 = a4

6 1 = a 1 a

d)

4 5

a3 b5 c = a2 b6 c6

4

a 1 = c b c5

4

a bc

7. Reduce: a)

32 3

b)

9 3 3

c)

16 2

4

d

729 3

a)

10

6 34 = 3 33

b)

6

6 3 36 = 34 = 32 32

c)

10 10 28 = 23 = 8 25

d)

4

4 36 = 34 = 3 32

8. Suma y simplifica: a) 5 x + 3 x + 2 x b) 9 2 + 25 2 2 c) 18 + 50 2 8 d) 27 50 + 12 + 8 e) 50a 18a a) 10 x b) 3 2 + 5 2 2 = 7 2 c) 18 + 50 2 8 = 2 32 + 2 52 2 23 = = 3 2 + 5 2 2 2 2 = 5 2 d) 33 2 52 + 22 3 + 23 = 3 3 5 2 + 2 3 + 2 2 = 5 3 3 2 e) 2 52 a 2 32 a = 5 2a 3 2a = 2 2a

6

Unidad 1. Nmeros reales

UNIDAD

1

Pgina 339. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas: a) 5 33

7

b) 7 3

41

c)

3 23

d)

a34

e)

50 2533

f)

1813

g)

h)

4023

i)

365 = 5 7 7 7 3 3 3 2 = 3 = 3 2 4 223

j)

100

a)

b)

c)

7 7 = 21 = 3 3 3

d)

1 1 a = = 3 a2 a a a 3 = 3 = 3 3 2 = 10 5 2

e)

50

2 52

f)

4 4 4 = = = 4 2 = 2 2 2 6 3 18 2 3 3 2 2 2 2 5 = 3 = 2 5 25 53 3

g)

h)

1 2 1 = 3 = 3 = 3 40 23 5 2 53 3

3

52 = 2510 103 3

3

i)

3 3 3 2 3 3 6 = 3 = = = 2 32 23 6 36 23 3

623

j)

2 2 2 2 5 2 10 10 = 3 = = = 3 2 52 25 10 5 100 2

Unidad 1. Nmeros reales

7

10. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas: a) 1

2 + 1a1

b)

x+y

x + y

c)

a 11 2 3 5 1

x + y d) x y

e)

f) 1

3 2 + 2 3 3 2 2 3 1

g)

2

+

1

2 1

+

2 + 1

h)

x y

+

1

x + y

2 1 2 1 a) = = 2 1 ( 2 + 1) ( 2 1) 21b) (x + y) ( x y ) (x + y) ( x y ) x x x y + y x y y = = xy xy ( x + y ) ( x y )

(a 1) ( a + 1) (a 1) ( a + 1) c) = = a + 1 ( a 1) ( a + 1) (a 1) ( x + y) ( x + y) x + y + 2 xy d) = xy ( x y ) ( x y ) e) 2 3 + 5 2 3 + 5 2 3 + 5 = = 12 5 7 (2 3 5 ) (2 3 + 5 )

2 (3 2 + 2 3 ) 18 + 12 + 12 6 30 + 12 6 f) = = = 5 + 2 6 18 12 6 6 g) 5 3 2 + 2 + 1 + 2 1 = 2 + 2 2 = 2 1 1 2 2

h)

x + y + x yxy

=

2 x xy

Pgina 361. Halla: a) log2 16 e) log4 64 i ) log5 0,04 b) log2 0,25 f ) log7 49 j ) log6 c) log9 1 g) ln e 4 d) log10 0,1 h) ln e 1/4

( )1 216Unidad 1. Nmeros reales

8

UNIDAD

1

a) log2 16 = log2 24 = 4 c) log9 1 = 0 e) log4 64 = log4 43 = 3 g) ln e4 = 4 i) log5 0,04 = log5 52 = 2

b) log2 0,25 = log2 22 = 2 d) log10 0,1 = log10 101 = 1 f) log7 49 = log7 72 = 2 h) ln e1/4 = j) log6 1 4

( )

1 = log6 63 = 3 216

2. Halla la parte entera de: a) log2 60 d) log10 0,084 b) log5 700 e) log9 60 c) log10 43 000 f ) ln e

a) 25 = 32 ; 26 = 64 ; 32 < 60 < 64 5 < log2 60 < 6 8 log2 60 = 5,

b) 54 = 625 ; 55 = 3125 ; 625 < 700 < 3125 4 < log5 700 < 5 8 log5 700 = 4,

c) 104 = 10 000 ; 105 = 100 000 ; 10 000 < 43 000 < 100 000 4 < log10 43 000 < 5 8 log10 43 000 = 4,

d) 102 = 0,01 ; 101 = 0,1 ; 0,01 < 0,084 < 0,1 2 < log10 0,084 < 1 8 log10 0,084 = 1,

e) 91 = 9 ; 92 = 81 ; 9 < 60 < 81 1 < log9 60 < 2 8 f) ln e = 1 3. Aplica la propiedad 8 para obtener los siguientes logaritmos con la ayuda de la calculadora: a) log2 1 500 c) log100 200 b) log5 200 d) log100 40 log9 60 = 1,

En cada caso, comprueba el resultado utilizando la potenciacin. a) log 1500 = 10,55; 210,55 1500 log 2 log 200 = 1,15; 1001,15 200 log 100 b) log 200 = 3,29; 53,29 200 log 5 log 40 = 0,80; 1000,80 40 log 100

c)

d)

Unidad 1. Nmeros reales

9

4. Sabiendo que log5 A = 1,8 y log5 B = 2,4, calcula: a) log5

3

A2 25B

b) log5

5 A3 B2

a) log5

3

A2 1 1 0,8 = [2 log5 A log5 25 log5 B] = [2 1,8 2 2,4] = 0,27 25B 3 3 3

b) log5

5 A3 3 3 = log5 5 + log5 A 2 log5 B = 1 + 1,8 2 2,4 = 1 + 2,7 4,8 = 1,1 2 2 B2

5. Averigua la relacin que hay entre x e y, sabiendo que se verifica: ln y = 2x ln 5 ln y = 2x ln 5 8 ln y = ln e2x ln 52x ln y = ln e 5 2x 8 y= e 5

Pgina 381. Di una cota del error absoluto y otra del error relativo en las siguientes mediciones: a) La superficie de esta casa es de 96,4 m2. b) Por la gripe se han perdido 37 millones de horas de trabajo. c) Juana gana 19 000 al ao. a) |Error absoluto| < 0,05 m2 |Error relativo| < 0,05 < 0,00052 = 0,052% 96,4 0,5 < 0,014 = 1,4% 37

b) |Error absoluto| < 0,5 millones de horas = 500 000 horas |Error relativo|