annuitet og payback kjeld tyllesen peØ, cbs

Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS 1

Annuitet og Payback

Kjeld Tyllesen

PEØ, CBS

Erhvervsøkonomi / Managerial Economics


Når vi ønsker en økonomisk beregning af et foreliggende projekt (Investering eller Finansiering)

har vi følgende 4 modeller:

1. Kapitalværdi2. Den effektive forrentning3. Annuitetsmetoden

4. Payback-metoden

De 3 første metoder hænger teoretisk og logisk sammen

og vil derfor med hver sine beslutningsregler komme frem til det samme resultat


Nr. 4. Payback-metoden er en selvstændig ”tommelfinger”-model, som teoretisk set ikke hænger sammen med 1 – 3,

og derfor også kan komme til andre resultater

som altså ikke er teoretisk korrekte

Men nemme – og praktiske at anvende

Nr. 1 og 2 er der redegjort for i særskilte film

Så her gennemgås de 2 andre økonomiske beregningsmodeller, altså # 3 og 4 ovenfor


Først ser vi på

Fælles betingelser

for Investerings-/Finansieringsforslaget - uanset metode


Det er en grundlæggende antagelse i denne fremstilling, at der rent regneteknisk ikke er nogen forskel på Investering og Finansiering

I begge tilfælde er der tale om betalingsstrømme med periodisk inddeling

KapitalværdiN = Værdi på et givet tidspunkt, N af alle projektets ind- og udbetalinger

”Projektet” kan være såvel et Investeringsforslag som et forslag til Finansieringsform

Så det grundlæggende udgangspunkt er altså en betalingsstrøm


Tid

Hvis der er tale om en Investering, ser likviditetsforløbet således ud:

Og hvis der er tale om en Finansieringsform, ser likviditetsforløbet således ud:

Tid

Dette er den ”rene” form med én ud-/indbetaling

Der kan selvsagt forekomme forløb, hvor den indledende betaling (+/-) deles over flere perioder, ligesom der i de efterfølgende perioder også kan forekomme ”modsatte” (+/-) forløb


Dernæst ser vi på

3. Annuitetsmetoden

af Projektet/Finansieringsforslaget

I første omgang ser vi på en Investering


Så nu vil vi i stedet rent beregningsmæssigt konvertere projektets likviditetsforløb til én annuitet (altså det samme beløb hver periode), løbende over projektets levetid

Først udregner vi projektets K0-værdi, således

Tid

* (1+r)-1

* (1+r)-3

* (1+r)-4

* (1+r)-5

* (1+r)-6

* (1+r)-2

1 2 3 4 N-1 N0

N

K0 = U0 + ∑ It * (1 + r)-t

t=1

der også kan skrives således:

K0


Tid1 2 3 4 N-1 N0

1 2 3 4 N-1 N0

Nu er alle projektets likviditetsstrømme altså blevet samlet/ konverteret til ét beløb, K0, således

som herefter med den gældende kalkulationsrente r konverteres til en annuitet, AN, over det samme antal, N, perioder

AN = K0 * r * (1 + r)N = K0 * r . (1 + r)N – 1 1 – (1 + r)-N

der kan beregnes således:

Tid

(2 måder at skrive det samme på)

K0

K0


Hvis AN er positiv, er det et projekt, der giver en Effektiv forrentning, der er højere end kalkulationsrenten, og det er derfor fordelagtigt at gå ind i

Men hvis AN er positiv, er K0 også positiv, da

AN = K0 * r * (1 + r)N = K0 * r . (1 + r)N – 1 1 – (1 + r)-N

og de røde faktorer ovenfor altid antager positive værdier

Og så kan man lige så godt bare betragte K0. Er den positiv, er AN det også

Er K0 negativ, er AN det også. Og omvendt!!


Og det er noget mere enkelt. Man skal alligevel først finde K0 for at finde frem til AN

Og så kan man lige så godt stoppe ved K0 – hvorfor regne mere?

Jo, for det kan jo tænkes, at man til vurdering af projektet får opgivet indbetalingerne som en annuitet – altså at en gennemførelse af projektet vil resultere i en konstant periodevis indbetaling

Og at man så i tillæg hertil får opgivet investeringssummen, scrapværdien og en række udbetalinger til vedligehold etc.

I så fald kan sidstnævnte omregnes til en annuitet med samme løbetid som indbetalingerne, og de 2 annuiteter for indbetalinger og udbetalinger kan så sammenlignes direkte og sammenholdes til én periodisk netto-betaling


Et eksempel, Investering:

N Betaling0 -100

1 40

2 30

3 50

4 25

5 20

6 25

Vi ser på følgende investeringsprojekt og først på K0 = f(r).

r K0 0% 90,00 2% 78,58 4% 68,21 6% 58,79 8% 50,19

10% 42,33 12% 35,12 14% 28,50 16% 22,40 18% 16,77 20% 11,57

K0 som funktion af r

Ikke retliniet

Effektiv forrentning Her er N = 6


r K0 0% 90,00 2% 78,58 4% 68,21 6% 58,79 8% 50,19

10% 42,33 12% 35,12 14% 28,50 16% 22,40 18% 16,77 20% 11,57

K0 og A6 som funktion af r=> A6

15,0014,0313,0111,9610,86

9,728,547,336,084,803,48

Så med A6 = f(K0) og K0 = f(r) => A6 = f(r)

Ikke retliniet

0% 5% 10% 15% 20% 25%0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00

f(x) = − 48.5315114465544 x² − 47.9476176358787 x + 15R² = 0.999999200409186

A6 som funktion af r

r

Kr.

Og nu omregnes K0-værdierne for stigende r så til Annuiteter med N = 6


Nu indekserer vi både K0 og A6 med værdien ved 0% = 100

Så er det nemmere at sammenligne udviklingen i K0 og A6 som funktion af r

Og så ser vi noget sjovt (humor er forskellig……)

De 2 indekser opnår BEGGE indeks-værdien 0 ved 25,07 % pr. periode

Fordi projektets effektive forrentning = 25,07% (fundet tidligere), og så bliver K0 = 0 (rent definitorisk)

Og når K0 = 0, bliver A6 = 0 (selvfølgelig)

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%-20

0

20

40

60

80

100

120

f(x) = − 304.275549929761 x² − 322.531266947953 x + 100R² = 0.999997574536597f(x) = 824.340900080607 x² − 605.678758595201 x + 100R² = 0.999865317149193

K0 og A6 indekseret, 0% = 100

K0 Polynomial (K0 )ANPolynomial (AN)

r

Indeks


Annuitetsmetoden kan også anvendes ved vurdering af Finansieringsforslag

”Al ting foran” vil blive ”omvendt”

Alle metoder, principper og kriterier vil være de samme

Men man skal selvfølgelig lige huske, at modsat at investere, gælder det selvfølgelig nu om at slippe så billigt som muligt, altså med den laveste annuitet

Det er ikke så ofte, at Annuitetsmetoden bruges på Finansieringsforslag, men det kan altså fint lade sig gøre – hvis metoden passer til problemstilling og foreliggende data


Dernæst ser vi på

4. Payback-metoden

af Investering-/Finansieringsforslaget

I første omgang ser vi på en Investering


Denne model er på det teoretiske niveau ikke sammenhængende med de 3 foregående modeller

Payback-modellen er fokuseret på likviditet og ikke på forrentning

Tid

Det forudsættes, at investeringsprojektets likviditetsforløb ser således ud:


Tid

Eller - hvis Finansiering - sådan

Desuden forudsættes endvidere – hvis ikke andet er oplyst – at nettoindbetalingerne er jævnt fordelt indenfor den enkelte periode

Altså én indbetaling (hvis Finansiering) eller udbetaling (hvis Investering) på tidspunkt 0 og derpå en række modsatrettede netto likviditetsstrømme

For projektet akkumuleres netto-likviditeten fra hver periode for stigende N, fra tidspunkt 0 og fremad


Når den akkumulerede likviditet skifter fortegn, registreres det antal perioder, som er gået siden projektets start

Dette antal perioder er analysens resultat

Analysens resultat sammenholdes så med dette på forhånd fastsatte antal perioder, og projektets accept besluttes her ud fra

På forhånd har Investor fastsat det maksimale antal perioder til tilbagebetaling af investeringssummen, som kan accepteres for at gennemføre projektet

Hvis projektet er tilbagebetalt hurtigere end den fastsatte maksimumsgrænse, accepteres det og gennemføres. Ellers forkastes projektet


Hvis (når) det nøjagtige tidspunkt for fortegnsskift for den akkumulerede sum dernæst skal fastlægges, anvender man proportional-regning indenfor den enkelte periode

Ved fastsættelsen af den tilladte tidsmæssige maksimums-grænse lades alle netto-indbetalinger (+/-) efter dette tidspunkt altså helt ude af betragtning, når projektets bonitet skal vurderes

Dette skyldes en erkendelse af, at usikkerheden om budgetterede fremtidige betalinger stiger med den tidsmæssige afstand dertil,

Tid

Max.

altså jo længere fremme betalingerne ligger i tid, jo mere usikre er de m.h.t. beløb og tidsmæssig placering – og udeladelsen heraf er dermed et udtryk for risiko ved projektet (r = ∞%)


4.1. Først den statiske model:

Modellen anvendes i 2 versioner:

1. Den statiske model

2. Den dynamiske model

Her indregnes alle nettobetalingerne i ovenstående beregninger med sit nominelle beløb, altså ”face value”

Nettobetalingerne pr. periode akkumuleres og tidspunktet for fortegnsskift – altså når initialinvesteringen er indvundet - bestemmes


Et eksempel for en investering:

N Betaling0 -1001 402 303 504 255 206 25

∑-100

-60-3020456590

Den akkumulerede likviditet skifter fortegn efter 2 + 30/(30 + 20) =

2,6 periode = 2 år, 7 mdr., 1 uge

- altså almindelig proportional-/brøkregning


4.2. Dernæst den dynamiske model

For projektet akkumuleres K0 for de enkelte perioder - for N gående fra 0 og fremad

Når den akkumulerede sum af K0, jf. ovenfor, skifter fortegn, registreres det antal perioder, som er gået siden projektets start

Dette antal perioder er analysens resultat

Først beregnes K0-værdien af nettoindbetalingen i den enkelte periode, N

Således for den enkelte periode: K0 = NettobetalingN * (1 + r)-N

Også her har investor på forhånd fastsat det maksimale antal perioder til tilbagebetaling af investeringssummen, som kan accepteres for at gennemføre projektet


Antallet af perioder anvendes så efterfølgende til at vurdere projektets fordelagtighed, alene eller i sammenligning med andre projekter

Hvis (når) det nøjagtige tidspunkt for fortegnsskift for den akkumulerede sum skal fastlægges, anvender man proportional-regning indenfor den enkelte periode

Teoretisk set er det jo faktisk forkert at anvende proportionalregning med (1 + r)-N-beregninger som grundlag

Men det er praktisk, almindeligt – og anvendeligt

Men den fastsatte tidsgrænse bliver en anden og længere end ved brug af den statiske metode


N Betaling0 -1001 402 303 504 255 206 25

Et eksempel for den samme investering som foran:

Akkum.-100,00

-63,64-38,84

-1,2815,8028,2242,33

Den akkumulerede likviditet skifter fortegn efter 3 + 1,28/(1,28 + 15,8) =

3,075 periode = 3 år, 3 uger

K0

-100,0036,3624,7937,5717,0812,4214,11

r = 10%

- altså også denne gang almindelig proportional-/brøkregning


Opsummering for fortegnsskift:

Den statiske metode:

Den dynamiske metode: 3,075 periode = 3 år, 3 uger

2,6 periode = 2 år, 7 mdr., 1 uge

Konklusion: Det tager længere tid at nå et fortegnsskift for den akkumulerede likviditet, når man anvender den dynamiske frem for den statiske metode


Payback-metoden kan også anvendes ved vurdering af Finansieringsforslag

”Al ting foran” blive ”omvendt”

Alle metoder, principper og kriterier være de samme

Men man skal selvfølgelig også her lige huske, at modsat at investere, gælder det selvfølgelig nu om at slippe så billigt som muligt, altså med den længste tilbagebetalingstid

Det er ikke så ofte, at Payback-metoden bruges på Finansieringsforslag, men det kan altså fint lade sig gøre – hvis metoden passer til problemstilling og foreliggende data

Ligesom ved anvendelse af Annuitetsmetoden vil


”Tak for nu!”

Så nu mangler jeg blot at sige

annuitet og payback kjeld tyllesen peØ, cbs

Documents