automa pilha slides

7/17/2019 Automa Pilha Slides

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u

7.1. Autómatos de pilha não-determinísticos (NPDA)

7.2. Autómatos de pilha e linguagens livres de contexto

7.3. Autómatos de pilha determinísticos e linguagenslivres de contexto determinísticas.

© ADC/TC/Cap.7/2009-10/LEI/DEIFCTUC301



q0 Paa

q1

CONTROLO lb

c

b

c

a0101

# #

estado seguinte

movida

car cter e entra a

estado actual

© ADC/TC/Cap.7/2009-10/LEI/DEIFCTUC 302

s m o o no opo a p a



7.1. Autómatos de pilha não-determinísticos

Definição 7.1. NPDA

(NPDA- Nondeterministic PushDown Accepter )

M = (Q , , , , q0 , z 0 , F )

: conjunto finito de estados internos da unidade de controlo : o alfabeto de entrada

: Q ( { }) subconjuntos finitos de Qx * é a

função de transição,q0 Q : estado inicial da unidade de controlo

z 0 : símbolo de inicialização da pilha


: conjunto de estados finais (aceitadores).



Notas

uma transição pode ter como carácter de entrada , sendoneste caso uma transi ão-

a definição de transição exige um símbolo no topo da pilha;se a pilha estiver vazia, as movidas serão inibidas

suas movidas, elas devem ter um número finito de

ossibilidades.

a de uma movida resulta a escrita de uma cadeia b

c

no topo da pilha: abc é escrita




“ ”

“ pop” - apagar um carácter

substituição de um carácter por outro

inicialização com qualquer símbolo de ;normalmente com o carácter especial #




transição

símbolo de entrada novo estadoestado actual

(q0 , a , 0) = { (q1 , 10) }

símbolo actual no to o “ ”da pilha pilha




Transições Operações sobre a a pilha Significado

1. (q0 , a, # ) = { (q1 , 0# ) } push acrescenta 0 à

pilha com #. q0, , = q1, pop apaga

3. (q1, b, 0) = { (q1, 1) } substituição substitui 0 por 1

4. (q0, b, 1) = { (q1, 1) } nenhuma não altera

5. (q1, , 0) = { (q2, ) } pop apaga 0sem consumir entrada

6. (q1, , 0) = { (q2, 10) } push acrescenta 1sem consumir entrada




(q1 , a, b) = {(q2 , cd ), (q3 , )}

uando o autómato está no estado se a arecer um a na cadeiade entrada, então acontecerá uma de duas coisas :

- a unidade de controlo passa ao estado q2- substitui b pela cadeia cd no topo da pilha (fica com mais

ou

- a unidade de controlo assa ao estado- na pilha substitui b por , isto é, apaga b do topo da pilha

(que fica assim com menos um carácter).




Exemplo 2 NPDA

= =

= {a, b} , , , , ,

(q0 , , # ) = {(q3 ,)}= , ,

z 0= #

(q1 , a , 1 ) = {(q1 , 11)}

b 1 =

F= {q3}

(q2 , b , 1 ) = {(q2 , )}

(q2 , , # ) = {(q3 , )}

não é uma função total.Se o autómato cair num estado para o qual não está definido, nunca mais

de lá sai, estando por isso morto.




ª = 1 , , 1 ,

por cada a que aparece acrescenta um 1 à pilha.

2ª : (q2 , b, 1 ) = {(q2 , )}

por cada b que aparece nestas circunstâncias, apaga um 1a p a, a que que apenas o s m o o n c a .

1 2 aparece o primeiro b.




uan o at nge q3




O estado q3 é alcançado quando o NPDA lê uma cadeia de

L = {an bn : n 0} {a}.

o e-se a rmar, por ana og a com o que acon ece nos ,que o NPDA aceita esta linguagem.




Descrição instantânea de um NPDA

Completamente definida pelo tripleto

, w, u

q : estado actual do autómato. w : parte ainda não lida da cadeia de entrada.

,esquerda (convenção).




Uma movida | de uma descrição de base para outra

só é possível se existir a transição

a b =




mov as com um n mero ar r r o e passos

indica que a movida se refere ao autómato M .




Linguagem aceite por um NPDA , L ( M )

Definição 7.2. Aceitação por um estado final

M = (Q , , , , q0 , z 0 , F )

L ( M ) = { w * : (q0 , w , z 0) M ( p , , u), p F, u * }

É o conjunto de todas as cadeias capazes de colocarem oautómato num estado final (aceitador) no fim da leitura dacadeia. O conteúdo da pilha, u, é irrelevante para esta definição.




e n ç o . . ce aç o por p a vaz a

= z F

L ( M ) = { w * : (q0 , w , z 0) M ( q , , ), para algum q Q}

o conjunto de todas as cadeias capazes de colocarem oautómato com a pilha vazia (depois de lidas completamente) e

.




s uas e n ções são equ va entes:

Se existe um NPDA ue aceita uma lin ua em L por um estado final, então existe um NPDA

.

... e vice-versa

Ver Hopcroft e Coll. (p. 230-236)




Exemplo 3

Qual o NPDA que aceita

= w a, b * : na(w) = nb(w)

É necessário contar o número de a’ s e b’s, usando a pilha. A ordem dos a e b

não interessa neste caso.

algoritmo:

define-se um símbolo ara contar o número de a’s or exem lo o 0 sempre que aparece um a acrescenta-se um 0 à pilha (push),

sempre que aparece um b, apaga-se um zero da pilha (pop),quan o n o ouver ma s zeros, res an o apenas o s m o o e n c a zaç oda pilha, e aparecer um b, acrescenta-se um 1 à pilha (push),

uando o to o da ilha for um 1 e a arecer um a, a a a-se esse 1 o .




Teremos assim as seguintes transições:

(q0, , # ) = {(q f , # )}

(q0, a, # ) = {(q0 , 0# )}

b # = 1#

(q0, a, 0) = {(q0 , 00)}

(q0, b, 0) = {(q0 ,

)}

(q0, a, 1) = {(q0 , )}

(q0, b, 1) = {(q0 , 11)}

M = ({q0 , q }, {a,b}, {#, 0, 1}, , q0 , #, {q })




O não-determinismo no autómato

A transição com na entrada introduz não-determinismo:

(q0, , # ) = {(q f , # )}

q0, a, = q0 ,

,

duas coisas:

o au ma o rans a para o es a o q f sem consum ro a da entrada (transição - )

o autómato consome o carácter de entrada,escreve 0 na pilha e mantém-se em q0.




Grafo do PDA

A etiqueta de cada aresta é da forma (notação de Linz edo JFLAP):

a 1 01Pilha

q0 q1

0

1

Estando o autómato no estado q0, se lê a e se a pilha estivercom 1 no to o o autómato

passa ao estado q1,

faz o “pop” da pilha (apaga 1)

e depois o “push” e 01 ( esceve o 1 seguido do zero,


topo à esquerda, 0)



Grafo do PDA

A etiqueta de cada aresta é da forma (notação de Taylore do Deus Ex Máquina):

a 1 01 Pilha q0 q1

1

Estando o autómato no estado q0, se lê a e se a pilha estiver,

passa ao estado q1,

faz o “pop” da pilha (apaga 1)

e de ois o “ ush” de 0 e 1 escreve 0 se uido de 1


topo à direita, 1)



a # # 0 a, # ; 0#Grafo do PDA

b, # ; # 12

3

b, # ; 1# ( a verde notação JFLAP)

q0

q f

, # ; #

a, 0 ; 0 0

b, 0 ; b, 1 ; 1 15

6

7

(Taylor, p.538)

a, 1 ;( a azul notação DEM)

1. (q0, , # ) = {(q f , # )}

2. a # = 0#

5. (q0, b, 0) = {(q0 , )}

=

3. (q0, b, # ) = {(q0 , 1# )}

=

. 0, , 0 ,

7. (q0, b, 1) = {(q0 , 11)}


. 0, , 0 ,



aabbabba

produz as seguintes movidas:

(q0 , aabbabba, #) | (q0, abbabba, 0#) | (q0, bbabba, 00#)

0, , 0, , 0, ,

| (q0, ba, #) | (q0, a, 1#) | (q0, , #) | (q f , #)

e portanto é aceite.

Este exemplo vem implementado no Deus Ex Máquina , directoria de exemplos de PDA,


. . . , .



Desenhar o grafo do NPDA da linguagem (Taylor, 541).

L = a n b m : 0 n < m , m 2

a 0 0 0 b 0 b # #

b, # ; #

q1 q f

,a, ;q0 b, 0 ;

Este problema está implementado no Deus Ex Máquina – “ ”


. . .



. . ut matos e p a e nguagenslivres de contexto

Para toda a linguagem livre de contexto existe um NPDA que aaceita. É mais fácil de demonstrar para gramáticas na forma

normalizada da Greibach , em que todas as produções são daforma , , .




7.2.1. NPDA’s para gramáticas livres de contexto

o NPDA implementa a derivação pela extrema-esquerda de

qualquer cadeia.

as variáveis da parte direita da forma sentencial colocam-se na

pilha.

a parte esquerda da forma sentencial, composta pelos símbolos

terminais é idêntica à entrada lida.

começa-se colocando o símbolo inicial na pilha.

para simular A a x (forma normal de Greibach)

- coloca-se A no topo da pilha

- -

- a variável na pilha é removida e substituída por x




a a

#

x

#




xemp oPro ectar um NPDA ue aceite a lin ua em erada ela ramática

S aSbb | a

transformar a ramática na forma de Greibach

S aSA | a

bB

B b

O autómato correspondente terá 3 estados {q0 , q1 , q2} sendo q2=q .




1º colocar o símbolo inicial S na pilha:

(q0 , , # ) = { (q1 , S# )}.

S

2º simular a produção S aSA, #

simular a produção S a, a

su s u n o na p a por

(q1, a, S ) = { (q1 , SA), (q1 , )} A




3º simular a produção A bB b b

(q1, b, A) = { (q1 , B)}

4º simular a produção B b

A

#

B

#

(q1, b, B) = { (q1 , )}#

5º completar a derivação quando aparece # no topo da pilha

(q1, , # ) = { (q f , # )}.




S aSA | a

S aSbb | a A bB, b.

a, S ; SAa, S ;

q1 q , # ; #

q0

, # ; S#

b, A ; Bb, B ; (Notação JFLAP)

-




Seja a CFG em forma normal de Greibach

S aA | aB 1.1-1.2.

A aAB | aBB 2.1.-2.2

B b 3.1

= n n




er vaç o pe a extrema esquer a e aaaa

S aA de 1.1 aaAB (de 2.1) aaaABB (de 2.1) aaaaBBBB (de 2.2) aaaabBBB (de 3.1)

. aaaabbbB (de 3.1)

aaaabbbb (de 3.1)




Produção Movida Grafo

Carregar S (q0 , , # ) = { (q1 , S# )}

q1q0 , # ; S# NotaçãoJFAP

S aA (q1 , a, S) = { (q1 , A)} q1 a, S ; A

S

aB

(q1 , a, S) = { (q1 , B)} a, S ; Bq1

A

aAB (q1 , a, A) = { (q1 , AB)}a, A ; AB

q1 NotaçãoJFLAP

A aBB (q1 , a, A) = { (q1 , BB)} a, A ; BB

q1

B b (q1 , b, B) = { (q1 , )}

b, B ; 1


1 , , f , q f q1 , ;



S aA | aB

A aAB | aBB

a, S ; Ba, S ; A

q1 q f

, ;

q0

, ;

a, A ; BBa, B ;

(Notação JFLAP) 3 estados paraa, A ; AB qualquer gramáticade Greibach


L (G) = { a n b n : n 1 }



Teorema 7.1

Para ual uer lin ua em L livre de contexto existe um NPDAque a aceita, i.e, existe um M tal que

=

,

normal de Greibach para L.

contrói-se uma NPDA para simular as derivações pelaextrema-esquerda dessa gramática.

A forma de Greibach é apenas para facilitar o desenvolvimento.

O teorema a lica-se a toda a CFG.




Qual o número mínimo de estados de um NPDA, para uma

linguagem definida por uma gramática de Greibach ?- no exemplo obtiveram-se três ;

- o estado q0 pode ser eliminado (fica não-determinístico);

- passa a ser ace e

a, S ; Ba S A

ste resu ta o

geral: paraqualquer CFL

q1q f

, , # ; S#

com ,existe um NPDA com dois

a, A ; BBa, B ;

, ,três estados.

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339

a, ; (Notação JFLAP)



Se uisermos evitar a introdu ão do , ode-se utilizar um

símbolo especial na pilha, $, para inicializar a gramática: , λ , # = ,S$

E agora começa-se com a gramática de Greibach.

a, S ; Ba, S ; A

#

para qualquer CFLsem λ existe um

q1q f

, # ; S$ NPDA com dois

estados,

a, A ; BBa, B ;

© ADC/TC/Cap.7/2009-10/LEI/DEIFCTUC

340

, o aç o



’. . .

O inverso do teorema anterior também é verdadeiro: dado um NPDA, existe para ele uma CFG.

,que a gramática simule as movidas do NPDA.

Teorema 7.2.

Se uma linguagem L é aceite por algum NPDA M, então L é

uma lin ua em livre de contexto

Dem: Linz ,189




. . ut matos e p a eterm n st cos elinguagens livres de contexto determinísticas

Um autómato de pilha determinístico – DPDA –

Deterministic PushDown Accepter – nunca tem escolhaossível nas suas movidas.




Definição 7.4. DPDA

Um PDA M= (Q, , , , q0 , z 0 , F ) diz-se determinístico se for um

para todo o q Q, a { }, b :

1. Dado um símbolo de entrada e um símbolo no topo da pilha, só é possível uma movida, no máximo.

(q, a, b) contém no máximo um elemento (uma só movida possível)

2. uanto é ossível uma transi ão- ara al uma confi ura ão nãoexiste nenhuma alternativa que consuma caracteres deentrada para essa mesma configuração.

se (q, , b) não é vazia, então (q, c, b) deve ser vazia para todo o c




DFA DPDA

não admite transições - admite transições -

é uma função total não é necessariamenteuma função total

há equivalência entre osdeterminísticos e os não

não há equivalência entreos determinísticos e os não




*

a

a

b

b

1q f q0

a b

q1q

a, # ; #

a, ;

q0

b, # ; #

b ,# ;#

a, # ; #

b, #;# DPDA


(a p a não é usa a)



De n ção 7.5. L nguagem FL determ n st ca

- (DCFL) se e só se existir um autómato de pilha

determinístico DPDA M que a aceite ,

=




Exemplo = a : n:

= 0 , 1 , 2 , , , , , , 0 , , f

(q0

, a, # ) = {(q1

, 1# )}, (inicia a contagem dos a’s) (q1 , a, 1 ) = {(q1 , 11)}, (conta os a’s )

q1 , , = q2 , , e ec a o pr me ro (q2 , b, 1 ) = {(q2 , )}, (conta os b’s)

= º ’ = º ’

aceita L. Lo o L é CFL determinística.




= a n b n : n 1

b ,1 ; a, 1 ; 11

b, 1 ; a, # ; 1# , # ; q1 q2

(notação JFLAP)




= a n b n : n 0

b ,1 ; a, 1 ; 11

b, 1 ; a, # ; 1# , # ; q1 q2

(notaçãoJFLAP




= an n

: n 0

b ,1 ; a, 1 ; 11

q1q f

, ;a, # ; 1#q2

, # ;




7.4. Gramáticas para linguagens livres decontexto determinísticas

pode-se fazer o seu parsing facilmente (gramáticas- s,

gramáticas LL (Left scan, Leftmost derivations) gramáticas LR (Left scan, Rightmost derivations)

em Compiladores (3º ano)

ver a mp emen aç o no




An Introduction to Formal Languages and Automata, Peter Linz, 3rdEd., Jones and Bartelett Computer Science, 2001

o e s o omputat on an orma anguages, . regory ay or,Oxford University Press, 1998.

, ,

Ed., John Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey Ullman,Addison Wesley, 2001.

Elements for the Theory of Computation, Harry Lewis and ChristosPapadimitriou, 2nd Ed., Prentice Hall, 1998.

Introduction th the Theory of Computation, Michael Sipser, PWSPublishing Co, 1997.


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