az intelligencia számításelméleti kérdései

Az intelligencia számításelméleti kérdései

Bolgár Bence

Budapesti Muszaki és Gazdaságtudományi EgyetemMéréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék

2019. szeptember 25.

Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései

Kérdések

Az emberi agy „csak” egy számítógép?

Pontosabban:

Kiszámítható-e, algoritmizálható-e az emberiagy/gondolkodás?

Szimulálható-e hatékonyan, az eroforrás-korlátokat isfigyelembe véve?

Fizikailag (hogyan) realizálható egy gondolkodó gép?

Kell-e hozzá „új” fizika?

Egyáltalán, mit csinálhat az agy?

Bayesi valószínuségelmélet, gépi tanulás, formális logika, statisz-tikai termodinamika, információelmélet, kvantummechanika. . .


A matematika axiomatizálása


A matematika axiomatizálása

XIX. század vége: axiomatikus halmazelmélet (Cantor,Dedekind).

XX. század eleje: naiv algoritmus-fogalom (Hilbert mindentmegoldó algoritmusa).

1931: Gödel nemteljességi tételei (problémák azönhivatkozó struktúrákkal).

1930, 1936: a modern algoritmus-fogalom megszületése(Church, Turing).

Most már beszélhetünk kiszámíthatóságról.


Kiszámíthatóság, eldönthetoség

f : A→ B kiszámítható⇐⇒ ∀x ∈ A-ra f(x) ∈ B kiszámíthatóvalamilyen algoritmussal.

Eldöntési probléma: B = {igaz,hamis}.Példa eldöntheto problémára: SAT, azaz propozicionálislogikai formulák kielégíthetosége.

Félig eldöntheto problémára: megállási probléma.

Eldönthetetlen problémára: kontinuum-hipotézis(ZFC-ben).

Mi az algoritmusok matematikai modellje?


Turing-gépek


Formális definíció

Definíció (formális nyelv)

Ábécé: szimbólumok véges halmaza (pl. A = {a1, a2, . . . }).

Legyen A∗ az A elemeibol képzett véges sorozatok halmaza(pl. ε üres szó is megengedett).

Formális nyelv: A∗ egy részhalmaza.

Definíció (Turing-gép)

A Turing-gép olyan M = (Q,Σ,Γ, δ, q0, qi, qn) rendszer, ahol

Q az állapotok véges, nemüres halmaza,

q0, qi, qn ∈ Q a kezdo, elfogadó és elutasító állapot,

Σ és Γ a bemeno jelek és szalagszimbólumok ábécéje úgy,hogy Σ ⊆ Γ és Γ \Σ tartalmaz egy speciális t szimbólumot,

δ : (Q\{qi, qn})×Γ→ Q×Γ×{R, L, S} az átmenetfüggvény.


Turing-gép által felismert nyelvDefiníció (konfiguráció)

M konfigurációja egy olyan uqv szó, ahol q ∈ Q és u, v ∈ Γ∗ úgy,hogy v 6= ε. M összes konfigurációjának halmaza: CM.

Definíció (konfiguráció-átmenet)

M konfiguráció-átmenete egy `⊆ CM × CM reláció, amelyre hauqav, a ∈ Γ, u, v ∈ Γ∗ egy konfiguráció, akkor

δ(q, a) = (r, b, S)⇐⇒ uqav ` urbv, VAGY

δ(q, a) = (r, b,R)⇐⇒ uqav ` ubrv′, ahol ha v 6= ε akkorv = v′ és v′ = t egyébként, VAGY

δ(q, a) = (r, b, L)⇐⇒ uqav ` u′rcbv, ahol ha u 6= ε akkoru′c = u és u′ = ε valamint c = t egyébként.

Definíció (M által felismert nyelv)

L(M) azon u ∈ Σ∗ szavak halmaza, amelyekre q0ut `∗ xqiyvalamely x, y ∈ Γ∗, y 6= ε szavakra (`∗ az ` tranzitív lezártja).


Church–Turing-tézis

It was stated . . . that „a function is effectively calculableif its values can be found by some purely mechanical pro-cess”. We may take this literally, understanding that by apurely mechanical process one which could be carried outby a machine. The development . . . leads to . . . an identi-fication of computability with effective calculability.

Alan Turing, 1938


Univerzalitás, fizikai univerzalitás

„It is possible to invent a single machine which can be us-ed to compute any computable sequence. If this machineU is supplied with a tape on the beginning of which iswritten the S.D. ["standard description" of an action tab-le] of some computing machine M, then U will computethe same sequence as M.”

Alan Turing, 1936

A cellular automaton is physically universal if it can imp-lement any transformation on any finite region by confi-guring the surrounding cells and letting the CA evolve.

Luke Schaeffer, 2016


Életjáték

1 Any live cell with fewer than two live neighbours dies, as ifby underpopulation.

2 Any live cell with two or three live neighbours lives on tothe next generation.

3 Any live cell with more than three live neighbours dies, as ifby overpopulation.

4 Any dead cell with exactly three live neighbours becomes alive cell, as if by reproduction.

Az életjáték Turing-teljes.


110-es szabály


„Véletlenül” Turing-teljes rendszerek

C++ sablonok (template metaprogramming)

TypeScript típusrendszer

X86 MMU

Minecraft

Dwarf Fortress

Pokemon Yellow

Magic: The Gathering

. . .


Nyelvosztályok

Definíció (Rekurzívan felsorolható nyelv (RE))

Egy L ⊆ Σ∗ nyelv rekurzívan felsorolható, ha L = L(M) valamelyM-re. Más szóval: félig eldöntheto.

Definíció (Rekurzív nyelv (R))

Egy L ⊆ Σ∗ nyelv rekurzív, ha rekurzívan felsorolható és mindenbemeneten megáll. Más szóval: eldöntheto.

Van olyan nyelv, amely nem rekurzívan felsorolható(eldönthetetlen)?


Cantor diagonális módszere (vázlat)

Az egyszeruség kedvéért tegyük fel, hogy Σ = {0,1}, és mindenMi Turing-gép muködését tudjuk kódolni egy wi ∈ Σ∗ szóval,érvénytelen kódolás esetén azonnal qn-be megyünk.

Definíció (Diagonális nyelv)

Ld = {wi : i ≥ 1,wi /∈ L(Mi)}.

TételLd /∈ RE.

w1 w2 w3 · · ·M1 1 0 1M2 0 0 1M3 1 0 1...

. . .

(1 =∈,0 =/∈). Mit mond meg az átló komplementere?Bolgár Bence Az intelligencia számításelméleti kérdései

Az univerzális nyelv

Definíció (univerzális nyelv)

Lu = {〈M,w〉 : w ∈ L(M)} („elfogadó gép–bemenet párok”).

TételLu ∈ RE.

Világos: ha az U gép az Lu-t ismeri fel, az pontosan azt jelenti,hogy M elfogadja w-t (U „leszimulálja” M muködését w-n).

TételLu /∈ R.

Ha lenne Lu-t eldönto gép, azzal el tudnánk dönteni Ld-t is.


A Penrose–Lucas érvelés

Következmény: nincs Lu-t eldönto gép. Azaz nem létezik olyan al-goritmus, amely minden esetben meg tudja mondani, hogy adottbemenetre adott gép megáll-e (∼ Gödel nemteljességi tételei).

Tegyük fel, hogy van egy Mn gépünk, amely néhány számításrólmeg tudja mondani, hogy megáll-e.

w1 w2 w3 · · · wn

M1 1 � �M2 0 0 1M3 1 0 �...

. . .Mn ?

Mi lehet ott?


A Penrose–Lucas érvelés

w1 w2 w3 · · · wn

M1 1 � �M2 0 0 1M3 1 0 �...

. . .Mn �

Azaz MI tudjuk, hogy a gép nem fog megállni, de o nem!(különben nem �-t adna)

Jobbak volnánk bármilyen algoritmusnál? (új fizika kell?netán kvantumgravitáció? mikrotubulusok?)

„Rejtett” feltételezés: konzisztencia! (ebben az esetbentényleg bizonyíthatnánk, hogy a számítás nem áll meg, amiellentmondásra vezetne a fentiek alapján)


Orch-OR (Penrose & Hameroff)


Hiperszámítás

Kvantumszámítógépek (Google „Quantum supremacy”)

Malament–Hogarth gépek

. . .


Turing-teszt


„Helyettesítheto”-e az agy?

A Turing-teszt véges ideje alatt véges mennyiséguinformáció áramlik.

Építsünk egy gigantikus (de véges, így kiszámítható)lookup-táblát az összes lehetséges beszélgetésre adottpontig!

Történet Válaszh1 f(h1)h2 f(h2)...

...Lehet-e jobbat csinálni egy exponenciális méretulookup-táblánál?

Ha nem: az emberi agy nem szimulálható a gyakorlatban.

Nem is a kiszámíthatóság, sokkal inkább a komplexitás fontos!


Komplexitáselmélet

DefinícióLegyen f : N→ N, valamint jelölje TIME(f(n)) azon nyelvekhalmazát, amelyek O(f(n)) idoigényu Turing-géppeleldönthetok. Hasonlóképpen jelölje NTIME(f(n)) azon nyelvekhalmazát, amelyek O(f(n)) idoigényu nemdeterminisztikusTuring-géppel eldönthetok.

Definíció

P =⋃k≥1

TIME(nk),

NP =⋃k≥1

NTIME(nk).

Utóbbira egy alternatív definíció: azon nyelvek halmaza,amelyek polinom idoben ellenorizhetok.


P vs NP

P-beli problémák:LNKOLineáris programozásGráf-elérhetoségMinimális feszítofaLCS

NP-beli problémák:SATSudokuUtazó ügynökPrím-faktorizációHátizsák-pakolás

P = NP? P 6= NP?


Hogyan muködik a matematikus?

I turned my attention to the study of some arithmeticalquestions apparently without much success and without asuspicion of any connection with my preceding researches.Disgusted with my failure, I went to spend a few days atthe seaside and thought of something else. One morning,walking on the bluff, the idea came to me, with just thesame characteristics of brevity, suddenness and immediatecertainty, that the arithmetic transformations of indefini-te ternary quadratic forms were identical with those ofnon-Euclidian geometry.

Henri Poincaré, 1904


Matematikai kreativitás és gondolkodás

Tanulmányok:

The Foundations of Science: Science and Hypothesis, theValue of Science, Science and Method. (Poincaré)

The Mathematician’s Mind: The Psychology of Invention inthe Mathematical Field. (Hadamard)

A gondolkodás iskolája. (Pólya)

Automatizálható-e a matematikai (vagy egyéb) kreativitás?

Ha P = NP: bárki, aki ellenorizni tud bizonyításokat,megalkotni is tudja? (Hilbert álma).

Ha P 6= NP: jó heurisztikák szükségessége (Gödel: létezik-eadott hossznál rövidebb bizonyítás?).


Feladat

Példa (7. osztályos versenyfeladat)

Bizonyítsuk be, hogy bármely n természetes számnak van olyantöbbszöröse, amely felírható csak 0 és 1 számjegyekkel!

Megoldás

Vegyük az 1, 11, 111, 1111 stb. számok n-nel vett osztásimaradékait. Mivel ebbol legfeljebb n-féle lehet, biztos van köztükkét olyan, amely egyforma maradékot ad. Ezek különbsége csak 0és 1 számjegyeket tartalmaz, valamint osztható n-nel.


Rezolúció

Charlie Firpo a következoket állítja:

Ha alszom és nem kello tapintattal ébresztenek fel, elsírommagam. (A ∧ ¬T ∧ E)→ SA sírással felizgatom magam, és izgalmamban fel kellkelnem. (S→ I) ∧ (I→ K)

Ha felkelek, bal lábbal kelek. K → BHozzuk klóz formára az állításokat, majd bizonyítsuk be nullad-rendu rezolúcióval, hogy ha Charlie nem bal lábbal ébredt, akkorvagy tapintattal ébresztették, vagy nem aludt! (¬B∧E)→ (¬A∨T)


Rezolúció

Alkatrészek:1 Rezolúciós szabály: (P ∨ Q), (R ∨ ¬Q) P ∨ R.2 Keresési stratégia.

Tétel (Haken, 1985.)

Kelloen nagy n-re a skatulyaelv bármely rezolúciós bizonyítása2O(n) hosszú.

Bizonyítás.

Lásd P. Pudlák (1999): Proofs as games.


NP-beli problémák polinom-idoben?

Képes lehet az ember ilyesmire?

Láttunk példákat... de általánosságban? (pl.prímfaktorizáció).

„Tradicionális” MI: jó heurisztikák keresése.

Gondolkodik-e a gép? Van-e „elméje”?


Searle kínai szobája


Computationalism

In philosophy, the computational theory of mind refersto a family of views that hold that the human mind isan information processing system and that cognition andconsciousness together are a form of computation.

Wikipedia, tegnap este

Implementálhat-e tetszoleges rendszer tetszolegesszámítást?

„Gyenge” visszavezetések

Computational Universe (Schmidhuber, Wolfram és mégsokan mások)


Források

Roger Penrose (1989). A császár új elméje. AkadémiaiKiadó, Budapest, 1993.

Hameroff–Penrose (1996). Orchestrated reduction ofquantum coherence in brain microtubules: A model forconsciousness. Mathematics and Computers in SimulationVol. 40, Issue 3–4, pp. 453-480.

Etesi–Németi (2002). Non-Turing computations viaMalament-Hogarth space-times. International Journal ofTheoretical Physics Vol. 41, Issue 2, pp. 341–370.

Scott Aaronson (2011). Why Philosophers Should CareAbout Computational Complexity.

Gazdag Zsolt (2015). Bevezetés a számításelméletbe.

Luke Schaeffer (2015). A Physically Universal QuantumCellular Automaton. Automata 2015: 46-58.


az intelligencia számításelméleti kérdései

Documents