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10109051010942-1

單元1 直線方程式 1

1

年度 92年 93年 94年 95年 96年 97年 98年 99年 100 年 101 年

題數 4 6 4 5 6 4 3 3 5 4

考情分析

一、利用距離公式，求平面上兩點間的距離

二、利用中點公式，求平行四邊形的第四頂點坐標

三、利用分點公式，求內、外分點坐標、重心坐標

四、一次、二次函數求值計算及函數圖形的判別

五、求二次函數圖形的頂點坐標、最大值、最小值

六、求出直線的斜角與斜率

七、 A、 B、C三點共線（無法構成一個三角形），則AB BC

m m=� �

八、利用點斜式、兩點式、斜截式、截距式求出直線的方程式

九、求平分三角形面積之直線方程式

十、求垂直或平行於已知直線的直線方程式

十一、求點到直線之距離、兩平行線間的距離

1. 象限與坐標的正負：

直角坐標平面上，水平坐標軸 x與垂直坐標軸 y，將坐標平面分成四個象限。

(1) x軸與 y軸的交點為O，稱為直角坐標平面的原點。

(2) 坐標軸上的點不屬於任一象限。

x軸 ( ){ },0 |a a= ∈� ， y軸 ( ){ }0, |b b= ∈� 。

若 0a > ， 0b > ，則點 ( ),P a b 位於第一象限

若 0a > ， 0b < ，則點 ( ),P a b 位於第四象限

2. 點與坐標：

坐標平面上，任意一點P所對應的「數對」為 ( ),a b ，稱為P點的

「坐標」。

(1) a是P點的「 x坐標（橫坐標）」。

(2) b是P點的「 y坐標（縱坐標）」。

1 直線方程式

直角坐標 1-1

焦點一直角坐標

例

說明

QRcode影音解題

蘋果系列行動裝置無法觀看

統測趨勢分析>> 歷年統測試題數

單元1 直線方程式

2

平面上任意一點都有一個（且恰有一個）有序「數對」與其對應；反之，每一個有序數

對，也都可以在平面上找到與之對應的點，即每一個數對代表平面上的一個點。

這樣就得到一個「平面直角坐標系」或稱「直角坐標系」。

已知 ( ),Q a b 位於第二象限，則點 ( ),P ab a b−

在第幾象限？

∵ ( ),Q a b 位於第二象限

⇒ 0

0

a

b

<⎧⎨

>⎩ ⇒

0

0

ab

a b

<⎧⎨

− <⎩

∴ 點 ( ),P ab a b− 在第三象限內

若點 ( ),A a b a+ 在第二象限，則點 2,

aP b

b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

在

第幾象限？

∵ ( ),A a b a+ 在第二象限

⇒ 0

0

a b

a

+ <⎧⎨

>⎩ ⇒ 0b < ⇒

2

0

0

a

b

b

⎧<⎪

⎨⎪ >⎩

∴ 點 2,

aP b

b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

在第二象限內

1. 實數線上，兩點的距離：

在數線上，兩點 ( )P a 、 ( )Q b ，則PQ a b b a= − = − 。

2. 坐標平面上，兩點的距離：

在坐標平面上，相異兩點 ( )1 1 1,P x y 、 ( )2 2 2

,P x y ，則1P與

2P 兩點間距離為

( ) ( )2 2

1 2 2 1 2 1PP x x y y= − + − 。

如圖所示，由畢氏定理可得

2 2 2

1 2 2 1 2 1PP x x y y= − + − ⇒ ( ) ( )

2 2

1 2 2 1 2 1PP x x y y= − + −

3. 內分點坐標公式：

設 ( )1 1 1,P x y 、 ( )2 2 2

,P x y ，若 ( ),P x y 為1 2PP 之內分點 ( )1 2

P P P− − ，且1 2

: :PP PP m n= ，則

P點坐標：

1 2

1 2

nx mxx

n m

ny myy

n m

+⎧=⎪⎪ +

⎨⎛ ⎞⎜+⎪ =

⎪ +⎩

⎟⎝ ⎠

交叉相乘的和

比的和

設 ( ),P x y ，如圖，由平行線的截線段成比例性質知

1 1

2 2

x x PP m

x x nPP

−

= =

−

⇒ 1 2

nx nx mx mx− = −

⇒ ( ) 1 2n m x nx mx+ = +

⇒ 1 2 1 2

nx mx ny myx y

n m n m

+ +⎛ ⎞= =⎜ ⎟

+ +⎝ ⎠同理可得

(1) ( )2 2 2,P x y 稱為 ( )1 1 1

,P x y 、 ( ),P x y 之外分點。

(2) 解內分點或外分點之題型，只需使用內分點觀念即可解出。

(3) 其實就是在這三點之中，任給兩點坐標，求第三點坐標。

判別點所在象限

解

1

補給站

焦點二距離公式與平面直角坐標系中的分點坐標公式

補給站

解

說明

說明


1

4. 中點公式（當內分點公式中， : 1:1m n = 時）：

設 ( )1 1 1,P x y 、 ( )2 2 2

,P x y ，若 ( ),P x y 為1 2PP 之中點 ( )1 2

P P P− − ，即1 2

: 1:1PP PP = ，則

( ) 1 2 1 2, ,2 2

x x y yP x y

+ +⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

。

設 ( )1,1A 、 ( )5,4B − 為坐標平面上兩點，且

A P B− − ， : 2 :1AP PB = ，試求：

(1) P點坐標

(2) P點與原點的距離。

(1) 設 ( ),P x y

由內分點公式：

( )1 2

1 2

1 2 53

1 2

1 2 43

1 2

nx mxx

n m

ny myy

n m

⎧ + × −+= = = −⎪⎪ + +

⎨+ + ×⎪ = = =

⎪ + +⎩

∴ ( ) ( ), 3,3P x y = −

(2) ( ) ( )2 2

3 0 3 0 18 3 2PO = − − + − = =

設 A、B、C三點共線，且C介於 A、B兩點

之間， ( )1,3A 、 ( )6, 2B − 且3 2AC BC= ，試求：

(1) C點之坐標

(2) C點與原點的距離。

(1) 設 ( ),C x y

∵ 3 2AC BC= ⇒ : 2 :3AC BC =

由內分點公式：

( )

2 6 3 1 153

2 3 5

2 2 3 3 51

2 3 5

x

y

× + ×⎧= = =⎪ +⎪

⎨× − + ×⎪ = = =

⎪ +⎩

∴ ( ) ( ), 3,1C x y =

(2) ( ) ( )2 2

3 0 1 0 10CO = − + − =

平面上二點 ( )2,5A − 、 ( )4, 1B − ，C在 AB的

延長線上，且 : 5 : 2AC BC = ，試求：

(1) C點坐標

(2) 求C點與 ( )5, 1P − 的距離。

(1) 設 ( ),C x y

∵ : 5 : 2AC BC = ⇒ : 3 : 2AB BC =

由內分點公式知：

( )2 2 34

2 3

2 5 31

2 3

x

y

⎧ × − + ×=⎪⎪ +

⎨× + ×⎪− =

⎪ +⎩

⇒ 8

5

x

y

=⎧⎨

= −⎩

∴ ( ) ( ), 8, 5C x y = −

(2) ( ) ( )2 2

5 8 1 5 5CP = − + − + =

平面上三點 ( )7,4A 、 ( )4, 2B − 、 ( ),C x y 共

線，且 B 在線段 AC 上，若 3AB BC= ，試

求：

(1) C點坐標

(2) 求C點與 ( )1, 2P − 的距離。

(1) ∵ 3AB BC= ⇒ : 3 :1AB BC =

由內分點公式知：

3 1 74

3 1

3 1 42

3 1

x

y

× + ×⎧=⎪⎪ +

⎨× + ×⎪− =

⎪ +⎩

⇒ 3

4

x

y

=⎧⎨

= −⎩

∴ ( ) ( ), 3, 4C x y = −

(2) ( ) ( )2 2

1 3 2 4 2 2CP = − + − + =

求內分點坐標

解

2

解

內分點觀念不變—求外分點坐標

解

3

解


4

設平面上三點 ( )5, 4A − 、 ( ),P x y 、 ( )1,0B − ，

且 ( ),P x y 為 AB 之中點，則 ( ),P x y 與原點

( )0,0 的距離為何？

∵ P為 AB之中點

⇒ ( )( )

( )5 1 4 0

, , 2, 22 2

P x y P P⎛ ⎞+ − − +

= = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∴ ( ) ( )2 2

2 0 2 0 2 2PO = − + − − =

設平面上三點 ( )3,5A − 、 ( ),M x y 、 ( )5,9B ，

且 ( ),M x y 為 AB 之中點，則 ( ),M x y 與點

( )1,1P 的距離為何？

∵ M 為 AB之中點

⇒ ( ) ( )3 5 5 9

, , 1,72 2

M x y M M− + +⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎝ ⎠

∴ ( ) ( )2 2

1 1 7 1 36 6MP = − + − = =

若 ( )1 1,A x y 、 ( )2 2

,B x y 、 ( )3 3,C x y 、 ( )4 4

,D x y 為平行四邊形 ABCD的

四個頂點，則由平行四邊形對角線互相平分性質知M 為 AC與 BD的

共同中點 ⇒ 1 3 1 3 2 4 2 4, ,2 2 2 2

x x y y x x y y+ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

設 ( )1 1,A x y 、 ( )2 2

,B x y 、 ( )3 3,C x y 為已知平面上三點，若以

A、B、C、D四點（無限定順序）作平行四邊形，則第四

頂點 ( ),D x y 的坐標會有1D 、

2D 、

3D 三種可能，如圖所示。

設一平行四邊形 ABCD 中，已知 ( )3,4A 、

( )2,5B 、 ( )1, 2C − − ，求點 ( ),D x y 。

由平行四邊形對角線互相平分性質知：

( ) ( )3 1 4 2 2 5, ,

2 2 2 2

x y⎛ ⎞+ − + − + +⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⇒ ( )

( )

3 1 2

4 2 5

x

y

⎧ + − = +⎪⎨

+ − = +⎪⎩

⇒ 0

3

x

y

=⎧⎨

= −⎩

∴ ( ) ( ), 0, 3D x y = −

設一平行四邊形 ABCD 中，已知 ( )3,7A 、

( )2,4B 、 ( )8,5C ，求點 ( ),D x y 。

由平行四邊形對角線互相平分性質知：

3 8 7 5 2 4, ,

2 2 2 2

x y+ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇒ 3 8 2

7 5 4

x

y

+ = +⎧⎨

+ = +⎩ ⇒

9

8

x

y

=⎧⎨

=⎩

∴ ( ) ( ), 9,8D x y =

中點坐標與平面上兩點距離

解

4

解

中點公式應用

解

5

解

焦點三中點公式應用—有限定順序的平行四邊形ABCD

補給站


1

設 ( )1 1,A x y 、 ( )2 2

,B x y 、 ( )3 3,C x y ，則 ABC△ 之三中線交點（重心G）坐標為

( ) 1 2 3 1 2 3, ,3 3

x x x y y yG x y

+ + + +⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

。

(1) 三角形的重心即三邊中線的交點，且重心到頂點的距離為中線長的三分

之二，即 : 2 :1AG GM = 。

(2) 若G為 ABC△ 的重心，則 ABG△ 面積 BCG=△ 面積 ACG=△ 面積。

(3) 若D、E、F為 ABC△ 之三邊中點，則 DEF△ 的重心與 ABC△ 的

重心相同。

設 ABC△ 之三頂點為 ( )3, 1A − 、 ( )5,2B − 、

( ),C x y ，若 ABC△ 的重心為2 5,

3 3G

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠，試

求 ( ),C x y 。

∵ 重心為2 5,

3 3G

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )3 52

3 3

5 1 2

3 3

x

y

⎧ + − +=⎪⎪

⎨− + +⎪− =

⎪⎩

⇒ 4

6

x

y

=⎧⎨

= −⎩

∴ ( ) ( ), 4, 6C x y = −

設 ( )2, 2A − 、 ( )5,4B 、 ( )1,4C − ，試求：

(1) ABC△ 之重心坐標 ( )1 2,G x y

(2) BC邊上中點的坐標 ( )1 2,M x y

(3) BC邊上中線的長 AM

(1) ( )( )

1 1

2 5 1 2 4 4, ,

3 3G x y

⎛ ⎞+ + − − + += ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2,2=

(2) ( )( )

2 2

5 1 4 4, ,

2 2M x y

⎛ ⎞+ − += ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2,4=

(3) ( ) ( )2 2

2 2 2 4 6AM = − + − − =

觀念『○』與『×』觀念澄清加強

（×）1. 若點 ( ),P a b 在 y軸上，則 0b = 。 0a =

（×）2. 若 0a < ， 0b < ，則點 ( ),P a b 位於第四象限。第三象限

（○）3. 平面上相異兩點 ( )1 1 1,P x y 、 ( )2 2 2

,P x y ，則 ( ) ( )2 2

1 2 2 1 2 1PP x x y y= − + − 。

（○）4. 直線上相異三點 ( )1 1 1,P x y 、 ( )2 2 2

,P x y 、 ( ),P x y ，若 P在1 2PP 上，且

1 2: :PP PP m n= ，則 1 2

nx mx

x

n m

+=

+

， 1 2ny my

yn m

+=

+

。

（○）5. 平面上相異兩點 ( )1 1 1,P x y 、 ( )2 2 2

,P x y ，若 ( ),M x y 為1 2PP 之中點，則

1 2

2

x xx

+= ， 1 2

2

y yy

+= 。

重心公式應用

解

6

解

補給站

焦點四重心公式


6

1. 已知 ( ),P a b 在第二象限，則點 2,

bQ a b

a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

在第二象限。

★ 2. 已知0 a b< < ，則點 ( )2,P b a a ab− − 在第四象限。

3. 坐標平面上兩點 ( )3, 5P − 、 ( )5,1Q ，則

(1) PQ = 2 10 (2) PQ中點M = ( )4, 2− 。

4. 坐標平面上三點 ( )3, 2A − 、 ( )3,5B − 、 ( ),C x y ，若B為 AC的中點，則點 ( ),C x y =

( )9,12− 。

5. 一圓直徑之兩端點為 ( )4,3A − 、 ( )2,1B ，則圓心坐標為 ( )1,2− ，半徑為 10 。

★ 6. 平面上一平行四邊形 ABCD，其中 ( )2,4A 、 ( )1, 2B − − 、 ( )3, 3C − 、 ( ),D x y ，則

( ),D x y = ( )6,3 。

7. 坐標平面上三點 ( )3, 2A − − 、 ( )5,7B 、 ( ),P x y ，若P點介於 A、B兩點之間且

: 2 : 3AP BP = ，則P點坐標為1 8,

5 5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

。

★ 8. 平面上 ( )3, 6A − 、 ( )4,5B − 、 ( ),C x y ，若B點介於 A、C之間且 : 3:1AC BC = ，則C點坐標

為15 21

,2 2

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠。

9. 設 ( )1,2A 、 ( )2, 3B − − 、 ( )4, 5C − ，則 ABC△ 之重心坐標G為 ( )1, 2− 。

10. 設 ( )2,5A − 、 ( )3,1B 、 ( ),C x y 、 ( )5,3G ，若 G 為 ABC△ 之重心坐標，則 C 點坐標為

( )14,3 。

11. 設 ( )2, 1A − − 、 ( )1, 1B − 、 ( )1,3C ，則 ABC△ 三邊長的和為 12 ，且此三角形的形狀

為直角三角形。

12. 設 ( )1, 1A − 、 ( )6, 2B − 、 ( )3, 4C − ，則 ABC△ 三邊長的和 26 2 13+ ，且此三角形的形狀

為等腰直角三角形。

1. 函數的一般定義：

(1) 設 x和 y 表示兩個變量，如果對於每一個 x值，都有唯一一個 y 值與它對應，這種對應關

係我們稱 y是 x的函數，並用符號 ( )y f x= 表示，其中 x稱為自變數， y稱為應變數。

(2) 在 ( )y f x= 函數中， x的變動範圍稱為函數的定義域，而由 x所對應出的 y值的範圍，

稱為值域。

年月日動手

年月日完成

線型函數與二次函數的坐標圖形 1-2

焦點一函數


1

(3) ( )f a 稱為函數 ( )y f x= 在 x a= 的函數值。（即函數 ( )y f x= 在 x a= 是有被定義的）

2. 函數圖形：

(1) 函數的圖形

在函數 ( )y f x= 的對應關係中，對於每一個 x值，恰有一個（唯一）對應的 y值，將所

有對應所成的有序數對( ),x y 描繪在坐標平面上，即可得到函數 ( )y f x= 的圖形。

(2) 函數圖形的判斷

由函數的定義知，函數 ( )y f x= 的圖形與 x a= 僅交於一點

( )( ),a f a 。因此，若一個圖形與垂直 x軸的直線有多於一個

交點時，則此圖形必不為函數圖形。

(1) 定義域 A的元素對應必須全部用完，但是對應域B的元素可以過剩。（見 P12 回�）

(2) 也就是說，一個函數「定義域」中的每一個元素其對應方式必須滿足：

�一定是一對一（含多對一） �不可一對無 �不可一對多

由已知圖形來判斷，即每一條鉛直線（垂直 x軸之直線）與函數圖形最多僅有一個

交點。

下列何者為正確的函數圖形？

(A) (B)

(C) (D)

(B)

下列何者不為函數圖形？

(A) (B)

(C) (D)

(D)

函數圖形的判斷 1

補給站

解

例

解


設函數 ( ) 2 5f x x= − + ，求 ( )1f − 與 ( )0f 之

值。

( ) ( )1 2 1 5 7f − = − × − + =

( )0 2 0 5 5f = − × + =

設函數 ( ) 22 3 1f x x x= + + ，求 1x = 與 1x = −

時的函數值。

( ) 21 2 1 3 1 1 6f = × + × + =

( ) ( ) ( )2

1 2 1 3 1 1 0f − = × − + × − + =

若 ( )3

24

xf x

x

++ =

+

，求1

2f⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠之值。

令1

22

x + = ⇒ 3

2x = −

∴

3 33

1 3 32 22

3 52 2 54

2 2

f f− +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − +

設1 2 5

1 3 2

x xf

x x

+ +⎛ ⎞=⎜ ⎟

− −⎝ ⎠，求 ( )2f 之值。

令1

21

x

x

+=

−

⇒ 1 2 2x x+ = − ⇒ 3x =

∴ ( )3 1 2 3 5 11

23 1 3 3 2 7

f f+ × +⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟− × −⎝ ⎠

1. 常數函數：

函數 ( )f x k= 稱為常數函數，其圖形為平行 x軸的水平直線。（因為不論自變數 x如何改

變，其對應的函數值恆為常數 k）

2. 一次函數：

凡可表成 ( )y f x ax b= = + ， 0a ≠ 型式的函數，稱為一次函數，其圖形為一直線，其中 a

為直線的斜率。

(1) 當斜率 0a > 時，圖形為由左往右上升。（遞增函數）

(2) 當斜率 0a < 時，圖形為由左往右下降。（遞減函數）

描繪函數 ( ) 3f x = 的圖

形。

描繪函數 ( ) 2 3f x x= +

的圖形。

描繪函數 ( ) 2f x x= − +

的圖形。

3. 線型函數：

因為常數函數與一次函數的圖形均為直線，所以常數函數與一次函數合稱為「線型函

數」。

其實線型函數 ( )y f x ax b= = + ，與直線方程式之「斜截式」 ( )y f x mx b= = + 的概念是相

同的，其中m為斜率，b為 y截距。（見 P20）

函數求值 2

函數求值的應用

解

3

焦點二線型函數

例例

解解解

例

說明

解解

解


1

試作函數 ( ) 2 4y f x x= = + 之圖形。

0 2

4 0

x

y

−

試作函數 ( )1

22

y f x x= = − − 之圖形。

0 4

2 0

x

y

−

−

線型函數 ( )y f x ax b= = + ，若 ( )0 2f = ，且

( )5 12f = ，試求 ( )2f 之值。

∵ ( )

( )

0 2

5 12

f

f

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

⇒ 0 2

5 12

a b

a b

× + =⎧⎨

× + =⎩

⇒ 2

2

a

b

=⎧⎨

=⎩ ⇒ ( ) 2 2y f x ax b x= = + = +

∴ ( )2 2 2 2 6f = × + =

設a、b為常數，若 ( )f x ax b= + ，

且 ( )1 3f − = ， ( )2 6f = ，試求 ( )2f − 之值。

∵ ( )

( )

1 3

2 6

f

f

⎧ − =⎪⎨

=⎪⎩

⇒ 3

2 6

a b

a b

− + =⎧⎨

+ =⎩ ⇒

1

4

a

b

=⎧⎨

=⎩

⇒ ( ) 4f x ax b x= + = +

∴ ( )2 2 4 2f − = − + =

1. 二次函數（ x∈�）：

( ) ( )20y f x ax bx c a= = + + ≠ 的圖形為「對稱性的拋物線」。由配方法知：

( )2 2

2 4

2 4

b b acy f x ax bx c a x

a a

−⎛ ⎞= = + + = + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

0a >

圖形開口朝上，有最低點坐標為：2

4,

2 4

b b ac

a a

⎛ ⎞−− −⎜ ⎟

⎝ ⎠

即在2

bx

a= − 時， ( )f x 有極小值

24

4

b ac

a

−

−

0a <

圖形開口朝下，有最高點坐標為：2

4,

2 4

b b ac

a a

⎛ ⎞−− −⎜ ⎟

⎝ ⎠

即在2

bx

a= − 時， ( )f x 有極大值

24

4

b ac

a

−

−

(1) ( ) ( )20y f x ax bx c a= = + + ≠

2 24

2 4

b b aca x

a a

−⎛ ⎞= + −⎜ ⎟

⎝ ⎠( )

2

a x p q= − +

一次函數作圖

解

4

線型函數求值

解

5

解

焦點三二次函數的圖形

解

補給站


(2) 頂點坐標 ( )2

4, ,

2 4

b b acp q

a a

⎛ ⎞−= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

(3) 以 ( ),p q 為頂點，即當 x p= 時，有極值 q，則可設 ( ) ( )2

y f x a x p q= = − + ，對稱軸

為 0x p− =

試求函數 ( ) 22 4 5y f x x x= = + − 之最小值、頂

點坐標與對稱軸，並畫出圖形。

( ) ( )22

2 4 5 2 1 7f x x x x= + − = + −

�當 1x = − 時， ( )f x 有最小值 7−

�頂點坐標為 ( )1, 7− −

�對稱軸為 1x = −

試求函數 ( ) 23 1y f x x x= = − + − 之最大值、頂

點坐標與對稱軸，並畫出圖形。

( )2

2 3 53 1

2 4f x x x x

⎛ ⎞= − + − = − − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

�當3

2x = 時， ( )f x 有最大值

5

4

�頂點坐標為3 5,

2 4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�對稱軸為3

2x =

設二次函數 ( )f x 在 2x = 時有最大值 9，且

( )0 1f = ，試求 ( )3f 之值。

依題意，設 ( ) ( )2

2 9f x a x= − +

又 ( )0 1f =

⇒ ( ) ( )2

0 0 2 9 1f a= − + =

⇒ 4 8a = − ⇒ 2a = −

∴ ( ) ( )2

2 2 9f x x= − − +

故 ( ) ( )2

3 2 3 2 9 7f = − − + =

設二次函數 ( )f x 圖形的頂點為 ( )1,3− ，且

( )1 15f = ，試求 ( )0f 之值。

∵ 頂點為 ( )1,3− ，設 ( ) ( )2

1 3f x a x= + +

又 ( )1 15f =

⇒ ( ) ( )2

1 1 1 3 15f a= + + =

⇒ 4 12a = ⇒ 3a =

∴ ( ) ( )2

3 1 3f x x= + +

故 ( ) ( )2

0 3 0 1 3 6f = + + =

若函數 ( ) 212f x ax x b= − + ，在

3

2x = − 時，有

極大值為10，試求a、b之值。

212y ax x b= − + ��

2

310

2a x

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 93 10

4ax ax a= + + + ��2

由�、�比較係數得

⇒ 3 12a = − ，9

104

b a= +

∴ 4a = − ， 1b =

若函數 ( ) 25 4 1f x x x= + + ，在 x a= 時，有極

小值為b，試求 2a b+ 之值。

( ) 25 4 1f x x x= + +

2

2 15

5 5x

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

∴ 在2

5x = − 時， ( )f x 有極小值

1

5

⇒ 2

5a = − ，

1

5b =

則2 1

2 2 05 5

a b+ = − + × =

二次函數求極值 6

解

由頂點 ( ),p q ，求 ( )f x 7

二次函數頂點的應用

解

8

解

解

解解


1

設函數 ( ) 2y f x ax bx c= = + + ， 0a ≠ ，a、b、c∈�

(1) 對任意實數 x， ( ) 0f x > （即恆為正） ⇔ 0a > ， 24 0b ac− < （如圖 1）

(2) 對任意實數 x， ( ) 0f x < （即恆為負） ⇔ 0a < ， 24 0b ac− < （如圖 2）

◎二次函數 ( ) 2y f x ax bx c= = + + ， 0a ≠ ，a、b、c∈�的函數圖形與 x軸關係解析

當 0a > 圖形開口朝上，當 0a < 圖形開口朝下

與 x軸不相交

⇔ 24 0b ac− <

與 x軸交於一點

⇔ 24 0b ac− =

與 x軸交於二點

⇔ 24 0b ac− >

若函數 ( ) ( )21 2y f x x k x k= = + − + + 之圖形與

x軸不相交，試求 k 之範圍。

( ) ( ) ( )21 2y f x x k x k= = + − + + 之圖形

與 x 軸不相交 ⇒ ( ) 0f x > （恆正）

⇒ 判別式 ( ) ( )2

1 4 1 2 0k k− − × × + <

⇒ 26 7 0k k− − < ⇒ ( )( )7 1 0k k− + <

∴ 1 7k− < <

坐標平面上， ( ) 24y f x x x k= = − + + 對任意實

數 x， ( )f x 恆為負數，試求k之範圍。

( ) 0f x < （恆負）

⇒ ( ) 24y f x x x k= = − + + 之圖形與 x 軸不相交

⇒ 判別式 ( )24 4 1 0k− × − × <

⇒ 16 4 0k+ <

∴ 4k < −

二次函數 ( ) 2y f x ax bx c= = + + ， 0a ≠ ，如圖

所示，下列何者正確？

(Ａ) 0a >

(Ｂ) 0c >

(Ｃ) 0a b c+ + <

(Ｄ) 24 0b ac− >

(Ｄ)

(Ａ) 圖形開口朝下 0a <

(Ｂ) ( )0 0f c= <

(Ｃ) ( )1 0f a b c= + + >

(Ｄ) 圖形與 x 軸交於兩點

⇒ 24 0b ac− >

二次函數 ( ) 2y f x ax bx c= = + + ， 0a ≠ ，下列

何者錯誤？

(Ａ) 0a b c− + <

(Ｂ) 0c <

(Ｃ) 24 0b ac− >

(Ｄ) 0b <

(Ｄ)

(Ａ) ( )1 0f a b c− = − + <

(Ｂ) ( )0 0f c= <

(Ｃ) 圖形與 x 軸交於兩點 ⇒ 24 0b ac− >

(Ｄ) 頂點坐標2

4,

2 4

b b ac

a a

⎛ ⎞−− −⎜ ⎟

⎝ ⎠位於第三象限，

⇒ 02

b

a− < 又 0a > ∴ 0b >

( )f x 的恆正與恆負 ⇔

24 0b ac− < 9

各項係數正負的判別 10

焦點四

解

解解

解

二次函數的恆正、恆負（即與 x軸無交點）之條件判斷



（×）1. 垂直 x 軸的任意直線與函數圖形至多可以有兩個交

點。

至多只有一個交點

（○）2. 一次函數的圖形必為直線。

（×）3. 若線型函數的圖形為水平線，則其直線方程式為

x k= ， k∈�。

y k=

（○）4. 函數 ( ) 2 3f x x= − + 其圖形為由左往右下降的直線。

（×）5. 直線 ( ) 3 2y f x x= = − 其斜率為 2− ， y截距為3。

斜率為3， y截距為 2−

（○）6. 二次函數 ( ) 2y f x ax bx c= = + + 的圖形為「對稱性的

拋物線」，且其頂點坐標為2

4,

2 4

b b ac

a a

⎛ ⎞−− −⎜ ⎟

⎝ ⎠。

（○）7. 二次函數 ( ) ( )2

y f x a x p q= = − + ，表示當 x p= 時，

有極值q。

（○）8. 設二次函數 ( ) 2y f x ax bx c= = + + ，則

( )1a b c f− + = − 。

★ 1. 下列何者不是由 A到B的函數？ (C) 。

(Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ)

2. 設函數 ( ) 22 1f x x x= − + − ，則

1

2f⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

1

4− 。

3. 設 ( )

3 0

2 0 3

3 3

x x

f x x x

x x

− <⎧⎪

= ≤ <⎨⎪ + ≤⎩

，當

，當

，當

，則 ( ) ( ) ( )2 2 4f f f− + + = 16 。

★ 4. 若 22 1

1

xf x x

x

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟

+⎝ ⎠，則

1

2f⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

之值為 2 。

5. 設 ( ) 21f x x x= + + ，且 ( ) ( )2 1g x f x+ = − ，則 ( )1g 之值為 3 。

6. 試作函數 ( ) 2 1y f x x= = − + 之圖形略。

7. 試作函數 ( ) 21y f x x= = − －之圖形略。

★ 8. 二次函數 ( ) 26 1f x x x= − + − 之圖形不通過第二象限。

★ 9. 若函數 ( ) 25 2 4f x x x= − + ，試求 ( )f x 的最小值為

19

5。

年月日動手

年月日完成


1

10. 設 ( )f x 為二次函數，且其頂點為( )3,2 ，又與 y軸交於點 ( )0, 16− ，則 ( )1f = 6− 。

★ 11. 二次函數 ( ) 22 8y f x x x= = − + + 的圖形與 x軸交於 A、B兩點，頂點坐

標為C，試求：

(1) AB線段長為 6 (2) ABC△ 的面積為 27 。

12. 設a、b為實數，若坐標平面上的拋物線 2y x ax b= + + 的圖形與 x軸的

交點為 ( )2,0− 、 ( )1,0 ，如右圖所示，則a b+ = 1− 。

★ 13. 設函數 ( ) 2y f x ax bx c= = + + ， 0a ≠ ，a、b、c∈�，若 24 0b ac− < ，

下列選項： (Ａ) ( ) 0a f x× > (Ｂ) ( ) 0a f x× = (Ｃ) ( ) 0a f x× < (Ｄ)以上皆非正確的為

(A) 。

14. 如右圖所示，二次函數 ( ) 2y f x ax bx c= = + + ， 0a ≠ ，下列選項：

(Ａ) 0a > (Ｂ) 24 0b ac− > (Ｃ) ( )0 0f > (Ｄ) ( )1 0f < 錯誤的為

(D) 。

1. 直線的斜率：

(1) 設 ( )1 1 1,P x y ， ( )2 2 2

,P x y 為直線L上相異兩點

�若1 2x x≠ （L非鉛直線），則L的斜率為 2 1

2 1

y ym

x x

−

=

−

。

�若1 2x x= （L為鉛直線），則L的斜率不存在。�若

1 2y y= （L為水平線），則L的斜率為0。

(2) 直線的一般式：斜率與係數的關係

直線 : 0L ax by c+ + = 之斜率a

mb

= − （當 0b = ，斜率不存在）。

直線的斜率與方程式 1-3.1

焦點一斜率

m<0


(1) 鉛直線沒有斜率（不存在）。

(2) 若直線 L由左向右上升（↗），則斜率 0m > 。

(3) 若直線 L為水平線（→），則斜率 0m = 。

(4) 若直線 L由左向右下降（↘），則斜率 0m < 。

(5) 直線的傾斜度越大，則其斜率之絕對值越大。

(6) 設1m 、

2m 分別為直線

1L 、

2L 的斜率，則

� �

若一直線 L通過 ( )3, 2P − 與 ( )7,3Q − 兩點，求

L之斜率。

( )3 2 1

7 3 2Lm

− −

= = −

− −

若一直線 L通過 ( )2, 1A − 與 ( )0,5B 兩點，求 L

之斜率。

( )5 13

0 2Lm

− −

= = −

−

若一直線L通過 ( )3,0A 與 ( )3,1B 兩點，求 L之

斜率。

0 1 1

3 3 0Lm

− −

= =

−

∴ 斜率不存在

若一直線 L通過 ( )0,3A 與 ( )1,3B 兩點，求 L之

斜率。

3 3 00

0 1 1Lm

−

= = =

− −

∴ 斜率為 0

補給站

斜率 1

斜率 2

解解

解解


1

若直線通過點 ( )2,a 與 ( )1 ,3a− ，且其斜率為

2，試求a之值。

∵ 2 1

2 1

y ym

x x

−

=

−

⇒ ( )

32

1 2

a

a

−

=

− −

⇒ 2 2 3a a− − = −

∴ 5a = −

若直線通過點 ( )4,k 與 ( ), 5k − ，且其斜率為

1，試求 k之值。

∵

2 1

2 1

y ym

x x

−

=

−

⇒ 5

14

k

k

− −

=

−

⇒ 4 5k k− = − − ⇒ 2 1k = −

∴

1

2k = −

試求下列各直線的斜率：

(1) 5 6 3 0x y− + = (2) 2 3 5 0x y+ + =

(3) 5 2 0x − = 。

(1) 5 6 3 0x y− + = ⇒ 5 5

6 6m = − =

−

(2) 2 3 5 0x y+ + = ⇒ 2

3m = −

(3) 5 2 0x − = ⇒ 5 0 2 0x y+ − =

⇒ 5

0m = − （不存在）

試求下列各直線的斜率：

(1) 7 5 9 0x y+ − = (2) 5 4 0y + =

(3) 4 2 0x + = 。

(1) 7 5 9 0x y+ − = ⇒ 7

5m = −

(2) 5 4 0y + = ⇒ 0 5 4 0x y+ + =

⇒ 0

05

m = − =

(3) 4 2 0x + = ⇒ 4 0 2 0x y+ + =

⇒ 4

0m = − （不存在）

試假設下列各斜率之直線方程式（一般式）：

(1) 3m = (2) 5

2m = − 。

(1) 3

31

am

b= = − = −

−

⇒ 設 ( )3 0x y k k− + = ∈�

(2)

5

2

am

b= − = −

⇒ 設 ( )5 2 0x y k k+ + = ∈�

試假設下列各斜率之直線方程式（一般式）：

(1) 2m = − (2) 3

2m = 。

(1) 2

21

am

b= − = − = −

⇒ 設 ( )2 0x y k k+ + = ∈�

(2) 3 3

2 2

am

b= = − = −

−

⇒ 設 ( )3 2 0x y k k− + = ∈�

斜率 3

解

斜率 4

已知斜率 ⇒ 假設直線方程式（一般式） 5

解

解解

解解


1. 設二直線1L 、

2L 的斜率分別為

1m 、

2m （

1m 、

2m 都存在且不為0），則

(1) 1 2/ /L L ⇔

1 2m m= （其中

1 2m m= ⇒

1 2/ /L L 或

1 2L L= ）

(2) 1 2L L⊥ ⇔

1 21m m× = −

2. 若 A、B、C三點共線 ⇔ AB BC

m m=

A、B、C三點共線 ⇔ A、B、C三點無法構成一個三角形

設1: 5 2 3 0L x y− + = ，試求：

(1) 2 1/ /L L 時，

2L 的斜率

(2) 2 1L L⊥ 時，

2L 的斜率。

1: 5 2 3 0L x y− + = ⇒

1

5 5

2 2m = − =

−

(1) ∵ 2 1//L L ⇔

1 2m m=

∴ 2

5

2m =

(2) ∵ 2 1

L L⊥ ⇔ 1 2

1m m× = −

⇒ 2

51

2m× = −

∴ 2

2

5m = −

設1: 3 4 0L x y b+ + = ，

2: 7 0L x ay− − = ，試

求：

(1) 1 2L L⊥ 時之a值 (2)

1 2/ /L L 時之a值。

1: 3 4 0L x y b+ + = ⇒

1

3

4m = −

2: 7 0L x ay− − = ⇒

2

1m

a

=

(1) 1 2L L⊥ ⇒

1 21m m× = −

⇒ 3 1

14 a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− × = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∴ 3

4a =

(2) 1 2//L L ⇒

1 2m m= ⇒

3 1

4 a

− =

∴ 4

3a = −

若 ( )3, 2A − 、 ( )3,4B − 、 ( ), 1C k − 三點無法構

成一個三角形，求 k之值。

∵ A、 B、C 三點共線 ⇔ AB BC

m m=� �

⇒ ( )

( )

4 2 1 4

3 3 3k

− − − −

=

− − − −

⇒ 6 5

6 3k

−=

− +

∴ 2k =

平面上三點 ( ),5P k 、 ( )1,3Q 、 ( )2,1R − ，若

P、Q、R三點共線，求 k之值。

∵ P、Q、 R三點共線 ⇔ PQ QR

m m=� �

⇒ 3 5 1 3

1 2 1k

− −

=

− − −

⇒ 2 2

1 3k

− −

=

− −

∴ 4k =

直線的平行與垂直 6

解解

斜率的應用：三點共線，無法構成三角形 7

解解

焦點二直線的平行與垂直關係

補給站


1


（○）1. 鉛直線的斜率不存在。

（○）2. 水平線的斜率為0。

（×）3. 若直線L由左向右上升（↗）則斜率 0m < 。

0m >

（×）4. 若直線L由左向右下降（↘）則斜率 0m > 。

0m <

（○）5. 直線上任意相異兩點所決定的斜率相等。

（○）6. 平面上 A B C、、三點無法構成一個三角形，則

AB BCm m= 。

1. 平面上有一個直角三角形，如圖所示，其三邊的斜率為1m 、

2m 、

3m ，並

假設1 2 3m m m> > 。則下列選項錯誤的為 (C) 。

(Ａ)1 2

1mm = − (Ｂ)1

0m > (Ｃ)2

0m > (Ｄ)3

0m < 。

2. 設 ABCDE是坐標平面上一個正五邊形，它的中心與原點重合，且頂點

E在 y軸的負向上（如圖所示），試問 AB、BC、CD、DE、 AE中，

斜率最小者為 AB 。

★ 3. 直線通過 ( )2,2− 與 ( )3,6 兩點，其斜率=

4

5。

4. 直線通過 ( )1,6− 與 ( )2,4 兩點，其斜率為2

3− 。

★ 5. 直線通過 ( )2,0 與 ( )2, 1− 兩點，其斜率為不存在。

6. 直線通過 ( )3,5 與 ( )1,5− 兩點，其斜率為 0 。

★ 7. 若一直線通過 ( )99,101A 與 ( )99,100B 兩點，求L之斜率為不存在。

8. 若直線通過點 ( )5,k 與 ( ), 3k − ，且其斜率為1

2，則k 之值為

1

3− 。

9. 直線3 2 9 0x y+ − = 之斜率為3

2− ，直線5 2 3 0x y− + = 之斜率為

5

2。

10. 試假設下列各斜率之直線方程式（一般式）：

(1) 2m = ⇒ 設 2 0x y k k− + = ∈�（）

(2)3

2m = − ⇒ 設 3 2 0x y k k+ + = ∈�（）。

年月日動手

年月日完成


11. 直線7 3 0x − = 之斜率為不存在，直線3 8 0y + = 之斜率為 0 。

12. 設直線1: 2 5 3 0L x y+ + = ，若直線

2 1/ /L L ，則

2L 之斜率為

2

5− 。

13. 設直線1: 3 5 7 0L x y− − = ，若直線

2 1L L⊥ ，則

2L 之斜率為

5

3− 。

★ 14. 已知一直線與 5 6 3 0x y− + = 平行，其斜率為 a；另一直線與 3 8 0x y− + = 垂直，其斜率為

b，則ab之值為5

2− 。

15. 若 ( )3, 3A − 、 ( )4,4B − 、 ( ), 2C k − 三點共線，則k 為 2 。

★ 16. 若平面上 ( )2,2A − 、 ( )4,1B − 、 ( )4,C k 三點無法構成一個三角形，則k 為 5 。

17. 設平面上 ( )1,2A 、 ( )3, 5B − 、 ( )4, 2C − 、 ( )2,D k ，若 / /AB CD，則 k 為 5 。

18. 承上題，若 AB CD⊥ ，則 k =18

7− 。

斜率為m，且通過 ( )1 0 0,P x y 之直線方程式為 ( )0 0

y y m x x− = − 。

設 ( ),P x y 為直線上任意一點且相異於 ( )1 0 0,P x y ，由斜率定義知：

0

0

y ym

x x

−

=

−

⇒ ( )0 0y y m x x− = −

ABC△ 中，設 ( )1 1,A x y 、 ( )2 2

,B x y 、 ( )3 3,C x y ，則過 A、B、C三點的

三條中線，分別可平分 ABC△ 的面積。如圖所示：三中線交點G為

ABC△ 的重心，且2

AM 、3

BM 、1

CM 均平分 ABC△ 的面積。

2 2

ABM ACM=△ △

一直線之斜率為1

3，且過點 ( )1,2 ，求此直線

之方程式。

斜率1

3m = ，且過點 ( )1,2

∴ 直線方程式為 ( )1

2 13

y x− = −

即 3 5 0x y− + =

求過點 ( )3, 1− 且斜率為 3− 之直線方程式。

過點 ( )3, 1− ，且斜率為 3−

∴ 直線方程式為 ( ) ( )1 3 3y x− − = − −

即 3 3 3 1 0x y+ − + =

直線方程式之—— 點斜式、斜截式、兩點式、截距式 1-3.2

焦點一點斜式

補給站

證

例

點斜式 1

解

解


1

ABC△ 中， ( )3,1A 、 ( )2, 3B − − 、 ( )2,1C ，求

AB邊上高的直線方程式。

3 1 4

2 3 5AB

m

− −

= =

− −

設 AB邊上高的直線為 L

⇒ 1L ABm m× = −

⇒ 5

4Lm = − ，又過點 ( )2,1C

⇒ 由點斜式知： ( )5

1 24

y x− = − −

⇒ 5 4 14 0x y+ − =

ABC△ 中， ( )3,3A 、 ( )2, 1B − − 、 ( )6, 3C − ，

求BC邊上高的直線方程式。

∵ 3 1 1

6 2 4BCm

− += = −

+

∴ ( )4AD

m AD BC= ⊥

則由點斜式知：

( )3 4 3y x− = −

⇒ 4 9 0x y− − =

ABC△ 中， ( )3,1A 、 ( )2, 3B − − 、 ( )2,1C ，求

過 A點且平分 ABC△ 面積之直線方程式。

設M 為 BC 之中點

⇒ ( )2 2 3 1

, 0, 12 2

M− + − +⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

∴ 1 1 2

0 3 3AM

m

− −

= =

−

則由點斜式知： ( )2

1 33

y x− = −

⇒ 2 3 3 0x y− − =

ABC△ 中， ( )3,3A 、 ( )2, 1B − − 、 ( )6, 3C − ，

求BC邊上之中線所在之直線方程式。

設M 為 BC 之中點

⇒ ( )

( )1 32 6

, 2, 22 2

M⎛ ⎞− + −− +

= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∴ 2 3

52 3

AMm

− −

= =

−

則由點斜式知： ( )3 5 3y x− = −

⇒ 5 12 0x y− − =

設 ( )3, 4A − 、 ( )1,6B − ，試求 AB的垂直平分

線方程式L。

AB之中點為( )

( )3 1 4 6

, 1,12 2

⎛ ⎞+ − − +=⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

又 AB的斜率( )4 6 5

3 1 2AB

m

− −

= = −

− −

則2

5Lm = （∵ 1

L ABm m× = − ）

由點斜式知 ( )2

: 1 15

L y x− = −

即 2 5 3 0x y− + =

設 ( )5, 2P − 、 ( )1,4Q − ，試求 PQ的垂直平分

線方程式L。

PQ之中點為( )

( )5 1 2 4

, 2,12 2

⎛ ⎞+ − − +=⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

又 PQ的斜率( )2 4

15 1

PQm

− −

= = −

− −

則 1Lm = （∵ 1L PQ

m m× = − ）

由點斜式知 ( ): 1 1 2L y x− = × −

即 1 0x y− − =

點斜式的應用 2

點斜式的應用 3

解

解

垂直平分線 4

解

∵

解

解解


1. 截距：

直線與 x軸交於 ( ),0a ，與 y軸交於 ( )0,b ，則稱a為 x截距，b為 y截

距。

2. 斜率為m且 y截距為b之直線方程式為 y mx b= + 。

∵ y截距為b ⇒ 直線通過點 ( )0,b

又直線斜率為m，代入點斜式得

( )0y b m x− = − ⇒ y mx b= +

設直線 L之斜率為1

2− 且 y截距為 5− ，求此直

線方程式。

1

2m = − ， 5b = −

由斜截式 y mx b= +

⇒ 1

52

y x= − −

設直線L之斜率為 1− 且 y截距為2，求此直線

方程式。

1m = −

且 y截距 2b =

由斜截式 y mx b= +

⇒ 2y x= − +

已知直線 : 5 2 3 0L x y+ + = ，試將 L化為斜截

式。

: 5 2 3 0L x y+ + = ⇒ 5

2Lm = −

令 0x = 代入 ⇒ 3

2y = − （即截距b）

∴ 5 3

2 2y x= − −

已知直線 : 3 4 1 0L x y− + = ，試將 L化為斜截

式。

: 3 4 1 0L x y− + = ⇒ 3 3

4 4Lm = − =

−

令 0x = 代入 ⇒ 1

4y = （即截距b）

∴ 3 1

4 4y x= +

若直線 L在兩坐標軸上的截距和為4，且 L之

斜率為3，則L之方程式為何？

利用斜截式，設直線 : 3L y x b= +

令 0y = ⇒ 3

bx = − （ x 截距）

令 0x = ⇒ y b= （ y截距）

依題意得 43

bb− + =

⇒ 2

43b = ⇒ 6b =

∴ : 3 6L y x= + ，即3 6 0x y− + =

若直線 L在兩坐標軸上的截距和為6，且 L之

斜率為 2− ，則L之方程式為何？

利用斜截式，設直線 : 2L y x b= − +

令 0y = ⇒ 2

bx = （ x 截距）

令 0x = ⇒ y b= （ y截距）

依題意得 62

bb+ =

⇒ 3

62b = ⇒ 4b =

∴ : 2 4L y x= − + ，即 2 4 0x y+ − =

斜截式 5

斜截式 6

斜截式 7

焦點二斜截式

證

y

xO a

解

解

解解

解解


1

若直線 : 5 0L ax by+ + = 之圖形不經過第一象

限，試判斷a、b與Lm 之正負。

如圖所示：

x 截距5

0a

− < ⇒ 0a >

y截距5

0b

− < ⇒ 0b >

⇒ 0L

a

mb

= − <

∴ � 0a > � 0b > � 0L

a

mb

= − <

若直線 : 2L ax by− = − 之圖形不經過第二象

限，試判斷a、b與Lm 之正負。

如圖所示：

x 截距2

0a

− > ⇒ 0a <

y截距2

0b< ⇒ 0b <

⇒ 0L

a

mb

= >

∴ � 0a < � 0b < � 0L

am

b= >

1. 兩點式：

過相異兩點 ( )1 1 1,P x y 、 ( )2 2 2

,P x y 之直線方程式為 ( )2 1

1 1

2 1

y yy y x x

x x

−

− = −

−

。 ( )1 2x x≠

過相異兩點 ( )1 1 1,P x y 、 ( )2 2 2

,P x y 之直線斜率為 2 1

2 1

y ym

x x

−

=

−

代入點斜式 ( )0 0y y m x x− = − ⇒ ( )2 1

1 1

2 1

y yy y x x

x x

−

− = −

−

(1) 若1 2x x= ，則直線方程式為

1x x= 。

(2) 若1 2y y= ，則直線方程式為

1y y= 。

2. 截距式：

直線在 x、 y軸上之截距分別為a、 ( )0b a b ≠、，則方程式為 1x y

a b+ = 。

∵ x、 y軸上之截距分別為a b、，即直線通過 ( ),0a 、 ( )0,b 二點

⇒ 斜率0

0

b bm

a a

−

= = −

−

代入斜截式 y mx b= +

⇒ b

y x ba

= − + ⇒ ay bx ab+ = ⇒ 1x y

a b+ =

直線 : 1x y

La b+ = 與二坐標軸所圍成三角形面積為

1

2a b× 。

焦點三兩點式與截距式

截距的應用 8

證

補給站

證

分析

解解


試求過 ( )2, 3A − 與 ( )3,5B 兩點之直線方程式。

∵ 直線過 ( )2, 3A − 與 ( )3,5B 二點

⇒ 由兩點式知 ( )( )

( )5 3

3 23 2

y x− −

− − = −

−

⇒ ( )3 8 2y x+ = −

∴ 所求直線方程式為8 19 0x y− − =

試求過 ( )3,1P − 與 ( )3,4Q 兩點之直線方程式。

∵ 直線過 ( )3,1P − 與 ( )3,4Q 二點

⇒ 由兩點式知( )

( )4 1

1 33 3

y x−

− = +

− −

⇒ ( )1

1 32

y x− = +

∴ 所求直線方程式為 2 5 0x y− + =

試求過 A與B兩點之直線方程式。

(1) ( )1,2A − 、 ( )1, 2B − −

(2) ( )2,3A 、 ( )1,3B − 。

(1)∵ 1 2

1x x= = −

∴ 所求直線方程式為

1x = −

(2) ∵ 1 2

3y y= =

∴ 所求直線方程式

為 3y =

試求過 A與B兩點之直線方程式。

(1) ( )2,3A 、 ( )2, 1B −

(2) ( )1, 2A − 、 ( )5, 2B − 。

(1) ∵ 1 2

2x x= =

∴ 所求直線方程式為

2x =

(2) ∵ 1 2

2y y= = −

∴ 所求直線方程

式為 2y = −

設直線L的 x截距為 2− ， y截距為3，試求：

(1) L的方程式

(2) L與二坐標軸所圍成的面積。

(1) 由截距式知 : 12 3

x yL + =

−

⇒ 3 2 6 0x y− + =

(2) 面積 ( )1

2 3 32

= − × =

設直線 : 3 4 12 0L x y+ − = ，試求：

(1) 化直線L為截距式

(2) L與二坐標軸所成三角形面積。

: 3 4 12 0L x y+ − =

(1) 令 0x = 代入得 3y =

令 0y = 代入得 4x =

∴ L 之截距式為 14 3

x y+ =

(2) 面積14 3 6

2= × =

若直線 L在兩坐標軸上的截距相等（截距

0≠ ），且過點 ( )2,5− ，試求直線L之方程式。

設 x 截距 y= 截距 a= ⇒ : 1x y

La a+ =

又過點 ( )2,5− ⇒ 2 5

: 1La a

−

+ =

⇒ 3

1a

= ⇒ 3a =

∴ : 13 3

x yL + = ，即 3 0x y+ − =

設 0a ≠ ，直線 L的 x截距與 y截距均為a，且

過點 ( )3, 7− ，試求直線L之方程式。

設直線 : 1x y

La a+ = ，過點 ( )3, 7−

⇒ 3 7

: 1La a

−

+ =

⇒ 4

1a

−

= ⇒ 4a = −

∴ : 14 4

x yL + =

− −

，即 4 0x y+ + =

9

直線方程式，1

x x= 或1

y y= 10

截距式 11

解

截距式的應用 12

兩點式 ( )2 1

1 1

2 1

y yy y x x

x x

−

− = −

−

解解

解解解

解

解解


1


（×）1. 設直線 : 2 3 6 0L x y− + = ，則直線 L

之圖形通過第一、三、四象限。

直線通過第一、二、三象限

（×）2. 過 ( )3, 1A − ， ( )3,8B 的直線方程式為

3x = ，且其斜率為0。

直線 3x = 的斜率不存在

1. 直線斜率為3

4，且過點 ( )2,3 之方程式為 3 4 6 0x y− + = 。

★ 2. 直線斜率為2

3− ，且過點 ( )3,1− 之方程式為 2 3 3 0x y+ + = 。

3. 直線斜率為1

3， y截距為 5− 之方程式為 3 15 0x y− − = 。

4. 直線斜率為 2− ， y截距為3之方程式為 2 3 0x y+ − = 。

5. 直線斜率為5

3，且過點 ( )0,2 之方程式為 5 3 6 0x y− + = 。

★ 6. 設 ( )2,5A − 、 ( )4,1B ，則 AB的垂直平分線方程式L為 3 2 3 0x y− + = 。

★ 7. ABC△ 中， ( )4,2A 、 ( )3, 4B − − 、 ( )3,2C ，則 AB邊上高的直線方程式為

7 6 33 0x y+ − = 。

★ 8. ABC△ 中， ( )4,2A 、 ( )3, 4B − − 、 ( )3,2C ，則過 A點且平分 ABC△ 面積之直線方程式為

3 4 4 0x y− − = 。

9. 設直線L之斜率為2

3且 y截距為4，則此直線方程式為

24

3y x= + 。

10. 將直線 : 2 5 2 0L x y+ + = 化為斜截式為2 2

5 5y x= − − 。

11. 設直線 L之斜率為1且 y截距為 3− ，則此直線方程式為 3y x= − 。

★ 12. 過 ( )1,2A 與 ( )5, 3B − 兩點之直線方程式為 5 4 13 0x y+ − = 。

13. 已知直線 : 4 6 0L x y+ + = ，則將L化為斜截式為1 3

4 2y x= − − 。

14. 直線的 x截距為 3− ， y截距為4之方程式為 4 3 12 0x y− + = ，其斜率為4

3。

★ 15. 直線 : 2 3 6 0L x y− − = 之圖形不經過第二象限。

★ 16. 直線過 ( )5,0 、 ( )0, 4− 兩點，其直線方程式為 4 5 20 0x y− − = 。

★ 17. 一直線 : 5 2 20 0L x y− + = 與兩坐標軸所圍成之三角形面積為 20 。

★ 18. 設a、b為實數，且 0ab ≠ ，若方程式 1x y

a b+ = 所表示的圖形不通過第四象限，則 ( ),a b ab−

在第三象限。

年月日動手

年月日完成


1. 直線的一般式：

設 a 、 b 、 c∈� ，且 2 20a b+ ≠ 的二元一次方程式 0ax by c+ + = 圖形為一直線，而

0ax by c+ + = 稱為直線的一般式。

(1) 當 0b = ， 0a ≠ 時， 0ax by c+ + = 可化為c

x

a

= − ，此表示圖形是通過點

,0c

a

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠且與 x軸垂直的直線，其斜率不存在。

(2) 當 0b ≠ 時， 0ax by c+ + = 可化為a c

y xb b

= − − ，此表示圖形是斜率為a

b− 且 y截距是

c

b− 的直線。

2 20a b+ ≠ ⇒ a、b不同時為零

試求直線 2 10 0x y− + = 的斜率，並畫出其圖

形。

斜率1 1

2 2

a

mb

= − = − =

−

0 10

5 0

x

y

−

圖形為通過 ( )0,5 及 ( )10,0− 兩點

的直線

試求直線 4 3 12 0x y+ − = 的斜率，並畫出其圖

形。

斜率4

3

a

mb

= − = −

0 3

4 0

x

y

圖形為通過 ( )0,4 及 ( )3,0 兩點的

直線

二元一次方程式的圖形 1-3.3

焦點一直線的一般式與其斜率的關係

提醒

二元一次方程式的圖形 1

解解


1

試求下列各直線的斜率，並描繪其圖形。

(1) 5 3 0x − = (2) 3 2 0y + = 。

(1) 原式 ⇒ 5 0 3 0x y+ − =

⇒ 5

0m = − （斜率不存在）

∴ 圖形表通過點

3,0

5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

且與 x 軸垂直之直線

(2) 原式 ⇒ 0 3 2 0x y+ + =

⇒ 0

03

m = − =

（斜率為 0）


2

0,3

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠且與 x 軸平行之直線

試求下列各直線的斜率，並描繪其圖形。

(1) 3 2 0x + = (2) 4 5 0y − =

(1) 原式 ⇒ 3 0 2 0x y+ + =

⇒ 3

0m = − （斜率不存在）


2,0

3

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠且與 x 軸垂

直之直線

(2) 原式 ⇒ 0 4 5 0x y+ − =

⇒ 0

04

m = − =

（斜率為 0）


5

0,4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

且與 x 軸平行之直線

相互平行的直線斜率相等，相互垂直的直線斜率乘積等於 1− 。

設直線 : 0L ax by c+ + = ，則

(1) 當1/ /L L時，可設

1L 之方程式為 ( )0ax by k k c+ + = ≠ 。

(2) 當2L L⊥ 時，可設

2L 之方程式為 0bx ay k− + = 。

設 ( )3,2A − 、 ( )1,2B ，求通過 AB線段中點，

且與2 3 7 0x y+ + = 平行的直線方程式。

AB線段中點 ( )3 1 2 2

, 1,22 2

− + +⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

設與 2 3 7 0x y+ + = 平行的直線為

2 3 0x y k+ + = ，又過點 ( )1,2−

⇒ 2 6 0k− + + = ⇒ 4k = −

∴ 所求直線方程式為 2 3 4 0x y+ − =

求過點 ( )2,3 且與直線 2 3 0x y− − = 平行的直線

方程式。

設與 2 3 0x y− − = 平行的直線為

2 0x y k− + = ，又過點 ( )2,3

⇒ 2 6 0k− + = ⇒ 4k =

∴ 所求直線方程式為 2 4 0x y− + =

作圖 2

求與 0ax by c+ + = 平行的直線 3

焦點二求與 0ax by c+ + = 平行（垂直）的直線

( )

解解解

解解


求通過點 ( )2,1 且與直線 2 3 0x y+ + = 垂直的直

線方程式。

設與 2 3 0x y+ + = 垂直之直線

為 2 0x y k− + = ，又通過點 ( )2,1

⇒ 4 1 0k− + = ⇒ 3k = −

∴ 直線方程式為 2 3 0x y− − =

設 ( )2,1A − 、 ( )8,1B ，求通過 AB線段中點，

且與4 5 6 0x y+ − = 垂直之直線方程式。

AB線段中點 ( )2 8 1 1

, 3,12 2

− + +⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

設與 4 5 6 0x y+ − = 垂直之直線

為5 4 0x y k− + = ，又通過點 ( )3,1

⇒ 15 4 0k− + = ⇒ 11k = −

∴ 直線方程式為5 4 11 0x y− − =

設兩直線1 1 1 1: 0L a x b y c+ + = 與

2 2 2 2: 0L a x b y c+ + = 所組成的方程組為

1 1 1

2 2 2

0

0

a x b y c

a x b y c

+ + =⎧⎨

+ + =⎩

(1) 當 1 1

2 2

a b

a b≠ ⇔

1L 與

2L 相交於一點 ⇔ 相容方程組（恰有一組解 ⇒ 交點坐標）

(2) 當 1 1 1

2 2 2

a b c

a b c= ≠ ⇔

1 2/ /L L （平行） ⇔ 矛盾方程組（無解）

(3) 當 1 1 1

2 2 2

a b c

a b c= = ⇔

1 2L L= （重合） ⇔ 相依方程組（有無限多組解）

(4) 當1 2 1 2

0a a bb+ = ⇔ 1 2L L⊥ （互相垂直） ⇔ 相容方程組的特例（一組解）

試判斷下列各組二直線的關係為相交於一點、

平行或重合：

(1) 2 3 0

2 4 6 0

x y

x y

− + =⎧⎨− + − =⎩

(2) 5 3 7 0

2 5 0

x y

x y

+ + =⎧⎨

− + =⎩

(3) 2 4 0

3 6 5 0

x y

x y

+ − =⎧⎨

+ − =⎩。

(1) 1 2 3

2 4 6

−

= =

− −

⇒ 重合

(2) 5 3

2 1≠

−

⇒ 相交於一點

(3) 1 2 4

3 6 5

−= ≠

−

⇒ 平行

試判斷下列各方程組解的個數：

(1) 3 5 7 0

10 4 3 0

x y

x y

+ − =⎧⎨

+ + =⎩ (2)

4 5 0

8 2 3 0

x y

x y

− + =⎧⎨

− + =⎩

(3) 2 3 1 0

6 9 3 0

x y

x y

− − =⎧⎨

− − =⎩。

(1) 3 5

10 4≠ ⇒ 恰有一組解

(2) 4 1 5

8 2 3

−= ≠

−

⇒ 無解

(3) 2 3 1

6 9 3

− −

= =

− −

⇒ 無限多組解

二直線的關係 5

求與 0ax by c+ + = 垂直的直線 4

焦點三二元一次方程組的幾何意義

解解

解

解


1

二直線之方程式1: 4 10L x ay+ = ，

2: 9 15L ax y+ = ，試分別求a值，使得

(1) 1 2/ /L L (2)

1L 與

2L 重合。

4 10

9 15

x ay

ax y

+ =⎧⎨

+ =⎩

令4

9

a

a

= ⇒ 236a = ⇒ 6a = ±

(1) 當 6a = − 時4 6 10

6 9 15

−= ≠

−

⇒ 1 2//L L

(2) 當 6a = 時4 6 10

6 9 15= = ⇒

1L 與

2L 重合

二直線之方程式1: 4 3L kx y− = ，

2:16 6L x ky− = ，試分別求k 值，使得

(1) 1 2/ /L L (2)

1L 與

2L 重合。

4 3

16 6

kx y

x ky

− =⎧⎨

− =⎩

令4

16

k

k

−

=

−

⇒ 264k− = − ⇒ 8k = ±

(1) 當 8k = − 時8 4 3

16 8 6

− −= ≠ ⇒

1L //

2L

(2) 當 8k = 時8 4 3

16 8 6

−

= =

−

⇒ 1L 與

2L 重合


（○）1. 直線 ( ): 0 0L ax by c b+ + = ≠ ，則與L平行的直線可設為

( )0ax by k k c+ + = ≠ 。

（○）2. 直線 ( ): 0 0L ax by c b+ + = ≠ ，則與L垂直的直線可設為

0bx ay k− + = 。

★ 1. 通過點 ( )1,3P 且與3 3 0x y+ − = 平行的直線方程式L為 3 6 0x y+ − = 。

2. 若L為和直線2 1 0x y+ − = 平行且過點 ( )1,1 之直線，則L之方程式為 2 3 0x y+ − = 。

3. 通過點 ( )5,0 且與3 4 1 0x y+ − = 垂直的直線方程式L為 4 3 20 0x y− − = 。

★ 4. 過點 ( )3,1 且與 2 5 0x y− − = 垂直的方程式為 2 7 0x y+ − = 。

5. 求過直線1: 1 0L x y+ − = 及

2: 2 4 0L x y− + = 之交點，且與

3: 2 1L x y− = 垂直之直線方程式為

2 0x y+ = 。

★ 6. 設一直線5 0x ay b+ + = 過兩直線3 4 0x y+ + = ，2 5 6 0x y+ − = 的交點，並與直線

5 12 3 0x y− + = 平行，則b之值為 34 。

7. 設一直線與直線3 2 7 0x y− + = 垂直，且其二截距和為8，則此直線的方程式為

10 15 48 0x y+ − = 。

8. 方程組2 3 7 0

3 4 99 0

x y

x y

− + =⎧⎨

+ + =⎩之解的個數為一組。

9. 直線1: 2 1 0L x y− + = 與

2: 4 2 3 0L x y− + = 的關係為平行。

★ 10. 設二直線 ( )1: 3 3 2 2L x m y+ − = 與 ( )2

: 2 3 4L m x y− + = ，若1 2L L⊥ ，則m值為 1 。

11. 設1: 6 1L ax y b− = + ，

2: 3L x y a+ = ，試求

1L 、

2L 重合時a b+ 之值為 1 。

12. 設直線 L與直線 2 3 0x y+ + = 平行，且與兩坐標軸所圍成的三角形面積為9，則L之方程式為

2 6 0 2 6 0x y x y+ + = + − =或。

二直線的關係 6

年月日動手

年月日完成

解解


1. 點至直線之距離：

設點 ( )0 0,P x y ，直線 : 0L ax by c+ + = ，則P點至直線 L之距離為 0 0

2 2

ax by cd

a b

+ +

=

+

。

2. 兩平行線之距離：

設直線1 1: 0L ax by c+ + = 與

2 2: 0L ax by c+ + = 為兩平行線，則

1L 與

2L 之距離為 1 2

2 2

c cd

a b

−

=

+

。

求點 ( )2,1− 到直線3 4 1 0x y− + = 之距離。

點 ( )2,1− 到直線3 4 1 0x y− + = 之距離

( )

( )22

3 2 4 1 1 9

53 4

d× − − × +

= =

+ −

試求點 ( )3,1− 到直線 : 14 8

x yL + =

−

的距離。

將直線 L 化為一般式得 2 8 0x y− − =

∴ ( )

( )22

2 3 1 8 153 5

52 1

d× − − −

= = =

+ −

試求斜率為1

3且到 ( )2,1− 之距離為 10之直線

方程式。

∵ 斜率為1

3

設直線方程式為 3 0x y k− + =

又

( )22

2 310

1 3

kd

− − +

= =

+ −

⇒ 5

1010

k −= ⇒ 5 10k − =

⇒ 5 10k − = 或 5 10k − = −

⇒ 15k = 或 5k = −

∴ 所求直線為 3 15 0x y− + = 或 3 5 0x y− − =

已知直線 L的斜率為3，且與點 ( )1,3− 之距離

為 10，試求L之方程式。

∵ 斜率為3

設直線方程式為3 0x y b− + =

又( )

( )22

3 1 310

3 1

bd

× − − +

= =

+ −

⇒ 6

1010

b −= ⇒ 6 10b − =

⇒ 6 10b − = 或 6 10b − = −

⇒ 16b = 或 4b = −

∴ 所求直線為3 16 0x y− + = 或3 4 0x y− − =

焦點一點與直線的距離

點到直線之距離 1

點到直線之距離應用（回顧 P15 老師�） 2

解

點與直線的距離 1-3.4

解解

解


1

平面上兩點 ( )2,2P 、 ( )2,1Q − ，直線 L的方程

式為 1 0x y+ − = ，若線段 PQ與直線 L交於

R，試求 :PR RQ。

( ) ( ): , : ,PR RQ d P L d Q L=

2 2 2 2

2 2 1 2 1 1:

1 1 1 1

+ − − + −

=

+ +

3: 2=

平面上兩點 ( )2, 2A − 、 ( )5, 1B − − ，直線 L的方

程式為 2 3 0x y+ + = ，若線段 AB與直線 L交

於P，試求 :AP PB。

( ) ( ): , : ,AP PB d A L d B L=

2 2 2 2

4 2 3 10 1 3:

2 1 2 1

− + − − +

=

+ +

5 :8=

求兩平行線 3 4 99x y+ = − 與 3 4 11 0x y− − + =

之間的距離。

整理得3 4 99 0

3 4 11 0

x y

x y

+ + =⎧⎨

+ − =⎩

由兩平行線距離公式知

( )2 2

99 11 11022

53 4

d− −

= = =

+

試求兩平行線 2 3 0x y+ + = 與 2 4 14 0x y+ − =

之間的距離。

整理得2 4 6 0

2 4 14 0

x y

x y

+ + =⎧⎨

+ − =⎩

∴ ( )2 2

6 14 202 5

202 4

d− −

= = =

+

★ 1. 點 ( )2, 1− 至直線 3 0x y+ − = 之距離為 2 。

2. 直線4 3 10 0x y+ + = 與原點的距離為 2 。

3. 在坐標平面上，若 : 3 5L y x= + 為一直線，則點( )3, 1− 至L的距離為3 10

2。

★ 4. 斜率為2

3− 且到 ( )2, 2− 距離為 13之直線方程式為2 3 15 0 2 3 11 0x y x y+ + = + − =或。

5. 設兩直線 2 2 0x y+ − = ， 2 2 4 0x y− − = 之交點為 P ，則 P 到直線 4 3 2 0x y− + = 之距離為

2 。

6. 與直線 3 2 0x y+ − = 平行且距離為2 10 之直線方程式為 3 18 0 3 22 0x y x y+ + = + − =或。

★ 7. 與直線5 12 3 0x y+ − = 平行且與點 ( )1,1− 距離為2之直線方程式為

5 12 19 0 5 12 33 0x y x y+ + = + − =或。

★ 8. 直線斜率為3

2− 且到原點之距離為 13之方程式為3 2 13 0 3 2 13 0x y x y+ + = + − =或。

點到直線之距離應用：求線段比 3

兩平行線間的距離 4

年月日動手

年月日完成

解解

解解


9. 設兩平行線3 4 0x y k− + = ，3 4 6 0x y− − = 之距離為2，則 k 有二解，則此二解和為

12− 。

★ 10. 平面上兩點 ( )2, 5P − 、 ( )2,3Q − ，直線 L的方程式為 3 0x y− − = ，若線段 PQ與直線 L交於

R點，則 :PR RQ = 1: 2 。

11. 直線2 3 4 0x y+ + = 與2 3 22 0x y+ − = 之距離為 2 13 。

12. 直線 2 1 0x y− + = 與2 4 8 0x y− − = 之距離為 5 。

13. 設1

1: 5

3L y x= + ，

2: 3 1 0L x y− − = ，則

1L 與

2L 之距離為

810

5。

14. 設1: 53 4

x yL + = − ，

2: 103 4

x yL + = − ，則

1L 與

2L 之距離為 12 。

15. 點 ( )2,5− 至直線 : 13 4

x yL + = 的距離為 1 。

一、基本觀念穩固基本能力指標

★（ C ）1. 若 0ab > ， 0b > ，則點 ( ),P a b− − 和點 ,

bQ a

a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

分別在第幾象限？ (Ａ)一、三

(Ｂ)二、四 (Ｃ)三、一 (Ｄ)四、二。

★（ C ）2. 下列哪一個函數為一直線？ (Ａ) ( ) 21f x x= − (Ｂ) ( ) 2

2g x x= − −

(Ｃ) ( ) 2h x x= − + (Ｄ) ( ) 31k x x= + 。

（ A ）3. 設 ( )3, 2A − 、 ( )5,6B − 的中點為M ，則 ( )3,1C − 到M 的距離為 (Ａ) 5 (Ｂ) 11

(Ｃ) 17 (Ｄ) 23。

★（ B ）4. 直角坐標平面上， ( )2,3A − 、 ( )1, 4B − ，若 ( ),P x y 在 AB上且 2AP BP= ，則 x y+ =

(Ａ)2

3− (Ｂ)

1

3− (Ｃ)

1

3 (Ｄ)

2

3。

（ C ）5. ABCD為平行四邊形，且 ( )5,9A 、 ( )4,6B 、 ( )10,7C 、 ( ),D a b ，則 a b− = (Ａ) 11

(Ｂ) 10 (Ｃ) 1 (Ｄ) 1− 。

（ B ）6. 設 x軸上一點 ( ),P a b ，到 ( )2, 1A − 、 ( )2,3B − 二點等距離，則a b+ = (Ａ) 2−

(Ｂ) 1− (Ｃ) 0 (Ｄ) 1。

★（ D ）7. 直角坐標系中有三條直線1 2 3L L L、、，其斜率分別是

1 2 3m m m、、，如右圖。則下列何者正確？

(Ａ)1 2 3m m m> > (Ｂ)

1 2 3m m m< < (Ｃ)

2 30m m <

(Ｄ)1 2

0mm < 。

★（ B ）8. 若 0a > 且 0b < ，則 y ax b= + 之圖形不通過哪一個象限？

(Ａ)第一象限 (Ｂ)第二象限 (Ｃ)第三象限 (Ｄ)第四象限。

年月日動手

年月日完成


1 （ B ）9. 直線

1: 2 3 4 0L x y+ + = 與

2: 7 5 0L x ay+ − = 互相垂直，則a之值為何？ (Ａ)

14

3

(Ｂ)14

3− (Ｃ)

7

12 (Ｄ)

2

3。

（ A ）10. 過點 ( )2, 1− 與 ( )3,4 之直線方程式為何？ (Ａ)5 11 0x y− − = (Ｂ)5 11 0x y+ − =

(Ｃ) 5 11 0x y− + = (Ｄ) 5 11 0x y+ + = 。

★（ A ）11. 已知兩點 ( )2, 1A − 與 ( )4,3B ，則線段 AB 的垂直平分線方程式為何？

(Ａ) 2 5 0x y+ − = (Ｂ) 2 5 0x y− − = (Ｃ) 2 1 0x y− − = (Ｄ) 2 7 0x y+ − = 。

（ A ）12. 過點 ( )2,3 且與直線5

12

y x= − 平行的直線方程式為何？ (Ａ)5

22

y x= −

(Ｂ)5

22

y x= + (Ｃ)2

25

y x= − (Ｄ)2

25

y x= + 。

二、推理應用學習概念系統歸納

★（ C ）1. 若函數 22 4y x x= + − ，則其頂點坐標落在第幾象限？ (Ａ)第一象限 (Ｂ)第二象限

(Ｃ)第三象限 (Ｄ)第四象限。

★（ A ）2. ( )y f x= 的圖形是一通過 ( )1,1 、 ( )2,3 二點的直線，則 ( )1f − = (Ａ) 3− (Ｂ) 1−

(Ｃ)1 (Ｄ)3。

（ A ）3. 若點 ( ),P x y 的坐標滿足方程式 ( )2

3 2 8 2 4 0x y x y+ − + + − = ，則點 ( ),P x y 的坐標在

第幾象限？ (Ａ)一 (Ｂ)二 (Ｃ)三 (Ｄ)四。

（ D ）4. 函數 ( )f x ax b= + 且其圖形經過 ( )2,1A 、 ( )3, 4B − − ，則 ( )5f = (Ａ) 1 (Ｂ) 2 (Ｃ) 3

(Ｄ) 4。

★（ C ）5. 若函數 ( ) 22 4f x x x k= − + ，有極小值 3− ，則k 值為何？ (Ａ) 3− (Ｂ) 2− (Ｃ) 1−

(Ｄ)0。

★（ D ）6. 設 0a ≠ ， ( ) 2y f x ax bx c= = + + 之圖形如右，則下列

何者正確？ (Ａ) ( ) 0a a b c+ + > (Ｂ) ( ) 0b a b c− + >

(Ｃ) ( ) 0c a b c− + > (Ｄ) ( )24 0a b ac− < 。

（ D ）7. 如右圖，兩直線1L 、

2L 之方程式分別為

1: 0L x ay b+ + = ，

2: 0L x cy d+ + = ；試問下列哪個選項是正確的？

(Ａ) 0a > (Ｂ) 0b > (Ｃ) 0c > (Ｄ) 0d > 。

★（ A ）8. 設a、b為實數，且 0a b+ < ， 0ab > ，則直線

0ax by ab+ − = 不通過第幾象限？ (Ａ)一 (Ｂ)二 (Ｃ)三

(Ｄ)四。

（ C ）9. 二元一次方程式 1 0ax by+ + = 的圖形通過 ( )3,3A − 、 ( )1,B k− 兩點，且知圖形與 x軸

相交於 ( )3,0C ，求k 值為何？ (Ａ) 1 (Ｂ)3

2 (Ｃ) 2 (Ｄ)

5

2。

（ D ）10. 已知直線 L之 x截距為6， y 截距為3，則下列敘述何者正確？ (Ａ) 直線 L之斜率

0> (Ｂ) 直線 L之方程式為 2 12x y+ = (Ｃ) 直線 L之方程式為 2 12x y+ = (Ｄ) 直線

L之方程式為 2 6x y+ = 。

年月日動手

年月日完成

單元 1 直線方程式 32

（ B ）11. 由點 ( )3,2 至直線3 4 8 0x y+ + = 之距離為何？ (Ａ)6 (Ｂ)5 (Ｃ)4 (Ｄ)3。

★（ D ）12. 設線段 AB 的兩端點為 ( )1,3A − 與 ( )1,7B ，若直線 0x ay b+ + = 為 AB 的垂直平分

線，則a b+ = (Ａ) 7 (Ｂ) 7− (Ｃ) 8 (Ｄ) 8− 。

（ A ）13. 若三點 ( )1,3A − 、 ( )2,5B 、 ( )2, 3C a a− + 在一直線上，則a之值為何？ (Ａ) 2−

(Ｂ) 2 (Ｃ) 8− (Ｄ) 8。

★（ D ）1. 設 ( )5,8A 、 ( )7,0B 、 ( )3, 2C − − 是三角形 ABC 的三頂點，若 D、 E 、 F 分別是

AB 、 BC 、 CA的中點，則三角形 DEF 的重心坐標為下列何者？ (Ａ) ( )2,3−

(Ｂ) ( )2, 3− (Ｃ) ( )2,3 (Ｄ) ( )3,2 。【101 統測(A)】

（ D ）2. 函數 ( ) 22 3 4f x x x= − + − 的圖形，其頂點落在第幾象限？ (Ａ)一 (Ｂ)二 (Ｃ)三

(Ｄ)四。【101 統測(A)】

★（ C ）3. 無論m為任何實數，直線 1 3mx y m− + = 都通過下列哪一點？ (Ａ) ( )0,0 (Ｂ) ( )0,1

(Ｃ) ( )3,1 (Ｄ) ( )2,1 。【101 統測(A)】

（ C ）4. 已知直線1L ，

2L 方程式分別為 ( )1

: 4 1 15L x m y+ − = ， ( )2: 2 3 6 7L m x y+ + = ，且

1L 垂直

2L ，則m之值為何？ (Ａ)

13

7− (Ｂ)

7

6− (Ｃ)

3

7− (Ｄ)

3

8− 。【101 統測(B)】

★（ A ）5. 設直角坐標平面上四點 ( )2,1A − ， ( )1 2,B b b ， ( )1 2

,C c c ， ( )4,3D 在同一直線上，依序

為 A、B、C、D，且B、C兩點將線段 AD三等份，則點C之坐標 ( )1 2,c c 為何？

(Ａ)7

2,3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(Ｂ)2 4,

3 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(Ｃ)1 2,

3 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(Ｄ)5

0,3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

。【101 統測(B)】

（ A ）6. 直線1: 2 1 0L x y− − = ，

2: 3 4 0L x y+ − = ，

3: 3 0L x ay+ + = ，若

1L 、

2L 、

3L 三直

線相交於一點，則a之值為何？ (Ａ) 4− (Ｂ) 2− (Ｃ) 2 (Ｄ) 4。【101 統測(B)】

★（ D ）7. 已知函數 ( ) ( )2

1 2f x a x= + − 的圖形不會經過第四象限，則 a之值可能為下列哪一

數？ (Ａ) 1− (Ｂ) 0.4 (Ｃ) 1.8 (Ｄ) 3.2。【101 統測(B)】

（ D ）8. 平面上四點 ( )1,1A 、 ( ),2B a 、 ( ), 1C b − 、 ( )0, 2D − ，其中b為正數，若 AB與CD互

相平行，且 BD與 AC 互相垂直，求 2a b+ 之值為何？ (Ａ) 7 (Ｂ) 8 (Ｃ) 9

(Ｄ) 10。【101 統測(C)】

★（ B ）9. 設 ( )2,4P − 與 ( )2, 2Q − ，若直線 : 3 0L ax y b+ + = 為 PQ的垂直平分線，求 a b+ 之

值為何？ (Ａ)15

2− (Ｂ) 5− (Ｃ) 1− (Ｄ)

3

2。【101 統測(C)】

（ D ）10. 設點 ( )5, 3A x y+ − 在第二象限，則點 ( )1, 1B y x+ + 在第幾象限？ (Ａ)第一象限

(Ｂ)第二象限 (Ｃ)第三象限 (Ｄ)第四象限。【100 統測(A)】

（ C ）11. 設點 A坐標為 ( )1, 2− ，且B、C兩點在直線 : 3 4 1L x y− = 上，若線段BC的長為 3，

則△ ABC的面積為何？ (Ａ) 1 (Ｂ) 2 (Ｃ) 3 (Ｄ) 6。【100 統測(A)】

年月日動手

年月日完成


1

（ C ）12. 已知 ( ) 2 1f x x= − + ，則此函數的圖形不會經過哪一象限？ (Ａ)第一象限

(Ｂ)第二象限 (Ｃ)第三象限 (Ｄ)第四象限。【100 統測(B)】

（ B ）13. 已知 ( )1.38,0.4162A 與 ( )1.39,0.4177B 兩點，若點 P 落在線段 AB 上，且

: 2 : 3AP BP = ，則 P 點之 y 坐標為何？ (Ａ) 0.4165 (Ｂ) 0.4168 (Ｃ) 0.4171

(Ｄ) 0.4174。【100 統測(B)】

（ A ）14. 已知 ( ),0A a 與 ( )3,B b 兩點，若線段 AB的中點為 ( )1,2M − ，則點 A到 y 軸的距離與

點B到 x軸的距離之和為何？ (Ａ) 9 (Ｂ) 10 (Ｃ) 11 (Ｄ) 12。【100 統測(B)】

（ C ）15. 設點 ( ),2a 落在 ( )1,3 與 ( )2,5 兩點的連線上，則 a = (Ａ) 1− (Ｂ) 0.5− (Ｃ) 0.5

(Ｄ) 1。【100 統測(B)】

★（ D ）16. 設直線1L 的斜率為−2 且通過點 ( )0, 4− ，又直線

2L 的 x、 y軸截距分別為 1、2，則

下列敘述何者正確？ (Ａ)1L 與

2L 相交於點 ( )2, 8− (Ｂ)

1L 與

2L 相交於點 ( )4, 6−

(Ｃ)1L 與

2L 平行且兩線相距

2

5 (Ｄ)

1L 與

2L 平行且兩線相距

6

5。【100 統測(C)】

（ A ）17. 設 a、b、 c為實數，且二次函數 2y ax bx c= + + 的圖形如圖所示，

則點 ( )24 ,P b ac abc− 在第幾象限？ (Ａ)第一象限 (Ｂ)第二象限

(Ｃ)第三象限 (Ｄ)第四象限。【100 統測(C)】

（ C ）18. 若直線 24 7 53x y− = 與二直線 0x = 、 7x = 分別交於 A、 B二點，

則線段 AB的長度為何？ (Ａ)24

7 (Ｂ)

53

7 (Ｃ) 25 (Ｄ) 53。【100 統測(C)】

★（ D ）19. 已知直線1 1 1:L y m x b= + 及直線

2 2 2:L y m x b= + ，如圖所

示，則下列敘述何者正確？ (Ａ)1 1

0 0m b< >且

(Ｂ)1 1

0 0m b> <且 (Ｃ)2 2

0 0m b< >且 (Ｄ)2 2

0 0m b> <且。

【99 統測(A)】

（ C ）20. 已知直線 : 3 4 12 0L x y− − = 及 ( )0,0A 、 ( )6, 3B − 兩點。若

1d 為點 A到直線 L的距離，

2d 為點B到直線 L的距離，則

下列何者正確？ (Ａ)1

13

5d = (Ｂ)

1

13

5d > (Ｃ)

2

18

5d =

(Ｄ)2

18

5d < 。【99 統測(A)】

（ B ）21. 已知平面上三點 ( )2,1A ， ( )1,3B 及 ( )4,C k ，若線段 AB及 AC 垂直，則 k = (Ａ) 1

(Ｂ) 2 (Ｃ) 3 (Ｄ) 4。【99 統測(B)】

（ C ）22. 設 ( )1,2A − ， ( )2,6B 為坐標平面上兩點，且C為線段 AB上一點，使得2 3AC BC= 。

求 A與C兩點間之距離為何？ (Ａ) 1 (Ｂ) 2 (Ｃ) 3 (Ｄ) 4。【99 統測(B)】

（ C ）23. 已知直線1: 3 4 3 0L x y− − = ，

2: 2 3 13 0L x y− − = ，

3: 1 0L x y+ + = ，求

2L 和

3L 之

交點到直線1L 之距離為何？ (Ａ) 1 (Ｂ) 2 (Ｃ) 3 (Ｄ) 4。【99 統測(B)】

★（ B ）24. 關於直線 : 4 28L x y+ = ，下列敘述何者正確？ (Ａ)斜率為7 (Ｂ) y截距為7

(Ｃ)通過點 ( )7,7 (Ｄ) x截距為7。【99 統測(C)】


（ D ）25. 設三直線1: 3 2 0L x y+ − = ，

2: 3 2 0L x y+ + = ，

3: 2 0L x y− − = ，且

1L 與

2L 相交於 A

點，則過 A點且與3L 平行的直線，不通過哪一個象限？ (Ａ)第一象限

(Ｂ)第二象限 (Ｃ)第三象限 (Ｄ)第四象限。【99 統測(C)】

（ C ）26. 設 ( )1, 3A − − 與 ( )6,4B 為坐標平面上之兩點。若點C在線段 AB上，且4 3AC BC= ，

則BC = (Ａ) 2 (Ｂ) 3 2 (Ｃ) 4 2 (Ｄ) 5 2。【99 統測(A)】

（ C ）27. 已知坐標平面上三點 (2 , 1)A −　、 ( 2 , 1)B − − 與 ( , )C x y 。若線段 AB、BC與CA所形

成的三角形 ABC△ 中， A∠ 為直角，則點 C 之坐標 ( , )x y 可以是下列何者？

(Ａ) ( )1, 1− (Ｂ) ( )4,0 (Ｃ) ( )2,3 (Ｄ) ( )0,4 。【98 統測(A)】

（ A ）28. 坐標平面上的直線 4 3 12 0x y− + = ，與 x 軸及 y 軸所圍成之三角形的面積為何？

(Ａ) 6 (Ｂ) 7 (Ｃ) 12 (Ｄ) 24。【98 統測(A)】

★（ D ）29. 已知 ( )4,4A − 與 ( ),B a b 為坐標平面之兩點，且點 ( )1,1C − 位在線段 AB 上，又

3BC 2AC= ，則點B之坐標為何？ (Ａ)2 2,

3 3

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠ (Ｂ)

3 3,

4 4

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠ (Ｃ)

4 4,

5 5

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

(Ｄ) ( )1, 1− 。【98 統測(B)】

（ C ）30. 在坐標平面上，若兩平行線2 4x y k+ = 與 2 4x y− − = 的距離為 20 ，且 0k > ，則

k = (Ａ) 8 (Ｂ) 10 (Ｃ) 12 (Ｄ) 28。【98 統測(B)】

（ B ）31. 在坐標平面上，若兩直線1: 2 1L my x= + 與

2: 2 3 1L y x= + 互相垂直，則m = (Ａ)

3

4−

(Ｂ) 3− (Ｃ)4

3− (Ｄ) 1− 。【98 統測(B)】

（ C ）32. 試求函數 ( ) 4 3f x x x= + + − 的最小值為何？ (Ａ) 3 (Ｂ) 4 (Ｃ) 7 (Ｄ) 12。

【97 統測】

（ B ）33. 在坐標平面上的平行四邊形 ABCD中，若 A、 B、C三點的坐標分別為 ( )5,4− 、

( )0, 5− 、 ( )4, 8− ，則D點應落在下列哪一個象限？ (Ａ)第一象限 (Ｂ)第二象限

(Ｃ)第三象限 (Ｄ)第四象限。【97 統測】

★（ A ）34. 設a為實數，若函數 ( ) ( )2

3 9 2f x a x a= + − + 在 3x = − 時有最大值20，則a =

(Ａ) 2− (Ｂ) 1− (Ｃ) 1 (Ｄ) 2。【97 統測】

（ A ）35. 已知三角形三頂點的直角坐標分別為 ( )3, 5A − 、 ( )1,8B − 、 ( )7,6C ，此三角形的重

心坐標為何？ (Ａ) ( )3,3 (Ｂ) ( )1,3 (Ｃ) ( )2,4 (Ｄ) ( )3,2 。【97 統測】

（ D ）36. 在坐標平面上，設 P、Q兩點的坐標分別為 ( )6, 3− 、 ( )2, 9− − ，線段 PQ的長度為

何？ (Ａ) 4 (Ｂ) 6 (Ｃ) 8 (Ｄ) 10。【97 統測】

（ C ）37. 在坐標平面上，設 a ， b 為實數，若直線 y ax b= + 通過點 ( )0,6 與點 ( )3,0 ，則

3 2a b+ = (Ａ) 4 (Ｂ) 5 (Ｃ) 6 (Ｄ) 7。【97 統測】

★（ A ）38. 在坐標平面上，設 a、b為實數，若 A、 B兩點的坐標分別為 ( ),1a 、 ( ),3b 且線段

AB的垂直平分線為2 4x y+ = ，則2a b+ = (Ａ) 1 (Ｂ) 2 (Ｃ) 1− (Ｄ) 2− 。

【97 統測】

（ B ）39. 在坐標平面上，設 k 為實數，若 ( )2,3 、 ( )4, 5− 、 ( ), 3k − 三點共線，則 k = (Ａ) 3

(Ｂ)1

32 (Ｃ)

334 (Ｄ)

143。【97 統測】


1 ★（ A ）40. 若 ( )2,5A 、 ( )1,2B − 、 ( )3,4C 為坐標平面上三點，且D為 BC之中點，則 AD

�

的直

線方程式為何？ (Ａ) 2 1y x= + (Ｂ) 2 1y x= − (Ｃ) 2 1y x= + (Ｄ) 2 1y x= − 。

【97 統測】

（ B ）41. 在坐標平面上，兩直線 5 0x y+ − = ， 3 3 0x y− + = 與 y 軸所圍成之三角形面積為

何？ (Ａ) 5 (Ｂ) 6 (Ｃ) 7 (Ｄ) 8。【97 統測】

（ A ）42. 在坐標平面上，點 A 、 B 之坐標分別為 ( )1, 2− 、 ( )6,13 ，若 C 點在 AB 上且

4BC AC= ，則C點的坐標為何？ (Ａ) ( )2,1 (Ｂ) ( )2, 1− (Ｃ) ( )1,2 (Ｄ) ( )1, 2− 。

【96 統測】

（ C ）43. 在坐標平面上，若 0a > 且 0b < ，則點 ( ),ab b a− 在第幾象限內？ (Ａ)一 (Ｂ)二

(Ｃ)三 (Ｄ)四。【96 統測】

（ A ）44. 若 ( ) 25 6 1f x x x= + + 在 x a= 時有最小值b，則a b− = (Ａ)

1

5 (Ｂ) 0 (Ｃ)

3

5−

(Ｄ)4

5− 。【96 統測】

★（ C ）45. 根據果農之種植經驗，若每畝種植16棵柿子樹時，則每棵樹平均可產 200個柿子；

但每畝增加種植一棵柿子樹，則每棵會減產10個柿子。問若欲達到最大收成的條件

下，每畝應種植幾棵為最佳？ (Ａ) 16 (Ｂ) 17 (Ｃ) 18 (Ｄ) 19。【95 統測】

�焦點統測題（常考或須特別加強觀念的題型）

（ C ）1. 若坐標平面上三點 ( )2,6A − 、 ( )10,2B 、 ( ), 4C a a + 在同一直線上，則a =

(Ａ) 2− (Ｂ) 1− (Ｃ) 1 (Ｄ) 2。【100 統測(A)】

（ B ）2. 設直線 L通過 ( )3,4 與 ( )9, 4− 兩點，則原點 ( )0,0 與直線 L的距離與下列何者最接

近？ (Ａ) 4 (Ｂ) 5 (Ｃ) 16 (Ｄ) 24。【100 統測(B)】

（ C ）3. 設過點 ( )4,5 且垂直於直線3 2 8x y− = 的直線方程式為 1ax by+ = ，則a b+ =

(Ａ)1

23

−

(Ｂ)1

23 (Ｃ)

5

23 (Ｄ)

6

23。【100 統測(A)】

（ C ）4. 已知 ( )5,3A − 與 ( )1,9B ，若點 ( ),P x y 在線段 AB之上，且 : 3 : 2AB PB = ，則點 P

與點 ( )2,4C − 的距離為何？ (Ａ) 5 (Ｂ) 3 (Ｃ) 2 (Ｄ) 1。【98 統測(A)】

（ B ）5. 在坐標平面上，若點 ( ),P a b 在第二象限，則點 ( ),Q ab b a− 在第幾象限？ (Ａ)一

(Ｂ)二 (Ｃ)三 (Ｄ)四。【94 統測】

突破數學b複習講義

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