bai tap gt2
DESCRIPTION
toán cao cấpTRANSCRIPT
BÀI TẬP CHƯƠNG 1
Câu 1.1: Tìm miền xác định của các hàm số sau:
a. , b. ,
c. , d. .
Câu 1.2: Tìm các giới hạn kép sau:
a. b. c.
d. e. f.
Câu 1.3: Tìm và
a. b.
c.
d.
Câu 1.4: Chứng minh rằng hàm số liên tục theo
từng biến tại (khi cố định biến kia) nhưng không liên tục theo tập hợp các biến.
Câu 1.5: Tính đạo hàm riêng các hàm số sau:
a. b. ,
c. , d. .
1
Câu 1.6: Chứng minh các hệ thức sau đây với các điều kiện tương ứng
a. , với ,
b. , với , f(t) khả vi.
Câu 1.7: Tính đạo hàm của các hàm số hợp sau:
a. b.
Câu 1.8: Tính vi phân toàn phần của các hàm số sau:
a. , b. ,
c. , d.
Câu 1.9: Tính gần đúng các số sau đây :
a. b.
Câu 1.10: Cho là hàm số ẩn xác định từ phương trình . Hãy tính gần
đúng
Câu 1.11: Cho hàm số Tính các đạo hàm riêng biết rằng là hàm số ẩn
của xác định từ phương trình Câu 1.12: Tính đạo hàm của các hàm số ẩn xác định bởi các phương trình tương ứng
a. , tính . b. tính .
c. , tính . d. , tính .
Câu 1.13: Chứng minh các hệ thức sau đây, với các điều kiện tương ứng
a. , với , f(t) khả vi liên tục đến cấp hai,
b. , với
c.. , với
d. , với
Câu 1.14: Tính vi phân cấp hai của các hàm số
2
a. b. c.
Câu 1.15: Cho , . Tính .
Câu 1.16: Cho , . Tính , gọi là véc tơ bán kính.
Khi nào .
Câu 1.17: Cho . Khi nào
.Câu 1.18: Tìm cực trị của các hàm số
a. , b. ,.
c. , d.
e. , f. ,
g. với x > 0, y > 0 , h. .
Câu 1.19: Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng x + 2y + 3z = 3.
Câu 1.20: Cho ellipse , tìm các điểm trên đó có khoảng cách gần nhất đến đường
thẳng .
Câu 1.21: Tìm a, b, c sao cho thể tích của ellipsoid đi qua điểm (1,2,1) là nhỏ nhất có thể có được.
Câu 1.22: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trên ellipse là giao
của mặt trụ và mặt phẳng .Câu 1.23: Tìm thể tích lớn nhất có thể có của hình hộp chữ nhật có các mặt song song với các mặt tọa độ, một đỉnh ở gốc tọa độ và đỉnh đối qua đường chéo của nó nằm trên mặt phẳng
.Câu 1.24: Phân tích số dương a thành tích của bốn số dương có tổng bé nhất.Câu 1.25: Hình hộp nào nội tiếp hình cầu bán kính R có thể tích lớn nhất ?
3
Câu 1.26: Tìm hình hộp chữ nhật với thể tích V cho trước có diện tích toàn phần bé nhất.Câu 1.27: Tìm GTLN, GTBN của các hàm số sau:
a. trong miền ,
b. ,
trong miền ,
c. trong miền ,
d. trong miền tròn:
Câu 1.28: Chứng minh các công thức
a. , b. ,
c. .
Câu 1.29: Cho . Tính góc giữa các tại điểm (1,1) và (3,4).
Câu 1.30: Cho . Xác định điểm tại đó .
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
Câu 2.1: Chứng minh các tích phân sau hội tụ đều đối với
a. , b. .
Câu 2.2: Cho hàm số . Chứng minh tích phân phụ thuộc tham số
là hàm số liên tục với mọi . Hãy vẽ đồ thị của hàm số
Câu 2.3: Xét sự liên tục của tích phân phụ thuộc tham số với liên
tục và dương trên .
4
Câu 2.4: Tính .
Câu 2.5: Chứng minh rằng hàm số liên tục và khả vi với mọi
. Từ đó tính Câu 2.6: Tính các tích phân
a. , b.
Câu 2.7: Đổi thứ tự tích phân các tích phân sau:
a. , b. , c. , d.
Câu 2.8: Tính các tích phân bội hai sau:
a. ,
b. ,
c. D là miền giới hạn bởi các đường ,
d. , D là miền giới hạn bởi các đường .
Câu 2.9: Tính các tích phân bội hai sau:
a. , D dược giới hạn bởi các đường tròn
,
b. , D là miền giới hạn bởi đường ,5
c. , D là giao của hai hình tròn ,
d. .
Câu 2.10: Cho trong đó
a. Tính
b. Chứng minh rằng . Từ đó hãy tính
Câu 2.11: Tính là miền giới hạn bởi các đường:
Câu 2.12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a. , b. ,
c. , d. .
Câu 2.13: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt:
a. , b. .
Câu 2.14: Tính các tích phân bội ba sau:
a. ,
b.
,
c.
6
d. .
Câu 2.15: Xác định trọng tâm của các bản phẳng đồng chất giới hạn bởi các đường:
a. b.
c. d.
Câu 2.16: Tính mô men quán tính đối với trục Oy của bản phẳng có mật độ khối lượng
giới hạn bởi đường .Câu 2.17: Xác định trọng tâm của các vật thể đồng chất giới hạn bởi các mặt:
a.
b.
c.
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
Câu 3.1: Tính tích phân đường loại 1 sau:
, L là biên hình chữ nhật ABCD với A(0,0), B(4,0), C(4,2), D(0,2),
Câu 3.2: Tính khối lượng của dây vật chất có phương trình
với khối lượng riêng .
Câu 3.3: Tính các tích phân đường loại 2 sau:
a. , là đường gấp khúc với A(0,0), B(2,2), C(4,0),
b. , L là cung parabol nằm ở phía trên trục 0x theo
chiều kim đồng hồ.
7
Câu 3.4: Tính từ A(1,0) đến B(0,2) theo:
a. đường , b. đường , c. đường .
Câu 3.5: Tính và theo chiều dương với L là:
a. Đường tròn , b. Biên của nửa hình tròn ,
c. Tam giác có ba đỉnh O(0,0), A(a,0) và B(0,b).
Câu 3.6: Tính
với L là biên của tam giác OAB theo chiều dương,
biết O(0,0), A(1,0), B(0,1). a. bằng cách tính trực tiếp, b. dùng công thức Green.
Câu 3.7: Tính với L là đường (theo chiều dương) bằng hai cách: a. trực tiếp, b. dùng công thức Green.Câu 3.8: Tính các tích phân đường sau theo chiều dương:
a. , L là biên của tam giác ABC, A(-1,0), B(1,-2), C(1,2).
b. , L là đường .
Câu 3.9: Tích phân đường sau đây có phụ thuộc vào đường lấy tích phân không? Tính tích
phân theo tương ứng:
a. với , không cắt trục Oy.
b. với
có phương trình và không cắt các trục toạ độ.
8
Câu 3.10: Chứng minh rằng các biểu thức sau đây là vi phân toàn phần của hàm
u(x,y) nào đó. Tìm hàm số u?
a. ,
b. ,
c. ,
d. .
Câu 3.11: Tính với:
a. L là đường (theo chiều ngược kim đồng hồ)
b. L là biên hình vuông với đỉnh (-1,-1), (-1,1), (1,1), (1,-1) (theo chiều thuận kim đồng hồ).
Câu 3.12: Tìm m, a, b để các biểu thức sau là vi phân toàn phần của hàm số u nào đó và tìm hàm số đó
a. , b. .
Câu 3.13: Tính , L có phương trình
Câu 3.14: Tính nếu:
a. S là mặt nón ,
b. S là mặt cầu .
Câu 3.15: Tính các tích phân mặt loại một sau:
a. , S là phần của mặt phẳng nằm trong góc phần tám thứ nhất.
b. , S là phần của mặt nón nằm trong hình trụ
9
.
c. , S là phần của mặt trụ parabolic nằm trong góc phần tám thứ nhất
của hình trụ .
Câu 3.16: Tính khối lượng của mặt cong cho bởi phương trình ,
biết khối lượng riêng Câu 3.17: Tính các tích phân mặt loại hai sau:
a. , lấy theo phía ngoài của S, trong đó S là mặt cầu xác định bởi
phương trình .
b. , lấy theo phía ngoài của S, trong đó S là phần mặt cầu
xác định bởi phương trình
c. , lấy theo phía ngoài của S, trong đó S là mặt ellipsoid
.
d. , lấy theo phía trên của S, trong đó S là nửa mặt cầu
Câu 3.18: Tính các tích phân đường sau theo hướng ngược kim đồng hồ nhìn từ phía :
a. , L là đường tròn ,
b. , L là đường tròn .
Câu 3.19: Tính các tích phân mặt theo phía ngoài của vật thể bao bởi mặt cong S.
10
a. , S là biên của hình chóp
,
b. , S là mặt cầu ,
c. , S là biên của hình lập phương
.
Câu 3.20: Tính , L có phương trình
, hướng theo chiều tăng của t.
Câu 3.21: Tìm thông lượng của các trường véc tơ sau:
a. qua phần của mặt cầu hướng ra ngoài:
.
b. qua mặt cầu hướng ra ngoài.
c. qua mặt hướng lên trên.
d. qua mặt cầu hướng ra ngoài.
e. qua biên hướng ra ngoài của vật thể V giới
hạn
bởi các mặt cong:
Câu 3.22: Tính lưu số của trường dọc theo cung tròn
nhỏ nhất của đường tròn lớn của mặt cầu nối các điểm M(3,4,0) và
N(0,0,5).
11
Câu 3.23: Tính lưu số của trường véc tơ , trong đó L có phương trình
hướng theo chiều tăng của t.Câu 3.24: Chứng minh rằng các trường vectơ sau đây là những trường thế, tìm hàm thế vị của
chúng.
a. ,
b. ,
c. .
Câu 3.25: Cho u và v là các hàm điều hoà. Chứng minh trường véc tơ là
trường ống.
Câu 3.26: Tìm hàm số khả vi thỏa mãn các điều kiện:
Câu 3.27: Cho hàm véc tơ . Hãy tìm hàm
số để tồn tại một véc tơ thỏa mãn các điều kiện:
Câu 3.28: Tìm hàm sao cho trường véc tơ
là trường thế và hãy tìm hàm thế của trường đó.
Câu 3.29:Cho hai hàm số khả vi liên tục đến cấp hai trong miền liên thông V có biên là
mặt cong S. Chứng minh , trong đó
là véc tơ pháp tuyến của mặt cong S hướng ra phía ngoài.
Câu 3.30:Cho trường véc tơ , với khả vi liên tục. Chứng minh:
là điều kiện cần và đủ để tồn tại trường véc tơ thỏa mãn:
BÀI TẬP CHƯƠNG 4Câu 4.1: Giải các phương trình:
12
a. , b. , c. ,
d. , e. , f. .Câu 4.2: Giải các bài toán Cauchy:
a. b.
c. d.
Câu 4.3: Giải các phương trình:
a. , b. ,
c. , d. .Câu 4.4: Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp 1:
a. , b. ,
c. , d. .Câu 4.5: Giải các bài toán Cauchy:
a. b.
Câu 4.6: Chứng minh hàm số là một nghiệm của phương trình . Hãy tìm nghiệm của phương trình thoả mãn điều kiện y(1) = 1.Câu 4.7: Giải các phương trình:
a. , b. ,
c. , d. .Câu 4.8: Giải các phương trình vi phân toàn phần:
a. , b. ,
c. ,
13
d. .Câu 4.9: Giải các phương trình sau đây bằng cách tìm thừa số tích phân
a. , b. ,
c. , d. .Câu 4.10: Giải các phương trình vi phân sau:
a. , biết rằng nó có một nghiệm riêng dạng
b. , biết nó có một nghiệm riêng dạng
c. , biết rằng nó có một nghiệm riêng y1(x) có dạng đa thức,
d. biết rằng nó có hai nghiệm riêng
.Câu 4.11: Giải các phương trình sau khi biết một nghiệm riêng của phương trình thuần nhất tương ứng.
a. b.
c.
d. có dạng đa thức.Câu 4.12: Giải các phương trình:
a. , b. ,
c. , d. .Câu 4.13: Giải các phương trình:
a. , b. ,
c. , d. ,
e. , f. .Câu 4.14: Giải các bài toán Cauchy
14
a. ,
b.
Câu 4.15: Giải bài toán Cauchy Câu 4.16: Giải các phương trình sau tương ứng với phép đổi biến
a.
b.
c. d.
e. Câu 4.17: Giải các hệ phương trình vi phân sau: (Đối số là x )
a. , b. . Câu 4.18: Giải các hệ phương trình vi phân sau: (Đối số là x )
a. , b. ,Câu 4.19: Giải các hệ phương trình vi phân sau: (Đối số là x )
a. , b. Câu 4.20: Giải các hệ phương trình vi phân sau:
a. b. Câu 4.21: Giải các bài toán Cauchy sau:
15
a. b.
16