bai tap ptdhr
TRANSCRIPT
-
8/17/2019 Bai Tap Ptdhr
1/10T
r ầ n
M i n h N
h ự t
Phương trình đạo hàm riêng
Bài 1a.
f x
3π 2x nếu π x 0
π
2x nếu 0
x
π
a0 1
π
π
π
f x dx 1
π
0
π
3π 2x dx
π
0
π 2x dx
4π
an 1
π
π
π
f x cosnxdx 1
π
0
π
3π 2x cosnxdx
π
0
π 2x cosnxdx
1
π
3π 2x sin nx
n
2
n2 cosnx
0
π
π
2x sin nx
n
2
n2 cosnx
π
0
0
bn 1
π
π
π
f x
sinnxdx 1
π
0
π
3π 2x sinnxdx
π
0
π
2x sinnxdx
1
π
3π 2x cosnx
n
2
n2 sinnx
0
π
π 2x cosnx
n
2
n2 sinnx
π
0
2 1 c
n
2
k nếu n 2k
0 nếu n 2k 1
ĐS:
f x 2π 2
n 1
1n
sin 2nx
b.
f x sin2 x 1 cos 2x
2
f x là hàm chẵn suy ra bn 0
a0 1
π
π
π
f x dx 2
π
π
0
f x dx 2
π
π
0
1 cos 2x
2dx
2
π
x2
sin 2x
4
π
0
1
an 1
π
π
π
f x cosnxdx 2
π
π
0
f x cosnxdx 2
π
π
0
1 cos 2x
2cosnxdx
1
π
π
0
cosnxdx
π
0
cos2x. cosnxdx
n 2 : a2 1
π
π
0
cos2xdx
π
0
cos 2x. cos 2xdx
1
π
sin nx
n
1
2x
1
8sin 4x
π
0
1
2
n 2 : an 0
1
-
8/17/2019 Bai Tap Ptdhr
2/10
-
8/17/2019 Bai Tap Ptdhr
3/10T
r ầ n
M i n h N
h ự t
Phương trình đạo hàm riêng
a.
f x
0 nếu l x 0l x nếu 0 x l
a0 1
l
l
l
f x dx 1
l
l
0
l x dx 1
l
lx x2
2
l
0
l
2
an 1
l
l
l
f x cos nπx
l dx
1
l
l
0
l x cos nπx
l dx
1
l
l x l
nπ sin
nπx
l
l2
n2π2 cos
nπx
l
l
0
l
n2π2 1 1
n
bn 1
l
l
l
f x
sin nπx
l dx
1
l
l
0
l x sin nπx
l dx
1
l
l x l
nπ cos
nπx
l
l2
n2π2 sin
nπx
l
l
0
l
nπ
Đs:f
x
l
4
n 1
l
n2π2 1 1
n cos
nπx
l
l
nπ sin
nπx
l
b.
f x x3
f x là hàm lẻ suy ra a0 an 0
bn 2
c
c
0
x3 sin nπxc
dx 2c
x3 cnπ
cos nπxc
c
0
3cnπ
c
0
x2 cos nπxc
2
c
c4
nπ 1
n 1
3c
nπI
I
c
0
x2 cos nπx
c dx
x2c
nπ sin
nπx
c
c
0
2c
nπ
c
0
x sin nπx
c dx
2c
nπ
xc
nπ cos
nπx
c
c
0
c
nπ
c
0
co
2c
nπ
c2
nπ 1
n 1
bn 2
c
c4
nπ 1
n 1
6c4
n3π3 1
n 1
2c3 1 n 1
nπ
1 6
n2π2
2c3 1 n 1
n3π3 n2π2 6
3
-
8/17/2019 Bai Tap Ptdhr
4/10T
r ầ n
M i n h N
h ự t
Phương trình đạo hàm riêng
Đs:
f x
2c3
π3
n 1
1 n 1
n2π2 6
n3 sin
nπx
c
c.
f x
x 1 nếu 2 x 01 nếu 0 x 2
2a0
2
2
f x dx
0
2
x 1 dx
2
0
dx
x2
2 x
0
2
2 2
a0 1
2an
2
2
f x cos nπx
2dx
0
2
x 1 cos nπx
2dx
2
0
cos nπx
2dx
x 1 2
nπ sin
nπx
2
0
2
2
nπ
0
2
sin nπx
2dx
2
nπ sin
nπx
2
2
0
4
n2π2 cos
nπx
2
0
2
4
n2π2 1 1
n
an 2
n2π2 1 1
n
2bn
2
2
f x sin nπx
2dx
0
2
x 1 sin nπx
2dx
2
0
sin nπx
2dx
x 1 2
nπ cos
nπx
2
0
2
2
nπ
0
2
cos nπx
2dx
2
nπ cos
nπx
2
2
0
2
nπ
2
nπ 1
n
4
n2π2 sin
nπx
2
0
2
2
nπ 1
n 1
4 1 n 1
nπ
bn 2 1
n 1
nπ
Đs:f
x
1
2
2
π2
n 1
1
n2
1 1 n
cos nπx
2 1
n 1nπ sin nπx
2
d.
f x
x x 1 nếu 1 x 0 1 x 2 nếu 0 x 1
4
-
8/17/2019 Bai Tap Ptdhr
5/10T
r ầ n
M i n h N
h ự t
Phương trình đạo hàm riêng
a0
0
1
x x 1 dx
1
0
1 x 2dx 1
6
an
0
1
x x 1 cosnπxdx
1
0
1 x 2 cosnπxdx
x2 x sin nπx
nπ
0
1
0
1
2x 1 sin nπx
nπ dx
1 x 2 sin nπx
nπ
1
0
2
1
0
x 1 sin nπx
nπ dx
2x 1 cosnπx
n2π2
0
1
2
0
1
cosnπx
n2π2
2x 2 cosnπx
n2π2
1
0
2
1
0
cosnπx
n2π2 dx
1
n2π2
1 n
n2π2
2
n2π2
3 1 n
n2π2
bn
0
1 x
x
1
sinnπxdx
1
0
1
x
2
sinnπxdx
x2 x cosnπx
nπ
0
1
0
1
2x 1 cosnπx
nπ dx 1 x 2
cosnπx
nπ
1
0
2
1
0
x 1 cosnπx
nπ d
2x 1 sinnπx
n2π2
0
1
2
0
1
sinnπx
n2π2
1
nπ
2x 2 sinnπx
n2π2
1
0
2
1
0
sinnπx
n2π2 dx
2 cosnπx
n3π3
0
1
1
nπ
2 cos nπx
n3π3
1
0
1
nπ
Đs:
f x 1
12
1
π2
n 1
1
n2 3 1
n cosnπx nπ sinnπx
Bài 4
Hãy tìm chuỗi cosin của hàm số sau trên miền xác định của nó
f x
x khi 0 x π
2
π x khi π
2
x π
5
-
8/17/2019 Bai Tap Ptdhr
6/10T
r ầ n
M i n h N
h ự t
Phương trình đạo hàm riêng
a0 2
π
π
0
F x dx 2
π
π
2
0
xdx
π
π
2
π x dx
2
π
x2
2
π
2
0
πx x2
2
π
π
2
π
2
an 2
π
π
0
F x cosnxdx 2
π
π
2
0
x cosnxdx
π
π
2
π x cosnxdx
2
πI
I x sinnx
n
π
2
0
π
2
0
sinnx
n dx π x
sinnx
n
π
π
2
π
π
2
sin nx
n dx
2
n2 cos
nπ
2
1 n 1
n2
n 2k I 2 1
k 2
4k2
0 nếu k 2l 1
2l 1 2 nếu k
2l 1
n 2k 1 I 0
a2 2n 1 2
π 2n 1 2
Đs:
f x π
4
2
π
n 1
1
2n 1 2 cos 2 2n 1 x
Bài 5
Hãy tìm chuỗi cosin của hàm số sau
f x x3
Để nhận được khai triển Fourier theo chuỗi cosin, ta thác triển f x thành hàm sốchẵn F x trên đoạn π, π như sau
F x
x3 nếu 0 x π x3 nếu π x 0
6
-
8/17/2019 Bai Tap Ptdhr
7/10
-
8/17/2019 Bai Tap Ptdhr
8/10
-
8/17/2019 Bai Tap Ptdhr
9/10T
r ầ n
M i n h N
h ự t
Phương trình đạo hàm riêng
9
-
8/17/2019 Bai Tap Ptdhr
10/10T
r ầ n
M i n h N
h ự t
Phương trình đạo hàm riêng
Định lý 1.1: Công thức (11) chương 6
Nếu F 0 thì độ cong Gauss K được tính theo hệ số của dạng cơ bản thứ nhấtbằng công thức
K 1
2
EG
G
u
EG
u
E
v
EG
v
10