. Bài toán Steiner

1. Lịch sử bài toán Steiner

Vấn đề sau đây được Fermat, nhà toán học Pháp nổi tiếng, đề ra trong

cuốn sách “Treatise on Minima and Maximal” [2, trang 1], cụ thể là như

sau: “Cho trước ba điểm trong mặt phẳng. Hãy tìm điểm thứ tư sao cho

tổng khoảng cách từ điểm này tới ba điểm cho trước nhỏ nhất có thể. “

Bài toán của Fermat được Torricelli, học trò cuối cùng của Galileo, giải

vào quãng năm 1640 [2, trang 2]. Điểm này được mang tên là điểm

Torricelli của tam giác tạo bởi ba điểm đã cho. Đó là điểm nhìn ba cạnh

của tam giác tạo bởi 3 điểm đã cho dưới cùng một góc 120° nếu như tam

giác tạo thành có ba góc nhỏ hơn 120°, và là đỉnh góc tù nếu như tam

giác đó có một góc không nhỏ hơn 120°.

Sau nhiều thế kỷ, bài toán của Fermat lại được phát hiện lại trong một

khía cạnh mới bởi nhiều nhà toán học khác. Người ta tổng quát bài toán

Fermat như sau:

Bài toán Fermat: Cho trước một tập hợp hữu hạn n điểm trong mặt

phẳng. Hãy tìm một điểm sao cho tổng khoảng cách từ điểm này tới

các điểm cho trước nhỏ nhất có thể.

Điểm cần tìm được gọi là điểm Torricelli cho hệ n điểm cho trước.

Boltyanski, Scriba, Schreiber und Wesolowsky [2, trang 2] đã viết về lịch

sử của bài toán Fermat. Vào thế kỷ thứ 19, Steiner đã tổng quát bài toán

1

www.VNMATH.com

của Fermat bằng cách không hạn chế số điểm cần tìm. Quãng 100 năm

sau, Courant và Robin đã ghi chú về bài toán tổng quát này như sau:

“Một vấn đề rất giản đơn nhưng lại rất có tính kiến thiết là vấn đề

được nêu ra bởi Jacob Steiner, một đại diện nổi tiếng của trường

phái hình học Berlin, vào đầu thế kỷ 19. Ba làng A, B và C phải

được nối với nhau bởi một hệ thống đường giao thông với tổng

độ dài nhỏ nhất có thể.”

Hình 31

Thực ra, ngay từ thời Gauß, người ta đã biết tới những loại bài toán kiểu

như thế này. Trong một bức thư gửi cho một người bạn của mình tên là

Schumacher, Gauß có viết:

2

www.VNMATH.com

“Nếu đề cập tới vấn đề thiết kế một mạng giao thông tối ưu cho

các đỉnh một tứ giác, thì ta gặp phải một bài toán thật sự thú vị,

mà tôi đã biết tới nó khi phải thiết kế các tuyến đường sắt nối các

thành phố Harburg, Bremen, Hannover và Braunschweig... “

Trong cuốn sách “What is Mathematics” của Robbins và Courant xuất

bản năm 1941, bài toán của Gauß được công bố dưới tên của Steiner:

Bài toán Steiner: Cho trước một tập hợp hữu hạn n điểm trên mặt phẳng

(hoặc trong không gian metric nào đó), hãy tìm mạng giao thông với

tổng độ dài nhỏ nhất nối các điểm này với nhau.

Bài toán của Steiner cho tập hợp gồm 3 điểm cho trước chính là một

trường hợp riêng của bài toán Fermat. Thế nhưng, với tập hợp có 4 điểm,

ta thấy rằng bài toán Steiner không còn là bài toán của Fermat nữa, và nó

hoàn toàn có một màu sắc khác.

Tuy vậy, chính Robbins và Courant cũng không hề đề cập tới bài toán

Fermat trong trường hợp riêng của bài toán Steiner cho n = 3, cũng như

không đề cập gì tới bài toán của Gauß khi n = 4. Cũng do sự hấp dẫn và

sự phổ cập của cuốn sách của họ, mà bài toán được đặt ra thật sự trở

thành “vấn đề Steiner” và mối quan tâm tới bài toán này được thổi bùng

lên.

Bài toán mà Gauß đặt ra cho hệ thống các đường tàu nối các thành phố

Harburg, Bremen, Hannover và Braunschweig được Bopp giải quyết một

3

www.VNMATH.com

cách triệt để [2]. Trong hình 31, chúng ta đã thấy mô tả lời giải của bài

toán này. Hệ thống đường sắt tối ưu được bổ sung thêm một điểm, điểm

Torricelli của tam giác với ba đỉnh là ba thành phố Harburg, Bremen,

Hannover, và Braunschweig được nối với Hannover bởi một tuyến đường

sắt chạy thẳng.

Melzak [2], vào năm 1961, đã là người đầu tiên nêu lên những tính chất

cơ sở để xác định mạng giao thông tối ưu cho bài toán Steiner n điểm bất

kỳ. Một tổng quan về bài toán Steiner trên mặt phẳng Ơcơlit được đưa ra

bởi Gilbert và Pollak trong năm 1968.

Vì lý do tối ưu, cho nên chúng ta nhận thấy ngay là mạng tối ưu cho bài

toán Steiner chỉ bao gồm các đoạn thẳng nối mà không có đường cong

nào cả. Mạng này phải liên thông và không có chu trình (do điều kiện tối

ưu của nó, nếu có chu trình ta có bỏ bớt một cạnh trên chu trình mà không

ảnh hưởng tới sự liên thông của đồ thị). Như vậy, mạng tối ưu của bài

toán Steiner phải là một cây mà cạnh của nó là các đoạn thẳng. Ta gọi

mạng tối ưu trong bài toán Steiner là cây Steiner.

2. Phân tích bài toán Steiner cho n = 4 điểm

Nghiệm của bài toán Steiner là một hệ thống các đoạn thẳng nối các điểm

đã cho với các điểm Steiner ta thêm vào, cho nên chúng ta không thể nêu

quy luật tổng quát để xác định chính xác đó là các điểm nào và các đoạn

thẳng đó được nối như thế nào. Để đi tới phương pháp tổng quát, ta giải

bài toán cho trường hợp n = 4 điểm. Hơn thế nữa, ta chọn 4 điểm đó là 4

đỉnh của một hình vuông cạnh 1 để dễ giải.

4

www.VNMATH.com

Bài toán 1: Hãy dụng một mạng lưới giao thông nối 4 đỉnh của một hình

vuông ABCD cạnh 1 với tổng độ dài nhỏ nhất, sao cho từ một đỉnh tùy ý

của hình vuông, ta có thể đi theo các cạnh tới các đỉnh còn lại của hình

vuông.

Trong quá trình tìm kiếm mạng tối ưu, ta sẽ sử dụng định lí 11 quen biết

sau:

Định lí 1.

Trên mặt phẳng có một tam giác đều ABC và một điểm M. Khi đó ta có

bất đẳng thức MB + MC MA, với đẳng thức chỉ khi M nằm trên cung

BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Định lí 11 trên có thể chứng minh dễ dàng nhờ định lí Prômêtê mở rộng,

được phát biểu như sau:

Định lí 2. Cho trước 4 điểm ABCD, khi đó ta có bất đẳng thức

AB.CD + AD.BC AC.BD,

đẳng thức xảy ra chỉ khi ABCD là một tứ giác nội tiếp.

Ta thấy rằng mạng tối ưu của chúng ta phải là một cây chứa các đỉnh của

hình vuông ABCD đã cho. Bây giờ chúng ta xem xét bài toán theo số các

điểm Steiner:

Nếu chỉ có không có điểm Steiner nào cả:

5

www.VNMATH.com

Hình 32

Như vậy, cây của chúng ta là cây với bốn đỉnh là đỉnh của hình

vuông. Do một cây có 4 đỉnh sẽ có đúng 3 cạnh. Rõ ràng khoảng

cách giữa hai đỉnh của hình vuông không nhỏ hơn 1, cho nên cây

tối ưu (có tổng độ dài các cạnh nhỏ nhất) là có tổng độ dài các cạnh

là 3 (trong hình 32 là một ví dụ với 3 cạnh của hình vuông đơn vị

này).

Nếu có đúng một điểm Steiner:

Hình 33

Ta thấy rằng do lý do tối ưu, nên bậc của điểm Steiner thêm vào (ta

gọi là điểm M) phải ít nhất bằng 3. Nếu không, ta có thể vất bỏ nó

đi (nếu nó là đỉnh treo, hoặc thay thế hai cạnh xuất phát từ nó bởi

cạnh nối 2 đỉnh láng giềng của nó trong trường hợp bậc của nó

6

www.VNMATH.com

bằng 2). Như vậy chỉ có đúng 2 trường hợp phải khảo sát là hai

trường hợp trong hình 33 ứng với trường hợp bậc của đỉnh M là 3

hay là 4. Ta xét hai trường hợp:

2a) Bậc của M là 3.

Dựng thêm một tam giác đều ADE ngoài hình vuông ABCD đã

cho. Áp dụng định lí 11, ta có MA + MD ME, và suy ra

MA + MD + MB + BC EB + BC,

và thấy rằng độ dài của cây tối ưu không nhỏ hơn EB + BC. Trong

trường hợp này, cây tối ưu có được khi M là giao điểm của DB với

đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.

Hình 34

Dễ thấy góc E của tam giác ABE bằng 15°, cho nên BE = 2cos 15°.

Ta thấy dễ dàng là cây tối ưu trong trường hợp bên phải có độ dài

bằng 1 + 2cos 15°.

2b) Bậc của M là 4.

7

www.VNMATH.com

Hình 35

Trong trường hợp này ta có MA + MC AC và MB + MD BD.

Như vậy độ dài của mạng giao thông ứng với trường hợp này

không nhỏ hơn 2 , và đạt được độ dài này khi M là giao điểm

hai đường chéo của hình vuông đơn vị đã cho.

Nếu có đúng hai điểm Steiner:

Ta thấy như đã lập luận ở trên là bậc của các điểm Steiner thêm

vào, mà ta ký hiệu là M và N, phải ít nhất bằng 3. Ta có thể kiểm

nghiệm thấy rằng mạng có hình dạng như trong hình 34 (hoặc

tương tự như vậy với M nối với A và B, còn N nối với C và D và N

được nối với M). Ta dựng hai hình tam giác đều ADQ và BCP ra

phía ngoài hình vuông ABCD như trong hình vẽ.

8

www.VNMATH.com

Hình 36

Áp dụng định lí 11, ta có thể thấy rằng MA + MD MQ và tương

tự là NB + NC NP. Do đó tổng độ dài các cạnh của cây của ta

không nhỏ hơn QM + MN + NP PQ, với đẳng thức chỉ khi M và

N là giao điểm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác ADQ và

BCP với MN. Như vậy cây tối ưu trong trường hợp này có tổng độ

dài là

PQ = 1 + .

So sánh đáp số của ba trường hợp ta xét trên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của

ba trường hợp này là 1 + . Cái điều ngăn cản chúng ta chấp nhận giá

trị đã tìm ra 1 + này làm giá trị tối ưu là quan sát thấy càng thêm

nhiều điểm Steiner, thì tổng độ dài các cạnh của mạng tối ưu tương ứng

càng nhỏ. Trong suốt quá trình lập luận ở trên, chúng ta chưa có một cơ

sở nào đặt chân để chứng tỏ được rằng chỉ có thể thêm tối đa 2 điểm

Steiner để thiết kế được mạng giao thông tối ưu cho hệ 4 điểm đã cho. Để

thấy rằng quả thật mạng tối ưu với bài toán n = 4 điểm chỉ có không quá

2 điểm Steiner, ta buộc phải sử dụng các kiến thức về cây. Trong phần

9

www.VNMATH.com

tiếp, ta sẽ chứng tỏ rằng cây tối ưu của bài toán Steiner với n điểm chỉ có

không quá n-2 điểm Steiner. Với định lí 13 được chứng minh trong mục

sau, bài toán tìm cây Steiner cho tập đỉnh hình vuông đơn vị mới có thể

giải quyết triệt để, và độ dài của cây tối ưu cần tìm là 1 + .

3. Phương pháp giải bài toán Steiner tổng quát

Như trong mục trên đã phân tích, chúng ta thấy hình học thuần túy không

thể giải quyết được bài toán Steiner. Với hình học thuần túy, chúng ta chỉ

tính toán được độ dài tối ưu khi hình dáng của mạng giao thông được

hình thành. Vấn đề hết sức quan trọng trong việc xác định được hình

dáng của cây tối ưu là xác định được số điểm Steiner của cây tối ưu. Một

kết quả đã biết được nêu trong [2] mà không có chứng minh đi kèm là

một cây tối ưu của bài toán Steiner n điểm chỉ có không quá n-2 điểm

Steiner. Ta chứng minh khẳng định đó trong định lí sau đây:

Định lí 3.

Cây tối ưu ít đỉnh nhất của bài toán Steiner n điểm có không quá n - 2

điểm Steiner.

Chứng minh.

Ta ký hiệu x là số điểm Steiner của cây tối ưu G của bài toán Steiner n

điểm. Khi đó G là một cây có x + n đỉnh, và do đó nó có x + n – 1 cạnh.

Ta có những nhận xét sau:

Nhận xét 1. Những điểm cho trước có bậc trong G ít nhất là 1.

Chứng minh: Do G là mạng lưới nối các điểm đã cho, nên không có

điểm nào đã cho là đỉnh cô lập trong G cả.

Nhận xét 2. Điểm Steiner có bậc trong G ít nhất là 3.

Chứng minh: Do sự G là cây ít đỉnh nhất, cho nên các điểm Steiner phải

10

www.VNMATH.com

có bậc ít nhất là 3, bằng không, hoặc ta có thể vất bỏ nó đi (nếu bậc của

đỉnh là 0 hoặc 1) hoặc là ta có thể bỏ nó đi thay thế 2 cạnh xuất phát từ nó

bởi một cạnh duy nhất nối 2 đỉnh láng giềng của nó và cây thu được G’ sẽ

có ít đỉnh hơn G và có tổng độ dài các cạnh không lớn hơn tổng độ dài

các cạnh của G, là điều mâu thuẫn với giả thiết G ít đỉnh nhất có thể.

Nhận xét được chứng minh.

Áp dụng định lí 1, ta có

2(x + n – 1) =

Theo nhận xét 1 và nhận xét 2, tổng các bậc của G không nhỏ hơn 3x + n,

từ đó ta có bất phương trình 2(x + n - 1) 3x + n. Từ bất phương trình, ta

có

n - 2 x.

đ.p.c.m

Để xác định được hình dáng của cây tối ưu, ta phải thêm nhiều nhất là x

n-2 điểm Steiner và dựng một mô hình cây có x + n đỉnh rồi xác định cụ

thể vị trí hình học của các điểm Steiner như đã làm trong bài toán 1 ở

mục trên. Nhưng ta thấy rằng ta luôn có thể giả sử rằng cây Steiner có

đúng x + n đỉnh qua các nhận xét sau:

Nhận xét 1: Nếu cây tối ưu G có một điểm Steiner M có bậc dG(M) > 3

thì ta có thể coi nó là trường hợp suy biến của đồ thị G’ có thêm điểm

Steiner N với bậc dG’(N) = 3 và dG’(M)=dG(M)-1 (hình dưới) trong đó độ

dài đoạn thẳng MN là 0.

11

www.VNMATH.com

Hình 37

Nhận xét 2: Nếu cây tối ưu G có một điểm đã cho trước A có bậc dG(A)

> 1 thì ta có thể coi nó là trường hợp suy biến của đồ thị G’ có thêm điểm

Steiner M với bậc dG’(A) = 1 và dG’(M)= dG(A)+1 (hình 38), trong đó độ

dài đoạn thẳng MN là 0.

Hình 38

Như vậy, ta có thể áp dụng nhận xét 1 và nhận xét 2 để có thể coi cây tối

ưu Steiner là trường hợp suy biến của một cây G có tính chất là bậc của

mỗi điểm cho trước đúng bằng 1 và bậc của mỗi điểm Steiner đúng bằng

3. Khi đó theo công thức tổng các bậc của đồ thị gấp đôi số cạnh, ta thu

được

2(n + x - 1) = 3x + n x = n - 2,

trong đó x là số điểm Steiner của cây thu được cuối cùng. Điều đó có

12

www.VNMATH.com

nghĩa là cây tối ưu cho bài toán Steiner với n điểm cho trước là một

trường hợp suy biến của cây G có các tính chất sau

G có đúng 2n – 2 đỉnh, trong đó có n điểm cho trước và n-2 điểm

thêm vào có thể bị trùng vào các đỉnh đã cho trước của bài toán.

Bậc của mỗi điểm đã cho trước trong bài toán là 1,

Bậc của mỗi điểm Steiner của G (đỉnh thêm vào) là 3.

Để tiện, ta sẽ gọi G là cây thiết kế, dùng để tìm cây Steiner tối ưu. Cây

thiết kế có thể khác với cây Steiner tìm được, vì trong trường hợp tối ưu,

có thể có những cạnh của cây thiết kế bị co về độ dài 0 làm cho đỉnh của

chúng có thể trùng nhau.

Ví dụ sau đây chỉ rõ cách dùng cây thiết kế.

Bài toán 2. Hãy dụng một mạng lưới giao thông nối 5 đỉnh của một hình

ngũ giác đều ABCDE cạnh 1 với tổng độ dài nhỏ nhất, sao cho từ một

đỉnh tùy ý của hình ngũ giác đều này, ta có thể đi theo các cạnh tới các

đỉnh còn lại của nó.

Lời giải: Trước hết ta xác định cây thiết kế G. Ta thấy cây có 2.5-2 = 8

đỉnh tất cả, trong đó có 5 đỉnh là A, B, C, D và E và ba đỉnh là được thêm

vào mà ta gọi đó là M, N và P. Lưu ý rằng trong cây này, các đỉnh A, B,

C, D và E là các đỉnh treo, cho nên khi bỏ các đỉnh này ra khỏi G, ta thu

được cây G’ với ba đỉnh M, N và P. Rõ ràng chỉ có một cây duy nhất có 3

đỉnh là một đường độ dài 2 mà thôi, nên không mất tổng quát đó là đường

H=(M, N, P). Sự kết nối cây H với A, B, C, D và E để thành cây G không

kể sai khác qua phép đẳng cấu được thể hiện trong hình 39.

13

www.VNMATH.com

Hình 39

Bây giờ ta có thể dùng định lí 11 đã chứng minh trên để xác định chính

xác vị trí của M, N và P cũng như tổng độ dài các cạnh của cây tối ưu. Ta

dựng hình tam giác đều EDF, BCG và AFH phía ngoài ngũ giác đều

ABCDE (hình 39). Theo định lí 11 áp dụng với các tam giác đều được

dựng thêm, ta có:

ME + MD MF,

PB + PC PG, và

NF + NA NH.

Mặt khác theo bất đẳng thức tam giác, ta có

NM + MF NF,

NP + PG NG,

NH + NG HG.

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên và giản ước các biến xuất hiện ở

cùng 2 vế của bất đẳng thức thu được, ta có bất đẳng thức sau:

ME + MD + MN + NA + NP + PB + PC HG,

Đẳng thức xảy ra khi N là giao điểm thứ hai của đường thẳng FG với

14

www.VNMATH.com

đường tròn ngoại tiếp tam giác AFH, M là giao của NF với đường tròn

ngoại tiếp tam giác EFD và P là giao của đường tròn ngoại tiếp tam giác

BCG với NG. Với vị trí của M, N và P được xác định như vậy, tổng độ

dài các cạnh của cây tối ưu là HF.

Trong hai bài toán trên, cây thiết kế và cây Steiner là đẳng cấu với nhau.

Nhưng cũng có những trường hợp không phải như vậy. Lời giải của bài

toán Steiner với n = 4 cho các thành phố Harburg, Bremen, Hannover và

Braunschweig (hình 31) cho ta một cây tối ưu không đẳng cấu với cây

thiết kế.

15

www.VNMATH.com

Tμi liÖu tham kh¶o

1. Claude Berge, ThÐorie des Graphes et ses applications, Dunod Paris

(1967). NguyÔn H÷u Nguyªn vμ NguyÔn V¨n Vþ dÞch: Lý thuyÕt ®å

thÞ vμ øng dông, NXB Khoa häc kü thuËt, Hμ néi (1971).

2. Dietmar Cieslik, The Steiner Ratio, Kluwer Academic Publisher

(2001).

3. Reinhard Diestel, Graph Theory, Springer Verlag (2000).

4. Kenneth H.Rosen, Discrete Mathematics And Its Applications. B¶n

tiÕng ViÖt: To¸n häc rêi r¹c øng dông trong Tin häc NXB Khoa Häc

vμ Kü ThuËt, Hμ Néi 1998. Ngêi dÞch: Ph¹m V¨n ThiÒu - §Æng H÷u

ThÞnh.

6. Oystein Ore, Theory of Graphs. American Mathematical Society,

Providence Rhode Island, (1962).

7. Vò §×nh Hßa, Mét sè kiÕn thøc c¬ së vÒ Graph h÷u h¹n. Nhμ xuÊt b¶n

Gi¸o dôc, §μ n½ng, (2002).

8. Vò §×nh Hßa, §Þnh lÝ vμ vÊn ®Ò cña ®å thÞ h÷u h¹n. Nhμ xuÊt b¶n

Gi¸o dôc, Hμ néi, (2001).

9. Vò §×nh Hßa, Lý thuyÕt tæ hîp vμ bμi tËp øng dông. Nhμ xuÊt b¶n

Gi¸o dôc, Hμ néi, 2002.

16

www.VNMATH.com