bg xac suat thong ke

8/17/2019 BG Xac Suat Thong Ke

1/232

HgC VI§N CÒNG NGH§ BIJ’U CHÌNH VIÉN THÒNG

PGS.TS. Lé Bà Long

AI NC

AT A THONG KÉ

h cho sinh vien he dai hoc

chuyen ngành Dien tù:- Vien thóng-Cóng righe thóngtin)

Hà Noi, 2013


2/232

. •L€fI NOI DAU

Ta) p bài giàng Xàc suat và Thóng ké dành cho sinh vién he dai hpc chuén ngành Dien I!"#ien thóng$ Cóng %ighe thóng tin và An toàn thóng tin duc%c bién soan &ai t%én c'% s( giào t%nh

Xàc suat và Thong ké c!a c!ng tàc già *uat bàn nà+ ,--$ nha+ dàp !ng éu cau dào tao theohnh th!c tin chi và ph! h/p vói de cuong chi tiet +ón hpc do 0pc vien Cóng %ighe 1uuChinh #ien Thóng ban hành nà+ ,-2, theo hnh th!c dào tao tin chi.

Noi dung c!a cuo%i sàch cing du/c hoàn thien ti càc bài giàng t%ong nhieu nà+ c!a tàcgià theo dinh huóng !ng dung t%ong càc ngành k thu a)t. Chinh v the$ t a)p bài giàng nà có théd!ng &à+ tài &ieu hpc ta) p$ tài &ieu tha+ khào cho sinh vién c!a càc t%u(ng dai hpc và cao dàngkhoi k thu a)t.

3iào t%nh go+ 4 chuc%ng tuc%ng !ng vói , tin

chi5 Chi%i%ng 25 Càc khài vé *àc suàt.

Chi%i%ng ,5 1ién ngàu nhién và càc d%ac t%ung c! ng.

Chi%i%ng 65 #éc te% ngàu nhién và càc d%ac t ng.

Chi%i%ng 75 8 thuét +àu

Chi%i%ng 45 8 thuét uóc &u/ng và e+ già thiét th

Diéu kien tién 9uét cho +ón h c suàt óng ké &à +ón dai só và giài tich 2$ giàitich , t%ong chuc%ng t%nh toàn dai c

3iào t%nh duc%c viét cho d Ing vien cac (ng dai hpc khói k thu a)t$ v :a tàcgià cung càp nhiéu vi du a tuong ói t!ng phàn & thuét và có nhiéu vi du !ngdung vào &inh vpc chu ién I! #ién g và Cóng %ighe thóng tin. Ngoài %a tàc giàciing có th!c t%nh ich he% (i vói ngu(i hpc. T%uóc khi nghién c!u càc noi dung chi

tiét$ ngu(i dpc nén *e ieu c!a +ói chuc%ng dé thà du/c +uc dich nghia$ éucàu chinh c!a chuc%ng dó. T%o i chuc%ng$ +ói noi dung$ ngu(i dpc có thé dpc và hiéu du/c c&ank; thóng 9ua càch dién i chi dàn %( %àng. D%ac biet ban dpc nén ch! dén càc nha) n *ét$ bnh&uàn dé hiéu sàu he%% hoàc o%ig tóng 9uàt he%% càc két 9uà và huóng !ng dung vào thuc té.0àu hét càc bài toàn du/c *à dong theo &u/c dó5 d "2-càu h(i cho +oi tiet & thuet. 0e thong càu h(i nà bao t%!+ toàn bo noi dung vita du/c hpc.

Có nhiing càu kié+ t%a tac tiep càc kien th!c v!a duc%c hpc nhung ciing có nhiing càu d(i h(ihpc vién phài via%i dung +ót càch tong hip và sàng tao càc kien th!c dé giài 9uet. # :aviec giài càc bài t a)p nà gi!p hpc vién na+ chac hen%i & thuet và tu kié+ t%a duc%c +!c do tiepthu & thuet c!a +nh.

#ói th(i &uing !ng vói , tin chi c!a +ón hpc giàng vién khó có d! th(i gian dé t%nh bàhet càc noi dung c!a tap bài giàng ( t%én &óp. # :a tàc già dành dau


3/232

Tàc già *in chàn thành cà+ +n @3=.T=. @ha+ Ngpc Anh$ @3=. T=. Tó #àn 1an$ @3=. T=.

Nguen Nàng Anh$ T=. Nguen 0ac 0ài$ 3#C. Ths. 8é 1à Cau$Ths. T%an #iet Anh da chonhiing kien dóng góp 9u già.

4ac d! tàc già dà %at co gang$ song do éu cau cap bàch can có tài &ieu phuc viec giàngda và hpc ta) p c!a 0pc vien theo hnh th!c tin chi$ th(i gian bién soan bi han hep v :a càc

thieu sót c(n ton tai t%ong giào t%nh &à dieu khó t%ành kh(i. Tàc già %at +ong nh


4/232

2.3

2.4

2.,

*.3

2.7 D @0E@ T0E 1F@ N#I 2

CAU 0GI GN T@ #A 1AI TA@ C0EGN3

C0EGN3 ,5 1IEN N3AU N0IEN # CC DC THUN3 CU74,.2 DIN0 N30IA #A 0AN 8GAI 1IEN N3AU N0IE 74

,.2.2 Dinh nghia bién ngu nhié 7J,.2., 0+ phn bó *c su

,.2.6 @

,., 1IKN N3AUU N0IEN HG


5/232

Phán bó có diéu kien á k! "Phán bó có diéu kien á k!K! "n# có diéu kien .3.$ %&'T () %)N *' +N

diéu- bién n#áu nhién /ói /ó diéu kiénién n#áu nhién ién u

0204

Hói u heo ác%uá ó ón.+inh ! #iói h5á" i "hán bó TO67A& HO ON TAP *A 8A T

9 heo "hán - dá! bién n#áu nhié 0:

CAL UU 0GI MN T@ # 1I T C0UGN3 , ......................................................................>2

6., #KC TG N3AUU N0IEN HMI

7.6.4 Càch tinh già t%i cp thé c!a t%ung bnh +au * và phuong sai +au có hieu chinh *266

7.7 @0N 1M XC =UAT COA GT =M T0MN3 BEL DC THUN3


6/232

CAL UU 0GI MN TP@ #P 1PI TA@ C0UGN3 7. ...............................................................26

C0UGN3 45 UMC 8UGN3 T0A =M #P BIK DQN0 3IP T0IKT T0MN3 BK..... ...... ..27,

4.2 @0UGN3 @0P@ UMC 8UGN3 DIK...........................................................................27,

4.2.2 Bhài

4.2., Uóc &upng khóng chech


7/232


8/232

C0 'N3 I5 CPC KHÀI NIEM C' 1PN #V XPC =UPT

Càc hien tu/ng t%ong nhién ha *à hoi *à %a +ot càch ngau nhién


9/232

7ó hé e< . Khón# #in


10/232

nhà bi chà!E, A à bién có Fbón# dn h> hi biG"i A à bién có F5 ot nhà +à có ba phàn *uóng sàn *uat %a c!ng +ot &oai sàn phà+. 3ià s! %ang+oi sàn phà+ c!a nhà +à chi do +ot t%ong ba phàn *u(ng nà sàn *uat. Chpn ngaunhién +ot sàn pha+$ goi % , % , % &an &u/t &à bien co sàn phà+ dupc chpn do phàn*u(ng th!

nhat$ th! hai$ th! ba sàn *uat. Bhi d[ he ba bien co % , % , %/ & &à he da d!.


11/232

1

F) Tinh dóc &ap c!a càc bien co

0ai bien co % và & dupc gpi &à doc I%ap vói nhau neu viec *à %a ha khóng *à %a bienco nà khóng ành huóng tói viec *à %a ha khóng *à %a bien co kia.


12/232

5àc uà c> bién có Ahieu PA= . T/u@n# hL k hieu P= h! cho P = .

én có chi #ó

T/u@n# h"" càc ké ?uà c> "hé" h> uàcó hé du!c àc dinh bói i ó c> ó /u@n# hé. *ói càch ié" cn nà! có dinh n#h

dóhuàn e/i

à nàn# hM ói bién có

heo "hon i" c

T/u@n# h"" càc ké ?uà c> "héhien "hé" h> =" i nhiéu àn doc*M ! có hé inh àc uà c> ié" cn nà! có dinh n#hi óen c

khónkhà nàn# uà hien nhun# có hé h!ci dó àn uàdinh khà nàn# uà hien c> bién có.

1.2.1 +nh n#hi có dièc+nh n#hi 1.1; Gihé" heho


13/232

1

b. Tóng so cha+ *uat hien bang ho)ac 22


14/232

Nhieu phép th! có tinh chat noi tiep tap thành dà$ chàng han phép th! tung &ién tiep

dong *u ba &an$ 9uan sàt chi so ch!ng khoàn t%ong nà+ ngà &ién tiep$ ho)ac tà+ k so &ién tiep


15/232

nh


16/232

b. 7ó Q càch ch"n chii ó dàu ién M chii ó dàu hi, : càch ch"n chii ó h> b à $ càch ch"n choi

c. *M chii ó h> u à ó 0 à càc chii ó nékhàcién, : càch ch"n chii ó h> hi, $ có chchii ó

Hoàn i6ói "hé" dói chó c> /i "hàhoàccàch à" é/i "hàn > ào /i i /i /on#


17/232

b. Ngu(i anh ngoi ( +ot vi t%i t! $ ngu(i e+ ngoi vào 2 t%ong , cho canh ngu(i anh 6 2

6 cach sap *ep. Do do so cac t%uc%ng hpp thuan &/i >6 .#a

D. Chinh ht%p

2-

N

Chpn &an &u/t t


18/232

• càc phanI!deunhunhaunhungth!tpkhàcnhau.


19/232

Do dó vói +oi to http chap t có th chinh hpp tuong !ng. al t khàc hai chinh hpp khàcnhau !ng vói hai to hpp khàc nhau &à khàc nhau.

ot vài t%u(ng h/p cu thé

7 7 !n 7)

, J

bi +àu d($ 6 bi t%ang và bi +àu *anh. 8a ngau nhién 6 bi t! hop.Tinh *àc suat t%ong càc t%u(ng hpp sau5


20/232

1

b. 0 Y

" -$-64

,6Y ho4ac

4

Y 2 67

,6Y -$7-64

4 4

d. 0 Y

e. 0 Y>.6.

Y3

,-.2.2> 4

Y -$-62J.

# du 2.,65 Cho cc ti + J bit du/c tao Iii cc chuoi cc bit - và bit 2 dong kh nàng. 0ti+ *c suat cfa cc Iii có chfa 7 bit 2$ vói cc t%ung hpp 7


21/232

,-

# càc v)at c!ng &oai giong nhau khóng phàn biet duc%c$ do dó neu so càch sap *ep càc

vat th(a +àn éu cau t%én &à th !ng vói +oi +ot càch sap *ep t%ong N càch ( t%én có

k hoàn vi va)t &oai 2$


22/232

Ta c th` +[ %ong ket 9uà nà nhu sau.

CAong t hicA e t oAA hBrp mer roAng

=o t hpp chap k c!a %i phan t! bang so to hpp cha) p %i k c!a %i phan t!5

)) c

n )7

7!ri 7)

Ch!ng ta tha %ang5 so tó hpp cha)p k c!a %i phan I! J-.7J,

o


23/232

T/én huc e càc n uA= 5" in u khi /i d> PA= du"c ch"n bàn# #ià /i

" i n!.

PA= RR 1.=

u 1.25: 6o cWn# ! báo hiX# nà< ói, n#u[ /on# [n# 1 nà

bn $Q:100.000

u dó.00:


24/232

Dnh nghia 2.,5 4ia *! 7hóng gian man 0 c( thé biéu dien trong ràng vói mót mien nào dócó dién t*ch !thé t(ch, do dài) htm han và bien co % trong ràng vói mot mien con cùa DI th( óc suàt cùa bien co % doyc dinh nghia.@


25/232

PA=

0

10

du2:; 5é L/ché/i né< "hi ào


26/232

0!%) dien tich % %i., ,

dien tich DI N%i.2- N4-

0!&) .


27/232

Néu A, 8 à hi bién có un# khàc hM

T> cón# h>c 1.Q= à 1.11= ?u; N@u

Néu A, 8 có bà k hMA8= PA= \ P8= PA8=có bà k hM

Néu A, 8, 7 à b

Ta dà có ba càch tiep c&an khàc nhau ve *àc suat +ot bien co$ tat cà càc dinh nghia nà c!ng có càc tinh chat sau.

1.2.5 Càc tinh chat và dnh & *àc suat

2.,.4.2 Càc tinh chat c!a *àc suat

Càc dinh nghia t%én c!a *àc suat thoà +àn càc tinh chat sau52. #ói +pi bien co % 5

F 0!%) 2.

,. Xàc suat c!a bien co khóng thé bang -$ *àc suat c!a bien co chac chan bang 2.

0! G) F, 0! 4) 2

K1.:=


28/232

3pi % &à bien co sàn phà+ dupc chpn dat tiéu chuan chat &u/ng$ ta có % % % .

#)a *àc suat t+ duc%c sàn phà+ dat tiéu chuan chat &upng &à5

0!%) 0!% ) J 0!% ) -$,4 ^ -$44 Y -$> .

#i du 2.6-5 3ieo &ién tiep +ot dong *u 6 &an.

3pi % &à bien co &an th! nhat %a +)at sap. & &à bien co &an th! hai %a +)at ng!a.

3ieo &an 2 3ieo &an , 3i; \&I'2 6 1ien co sci cap

$ cóy cua ph +t gieo dóng u *ién tiép / *ón

T! se% dó ta có 0!%) 0

% & )) 6.•7 * , do !%&) ) . p dung gu tac cong ta du/c

0!% &) 0!%) J 0!&) 0!% &)2 2 2 6

Ta ciing có thé tinh tac tiep bang càch *àc dinh % & )) m .+ '5 •r6.•7. Y. •> " #at

#i du 2.625 Xét hai bien co %, & t%ong c!ng +ot phép th! có *àc suat 0!%) F,$ 0!&) F,J.

a. 0ai bien co %, & có *ung khac khóng

b. 3ià s! % & &à bien co chac chan$ t+ 0!% &)

. 4ii 5 a. Theo cóng th!c 2.> và 2.26 ta có2 0!% &) 0!%) J 0!&) 0!% &) -$ ^ -$ J 0!% &) 0!% &) -$ 6

#)a hai bien co %, & khóng *ung khac.

b. T%u(ng h/p % & &à bien co chac chan th 0!% &) 0!%) J 0!&) 0!% &) -$ 6.


29/232

1.2.5.3 Su tac tnh *c sui&t cfa bien co doi

p dung cng thfc


30/232


31/232

*=! PA=

*i du 1.34; Già > "hé" h> 7 có khóP= R 0,2 ,5é hi bien co A

n PA= P= \ Pb=

bién có A= ,] P8=,] PA= ,] PA8= PA8= .

P8= Pb= \ Pc= \ Pd= 0,4 \ 0,1 R 0, :

PA= R 0, 4 \R 0, S ho ^ c PA= 1 P A= 1 0, S R 0, S

oi chuén +ach '7 có , t%ang thài$ :a doan +ach gitia M và có 2J t%ang thài

dong khà nàng. Neu chuén +ach ó t%ang thài dóng ta k hieu 2 và ( t%ang thài +ó ta k hieu-. Ta có thé &iet ké tat cà càc t%u(ng hpp có thé và su *uat hien càc bien co theo bàng sau5

s 2 2 2 2 2 2 2 2 - - - - - - - -

sl 2 2 2 2 - - - - 2 2 2 2 - - - -

sl 2 2 - - 2 2 - - 2 2 - - 2 2 - -

s7 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 -

Do dó

% & +& do dó 1i! % &) ii 'i


32/232

#ón bàn# 1 hM /én hc é có hé che /àn# bién co dó ! / /on#


33/232

6 22 6

6J 6J 22

Ta ciing có th; tinh tac tiep nhu sau.

Có 22 t%u(ng h/p it nhat +ot con *!c *ac *uat hien + a)t 4 cha+5


34/232

#i du 2.65 Có hai phàn *u(ng c!a nhà +à sàn *uat c!ng +ót &oai sàn phà+. @hàn *u(ng Isàn *uat du/c 2--- sàn phà+ t%ong dó có 2-- phe pha+. @hàn *u(ng I& sàn *uat du/c,--- sàn pha+ t%ong dó có 24- phe phà+. 8a ngau nhién +ót sàn pha+ dé kié+ t%avà dó &à phe pha+. Tinh *àc suat phe phà+ nà do phàn *u(ng th! I sàn *uat.


35/232

4ii: 3pi & &à bien co sàn phà+ dupc chpn dé kié+ t%a &à phe phà+. 3pi % &à bien co sàn

pha+ dupc chpn dé kié+ t%a do phàn *u(ng I sàn *uat. Ta can tinh *àc suat có dieu kien 0!% &) .

1ien co % & có 2-- ket 9uà thu a)n &/i dong khà nàng do dó 0!% &) )) 2-- 2

6--- 6-T%ong 6--- sn ph+ sn *uat %a có ,4- phe ph+$ do dó 0!&)

,4- 2

6--- 2,

Pp dung cóng th!c


36/232

3

6 2- J 24 Y

,-,4 ,4 ,4 ,4 ,4 ,4 J,4

-$ 662 .

#i du 2.65 ot hop dog 2-- con chip bàn dan t%ong dó có ,- chip &à phe phà+. 8a ngaunhién khóng hoàn &ai , chip bàn dan ó t%ong hóp.

a. Tinh *àc suat con chip &a du/c &an dau &à phe phà+.

b. Tinh *àc suat con chip &a du/c &an th! hai &à phe phà+ biet %ang con chip &a &an dau c!ng &à phe phà+.

c. Tinh *àc suat cà hai con chip &a du/c deu &à phe phà+.

4ii: a. 3pi d i &à bien co con chip &a due c &an dau &à phe pha+$ ta có

,-

2--

Y -$ , .

b. 3pi %* &à bien co con chip &a du/c &an th! hai &à phe pha+. # a) *àc suat con chip

&a dupc &an th! hai &à phe phà+ biet %ang con chip &a &an dau ching &à phe phà+5

2 Y -$ -6>7 .2--

#i du 2.7-5 ot th! kho có +ot ch!+ cha khóa go+ chiec$ be ngoài ch!ng giong het nhaunhung t%ong dó chi có d!ng , chiec +ó dupc kho. Anh ta th! ngau nhién t!ng cha


37/232

3

,


38/232

21

Do d

#i du 2.725 H!t &an &u/t ngau nhién khóng hoàn &ai 6 9uàn bài I! co bài t! &ee khc%. Tinh *àc suat t%ong càc t%u(ng hpp sau5

a. Cà 6 9un bài %!t duc%c khng phài &à 9un bich.

b. 8an th! nhat %!t duc%c khng phài 9un bich và &an th! hai %!t du/c 9un bich.

c. 0ai &an dau %!t du/c khng phài 9un bich và &an th! ba %!t du/c 9un bich.

4iSi: 5 3pi " i % , % &an &uit tu:ng !ng &à bien co &an th! nhat$ &an th! hai và &an th! ba %!t

du/c 9un bài khng phài &à bich.

a. 1ien co cà 6 9un bài %!t duc%c khng phài &à 9un bich &à % % % .

#)a *àc suat can ti+ &à 0!% % % ) 0!% )0!% % ) !% % % ) .

6 6

4, 4-

6

4-

b. Xàc suat &an th! nhat %!t duc%c khóng phài 9uàn bich và &an th! hai %!t du/c 9uàn bich &à

6 26

4, 42

c. Xàc suat hai &an dau %!t du/c khóng phài 9uàn bich và &an th! ba %!t du/c 9uàn bich &à

6 6> 264, 42 4-

Tuc%ng vi du 2.2, và vi du 2.,7 ta có thé biéu dien càc bien co và *àc suat tuc%ng !ngc!a phép th! %!t &ién tiep 6 9uàn bài duói dang se% do cà

Bhng phài 9un

bich 6w4-

Bhng phài 9un bich

6>w4 &

Sun bich

26w4-

Bhng phài 9un

bich 6w4,

Sun bich

26w4,

Sun bich

26w4 &

0inh 2.>5 =: do cTy rUt *ién tiep / uTn bài


39/232

1 /i

11

23

# du 2.7,5 C thu k *ep ngau nhi`n n bfc thu


40/232

3

n n


41/232

#i du 1.45: 3ieo *!c *ac. Neu +


42/232

3pi &à &o bien co Ldau %a D có t%ang thài -Z và &à D bien co Ldau %a D có t%ang thài 2Z.

Bhi dó ?o. ?i& và Fo. &à hai he dad!.

900 0

D

6(nh 2.

Bénh du/c d%ac t%ung b(i càc *àc suàt chu %o . và 9 $ t%ong dó

va

0F

, p duh @i &à *àc suàt &ói

3ià s! 0 p o $ 4


43/232

# du 2.75 ot nhà + có ba phn *uóng I$ II$ III cfng sn *uat %a +ot &oai sn ph+. @hn*uóng I$ II$ III sn *uat tuc%ng fng 6Jq$ 67q$ 6-q sn &upng cfa nhà +$ vói t &e

phe pha+ tuc%ng fng &à -$2, -$2 -$->.a. Ti+ t &e phe pha+ chung cfa nhà +.

b. 8a ngau nhi`n +ot sn ph+ ki`+ t%a và dó &à phe ph+. Tnh *c suat dé phe ph+

dó &à do phn *uóng I sn *uat.

4i=i: 8a ngau nhi`n +ot sn ph+ cfa nhà + d` ki`+ t%a. 3pi & &à bien co Lsn ph+ki`+ t%a &à phe ph+Z.

3pi % , % , % &an &u/t &à bien co sn ph+ &a %a ki`+ t%a do phn *uóng I$ II$ III

sn *uat. Theo gi thiet ta có5 he 6 bien co % , % , %/ da df ).

Y -$ ->.

a. Xc sut cfa bì n c & cing &à ti thfc *c

sut d df 5 Ngui ta dfng t bi dé kì + t%a +ot &oai sn ph+ nhà+ *c dinh sn ph+

có dat `u cu khng. ng sn ph+ có ti &e ph` ph+ &à p . Thi`t bi có kh nng

pht hieu dfng sn ph+ 2 ` ph+ vói *c sut et và pht hien dfng sn ph+ dat

cht &u/ng vói *c sut z. Bi`+ t%a ngu nhi`n +ot sn ph+$ ti+ *c sut sao cho

sn pha+ nà5

a. Du/c ket &uan &à phe pha+


44/232

A

PA N= 1

Ph "hà<

(o dó có! óc uó dó! d>

S 12

b. 1ien co sàn phà+ kié+ t%a duc%c ket &ua) n dat chat &upng nhung &à phe phà+ &à bien co

6 vói dieu kien % . Pp dung cóng th!c 1aes ta du/c

c. 1ien co ket &ua) n &à d!ng v[i thuc chat c!a n[ &à %6 % 6 , cN *àc suat

Ta có thé biéu dien ket 9uà duói dang cà biéu do nhu sau

Bet 2ua


45/232

d. 0!%

2 &) 6 ,- 6

0!&) , w 6 ,-

2.7 DP @0K@ T0E 1EHNGU88I

0!%

)

6 2>4

MNt phép thti cN thé Cap *ai, dNc *Tp và trong moi phép thé ta ét sp uat hién cùa bienco % 7hNng doi vài 0!%) p , !F W p W 2) doyc goi *à phép thé &ernou**i.

p &à *àc suat thành cóng t%ong +oi &an th!.

Mot dày *àp *ai cùng mót phép tht( &ernou**i duce gni *à dày phép the &ernou**i.

Bi hieu 6 7 \à bien co L % *uat hien %a d!ng 7 &an t%ong n phép th!Z.

D)at 0p!7, p) 0!6 7)

Dinh & 2.75 Xàc suàt c!a bién có L % *uàt hien %a d!ng 7 &à ng %i phép th!Z &à5

7 7 ! p) n 7 .n 27 )

cn7

7 K1.2S=

Chàng minh: 6 7 dà tong c!a

cn

càc bien co *ung àc t!n i nhan du/c bàng càch hoàn vi

càc chii % và % t%ong bién có tich sau


46/232

K1.2:=


47/232

k/i k=Ching

minh:


48/232

# du 2.75 Tn hieu thng tin duc%c pht di 6 &an doc &ap nhau. Xc suat thu du/c +oi &an &à-.7.

a. Ti+ *c suat d` nguon thu nh)an du/c thng tin dfng , &an.

b. Ti+ *c suat d` nguon thu nh)an du/c thng tin dó.


49/232

0, =0, Q0, =#0,=1\0,

R 4, S04. 7h"n u R S.

6 TATn# chuc/n# nà! é dén "hé" h>, bién 7ó hé e< bién có c> àdó có càc ?un he #in càc bién có" oàn h"", #io à à! "hàn b> c>

ccon c> kh

c> bién có.in "hé" h> nà!

i càc "hé"#in càc =" h", dó

+X Znh ác uU c- biXn cWcW diXn cWn# h-c 1.1= à các #u!

T/u[n# h!" d biX ó

dón# khà > dun# "huon# "hà" àc u

có iXn ?un - d[n# cá7ón# h>c con# 7ón# h>c àc uà b

c dXc àc uà dà! d>, c# h>c 8!e 1.23a1.24=

c. Neu +uon *àc suat thu du/c tin -$ thi phài phàt di it nhat bao nhì u &an.

4ii: Có thé *e+ +oi &an phàt tin &à +ot phép th! 1e%nou&&i +à su thành cóng c!a phép th! &à nguon thu nhan du/c tin$ theo già thiet *àc suat thành cóng c!a +oi &an th! &à -$7. #)a5

a. Xc suat d` nguon thu nha) n du/c thng tin dfng , &an &à

6


50/232

Dfng =ai .

2.JCc bien co doi cfa hai bien co doc &ap cung &à doc &a) p.

Dfng =ai

2.Xc suat cfa tng hai bien co doc &ap bang tong *c suat cfa hai bien co

nà. Dfng =ai .2.>Xc suat cfa tch , bien co *ung khac bang tch , *c

suat. Dfng =ai .

2.Bhi p dung cng thfc *c suat da df d` tnh *c suat bien co & dua vào he da df

!% .$ % s * thi cc bien co & và % ,..., % s phi t%ong cfng +ot phép thf.

Dfng =ai .

2.2-Cho II Y 1a, b,c, d t%ong dó cc bien co se% cap &à dong kh nàng. 1ien co % 1a, b và

& 1a, c &à phu thuoc vi chfng cfng * %a khi bien c% cap a *a %a.

Dfng =ai .

2.22T%ong +ot h(+ dog 2- chi tiét dat tiéu c va i tiét &à phé phà+. 8à dóng th(i 6chi tiét. Tinh *àc suàt5

a. C 6 chi ti`t & %a thuoc &oai dat ti` ch

b. T%ong s 6 chi ti`t & %a có , c `t dat ti`

2.2,ot hop có 2- bi +àu d$ 6 - *anh và àng. 8 ngu nhi`n tf hop 2 bi$tnh *c sut bi & du/c t%ong cc t g hip

a. +àu vàng ho4ac b. khng +àu và khng phi +àu *anh

c. +àu t%àng d. +àu d ho


51/232

d. Có J sàn phà+ kié+ t%a dau &à *au.

2.2 Xét càc +ang vói ba vi t%i chuén +ach tuc%ng !ng t%ong càc se% do sau. 3pi


52/232

1.25 Hi biXn cW A , 8 có ác uU C A= 0, 3 , C A8= 0, S . Giá u khWn# un# khàc. TZnh P8= .

1.2 Giá u hi biXn cW A , 8 có ác uUZnh

PA= P8= 1 3 à PA8=

b. P8 A= d. PA8=

e. PA8= h. PA8=

7h"n n#Uu nhiXn Un u!hi chon duc à W 4.

6o nhà


53/232

2.6, ot nhà + sn *uat +ot chi tiet cfa dien thoai di dong có t &e sn ph+ dat tiù chuanchat &u/ng &à >4q. T%uóc khi *uat *uóng ngui ta dfng +ot thiet bi ki`+ t%a d` ket &u a)n sn pha+ có dat ù cau chat &u/ng ha khng. Thiet bi có kh nng pht hien dfng sn ph+ dat tiù chuan vói *c suat &à -$ và pht hien dfng sn ph+ khng dat tiù chuanvói *c suat &à -$4. Ti+ *c suat d` 2 sn ph+ duc%c chpn ngau nhi`n sau khi ki`+ t%a5

a. Du/c ket &uan &à dat tiù chuan.

b. Du/c ket &uan &à dat tì u chuan thi &ai khng dat tiù chuan.

c. Du/c ket &uan dfng vói thc chat cfa nó.

2.66 Chfng +inh %ang neu 0!% &) } 0!%) thi 0!& %) } 0!&) .


54/232

C0 GN3 ,5 I!N N"À# NHI$N #P CC DAC TH 3 COA C0ON3

T%ong chuc%ng nà ta khào sàt càc bien co c!a dai &u/ng nha) n càc già t%i nào dó$ khi càcgià t%i nà tha dói ta du/c càc bien ngau nhién. Bhài nie+ bien ngau nhién


55/232

7J

Chicong 5: &ien ngàu nhién và cóc dac trirng ch(a ch((ng

Ta gpi N &à +ot bien ngau nhién có +ien già t%i 'ip Y 2$ ,$...$ J

ot cch tong 9ut ta có khi nie+ bien ngau nhi`n nhu sau.

,.2.2 Dnh nghia bien ngau nhi`n

Dnh nghia ,.25 &ien ngau nhién ] *à dai hong nhón cóc già tri nào dó phu thuóc vào cóc

yen to ngau nhién. Dàc biet vài moi gió tri thOc e : A]nhón gió tri nhó hon bang ^,

Doi vói bien ngau nhi`n ngui ta chi 9uan t+ *e+ nó nh)an +ot gi t%i nào dó ho)ac nha) ngi t%i t%ong +ot khong nào dó vói +ot *c suat bao nhi`u.

Ta) p hpp tat cà càc già t%i c!a duc%c gpi &à +ien già t%i c!a N $ k hieu 'ip .

#i du ,.25 3ieo dong th(i hai con *!c *ac. B hieu


56/232

Chicong 5: &ien ngTu nhiPn và cóc dac trirng cita ch_ng

Ji "= à h

Su &u a)t phn bo *c suat du/c nghi`n cfu thng 9ua hà+ phn bo *c suat d i< nh nghianhu sau.

Dnh nghia ,.65 6àm phTn bo àc suat !cumu*ative distribution 1unction, viet tat CD`) cùa

bien ngau nhién ] *à hàm so `1 !) àc dinh vài moi J bTi cNng thUc:


57/232

3 4


4

a. T+ +ien già t%i c!a .

b. 3ià s! càc k hieu du/c sinh doc &a) p. Tinh càc *àc suat

0 ] 2 $ ' , và 0 ] / .

6inh ,.2

# du ,.75 Xét phép thf né+ phi tiù vào +ot dia t%n có bn knh bang 2 ). Bhieu N &à bien ngau nhi`n do khong cch Iii di`+ +iii phi tiù ca+ vào dia den t+cfa dia. 3i sf +iii phi tiù &un ca+ vào dia và dong kh nng tai +pi di`+ cfa dia.

a. Ti+ +ien gi t%i cfa .

b. Ti+ hà+ phn bo `p!) và v` do thi cfa `p!) .


58/232

1 24 4424

6inh ,.,

0 i


59/232

4 4

Chico+ng 5: &ien ngàu nhién và cóc dac trirng ch(a ch((ng


60/232

Hà< "hàn bó c> có hé dinh > hà


61/232


4,

1 neu2

3 4

1 4

1 21 4

Dé t%iQc 9uan he%% ch!ng ta biéu dien hà+ khoi &u/ng *àc suat c!a bien ngau nhién %(i%ac thóng 9ua bàng phàn bo óc suàt. Dó &à bàng có hai hàng$ hàng t%én ghi càc già t%i c!a+ien già t%i 'ip theo th! tp tàng dan$ hàng duói &à già t%i c!a hà+ khoi &upng *àc suat tuc%ng!ng.

1àng phàn bo *àc suat c!a có dang sau5

#i du ,.5 Xét phép th! tung dong th(i , dong *u


62/232

Q

30 302Q 30

20 30

S 30

O 2 3

0à+ khoi &upng *àc suat

6) Y *) Y - vói +pi * khàc -$2$ ,$ 6.

1àng phàn bo *àc suat

0à+ phàn bo *àc suat

6(nh ,.4

#i du ,.5 Xét +ot dà phép th! 1e%nou&&i vói *àc suat thành cóng +oi &an th! &à p , F W p W 2

. @hép th! dupc thuc hien den khi sp thành cóng *uat hien. 3pi N &à so &an th!.

a. T+ hà+ khoi &u/ng *àc suat p !) .

b. T+ hà+ phàn bo *àc suat ` !) .

N - 2 , 6

0 4w 6- 24w 6- w 6- 2w 6-


63/232

1 2 k

4ii: N &à bien ngau nhién %(i %ac vói càc già t%i có thé có &à 2$ ,$...$ 7,

3pi % &à bien co Lphép th! thành cóng ( &an th! th! 7 ^. Càc bien co % d cRc &a)p nhau

và 0!


64/232

0

0à+ khoi &upng *àc suat và hà+ phàn bo *àc suat nhu sau

I p neu * Y - - neu * - p !) p neu * Y 2 Np


65/232

0 k

0

0,QS33

0,4SS$

0, 1$Q2,04

0, 004

0,31100,2$S

0,13:2 0,1:

0,03Q 0,04$0, 0041

Chicong 5: &ien ngau nhiPn và cTc dan trirng cUa chUng

trong dN ri *à so tu nhién và F W p W 2$ donc goi *à cN phTn bo nhi thUc tham so ri, p, hiéu

%!n # p) .

1àng phn bo *àc suat c!a bien ngau nhi`u c phn bo nhi th!c %!n # p)

!b)- neu * -

6inh . phTn bN nhi three vNi ri J và p ii -$ J


66/232

Chico+ng 5: &ien ngTu nhiPn và cóc dac trirng cita ch_ng

4

c.8 hàng du/c *e+ &à dat ti`u chuan neu so phe ph+ pht hien duc%c khng nhieuhein

,. Tnh *c suat d` & hàng dat ti`u chuan.

4ii: Có thé *e+ kié+ t%a chat &u/ng +oi sàn pha+ &à thuc hien +ot phép th! 1e%nou&&i vóisp thành cóng c!a phép th! &à phàt hien %a phe phà+. Theo già thiet *àc suat thành

cóng c!a +oi &an th! &à -$-7. Bié+ t%a ,- sàn phà+ &à thuc hien ,- phép th!.a. =o phe pha+ pht hien dupc &à so &an thành cng t%ong ,- phép thf nà. #)a có

phn bo nhi thfc N


67/232


k } - 7 -$ 2$ ,$ (2.22) (2.23)


68/232

0,224 0,224

0,14Q4

0,04Q: 0,100:0,0S040,0 1 o.00:1

0,4$2

,4232

0,1 Q20,04Q:

!b)

6(nh ,.> 0hón bo 0oisson tham so f /

b. Q


69/232

0!&) 0 ]!I ; ,) Y -) Y e -$6J.

c. Q


70/232


k

Thuat :a$ àp dung cóng th!c *àc suat da d!$ ch! den dieu kien +ien già t%i &à ta) p so

nhién và tinh chat doc I%ap c!a N $ Nl ta có

7 7

7

!7 m)

7

m=0 + !7 +)

7 :

,.6 1IKN N3PU N0IN 8IN TUC2.3.1 0à+ +at d *c suat cfa bien ngau nhi`n i*n tuc

Cng thfc


71/232

Hinh 2.Q


0ói

#i *c suat tai ti%ng di`+ cfa bien ngau nhì n &i`n Inc bang -$ do dó ta có

b

(2.2+)


72/232


b. 0à+ phn bo *c suat Np


73/232

- a

b a2 neu * b


74/232


@hn bo +f thung *uat hien t%ong cc bài ton ve thi gian song cfa +ot &oài sinh vt$tui thp cfa thiet bi . . . ho4ac khong thi gian giia hai &an *uat hien cfa +ot bien co E nào dó+à so &an *uat hien cfa E tun theo &uat phn bo @oisson.

#i du 2.15: Tuói thp c!a +ot +ach dien t! t%ong +à tinh &à +ot bien ngau nhién có phàn bo

+i tha+ so k } -. 3ià s! tuoi thp t%ung bnh c!a +ach dien t! nà &à Y J$ ,4


75/232

neu ií 0


2.3.2.3 @hàn bo E%&ang

Dnh nghia ,.2-. &ien ngau nhién ] có phón bo 3r*ang tham so !7 # f),@ 7 *à so ty nhién và

k } -$ neu hàm mcit do óc suat có dang.@

(2.3+)

c phn bo E%&ang tha+ so !7 # f) .

N 2 J 5 J A @ @ J 7

@hn b E%&ang tha+ s


76/232


77/232


i Do dó khi tàng &`n thi do thi dich sang phi$ cn khi gi+ do thi dch sang

t%i.

Bhi c% tàng &`n thi do thi s` thap *uong$ cn khi c% gi+ do thi cao &`n và nhpn ho%n.

6inh 5. E5. Do thi hàm mót dN c_a phón bo chuan N


78/232


e 2e 2

6inh 5.E/b. D3 thi hà+ phn bo cfa phn bo chun tac N


79/232


(2.44)

Tf dó ta có

Cng thfc ,.74",.7J van cn dfng khi tha dau L thành dau cng thfc ,.,).

b. @ 2-- ,,--) .

(2.45)

(2.4+)

&ai


80/232


J>

)


81/232

0

/on# dó _./= R] ed , ` 0 à hà< G


82/232

0 neu j 0

n

Chico+ng 5: &ien ngau nhiPn và cTc dan trirng cUa chUng

6(nh 5.E$: 4ió tri tài han chia phón bo A7hi b(nh phu:ang^

Nhan *ét ,.J5 1ien ngau nhi`n có phn bo 3a++a tha+ so


83/232

. N0f =

6(nh 5.E>. Do thi hàm mót dó cua phón bo "tudent

2.S$=

0à+ + a)t do *c suat


84/232

"

QQ0o, o0:

\100,QQ2

3


S

Neu chuoi ) hoi ti& tuet doi


85/232


B hieu 1,

r,Y &à

Bhi dó gi t%i t%ung binh cfa có th` viet &ai

Tan suat 1 cing chinh &à *àc suat t%u(ng hpp nhuan già t%i *$Chàng han +ot nhn nh)ap t%ong +ot n+ nhu sau

Thng 2 , 6 7 4 J > 2- 222,

Thunh)ap t%ieu và cuoi nà+ du/c thuóng ,- t%ieu.

Thu nh)ap binh 9un +ot thng4 Y


86/232


Do dó E Y -$ >.-$ 7.2-- ^ -$ >.-$ J.6-- Y …2J

3pi D &à so tien thuóng nha) n du/c khi ngui chc%i chpn cu hi 1 t% &i dau ti`n thi

D …- …,-- …6--

0 -$7 -$J.-$, -$J.-$>

Do dó E F,J.-$ ,.,-- ^ -$ J.-$ >.6-- Y …2J>


87/232

A" dun# các cWn# h-c 2.0, 2.1,h-c u;

cu n# có hnh "huc/n# i

i=. Néu N /@i /c cc #i, ói hà< khoi u!n# àc u " ,= hM

l I Ic,=

4 S

0

S

3 44


al t khàc$ theo cóng th!c ta ching du/c E D )) ,--E

b. ,--a ^ 6--


88/232

32S

12 1S 2S

Chico+ng 5: &ien ngàu nhién và cóc dac trirng ch(a ch((ng

Dl7

L 4

@huc%ng sai c!a bien ngau nhién N &à do &ech bnh phuc%ng t%ung bnh 9uanh già t%it%ung bnh E . T%ong k thu a)t phuc%ng sai d%ac t%ung cho +!c do phàn tàn c!a càc chi tiet gia

cóngha sai so c!a thiet bi. T%ong 9uàn & và kinh doanh th phuc%ng sai d%ac t%ung cho +!c do %!i%o c!a càc 9uet dinh.

# du ,.2 cho tha dau tu bo hi`+ cho nhing ngui ,4 tuoi &à có &i$ nhung v du ,.,7cho tha %fi %o cfa bo hi`+ %at &ón.

2.4.2.2 Tinh chat

2) D


89/232

4


90/232


2.4.3 @hn vQ$ T%ung vi.

2.4.3.1 @hn vQ

@hn vi +fc %i cfa bien ngau nhì n $ k hieu v9 $ &à gi t%i phn chia +ien gi t%i cfa

tha +n

Nghia &à

6(nh 5.E . 0hón vi miic a cua bien ngau nhién *ién tuc


91/232

6inh 5.Ej. 0hón vi miic a c_a bien ngau nhién rài rac

• T%ung hip bien ngau nhì n N &ì n dc vói hà+ phn bo *c suat Np


92/232


3ià t%i tói han +!c %i &à phàn vi +!c & e


93/232

>

Chicong 5: &ien ngau nhiPn và cTc dan trirng cUa chUng

# du ,.,5 Ti+ ed và od cfa bien ngau nhi`n &i`n Inc *ét t%ong v du ,.J

4iSi: ed &à nghie+ c!a phuc%ng t%inh


94/232


4) 0e so nhpn !4" #4

6)

7)

Nhan *ét ,.5

' m E$ Y -$ Y DE .

• •6 do +fc do bat doi *fng cfa &ua)t phn bo

Neu •6 - thi phn bo *c suat và do thi cfa hà+ + a


95/232


>-

d

@hn bo E%&ang tha+ so!7 # f)

2

b a

$%

i&0

!a J b) ; , !b a)+ w 2,

7

LBhi binh phuongZ u b


96/232


E QNY -@1 !)d


97/232

2.S K! "n# c- Wn# hi biXn n#áu nhiXn uWn uW # các k! "n# c- nó.

+-n#(i.Hi biXn n#Uu nhiXn có c-n# k! "n# co"hucin# +-n#(i.Phuon# i c- Wn# hi biXn niXn /[i /c uWn bán# Wn# "huon# i c- nó. +-n#8iXn n#Uu nhiXn Wn ii hi chini k "n#.+-n#(iHà<


98/232

+-n# (i

2.10 TWn# c- hi biXn n#áu"hUn bW heo "hUn bW nhi h-c bU k! uWn uWn à <n#Uu nhiXn "hUn bW heo "hUn W nhi h-c.

0, 4 0, 30, 1

TZnh k! "n# _6 à "huon# i +_.2.1: 8iXn n#Uu nhiXn /[i /cnhn b #iá

0,2 0,2 0,:

2.20 7ho, 9# , à b biXnnhiXn doc =" có bán# "hUn bW ác uU nhu u;

\

Chicong 5: &ien ngu nhiPn và cóc dac trirng cita ch_ng

>,

,.27 Neu bien ngau nhi`n phn bo theo phn bo chun N


99/232

2 1 !)

2.24 Tuói tho c!a +ot &oài cón t%!ng nào dó &à +ot bien ngau nhién


100/232

b. 8a) p bng phn bo *c suat cfa bien ngau nhi`n và bien ngau nhi`n D .

2.32 Cho bien ngau nhi`n %i %ac có bng phn bo *c suat

2 , 6 7 4 J

a. Xc dinh k.

b. Tnh *c suat 0 ] } 4… và 0 ] W / .

c. Tinh k vpng E .

d. Tnh phuc%ng sai D

2.33 Có 4 sn pha+ t%ong dó có 7 chnh ph+ và 2 phe ph+. Ngui ta &a %a &an &u/t , sn pha+ - h+ &oai i ,-- sn ph+ &oai ,. 8 ngu nhi`n %a 4sn ph+ theo phuc%ng t &ai. 3oi sn ph+ &oai 2 & du/c.

a. có phn b g% `t bi`u tng 9ut cfa phn b. b. Ti+ k vpng và ph

c. Ti+ +t cfa N và tnh i nàng d` * %a di`u dó.

,.6 Xc sut d` sn ph+ sn *u bi hng bng -$2.

a. Ti+ *c sut d` t%ong 4 sn ph+ sn *ut %a có khng 9u , sn ph+ hng.

b. Ti+ so sn ph+ hng t%ung binh t%ong 4 sn ph+ dó.

c. Ti+ so sn ph+ hng có kh nng * %a nhieu nhat.

,.6> ot bài thi t%ac nghi`+ go+ có 2- cu hi$ +oi cu hói có 4 phuc%ng n t% &i$ t%ong dóchi có +t phuong n dfng. 3i sf +oi cu t% &i dfng duc%c 7 di`+ và cu t% &i sai bi

t%i , di`+. ot hoc sinh ké+ &à+ bài bang cch chpn hf hoa +ot phuc%ng n cho +oicu hi. Tnh *c suat d`5

,.6 Tn hieu thng tin duc%c pht di 4 &an doc &a)p nhau. Xc suat thu du/c tin cfa +oi &an pht &à-$. Tnh *c suat5

a. Thu du/c tn hieu dfng , &an.

a) Thu du/c tn hieu nhieu nhat 2 &an.


101/232

. N#hie< i cWn# h-clk= . Ti< hà< "hW

b. TZnh k! "n# _, "huc/n# i + 9.3 7ho biXn n#Uu nhiXna N0f = . TZnh có c ác uU

4 7ho biXn n#Uu nhiXnu

a0f = . các #iá /ih[


102/232

0


chuan$ e } - tf .

và ciing tuàn theo phàn bo

,.7 Cho bien ngau nhi`n " N


103/232

T- hà< "hUn bW ác uU d[n# h[i có hX Znh duc/c hà< "hUn bW ác uU c- cácn#Uu nhiXn hành "hUn. 7iZn# !, - bán# "hUn bW ác d[n# h[i c- biXn n#Uu các biXn n#Uu nhiXn hành "hUn.

N#oài nhiXn n#Un 1 ?un h

C0NGN3 65 #KC TQ N3PU N0IN #P CC DAC TH 3 COA C0ON3

Bhi nie+ bien ngau nhi`n nhieu chieu ha cn gpi véc te% ngau nhi`n &à +ot bo có thf

cc bien ngau nhi`n. oi bien ngau nhi`n &à +ot thành phan cfa nó.Tuc%ng bien ngau nhi`n$ gu &ua)t phn bo *c suat cfa bien ngau nhi`n nhieu chieu

du/c kho st thng 9ua hà+ phn bo *c suat. 1ien ngau nhi`n nhieu chieu có cc bien ngau

nhi`n thành phan %i %ac gpi &à bien ngau nhi`n nhieu chieu %i %ac. Neu Ut c cc bien ngau nhi`n

thành phan &i`n dc thi bien ngau nhi`n nhieu chieu tuc%ng fng gpi &à &i`n tuc. 1ien ngau nhi`n

nhieu chieu %i %ac du/c *c dinh bói bng phn bo *c suat dong thi ho)ac hà+ khoi &u/ng *c

suat dong thi$ cn bien ngau nhi`n &i`n Inc du/c *c dinh bi hà+ + a)t do *c suat dong thi.

6.2.2 Bhi nie+ và phn &oai véc ti% ngau nhi`n

T%ong chuc%ng t%uóc ta *ét cc bien ngau nhì n +à gi t%i chfng nha) n duc%c có th` bi`u dien bang gi t%i so$ dó &à cc bien ngau nhi`n +ot chieu. Tu nhi`n t%ong thuc te có th` ga)p cc bienngau nhi`n +à gi t%i nh


104/232

Chico+ng/: Véc ter ngu nhiPn và cóc dac trirng cita ch_ng

chieu cao thi ta có bien ngau nhi`n ba chieu. Ngoài %a neu 9uan t+ th`+ t%png &u/ng cfa sn pha+ thi ta du/c bien ngau nhi`n bon chieu

#éc te% ngau nhi`n %i chieu


105/232

*=! N, != khWn# hX à hà< "hUn bW c- éc*Z du 3.3; Hà< "hUn bW ác uU c- éc e/ n#Uu

#Uu nhiXn i khWn# h[


106/232

nhiXn /[i /c du!c ác dinh hWn# ?u hà< khWi u!n# á d[n# h[i. +=c bie #u

6., #KC TQ N3PU N0IN HMI C

D` t%iQc 9uan he%% chfng ta bì u dien hà+ khoi &u/ng *c suat dong thi cfa bien ngaunhi`n %i %ac hai chieu thng 9ua bng phn bo *c suat dong thi.

&àng phàn bo óc suàt dRng thài c!a bien ngau nhién %(i %ac hai chieu


107/232NhUn é 3.1;


108/232

.

*Z du 3.S; Gieo 3 dWn# iXn cUn dWi ,A, .&, . G"i N à W= n#- uU hien c- 2 .& à à W n# có bàn# ie ké : ké ?uà dón#c> 9, 6on# >n#, /on# dó N à

i #ieo 3 dóin càn dói à inhéu


109/232


@hn bo *c suat cfa hai bien ngau nhi`n thành

phan5 Cong cc *c suat theo hàng ta du/c5

- ,

0 ,w> 7w> ,w>

Cong cc *c suat theo cot ta du/c5

D 0 , 6

0 2w> 6w> 6w> 2w>

# du 6.J5 Có hai hop$ +oi hop dog J bi.

0op I có 2 bi +ang so 2$ , bi +ang so ,$ 6 bi +ang so 6.

0op II có , bi +ang s 2$ 6 bi +ang s ,$ 2 bi+an

Hft ngu nhi`n Iii +i hop 2 bi. 3pi Q$ &n &à s ghi t%`n bi %ft duc%c Iii hop I vàhop II. 0 &a)p bng phn b *c sut dng

4iSi: i hop c J bi cho n`n s càct%u[ng t%u[ng hpp


110/232

2= G"ià W Un uU hien


111/232

0 neu n#uoc i

1 2

0

0 neu n#uoc i

0 neu n#uoc i


112/232

Y , > 7

# du 6.5 Cho véc te% ngau nhi`n


113/232

0

0

6.7 TN0 DGC 8Ž@ COA CC 1IKN N3PU N0IN

Tf dinh nghia ,., ve tnh doc &ap cfa hai bien ngau nhi`n ta có th` * dng cc dauhieu sau d d` nh a) n bi`t tnh doc tap cfa chfng thng 9ua tnh cht cfa hà+ phn b *c sutdng thi hoàc hà+ khi &u/ng *c sut dng thi di vói hai bi gu nhi`n %i %ac ho)ac hà+ + a)tdo *c sut dng thi di vói hai bi`n ngu nhi`n &i`n c.

3i sf $ D &à hai bi`n ngu nhi`n doc &a) p

Dnh & 6.25 3ià s! Np


114/232

>


115/232

Q

hpp $ i*n tuc có hà+ +at do *c suat dong thi I] , ! '.R)


116/232

hiéu co9, =, àon# oón c> ich càc i éch c> hi bién n#óu nhién dó àion

Khi /iXn X "hái à á" dun# Znh chU c-"n#

NXu 9, /Jc/i /c có hà< khWi u!ác uU h[i heo cWn# h-c 3.:= hi

3.3

Néu 5, ién nc c ó àc uà h@iC 5 , I.!=hM

3.3$

TZnh chU 3.2; T- dinh n#hi hX ch-n#


117/232

2--

Chico+ng/: Véc ter ngàu nhién và cóc dac trirng ch(a ch((ng

6) Càc dinh th!c con chinh c!a M khóng à+.

Nói càch khàc +a t% a) n hiep phuc%ng sai M &à +a t% a) n c!a dang toàn phuc%ng khóng à+.

3.5.4 0e so ti%i%ng 9uanDnh nghia 6.J5 6é so trong uan cùa hai bien ngau nhién ], vài phOong sai 7hóc F duce

hiéu và dinh nghia bài cóng thùc.@

cov!], D)


118/232

Chico+ng /: Véc ter ngu nhiPn và cóc dac trirng cita ch_ng

33\Q

2 - 2

0 w24 7w24 ,w24

D 2 0

2w6 2w6 2w6

E Y


119/232

-$44 -$74 1


120/232

d. A" dun# cWn# h-c 3.3S=, 3.3=, 3.41=, 3.42= du<Hie" "huon# i_6= R 0, 4co9, = 0, S 0, 4S R 0,1$S .

He W uon# ?un R 0, $04.

6 /= n hie" "huon# i0, 2S0,1

T hU! #iá /i ""R 0, $04 khá

, 24$S

khWn# "hu c u!Xn Znh dWi ói.

3. PHAN 8O 7O +_& K3..1 PhUn bW có diêu kiê+nh n#hi 3.$; Gi ábién co /on# c-n# "hé" hi

ky "

+_& K_Ncó diêu kiê- biXn n#Uu nhiXn rõi /c

hién /ài /< có


121/232

/on# dó

*Z dá 3.1$; 7ho 9 , i biXnu nhiXn /[i /c có "hUn bW ác uá dWn# h[i

t%ong dó

-$,

-$, -$22 -$2> -$2 -$7>

-$7 -$-4 -$26 -$- -$,4

a. Ti+ bng phn bo *c suat cfa cc thành phan và .

b. Ti+ bng phn bo *c suat cfa vói dieu kien Y -$ ,.

-$4 , 7 b. 1ng phn bo *c suat cfa vói dieu kien Y -$ ,


122/232

b. Phàn bó c> ói diéu kién 8 ;

\s@ /àn# khi k ` /i hM biékhón# uà hien. +o dó

kéo heo/i "hé" h- dUu iXn biXn cW A! P " L k8= .

d ón# h8e/noui ; P8= in P bn n"?

*=! hà< khói u"n# àcc> ói diéu kien 8 có dn#

neu

neu

D ] -$ , -$4 , 7

22w7> 2>w7> 2w7>

#i du 6.2>5 Thuc hien &)ap &ai c!ng +ot phép th! 1e%nou&&i vói *àc suat *uat hien c!a bien co %

t%ong +oi &an th! &à p , - p W 2 . 3pi &à bien ngau nhién chi &an th! dau tién *uat hien

bien co % . 3pi & &à bien co5 LT%ong %i &an th! dau tién có du nhat +ot &an *uat hien bien co % ^.

6.J., @hàn bo có dieu -ien và k vpng có dieu kien c!a bien ngau nhién ièn tuc

Dnh nghia 6.5 Q'iw bien ngau nhién ] và bien co & trong cùng mót phép the, thóa màn dieu 7ién 0!&) } -. 6àm phón bo àc suat cùa ] vài dieu 7ién & doyc dinh nghiLa và hiéu nhO sau


123/232

ói


124/232

0 neu n#uoc i

6.J.6 B vpng có dieu kien

Dnh nghia 6.225 y vong c_a ] vi dieu 7ién & dOyc dinh

nghia.@ n

(3.55)

(3.5+)

# du 3.20: Thng k` dn cu cfa +ot thành ph %ip ó do tui óng thành v ̀thu nha) p hàng thngvà &fa tui thu du/c k`t 9u t%ong bng sau.

6- 74

-$-4

-$-6 -$2-

-$,2 -$2> -$24

$-> -$-7

t%ong dó Y2$ ,$ 6$ 7 ung u nha) p t%ieu dng wthng.

6-$ 74$ - chi i cfa ngui dn t%ong khong5 ,4"64$ 64"44$ 44">4.

Ti+ thu nh)ap t%ung binh theo &fa

4i=i: Thu nh)ap t%ung binh theo &fa tui &à k vpng có di`u kien cfa theo .

#ói 6- bng phn bo *c suat dieu kien tuc%ng fng5

] Y 6- 2 , 6 7

-$ -,

-$ 6

-$-J

-$6

-$,2

-$6

-$->

-$6

6 6 6 6Y 2- Y ,$ 74.

6>

Y 6$ -J. E p ]

-…,

>JY ,$ 4,7.

67

#a) thu nha)p t%ung bnh ( do tuoi 6- &à ,.74.--dwthàng$ do tuoi 74 &à 6.-J.---dwthàngvà do tuoi - &à ,.4,.7-- dwthàng.


125/232

2-

Chicong /: Véc te ngu nhiPn và cóc dac trirng cita ch_ng

Dnh nghia 6.265 4ir *! hai bien ngau nhién ] , cN ] ! 3 ]) *à hàm mTt dN àc suat cN

dieu 7ién cùa vài dieu 7ién ] K. hi dó vong cùa vài dieu 7ién ] doge hiéu

và dinh nghiLa theo cóng thùc sau

3.S$=

3.S:=

E …F) ii *… *àc dinh [ cng th!c


126/232

Chico+ng /: Véc ter ngu nhiPn và cóc dac trirng cita ch_ng

+nh n#hi 3.1S; +! các bien n#u nhi ]nn 1dic #oi á hói u h

nhién 5 neu d! các hà< "hUn bo ác u=L]cii u é hà<

T/u[n# h!" d! các biXn n#Uu nhiX /c n biXn n#U


127/232

• T%ung h/p tong


128/232

# du 3.22: ot cfa hàng +uon uóc &upng nhanh chóng sai so cfa so vi bn %a t%ong +ot thngcfa +inh. =o vi cfa +oi khch hàng duc%c &à+ t%n bói so ngu`n gan nhat


129/232

11

24$J + th &à+ t%(n &à 2Ja ). B hieu W# &à sai so gina so +ét vài thc bàn và so +ét vài dà

&à+ t%(n c!a khàch hàng th! i.

4ii: Càc sai so $ $ ...$ Qp &à càc bien ngau nhién doc &a) p có phàn bo deu t%én doan


130/232



131/232

O hX k! 1:, nhà oán h"c Phá" 8uton #ieo


132/232

+nh ! 3.:; Giá -, 9̂ ,... à d! các biXn n#Uu =" có c-n# "hUn bW, có k!

à "huc/n# i c/. Khi dó d! bien n#u nhiX

"hUn bW chuUn àc N0f1= , -c à;

3

P= à hà< "hUn bW ác uUA" dun# dinh ! #iói "hUn bW 8e/noui h+nh ! 3.Q 6oi/e %"bW 8e/noui h< W " hi;

hUn bW các N0f1= .U< cho dbiXn n#Uu nhiXn doc =", 9,... có

-c 2.Q== duc/c dinh ! 6oi/e %"ce;Wi ói d! các biXn n#Uu nhiXn

, 9^,... doc =" có c-n#

3

& 2

-$ 47


133/232


11

7!ri 7)

0

Tu nhi`n khi %i kh &ón thi u %at &ón$ do dó ta khng th` p dung cng thfc nà d` tnh

+à can den cng thfc *ap *i.

=u dung cc dinh & giói han ta có th` tnh *ap *i cc *c suat nà.

Dnh 3.10 !dinh *y gii han dia phuong): 3i sf &à bien ngau nhi`n có phn bo nhi thfc

dó

vói C &à hang so.


134/232

Chicong /: Véc te ngu nhiPn và cóc dac trirng cita

,2

2>

6


135/232

p dung cng thfc 2$2) -$ >.

6

Nhu :a sf dung cng thfc 6"2 có ket 9u gan vói gi t%i chnh *c.

2$4 2> 2>$4 2>" -$ J24 -$ 4J4 Y -$ 2,7.

6 6

3i t%i nà cing kh gan vói gi t%i chnh *c

6J

2


136/232


11

12 k

# du 3.25: 3i sf *c suat d` &à+ %a +oi dinh oc khng dfng gu cch &à p -$-24. Ngui ta

*ep dinh oc vào thing hop$ +oi hop 2-- chiec.

a. Tnh ti &e hop chfa toàn dinh oc dfng gu cch.

b. Can phài *ep it nhat bao nhi`u dinh oc t%ong +‘i hp d` ti &` hp ch!a 2-- dinh oc tottoi thi`u &à >-q.

4i=i: a. Neu gpi &à so dinh oc khng dfng 9u cch t%ong hop chfa 2-- dinh oc thi ] %!n # p) vói n Y 2--$ p Y -$ -24 .

0T

#)a có khong ,,$62q so hop chfa 2-- dinh oc tot.

b. 3i su +oi hop chfa 2-- ^ 7 dia cR c, 7 &à so nhi`n. 3pi &à so dinh oc khng dfng

gu cch t%ong +oi hop chfa 2-- ^ 7 dinh oc. ] %!n # p) vói n 2--^ 7, p -$ -24 . Ta

phi *c dinh 7 nh nhat d`

7

i=0

ó da † Y np


137/232

dun# dinh ! #iói hn /un# U< có hX Znh #Un d-n# ác uá c- "hán b[ nhi h-ch< W /i khá ón, cWn# h-c 3.13= a 3.1$=. Khi h/i ón nhun# " bé hi U" i "hUn bW nhi h-c&& HO vONN T TAwPP *p 8p TwP 7H_ONG 3

3.1 8án# "hUn bW ác uU c-à cho "5,=.

ác dinh bhUn b

+-n# (i .

3.2 8án# "hUn bW ác uá dWn# , = ác án# "hUn

n#Uu nhiXn hành "hUnà .+-n#(i3.3 NXu hi biXn n#Uu dinh bán# "hUn bW

+oc =" hi bán# "hUn bW ác

h[i c- 9, =.U dW+-n# (i

3.4 Hi biXn n#Uu nhiXn doc 1=ie" "huon# i bn# 0.

Ngoài hai d a)c t%ung k vpng và phuc%ng sai d du/c *ét ó chuc%ng ,$ t%ong chucing nà cn

*ét cc d)ac t%ung hiep phuc%ng sai cov


138/232


3.Q Neu hi bien n#u nhién , Y dc›c/." hM hà<hoi #u! f(x) —— _LP HH ./= c> Ydei ói X

à hà< hoi #u! g(y) ——_L9 P HH != c> doi ói Yà hi hà< hn#.

+>n# (i .

6.2- Neu hiep phuc%ng sai cfa hai bien ngau nhi`n bang - thi hai k vpng cfa chfng bang nhau <cov


139/232


11

-$2> -$,, -$2J

-$-> -$2J -$,-

Ti+ bng phn bo *c suat cfa hai bien ngau nhì n thành phan $ .

3.23 Cho $ &à hai bien ngau nhi`n có bng phn bo *c suat dong thi nhu sau

-$2, -$24 -$-6

-$,> -$64 -$-

a. Chfng +inh %ng $ D có desc &a) p.

Ti+ gu &u a)t phn b cfa bi`n ngu

c. Tinh cc k vpng , 3, E† .

3.24 Cho $ D &à hai bi`n ngu nhi` &a) p có b hn b *c sut nhu sau5

-$, -$2

-$6 -$7 -$24 -$-4

Ti+ bng phn b *c s ong thi cfa $ . Tnh *c suat 0 K] } .

3.25 Cho bng phn b *c sut thi cfa $

,J 6- 72 4-

,6 -$-4 -$-> -$2, -$-7

, -$- -$6- -$22 -$,2

Ti+ bng phn bo *c suat dieu kien cfa i ] ,J và cfa khi D , .

3.2+ Cho bng phn bo *c suat dong thi cfa $

6 7

6 -$24 -$-J -$,4 -$-7

J -$6- -$2- -$-6 -$-


140/232

a. Ti+ k vpng có dieu kien cfa khi Y 2 .

b. Ti+ cc k vpng E$ E và phuong sai DE$ DE .

6., Cho Q$ D &à hai bien ngau nhi`n có bng phn bo *c suat dong thi

2 - 2

2 7s %i 7c%

- ,

2 - ,s -

a. Ti+ et . Tnh E$ E .

b. Tnh cov!], D), 2 ], -

c. và D có dcR c &a) p khng.

6.,> 3i sf &à bi`n ngu nhi`n %i %ac có phn b @o% n tha+ s k . Ti+ hà+ khi &upng

*c suat vói dieu kien & K ] chang .

6., Cho véc te% ngu nhì n %i %ac


141/232

12

Chicong /: Véc te ngàu nhién và cóc dac trirng ch(a ch((ng

c. Tinh *àc suat dé véc te% ngau nhién


142/232

3.41 7ho, 9# ,..., 9^^ à các biXn n#Uu nhiXn doc =" ói _R 1 , +_,fdun# bU dn# h-c T/Xbué" dX i< hi hàn# W , b o ch

10000

7h-n#


143/232

12

Chicong /: Véc te ngu nhiPn và cóc dac trirng cita ch_ng

6.7> ot * nghiep sn *uat + tnh có *c suat &à+ %a sn pha+ phe ph+ &à -$-,. Chpn ngaunhi`n ,4- + tnh d` ki`+ t%a. Tnh *c suat d`5

a.Có dfng hai + phe pha+

b. Có khng 9u hai + phe ph+.

6.7 ot nhà nghi c 2--- khàch. Nhà àn phuc vp biia t%ua &à+ hai d/t &i`n tiep. Pp dung dinh &‹

oiv%e8ap&ace h ti+ so ch‘ ngoi c!a nhà n phài it nhat &à bao nhi`u d` *àc suat c!a bien coLkhng d! ch‘ cho ngu[i den nZ bé ho%n 2q

3.50 ot k`nh t%uen có nhieu vói *c suat &oi t%`n +oi k so &à -$ -2 .

a. Tnh *c suat có nhieu he%% +ot &oi t%ong 2- k so nhan dupc

b. Tnh ket 9u cfa a) bang cch sf dung cng thfc *ap *i @oisson.


144/232

Chu:ong 9. fy thuyet mas

C0 GN3 4: L7 8H#7!8 MÀ#

Thong k` ton &à bo +n ton hpc nghi`n cfu 9ui &uat cfa cc hien tupng ngau nhi`n cótnh chat so &ón t%`n co% só thu tha) p và *f & so &ieu thong k` cc ket 9u 9uan st ve nh'%ng hientu/ng ngau nhi`n nà. Neu ta thu tha) p duc%c cc so &ieu &i`n 9uan den tat c doi tu/ng cannghi`n cfu thi ta có th` biet duc%c doi tu/ng nà


145/232

12

Có th` t%ong 9u t%inh dieu t%a s` ph hf doi tupng nghi`n cfu . . . Nhà + sn *uatdi`+ khng th` sf dung phuc%ng php toàn bo d` *c dinh t &e cc 9ue di`+ ch donhà + sn *uat.

#i the t%ong thuc te phuc%ng php nghi`n caiu toàn bo thung chi p dung doi vói cc taphpp có 9ui + nh$ cn chf eu ngui ta sf dung phuc%ng php khng toàn bo +à d a) c biet &à

phuc%ng php nghi`n cfu chpn +au.

7., U N3PU N0IN

4.2.1 K9i nie ;< n6;< nhi`n

Toàn bo thap h/p cc phan ti% dong nhat theo +ot dau hieu nghi`n cfu dinh tnh hadinh &upng nào dó dupc gpi &à tng th`$ k hieu C.

=o &upng cc phan tit cfa tong th` dupc gpi &à 7qch thOc c_a tNng thé, k hieu N.Thung thi kch thuóc N cfa tng th` &à hiu han$ song nù tng th` 9u &ón ho a)c khng th` n+dupc toàn bo tng th` ta có th` gi thi`t %ng kch thuóc cfa tng th` &à v han.

i phn tit cfa tng th` duc%c gpi &à c thé.

Cc c th` cfa tng th` du/c nghi`n cfu t cc du hieu nghi`n cfu. Du hieunghi`n cfu nà có th` duc%c dinh tnh ho a)c dinh ing. u hieu nghi`n caiu có tnh dinh&upng$ nghia &à dupc th` hien bng cch cho ung +oi cfa tng th` C nhn +otgi t%i thuc nào dó thi du hieu nà du/c gpi 'v . Có th` *e+ bi`n&u/ng

&à +ot bi`n ngu nhì n chung cfa th .̀

#ói du hì u dinh tnh ta c ng hpp c hieu có th` + hóa thành bì n ngunhi`n chi nha) n hai gi t%i - và 2$ u va iù dinh t có th` *e+ &à bi`n ngu nhi`n có phn b 1e%nou&&i. Chng doanh ng un nghi`n cfu cc khch hàng cfa +inhv` du hiù dinh tnh &à s &n aa khch h di vói sn ph+ ho a)c dich vii cfa doanh

nghiep$ cu t% &i cf c khch g chi chpn theo +ot t%ong hai gi t%i sau5 có hài &ng


146/232

, ! , ..., , o hành


147/232

34 3 3: 40 42 44

TUn W 10 20 30 10 10 20 120

8án# "hUn bW Un uU huc n#hie< uc/n# -n#

4.2.3.3 Hà< "hUn bW h/c n#hie< c- Tuon#cWn# h-c 2.12= á

u"n# ác uU, ói


148/232

T/"n# ucin# "ound=11:a12$12$a1313a14S14Sa1S41S4a1313a1$21$2a1:0

TWn# W

TUn W

T/"n# 1ucin# "ound=TUn W11:a12312

12143a114:a1S3

313a1:1:a1$3

TWn# W

40

NhUn é 4.1;2,>

2J6 22 247 2J4 27J 26 27, 27 264 246

27- 264 2J2 274 264 27, 24- 24J 274 2,>

t%png &u/ng &ón nhat 2J và nh nhat 22$ va khong cch toi da 2J"22Y4.

Neu chia vói do %ong khong 4 thi có *ap *i 4 w 4 &&khong Neu chia vói do %ong khong ,- thi có *ap *i 4 w ,- 6

khong.

Ta chpn do %ong khong &à 4$ vi chpn do %ong khong &à ,- thi chi có 6 khong và sai so se &ón.

Ta có hai bng phn bo ghép &óp vói do %ong khong bang 4 có 22 khong và do %ong khong bang có khong

2) # du t%`n cho tha ta %i`n chia khong cc gi t%i$ vi t%ong thuc te cc so do nh 2-

7) Do %ong cc khong khng di hi bang nhau.


149/232

#i du 7.75 ot +au ve chieu cao


150/232

7$ 4 $ 4 -$ -74 6$ J

$ 4 22$ 4 -$274 ,

J, -$244

26$ 4 2J$ 4 , -$2>- ,7

2J$4 2$4 -$27,4 2

2$ 4 ,,$ 4 7, -$2-4 27

,,$ 4 ,J$ 4 6J -$--

,J$ 4 6J$ 4 -$264 2-

4.2.3.5 i*< di*n bng biù d

D` có hinh nh t%iQc 9uan ta có th` biù di`n

3i sf du hieu dì u t%a có bng phn b tns thfc nghie+

cfa +u bng biù d.hie+ và bng phn b tn sut

Tn s Tn su

6-

,-

2-

62 67 64 6J 6> 7- 7, 77 ^$

0inh 7. 25 &ien do tan


151/232

24

4 24

3 242 241 24

33: 4244

1ng phn bo tan so và tan suat thuc nghie+ t%ong v du 7., có bi`u do tan so hinh

g%a và bi`u do da gic tan suat

7$4 $4 22$4 26$4 2J$4 2$4 ,,$4 ,J$4 6J$4


152/232

4.2.3. TW chiXc dW hio#/


153/232


154/232

26,


155/232

4.13=

T%ung hpp can nghi`n cfu +ot dau hi`u d


156/232

1$$, S=

400

t%ong dó

4.21=

Th ,$J 7J$> 2,2$J>

$422$4 4> 2-$4 2$ 22-$, ,-$6 >

22$4 26$4 J, 2,$4 2$4 6 26$4

26$4 2J$4 , 2 , ,

2J$ 2$4 4 2> -$7 ,,$> $2,

2$4 ,,$4 7, ,2 -$, >$7 2$J>

,,$4 6J ,7$4 -$ 6,$7 ,$2J

,J$4 44 62$4 ,$6 2,J$4 ,-$4

† 7-- 2$4 >6$7

^ ,- Y 2$ > .7--

2 >6$ 7

6

Y 2$ 2

Y 7$ Y s Y 7$ Y $ -4J.


157/232

7.7 @0~N 1Št XC =UT COA GT =M T0MN3 B DAC THUN3 U

4.4.1 T%i%%ng hpp bien ngau nhi`n goc có phn bo chuan

3i sf dau hieu nghi`n caiu t%ong tng th` có th` *e+ nhu +ot bien ngau nhi`n có

phn bo chuan vói k vpng E Y và phucing sai D Y c% . Cc tha+ so nà có th` d biet

ho)ac chua biet. Tx tong th` %ft %a +ot +au ngau nhi`n kch thuóc %i 5

Càc bien ngau nhi`n thành phan ] , ] R .---. d cRc &a)p c c!ng gu &u a)t phn bo chun

N< $ c%) cfa N . pi t hpp tuen tnh cfa cc bien ngau nhi`n có phn bo chun &à bien ngau

nhi`n có phn bo chun ). #i :a ta có cc ket 9u sau5

4.4.1.1 @hn bo cfa thong k` t%ung binh +au

T%ung binh +au có phn bo chun vói k vpng E


158/232

n

7.7.2., @hn bo cfa th&&ng k` phi%i%ng sai +au 4?.

n

Tf cng thfc ) ta có5 n" Z@ a ! Z:

i?E

) và „

#i càc bien ngau nhi`n Zi doc &a)p n`n càc bien ngau nhi`n\+ ci’ng doc &a)p. Aeat

khc theo cng thfc


159/232

N0f =

6(nh 9. 9. Do thi hàm mót dó cua phón bo "tudent

7.7., T%i%%ng hpp bien ngau nhi`n goc có phn bo 1e%nou&&i

3i só t%ong tong th` dau hieu nghi`n cfu có th` *e+ nhu bien ngau nhi`n có phn bo1e%nou&&i tha+ so p . Tf tong th` %ft %a +ot +au ngau nhi`n kch thuóc %i 5

T! cng th!c


160/232

c) ot nhó+ 4-- ngui$ +oi ngui gieo 2,- &an dong *u cn doi dong chat. Có baonhi`u ngui có ket 9u +)at sap *uat hien t%ong khong 7-q den J-q.

4ii: Có thé *e+ +oi &an gieo dong *u &à thuc hien phép th! 1e%nou&&i vói sp thành cóng c!a

phép th! &à su *uat hien +)at sap$ I! già thiet ta có *àc suat thành cóng c!a phép th! &à

-$ 4 Nhu :a bien ngau nhién goc có phàn bo 1e%nou&&i tha+ so -$ 4.

3ieo 2,- &an &à &a +au ngau nhi`n vói kch thuóc 2,- cfa bien ngau nhi`n goc$ do dó

tan suat +au 1 L J 2,-

Ta có up ng 2,-.-$4 Y J-$ pV 4$7> tha +n dieu kien kch thuóc df &ón.

a) 7-q và J-q cfa 2,- bang 7> và ,. p dung cng thfc

-$ 4 J-4$ 7> 4$ 7>

Y /I) /I) Y ,/I) 2 Y -$ 7.

b) .2,- Y 4$ :a *àc suat t &e +)at sap *uat hien &ón hen%i ho a) c bang

> >

7$ 4 J-

4$ 7>

) & -$ J- Y -$ --7-.

c) Theo a) *c suat gieo 2,- &an dong *u $ 7>.

TM TT

au ngau nhì n kch thuóc %i cfa bien ngau nhi`n goc &à véc te% ngau nhi`n

$ t%ong d càc bien ngau nhi`n thành phan ?i ' --- '\n dc &a) p và c c!ng phn

Cc thong k` thung ga) p5 t%ung binh +au $ phuc%ng sai +au có hieu chnh N và tan suat +au

Y cfa dau hieu d


161/232

Thong k` phn bo Lkhi binh phuc%ngZ %i 2 b


162/232

1:,1Q,01Q,41Q,:20,220,

30 40 1:

4.13 Giá /i ?un á c-


163/232

7.2> 3i su dfa t%é %a di &à t%ai ha gi dong kh nàng. 8a +au ngau nhi`n ,-- dfa t%é sap chào di. Tnh *c suat cc t%ung hpp sau5

a. =o bé t%ai t ho%n 7-q.

b. =o bé gi t%ong khong ti% 76q den 4q.

c. =o bé t%ai nhieu hein 47q.

7.2 ot bng phn bo ghép &óp ti t%png toi da cfa cc dà cp do +ot nhà + sn *uat nhusau

Ti t%png ti da 2,

. TZnh #iá /i cu hX c- /u # binh à dW Xch c uu " 2-$6" 2-$>" 2,$6" 2,$>"$> 2-$6 2-$> 22$ 2,$6 2,$> 26

2, 27


164/232

T/on# chuc/n# nà! X U! do# uóc u!n# uóc u"n# c- dUu hieu n#hiXn ciu có "hUn bW chuUn à Un u 6o dn# khác c- #u! n"há" ?un /"n# cho "hé" #iái ?u!X nhiXu bài oán# hehiX hWn# kX à du ào


165/232

+iXu kien S.1= c- uóc u"n# khWn# chech cóbn# #iá /i 1Q . Tu! nhiXn Zin# #iá /i c- O có hX u"n# khWn# chech o cho do i+nh n#hi S.2; Vc hon# khWn# chéch cWchéch khàc donc U! dun# /én c>n#


166/232

4

, 5 ,..., 5 = hói u heo óc u den : khi /i aa\ < .N#hi à ói


167/232

ca. Theo phuong php nà tf +au ngau nhi`n ta có th` ti+ dupc khong a b‚ chfa tha+so > vói *c


168/232

h-.

TiXn hành


169/232

/i 2 /i 2

p dung cng thfc


170/232

a) Tf bng so &ieu ti+ du/c t%ung binh +au cu th`5

i 6 "2>^4 "2^24 ",- ̂ ," ,2

2$ J7 .,4

#)a vói do tin ca 4q 9ua +au cu th` nà$ khong tin ca cfa tha+ so &à5

…2$J7 -$6, 2$J7 ^ -$6,…

ha 2$ ,7> ,-$ -6,.

b) Neu +uon do chnh *c cfa uóc &u/ng khng vu/t 9u -$6 thi can cn thf t nhat %i sn pha+ sao

cho5

Chpn u Y 76.-$ 6

5.2.1.2 T%i%%ng hpp phi%i%ng sai , chi%a biet$ kch thi%óc +au n 6-

T%ong nhieu bài ton thuc te$ ta khng biet phuc%ng sai c% cfa bien ngau nhi`n goc

cfa tong th`. Nhung khi kch thuóc +au %i df &ón $ 4 $ - 4 >$4 -$ 4 ,$ 4 2$ ,4

$ - $ 4 6 $,4 6 6


171/232

0

64 J$ 4 24$ ,4

J$ 4 Y Y -$2>4

64* Y >$ ,4 -$2>4 >$ -J .

#ói do tinc&a


172/232

Y -$ -,4 .

T%a bng phn bo =tudent vói 24 bac te% do ta ti+ du/c i9 l4.

#)a khong tin c&a cho nng suat t%ung binh cfa &oai hat giong nà &à tha +n5

2J$224 2,$ >>4 .

5.2.2 Bhong tin ca cho tan suat cfa tong the

1e%nou&&i v[i tha+ so p , i d N ] , ] ,..., ] p &à càc bien ngau nhi`n doc &a)p c c!ng phn bo

1e%nou&&i tha+ so p .

Tan suat +au

Theo dinh & oiv%e"8ap&ace và cng thfc


173/232

0

0, a 0, 4100

S.1$=

t%ong dó &à tan suat +au cfa +ot +au ngau nhi`n nào dó.

# du 4.>5 T%ong d/t :an dong bau cf tong thong +ot nuóc %ip$ ngui ta phng van ngau

nhi`n 2J-- cu t%i$ duc%c biet có J- ngui t%ong so dó se b phieu cho fng cf vi`n A.

a) #ói do tin ca S Y 4q thi fng cf vi`n A s` chie+ du/c toi thieu bao nhiù q so phieu

bau.

b) #ói do tin c&a S Y 4q $ neu +uon do chnh *c cfa uóc &upng khng vu/t 9u -$-, thi can

phng van toi thiù bao nhiù cf t%i.

4+i=i: 3pi p &à ti &e so phieu s` bau cho fng cf vi`n A. Tng th` nghi`n caiu &à thap hpp tat c

cc cu t%i. Dau hiù nghì n caiu &à cu t%i se b phieu cho A$ có th` *e+ &à bien ngau nhi`n có phn bo 1e%nou&&i tha+ so p . Bhong tin c&a cho p có dang


174/232


175/232

+u ào hi n#u!Xn ! nà! dn / "huc/n# "há" chun# dX kiX< dinh


176/232

2. (i U< oi ; +ó à i U<


177/232

C.(o ánh #iá /i ?un á c- iXu chuUn kiX< dinhS.4 K_6 +NH THA6 (O

T/on#


178/232

246


179/232

/i 2/i 2

a. 1ài toàn 25 05 o Y ƒo i 05 ƒ •ƒo " Ta ni d &à bài toàn 7iém dinh hai phia.

ien bàc b( S.23=

t%ong dó Y , Yg &à già t%i tói han +!c e w , và +!c %i c!a phàn bo chuan tac N


180/232

c. 1ài ton 65 0o5 ƒ " Roi 05 ƒ Ro " D &à bài ton 7iém dinh mNt phqa.

ien bc b

S.2S=

t%ong d Y , Y &à già t%i t[i han +!c ‰ w , và +!c %i c!a phn bo chun tac N


181/232


182/232

ien bc b

ien bc b

KS.2:=

KS.2Q=

# du 5.14: ot hng bun +uon biet *e+ phi chàng có sp khng on d


183/232

5.4.1.3 T%i%%ng hpp chi%a biet phi%i%ng sai$ kch thi%óc +au n W /F

Xét thong k`

KS.30=

theo cng thfc


184/232

0inh 4.45 Mien bóc bó c_a Y vong vi p chu:a biet %i 6-$ bài toón 5

0inh 4.J5 Mien bóc bó c_a Y vone vi p chu:a biet ri W 6-$ bài toón /

# du 4.2J5 ot cng t sn *uat hat giong tu`n bo %ang +ot &oai giong +ói cfa hp có nngsuat t%ung binh &à ,2$4 tawha. 3ieo thf hat giong +ói nà tai 2J vun th nghie+ và thu du/cket 9u5

2$, 2>$ ,,$7 ,-$6 2J$> ,4$2 2$- 24$> ,2$- 2>$J ,6$ ,7$2 ,6$7 2$> ,2$ 2>$.

Dua vào ket 9uà nà h *àc nh a) n *e+ 9uàng cào c!a cng t c[ d!ng khng. !c‹ nghia dupc &éa chpn &à %i Y -$ -4 . 1iet %ang nàng suat giong c t%ong &à +ot bien ngaunhi`n c

Ti`u chuan ki`+ dinh

T%a bng ta tnh duc%c gi t%i tói han +fc cfa phn bo =tudent 24 bac tg do &à ,$262.


185/232

Do dó +ien bc b

Tf +au cu th` t%`n tnh duc%c5

Y@i Hp I, 77 ,$ 262 %i`n chua có co% só dé bc b 0u+ Có nghia &à vói so &ieu nà thi

có th` chap nha) n &i 9ung co cfa cng t.

5.4.2Kie din =; so cfa bien ngau nhi`n phn bo 1e%nou&&i

Ta d` den dau hieu dinh tnh &à d)ac t%ung % nào dó +à +oi c th` cfa tong th` có th`

có tnh chat nà ho)ac khng. 3pi p &à tan suat có da)c t%ung % cfa tong th`. Nhu d tha t%ong

chuc%ng 7$ có th` *e+ du hieu nghi`n cfu nà &à +ot bi`n gu nhi`n có phn b 1e%nou&&ivói tha+ s p . Ta cn ki`+ dinh gi thi`t cho %àng gi bàng pB .

3i thi`t khng

Tf tng th` %ft %a +ot +u ngu nhi`n ch thuóc i 1 &à tn sut +u


186/232

*i /àn# diXu kien IR 2000 0,4S R Q00 ` S

00 ` Sh[


187/232

1

• T%ung hip k vpng chua biet5 cng thfc


188/232

TiXu chuUn kiX<dinh

6iXn bác b[ un# -n# ói dWi hiX Hy

x 30KiX< dinh #iá hiX

c Già hiX " "|

TiXu chuUn kiX< ói di

+Wi hiX Hy;

6iXn bác b[

2. @ht biù gi thiet 0o Rà doi thiet 0.

,. Tf tng th` nghi`n caiu &a) p +au ngau nhi`n kch thuóc %i .

6. Chpn tiéu chuan kié+ dinh H và *àc dinh gu &uat phàn bo *àc suat c!a H vói dieu kien già thiet 0o d!ng.

7. #ói +fc nghia et $ *c dinh +ien bc b D9 Ut nhat tf thuoc vào doi thiet 0 e4. Tf +au cl th` tnh gi t%i 9uan st cfa tiù chuan ki`+ dinh F $

J. =o snh gi t%i 9uan st cfa tiù chuan ki`+ dinh F $ vói +ien bc b D9 và ket &ua)n.

C~U 0MI ŒN T


189/232


190/232


191/232

T%png &upng $- ">$4 >$4 $- $- " $4 $4 " 2-- 2-- "2--$4 2--$4"2-2

=o bao tuong !ng , J 2- 6 2

#[i +!c ‹ nghia ‰ Y -$ -,4 h ket &u a)n ve dieu nghi ng[ n[i t%`n.

5.2+ Dinh +fc thi gian hoàn thành sn ph+ &à 27 phft. 8ieu có can tha doi dinh +fckhng$ neu theo di thi gian hoàn thành sn ph+ ó ,4- cng nhn ta thu du/c ket 9unhu sau5

X 2> " ,-

=o cng nhn ,- J- 2-- 7- 6-

#ói +fc nghia o Y -$ -,4 h ket &ua) n ve dinh nói t%`n.

5.2 fc hao ph *àng cfa +t &oai t cha tx A den 1 &à +ot bien ngau nhi`n có gu &ua)t chunvói k vpng 4- &t. Doan dung dupc sfa chita &ai. Ngui ta cho %ng +fc hao ph *àngt%ung binh gi+ *ung. Suan st ,> t cfng &oai t duc%c

hao ph $4 " 7$- 7$- " 7$4 7$4 4-$- " 4-$4 4-$4"42

= t tuong fng 2-

#ói +fc nghia o Y -$ -,4 h k`t &ua) n i`u nghi ng

5.2B ot cng t có +ot he thng + t h` w 26-- ho %ong 2 gi. Cng t +óinh)ap +ot he thng + tnh +ói$ he ng na cn `+ t%a t%ong 7- gi cho th s hodc%n *f & t%ung binh t%ong 2 gi ói d &`ch hun ,24. #ói +fc nghia ,$4qh nh)an dinh *e+ he thng + ó tt e thng cii a khng


192/232

6icng dan và dóp ón bài tap

3

0 MN3 DPN #P D@ N

0UMN3 DN #P D@ N C0UGN3 2

2.2 2., 2.6 2.7 2.4 2.J 2. 2.> 2. 2.2-

Dfng =ai Dfng Dfng =ai Dfng =ai =ai Dfng Dfng

2.22 a) ' -$,7J b) ' -$74.

2.2, a) 2w6 b) 6w4

2.26 a) 0

c),w4 d) 7w4

1.14 oi khàch deu có J khà nàng dé %a ( J tang c(n &ai c!a t(a nhà. Do dó so ket cpc

dong khà nàng có thé J6 ,2J. 3pi % &à bien co tat cà c!ng %a ( tang bon$ bien co

nà chi

có 2 t%ung hpp thu a) n &ii. Do dó 0!%)

2.2J

2.2

1.1:

2.2

2.,-

2J48 &ua) n tuc% ngt%`n ta

có 0!

&) ))

Y -$ ---, .


193/232

6icérng dan và dóp ón bài

J ,2J ,2J


194/232


1

2.,2 a)C $5 47.274

b)C $5 J7.7- C $5 2->.,-

d)

7 2

C $5 J7.7-6

J7 Y -$

---672J,.764 i

64J6 47274

2>7,Y -$ 672,

47274

2.,, a) 0 7 2

b) 0 7 6 , 2

4,6 ,2 4, 42 4- 44,4

2.,6 3pi %, &à bien co sàn ph+ d 9ua ki`+ t%a chat &u/ng [ vng th! i$ i Y 2$ ,$ 6 .

3pi & &à bi`n c ph` ph+ dupc nh)ap kho.

0 &) )) ! io ,)i+! U ,)i[! 6) Y


195/232


1


196/232

4

2>-

p dung cng thfc 1aes$ ta thu du/c

5)#)a *a thf có kh nng nhó+ thf hai nhat.

1.30 3pi &i &à bien co vi`n dan thf nhat t%fng +uc tiù$ 0 p& ) -$

. 3pi &5 &à bien co vi`n dan thf hai t%fng +ac tiù$ 0!& ) -$

7. 0ai bien co nà doc &a)p

Xc suat bien co chi có vi`n dan thf nhat t%fng +ac tiù 0!%) -$ 47

2.62 %1 , , 6 – Upt &à bi`n c chpn t! hop thé t$ th! hai và th! ba. 3pi & &à bien co

vi`n bi du/c +àu t%ng.

0!&) 2 , 7 6 27

2.6,3pi % &à bi`n c sn p ki`+ t%a c &uan dat tiù chun cht

&u/ng. 3pi &H à bi`n c h t tiù chu t &u/ng.

3pi & 6

&à bi` n ph ng dat tiù chun cht &u/ng.

$ 24 . 0e &H. & 6 * da df

a) 1+! % ) ii -$ ,4

b) 0 & 6 %) -$ --

1.33 Neu P(A B) ——

0!% &)

0!&)

Do dó 0!& %) 0!% &) 0!%) 0!&)

0!&) . 0!%) 0!%)

0U‘N3 D—N #— D—@ —N C0UGN3 ,

,.2 ,., ,.6 ,.7 ,.4 ,.J ,. ,.> ,. ,.2-

=ai =ai Dung =ai Dung =ai =ai Dung Dung =ai


197/232

3

6icrng don v dap an bi

SiR0

4

4 34S

iR0

2.11 2.12 2.13 2.14 2.1S

(i (i +iin# +un# (i

2.1 0 = 1 0 a 1 b̀ 0

2.1$ _K9= R 0, 3f +K9= R 1S, 21.

2.1: I3 R 2Q, 1f 3 R 0, 2.

2.1Q _K9 = R 3,1f _K9! = R 3,4 f +K9 = R 1,0Qf+9! = R 1,44 .

i ) Y ,$ 46 .

2.20 E D


198/232

,., 3pi &à tien thang c!a +oi vé$ &à bien ngau nhi`n c bàng phn bo *àc suat


199/232

6icTng don và dTp Tn bài tap

- 4 ,4 2--

0 -$4 -$-, -$--, -$---4

E< Q) Y -$ , …. #)a già vé toi thi`u &à -$,….

,.,> a) 1àng phn bo *àc suat c!a , 2 - 2 ,

0 -$- -$6- -$6 -$,- -$-7

A Y


200/232

ck

6wcxrng din và dóp ón bài

1$

k Rk R

1:1:4:2S

101P0,0,4

0, 40,

!] 7)

2 - 2 , 6 7 4

6,

,76

>-

,76

>-

,76

7-

,76

2-

,76

2,76

D - 2 , 6 7 4

2 2- 7- >- >- 6,

,76 ,76 ,76 ,76 ,76 ,76

k̀ 0in

10k J Q7 Y 2

2 , 2 ^ ^ ^ 2-- 2-- 2-- 2-

i2 in 7 Y 2w2-.

2w2-

2 7 J 2, 4 2,

RH\H \H \H \\10 10 10 10 100 100

\$ 2--

Y 2J$ > .

DC Y A


201/232

Q

6icàng din và dóp ón bài tap

^ 6 * 2Y

6JY

J6- 6- 6- 6- 6- 4

2.35 Thang , t%ong 7 vn de ho%n.

2.3+ a) tun theo gu &ua)t nhi thfc %!n # p) vói ri )) 4 và p )) F,j .

Y 7 0 ] 7 Y -$7-J.,.6 a) ' -$27

b) =o sàn phà+ h(ng t%ung bnh &à -$4

c) =o sàn pha+ h(ng có khà nàng *à %a nhieu nhat &à -.

,.6> 3pi * &à so càu h(i hpc sinh t%à &(i d!ng. =o dié+ anh ta nhan dupc &à

7* ^ 64.

b) 3pi &à so cuoc gpi t%ong khoàng th(i gian 6 ph!t th I có phàn bo @oisson tha+ so 7 Y J .

#)a *àc suat có nhieu nhat ba cuoc gpi t%ong khoàng th(i gian 6 ph!t &à 0 /

-$242.

c) 3pi † &à so cuoc gpi t%ong khoàng th(i gian 2 ph!t th † có phàn bo @oisson tha+ so 7 Y ,.

Xàc suat có nhieu nhat 2 cuoc gpi t%ong khoàng th(i gian 2 ph!t &à 0 W 2 Y -$ 7-J. #)a *àc

suat dé t%ong khoàng th(i gian 6 ph!t &ién tiep +oi ph!t có nhieu nhat 2 cuoc gpi &à


202/232


203/232

n1

2


1$

0

0

nF

p dung ket 9u nà ta du/c E7 b) -$,42 c) -$JJ6J d) -$2>,> e) -$>

2.44 T%a bng phu &uc II ta duc%c

a) 2$2J b) 2$- c) "2$64 d) "2$J

2.4+ ' -$6 .

2, 2- > 2-

, ,

Y -$J>,J .

,.7 a) 4$77q b) 7$4Jq.

,.7>

0 0


204/232

10

$ S

4 3 2$ S 43S

10 20

10

e LL y@+dt Y & e „ „ˆ) * -.

- -

2.S1

=

b)

- -

Y 2,>$ 4U=D .


6.2 6., 6.6 6.7 6.4 6.J 6. 6.> 6. 6.2-

=ai Dfng Dfng Dfng =ai =ai =ai Dfng Dfng =ai

6.22 6.2, 6.26 3.14 3.15 6.2J 6.2 6.2> 6.2 3.20

=ai Dfng Dfng Dfng =ai =ai Dfng Dfng Dfng Dfng

6.,2


205/232

, 6 7 J

- 2w2, 2w2, 2w2, 2w2, 2w2, 2w2,

2 2w2, 2w2, 2w2, 2w2, 2w2, 2w2,

-$4 " -$74 .

6.,,

6.,6 1ng phn b *c sut cfa bi`n ngu nhì n

-$2, -$76

E Y 2$ E ii 2$ E† Y ,$>.

6.,7 1ng phn b *c sut dng thi ci và

-$-

2, -$-J -$-,

$-6 $- -$2, -$-74 -$-24

-$-J -$-> -$-6 -$-2

-$-2 -$-6 -$-7 -$-24 -$--4

3.25 ] ,J ,6 ,

-$64 -$J76

] , ,J 6- 72 4-

-$2,J> -$7,,4 -$247 -$,4>

Y ,$6 E ii 7$4 DE Y 7$>6 DE ii ,$,4.

6., a. %i Y 24 E Y -$ , E -.

b. cov


206/232

2k= k0

k

k

k0 k k0 k0

6wcxrng din và dóp ón bài

0 y 0, 1, 2, 3

2

6.,> 0à+ khoi &u/ng *àc suat c!a bien ngau nhì n %[i %ac &à p !7) e@ k

kHH0

0!&) e@ , ,

p !7 &)

7 chn

7 &é

i 46., a) k Y 7, 7,

,7 7

7,

3.30 a) 7 )) / ,\

c) và D khng doc &a) p vi 0 ] W6.62 Pp dung cng th!c


207/232

6icTng don và dTp Tn bài tap


208/232

2

0 neu n#} /oc i 0 neu n#} /oc i

0 02

0neu n#uoc i

6.6, a) 7

6 2

d-dy

2,>


209/232

3.40 G"ià W c T/Xbué"

P (1Q2 .^ +(Q. 7h"n R 1S$,3f b 22,4.

10000

12 Theo b dYn# h>c T/Xbué"

10 /i 100 n

6.6 a)74

42,

b)2

27

d-d y

J

6 ydy

7>- 2

6.6> E


210/232

+( 3

= P 5 2 R 0,0:42fb=PA5 - 2 R 0,124$

3.4Q Già >à W n#uVi ch"n Yn V d" 1. Khi 00 W n#uVi ch"n Yn V d" 2 . G"iW nhU dék à W chW n#Wi /on# nhà àn. T "hài ch"n

P 5 x k, 1000

T e<# k S00

cW "hUn bW chuUn S00 k

2S ^! "hài cV

dó kS00 \ 2,2S0 R S50 = s[ /àn# /àn# W Wi ói h< W nf "= 10fQ. *=! k S41.k! W nhn du!c à biXn n#Uu nhiXncó "hUn bW nhi h-c

2>

6icérng dan và dóp ón bài tap

Ta có E Y 2, $ DE Y 2,. Theo bat dng thfc T%`busép

e Y 67$J7. #)a Y 2,^67$J7 Y ,,J$J7.

6.7J p dung bat dng thfc T%`busép tnh du/c *c suat 0 -$262

6.7 p dung bat dng thfc T%`busép can ki`+ t%a ,6.4- chi tiet.

6.7> 3pi &à so sn ph+ hng. Ta có


211/232

2



7.2 7., 7.6 7.7 7.4 7.J 7.

Dfng =ai Dfng Dfng Dfng =ai Dfng

7.> au ngau nhi`n có kch thuóc 2-5 Y


212/232

7.26 b) * Y J$ 74 eY >$J26J * Y ,$67 .


213/232

2>-

6icrng don v dap an bi tap

4.14 = 0,10S

4.1S = _K9= R R22, 4

bg xac suat thong ke

Documents