binomio cuadro perfeto

BINOMIO CUADRO PERFETOUn binomio es una expresin algebraica que consta de dos trminos que se estn sumando o restando.Unbinomio al cuadradoes aquel que se multiplica por s mismo, es decir, si tenemos el binomio a + b, el cuadrado de ese binomio es (a + b) (a + b) y se expresa como (a + b)2.Unbinomio al cuadradosiempre da como resultado un trinomio cuadrado perfecto, esto significa que el trinomio tiene dos trminos que son una raz cuadrada exacta.Para resolver un binomio se aplica la siguiente regla El cuadrado del primer trmino (+) (-), depende del signo del binomio, el doble producto del primero por el segundo (+) el cuadrado del segundo.Aplicando la regla para resolver el binomio (a +b)2: Se toma el cuadrado del primer trmino: a2. Se aplica el signo del binomio: (+). Se toma el doble del producto del primer trmino ms el segundo: 2ab. Se suma el cuadrado del segundo trmino: b2Entonces (a + b)2= a2+ 2ab + b2Ejemplos de binomios al cuadrado:(4x3 2y2)2El cuadrado del primer trmino: (4x3)2= 16x6Se aplica el signo del binomio: en este caso (-)El doble producto del primero por el segundo: 2 (4x3)(2y2) = 16x3y2El cuadrado del segundo trmino: (2y2)2= 4Y4(4x3+ 2y2)2 = 16x6+ 16x3y2+ 4y4Ejemplo de binomio al cuadrado de funciones trigonomtricas: (sen x + cos y)2= sen2X + 2sen x cos y + cos2y;Como sen2x + cos2y = 1 entonces(sen x + cos y)2= 1 + 2sen x cos y (5a3x4- 3b6y2)2= 25a6x8 30a3x4b6y2+9x12y4 (6mx+ 4ny)2= 36m2x+48mxny+ 16n2y (4vt -2ab)2= 16v2t2 16 vtab + 4a2b2BINOMIO DE CUBO PERFECTO De losproductos notablestenemos:

En este caso la factorizacin es realizar la operacin inversa a esta:

Para reconocerlo se deben tomar en cuenta los siguientes puntos: Debe tener cuatro trminos, y estar ordenado con respecto a una letra. Dos de sus trminos, el 1 (a) y el 4 (b), deben poseer raz cbica exacta. El segundo termino debe ser igual al triple producto del cuadrado de la raz cbica del primer termino por la raz cbica del cuarto termino [3(a)2(b)]. El tercer termino debe ser igual al triple producto de la raz cbica del primer termino por el cuadrado la raz cbica del cuarto termino [3(a)(b)]. El segundo y el cuarto termino deben tener el mismo signo y puede ser positivo o negativo, el primer y tercer termino siempre son positivos (si el primer y tercer termino son negativos realizar factor comn con el factor -1). Si todos los trminos son positivos el resultado es el cubo de la suma de dos cantidades (a + b), si hay trminos negativos el resultado es el cubo de la diferencia de dos cantidades (a b).Ejemplo explicativo:

Ejemplos:

En este tipo de factoreo, se trata de reconocer que pertenece a este tipo polinomio.Binomio al cuadradoCuando un binomio se multiplica por s mismo se tiene lo que se conoce como un binomio al cuadrado. Despus de desarrollar la multiplicacin se obtiene un trinomio cuadrado perfecto. Si para un binomio cualquiera consideramos el primer trmino comoay el segundo trmino comob, entonces el binomio esa + by tambin podemos expresar el binomio al cuadrado como(a + b)2. Si desarrollamos la multiplicacin se tiene:(a + b)2= (a + b)(a + b)(a + b)2= aa+ ab + ba+ bb(a + b)2= a2+ 2ab+ b2Esta ltima expresin es una identidad que se cumple para cualquier binomio al cuadrado y el lado derecho de la igualdad se conoce como trinomio cuadrado perfecto. Usando la identidad se puede obtener el resultado sin necesidad de realizar la multiplicacin. Solo hay que elevar al cuadrado el primer trmino del binomio, sumarle el doble del producto del primero por el segundo y finalmente sumarle el cuadrado del segundo trmino.Ejemplo. Obtener el cuadrado dex + 2yy de3xy + 5.Usando la identidad se tiene que:(x + 2y)2= (x)(x) + 2(x)(2y) + (2y)(2y)(x + 2y)2= x2+ 4xy + 4y2(3xy + 5)2= (3xy)(3xy) + 2(3xy)(5) + (5)(5)(3xy + 5)2= 9x2y2+ 30xy + 25Todava tienes dudas sobre este tema?

Binomio al cuadrado de restaLa identidad(a + b)2= a2+ 2ab + b2es vlida para todos los binomios, pero se puede particularizar ms para el caso de que los trminos del binomio tengan signos diferentes, en ese caso, al elevar al cuadrado y desarrollar la multiplicacin tenemos:(a - b)2= (a - b)(a - b)(a - b)2= aa + (a)(-b) + (-b)(a) + (-b)(-b)(a - b)2= aa- ab - ab+ bb(a - b)2= a2- 2ab+ b2Lo anterior nos indica que cuando los trminos del binomio tienen signos opuestos, en el resultado el trmino del doble producto del primero por el segundo tiene signo negativo.Ejemplo. Elevar al cuadrado3x2- z.Usando la identidad:(3x2- z)2= (3x2)(3x2) - 2(3x2)(z) + (z)(z)(3x2- z)2= 9x4- 6x2z + z2Trinomio Cuadrado PerfectoSurge de elevar al cuadrado un binomio: Resulta un trinomio con 2 trminos "cuadrticos" y un trmino "rectangular", enlazados con una visin geomtrica de las reas de un cuadrado y de rectngulo.

Ejercicio de Binomio Cuadrado1. (2 + x) = 2 + 2(2)(x) + x= 4 + 4x + x

2. (3a 5b) = (3a) - 2(3a)(5b) + (5b)= 9a - 30ab + 25b

3. (x + y) = x + 2 (x)(y) + y= x + 2xy + y

4. (2p + q) = (2p) + 2(2p)(q) + q= 4p + 4pq + q

5. (3a + b) = (3a) + 2(3a)(b) + b= 9a + 6ab + b

6. (2a - 3b) = (2a) - 2(2a)(3b) + (3b)= 4a - 12ab + 9b

7. (x + 1) = x + 2(x)(1) + (1)= x + 2x + 1

8. (15xy - 3xyz6)== (15xy)- 2(15xy)(3xyz6) + (3xz6)= 225x4y- 90xy3z6+ 9x4z12

9. (2a - 3b)+ (3a - 5b)== [4a-2(2a)(3b)+ 9b]+[9a- 2(3a)(5b) + 25b]= 4a- 12ab + 9b+ 9a- 30ab + 25b= 13a- 42ab + 31b

10 . (11x - 5y)- (13x + 3y)+ (x - 2y)== (121x- 2(11x)(5y) + 25y) - (169x+ 2 (13x)(3y) + 9y) + (x- 2(x)(2y) + 4y)= 121x- 110xy + 25y- 169x- 78xy - 9y+ x- 4xy + 4y= - 47x- 192xy - 20y

Ejercicios binomio al cubo

1)(x + 3)^3 = x^3 + 3((x)^2)(3) + 3(x)((3)^2) + (3)^3 ==x^3 + 3(x^2)(3) + 3(x)(9) + 27= x^3 + 9x^2 + 27x + 27

2) (2x 3)^3 = (2x)^3 3((2x)^2)(3) + 3(2x)((3)^2) (3)^3 ==8x^3 3(4x^2)(3) + 3(2x)(9) 27= 8x^3 36x^2 + 54 x 27

3)(x + 2)^3 = (x)^3 + 3((x)^2)(2) + 3(x)((2)^2) + (2)^3 ==x^3 + 3(x^2)(2) + 3(x)(4) + 8= x^3 + 6x^2 + 12x + 8

4)(3x 2)^3 = (3x)^3 3((3x)2)(2) + 3(3x)((2)^2) (2)^3 =27x^3 3(9x^2)(2) + 3(3x)(4) 8= 27x^3 54x^2 + 36x 8

5)(2x + 5)^3 = (2x)^3 + 3((2x)^2)(5) + 3(2x)((5)^2) + (5)^3 ==8x^3 + 3(4x^2)(5) + 3(2x)(25) + 125= 8x^3 + 60x^2 + 150 x + 125

6)(2X+1)^3=(2x)^3 + 3((2x)^2)(1) + 3(2x)((1)^2) + (1)^3 ==8x^3 + 3(4x^2)(1) + 3(2x)(1) + 125=8X^3+12x^2+6x+1

7)(2x^2-3y^3)^3=((2x^2)^3 - 3((2x^2)^2)(3y^3) + 3(2x^2)((3y^3)^2) - (3y^3)^3 ==8x^6 - 3(4x^4)(3y^3) + 3(2x^2)(9y^6) -27y^9=8x^6-36x^4y^3+5x^2y^6-27y^9

8)(1+4a)^3=(1)^3 + 3((1)^2)(4a) + 3(1)((4a)^2) + (4a)^3 ==1^3 + 3(1)(4a) + 3(1)(16a^2) + 64a^3=1+12a+48a^2+64a^3

9)(a^3-6b^5)^3=((a^3)^3 - 3((a^3)^2)(6b^5) + 3(a^3)((6b^5)^2) - (6b^5)^3 =a^9 - 3(a^6)(6b^5) + 3(a^3)(36b^10) - 216b^15a^9-18a^6b^5+108a^3b^10-216b^15

10)(a^3+1)^3=(a^3)^3 + 3((a^3)^2)(1) + 3(a^3)((1)^2) + (1)^3 =a^9 + 3(a^6)(1) + 3(a^3)((1)^2) + (1)^3a9+3a^6+3a+1

Visualizacin de la frmula para un sonzo al cuadradoy para sutrinomio cuadrado perfectoUnTrinomio Cuadrado Perfecto, por brevedadTCP, es unpolinomiodetrestrminos que resulta de elevar alcuadradounbinomio. Todo trinomio de la forma:

es un trinomio cuadrado perfecto ya que

Siendo la regla: Cualquier suma de binomios al cuadrado es igual al cuadrado del primer trmino, ms el doble del primer por el segundo trmino, ms el cuadrado del segundo trmino. De lo anterior resulta que un trinomio ser cuadrado perfecto siempre que se cumplan las siguientes condiciones presentadas:1. El polinomio pueda ser ordenado en potencias descendentes de una variable.2. Dos de los trminos son cuadrados perfectos.3. El otro trmino es el doble producto de las races cuadradas de los dems.4. El primer y tercer trmino deben de tener el mismo signo5. En resumen: Se saca la raz cuadrada del primer y tercer trminoUn trinomio cuadrtico general de la formaes un TCP si se cumple que el discriminante es cero, es decir, que la cantidades siempre igual a. Tambin se considera un trinomio cuadrado perfecto de la forma:, donde las mismas reglas explicadas anteriormente aplican.Trinomio de segundo grado en una variableAl igualar a cero se obtiene unaecuacin de segundo grado, la cual ya lo haban resuelto los babilonios usando tablas de cuadrados y otros clculos.[citarequerida]Como una funcin representa en lageometra analtica, la ecuacin de unaparbola, y sta tiene aplicaciones en lafsica, al describir la trayectoria de un mvil lanzado; como tambin en el diseo de los faros de un auto. El clculo del rea subtendida por un sector parablico, fue realizado porArqumedesen poca anterior a la era actual. Dicho esfuerzo son los inicios del clculo integral, luego retomado porFermat,NewtonyLeibnitz, en la poca moderna.Ejemplos

1) 4x2-20xy+25y2

2) 25x2+30x+9

3) 3a3+24a2b+48ab2

4) 100x10-60c4x5y6+9c8y12

5) 100x6-160x3y3+64y6

6) 9x4-36x2y3+36y6

7) 36y2-48y+16

8) 4a2-32a+64

9) 64x4-64x2+16

10) 81x4y4-72x2y2+16

Solucin.1) (2x-5y)2

2) (5x+3)2

3) 3a(a+4b)2

4) (10x5-3c4y6)2

5) (10x3-8y3)2

6) (3x2-6y3)2

7) (6y-4)2

8) (2a-8)2

9) (8x2-4)2

10) (9x2y2-4)2

Se llamatrinomio cuadrado perfectoal trinomio (polinomio de tres trminos) tal que, dos de sus trminos son cuadrados perfectos y el otro trmino es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

En el trinomio cuadrado perfecto los trminos cuadrados son siempre positivos, en cambio el trmino del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los trminos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado, del ejemplo anterior tenemos:

Ambas son respuestas aceptables.Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.Un trinomio ordenado con relacin a una letra es cuadrado perfecto cuando la primera y tercer letra son cuadrados perfectos (o tienen raz cuadrada exacta) y son positivos y el segundo termino es el doble producto de sus races cuadradas.Ejemplos:

Trinomio cuadrado perfecto Binomio de un CuboCondiciones que debe cumplir la expresin para ser un Cubo Perfecto de Binomios:Sea la expresin:a^3 +3a^2b +3ab^2 +b^3 = (a+b)^3a) Debe tener 4 trminosb) Que el 1 y 4 trmino sean cubos perfectos.c) Que el 2 trmino sea el triplo del cuadrado de la raz cbica del primer trmino multiplicado por la raz cbica del 4 trmino ( 3a^2b)d) Que el 3 trmino sea el triplo de la raz cbica del primer trmino multiplicado por el cuadrado de la raz cbica del 4 trmino (3ab^2)Procedimiento para factorar una expresin que sea un Cubo Perfecto de Binomio:Sea el ejemplo: 8x^3 +12x^2 +6x +1>> Se extrae la raz cbica del 1 y 4 trminos:raz cbica de 8x^3 =2x y raz cbica de 1 =1 >> Se comprueba el 2 y 3 trmino de la expresin:2 trmino: 3(2x)^2(1) = 3(4x^2)(1) =12x^23 trmino: 3(2x)(1)^2 = 3(2x)(1) =6x>> Como todos los trminos de la expresin son positivos la el binomio resultante de la expresin es:8x^3 +12x^2 +6x +1 =(2x +1)^3, que es la Solucin.Otro ejemplo:8x^6 +54x^2y^6 -27y^9 -36x^4y^3>> En este caso se ordena la expresin en relacin a la letra x y quedara as:8x^6 -36x^4y^3 +54x^2y^6 -27y^9>>> Se extrae la raz cbica del 1 y 4 trmino:raz cbica de 8x^6 =2x^2 ; raz cbica de 27y^9 =3y^3>> Se comprueba el 2 y 3 trmino de la expresin:2 trmino: 3(2x^2)^2(3y^3) = 3(4x^4)(3y^3) =36x^4y^33 trmino: 3(2x^2)(3y^3)^2 = 3(2x^2)(9y^6) =54x^2y^6>> Como los trminos de la expresin son alternativamente positivos y negativos ( +, -, +, -) el binomio resultante de la expresin es: 8x^6 -36x^4y^3 +54x^2y^6 -27y^9 =(2x^2 -3y^3)^3 que es la Solucin

NOTA: Para extraer la raz cbica de un monomio, se le extrae raz cbica al coeficiente y se divide el exponente de la letra entre 3 : 8x^6 > raz cbica de 8 es 2 y 6/3 = 2 > = 2x^2

Ahora paso a realizar los ejercicios del lgebra.EJERCICIO 1) Factorar a^3 +3a^2 +3a +1Raz cbica de a^3 =a ; raz cbica de 1 = 12 trmino: 3(a)^2(1) = 3(a^2)(1) =3a^2 OK3 trmino: 3(a)(1)^2 = 3(a)(1) =3a OKSignos positivos > (a+1)^3Por lo tanto: a^3 +3a^2 +3a +1= (a+1)^3 Solucin.2) Factorar 27 -27x +9x^2 -x^3(Est ordenado de menor a mayor grado)Raz cbica de 27 =3 ; raz cbica de x^3 = x2 trmino: 3(3)^2(x) =3(9)(x) =27x OK3 trmino : 3(3)(x)^2 = 3(3)(x^2) =9x^2 OKSignos alternos (x, -, +, -) > (3 -x)^3Por lo tanto: 27 -27x +9x^2 -x^3 = (3 -x)^3 Solucin3) Factorar m^3 +3m^2n +3mn^2 +n^3Raz cbica de m^3 =m ; n^3 =n2 trmino: 3(m)^2(n) = 3(m^2)(n) =3m^2n OK3 trmino: 3(m)(n)^2 = 3(m)(n^2) =3mn^2 OKSignos positivos > (m+n)^3Por lo tanto: m^3 +3m^2n +3mn^2 +n^3= (m+n)^3 Solucin4) Factorar 1 -3a +3a^2 -a^3Raz cbica de 1 =1 ; raz cbica de a^3 =a2 trmino: 3(1)^2(a) = 3(1)(a) =3a OK3 trmino: 3(1)(a)^2 = 3(1)(a^2) =3a^2OKSignos alternos (+, -, +, -) > (1 -a)^3Por lo tanto: 1 -3a +3a^2 -a^3= (1 -a)^3 Solucin.Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:y

CUBO PERFECTO DE UN BINOMIO

Recordemos los productos notables:(a + b)3= a3+ 3 a2b + 3 a b2 + b3(a - b)3= a3- 3 a2b + 3 a b2 - b3La expresin resultante de los productos (a + b)3y (a - b)3, consta de cuatro trminos y se le llama CUBO PERFECTO DE UN BINOMIO.

FACTORIZACIN DEL CUBO PERFECTO DE UN BINOMIOPara factorarlo se extrae la raz cbica al primer y cuarto trminos, con las races formamos un binomio; separando las races con (+) si todos los trminos del cubo son positivos y con ( - ) si los trminos del cubo son alternadamente positivos y negativos; el binomio formado se eleva al cubo.

Ejemplo: factorara3+ 3 a2b + 3 a b2 + b3= (a + b)3a3+ 3 a2 + 3 a + 1 = ( a + 1)38 - 36 X + 54 X2 - 27 X3= ( 2 3X)3

EJEMPLO 6: (Con nmeros grandes)

36x4- 48x6- 72x3+ 60x5=12x3. (3x - 16x3- 6 + 5x2)

Entre nmeros grandes es ms difcil hallar el MCD.

EXPLICACIN DEL EJEMPLO 6

PARA AVANZADOS: (Raramente se ve en Nivel Medio)

EJEMPLO 7: (Sacar factor comn negativo)

8a - 4b + 16c + 12d =- 4. (- 2a + b - 4c - 3d)

Saco factor comn "-4". Todos los trminos quedan con el signo contrario al que traan.


EJEMPLO 8: (El Factor comn es una expresin de ms de un trmino)

(x + 1).3 - 5x. (x + 1) + (x + 1).x2= (x + 1). (3 - 5x + x2)

(x + 1) est multiplicando en todos los trminos. Es factor comn.


EJEMPLO 9: ("Sacar un nmero que no es divisor de todos los trminos")

3a + 2b - 5c + 9d = 7. (3/7 a + 2/7 b - 5/7 c + 9/7 d)

Divido todos los trminos por 7, y quedan nmeros fraccionarios. Esto lo puedo hacer con cualquier nmero.

EJEMPLO 10: (Normalizar un polinomio)

5x4- 2x3- 3x + 4 = 5. (x4- 2/5 x3- 3/5 x + 4/5)

Normalizar es "quitarle" el nmero (coeficiente) al trmino de mayor grado. Por eso divido todo por 5.

EXPLICACIN DEL EJEMPLO 10Factor comn.Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si podemos descubrir un patrn.

Usan la propiedad distributiva. Cuando multiplicamos, tenemos que:. Cuando factorizamos.Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor (en este casoa) que sea comn a todos los trminos. El primer paso para tener una expresin completamente factorizada es seleccionar el mximo factor comn,. Aqu tenemos como hacerlo:Mximo factor comn (MFC).- El trmino, es el MFC de un polinomio s:1. aes el mximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y2. nes el mnimo exponente dexen todos los trminos del polinomio.De este modo para factorizar, podramos escribirPero no est factorizado por completo por quepuede factorizarse an ms. Aqu el mayor entero que divide a 16 y 8 es 6, y el mnimo exponente dexen todos los trminos es. De esta manera la factorizacin completa es. Dondees el MFC.EJEMPLO:FactorizarEJEMPLO:FactorizarEJEMPLO:FactorizarEJEMPLO:FactorizarEJEMPLO:FactorizarEJEMPLO:FactorizarEJEMPLO:

FactorizarSe dice que un polinomio tiene factor comn cuando una misma cantidad, ya sea nmero o letra, se encuentra en todos los trminos del polinomio.Si en todos los trminos de un polinomio figura un factor comn, dicho polinomio es igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada trmino por ese factor.

Para efectuar el factor comn hay que tomar en cuenta que este se realiza tanto para los nmeros como para las letras, y con las letras se toma la que tenga el menor exponente de todas.Ejemplo:

Como puede verse el cinco es el comn numrico y la x la nica letra comn en este polinomio, como dos es el menor exponente de x es este el exponente que se tomara en cuenta, siendo el factor comn 5x2.Nos queda como respuesta:

Ejemplos:Encontrar el factor comn de los siguientes trminos:

FACTOR COMN POR AGRUPACINSe llama factor comn por agrupacin de trminos, si los trminos de un polinomio pueden reunirse en grupos de trminos con un factor comn diferente en cada grupo.Cuando pueden reunirse en grupos de igual nmero de trminos se le saca en cada uno de ellos el factor comn. Si queda la misma expresin en cada uno de los grupos entre parntesis, se la saca este grupo como factor comn, quedando as una multiplicacin de polinomios.Tratar desde el principio que nos queden iguales los trminos de los parntesis nos har mas sencillo el resolver estos problemas.2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5bAgrupo los trminos que tienen un factor comn:(2ax - ay + 5a ) + ( 2bx - by + 5b )Saco el factor comn de cada grupo:a ( 2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 )Como las expresiones encerradas entre parntesis son iguales se tiene:( 2x -y +5 )(a + b)Que es nuestra respuesta.Ejemplos:17ax 17mx + 3ay - 3my + 7az 7mz = a(17x +3y +7z) - m(17x + 3y +7z)= (17x +3y +7z)(a m)m(x + 2) x 2 + 3(x + 2) = (x + 2)(m + 3) -1(x + 2) = (x + 2)[(m + 3) 1]= (x + 2)(m + 3 1)Otra forma de hacerlo:

m(x + 2) x 2 + 3(x + 2) = m(x + 2) -1(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(m + 3 -1)

FACTOR COMN EN GRUPOS / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1: (Todos los trminos son positivos)

4a + 4b + xa + xb =

4.(a + b) + x.(a + b) =

(a + b).(4 + x)

Saco factor comn "4" en el primer y segundo trmino; y factor comn "x" en el tercer y cuarto trmino. Los dos "resultados" son iguales: (a + b). Luego, saco como factor comn a (a + b).


EJEMPLO 2: ("Resultado desordenado")

4a+ 4b + xb+xa =

4.(a + b)+ x.(b + a) =

4.(a + b) + x.(a + b) =

(a + b).(4 + x)

En el primer paso el "resultado" qued "desordenado": (b + a). Pero puedo cambiar el orden de los trminos, ya que (b + a) es igual que (a + b)EXPLICACIN DEL EJEMPLO 2

EJEMPLO 3: (Con trminos negativos)

4a - 4b + xa - xb =

4.(a - b) + x.(a - b) =

(a - b).(4 + x)

Si los "resultados" quedan iguales no hay problema.


EJEMPLO 4: (Con trminos negativos y "Resultado desordenado")

4a - 4b - xb + xa =

4.(a - b) + x.(-b + a) =

4.(a - b) + x.(a - b) =

(a - b).(4 + x)

En el primer paso qued desordenado, pero luego puedo cambiar el orden de los trminos, ya que (- b + a) es igual que (a - b)EXPLICACIN DEL EJEMPLO 4EJEMPLO 5: (Resultados "opuestos")

4a - 4b - xa + xb =

4.(a - b) + x.(-a + b) =

4.(a - b) - x.(a - b) =

(a - b).(4 - x)

En el primer paso quedaron los signos opuestos para los dos trminos. Pero en el segundo paso, "saco el menos afuera y hago un cambio de signos" (lo que en realidad esSacar Factor Comn negativo)

EJEMPLO 6: (Resultados "opuestos" y "desordenados")

4a - 4b + xb - xa =

4.(a - b) + x.(b - a) =

4.(a - b) - x.(-b + a) =

4.(a - b) - x.(a - b) =

(a - b).(4 - x)

Luego de agrupar, los resultados quedan desordenados, y con el signo opuesto cada trmino. En el segundo paso, "saco el menos afuera y hago un cambio de signos" (como en el Ejemplo 5); y en el tercer paso cambio el orden de los trminos, ya que (- b + a) es igual que (a - b)

EJEMPLO 7: (Todos los trminos son negativos)

-4a - 4b - xa - xb =

-4.(a + b) - x.(a + b) =

(a + b).(-4 - x)

En estos casos es casi mejor sacar directamente Factor Comn negativo (Cmo sacar Factor Comn negativo?) Y sino tambin, en la "EXPLICACIN", tambin muestro cmo se hara sacando Factor Comn positivo.

EJEMPLO 8: (Agrupando trminos no consecutivos)

4x2a + 3y + 12ax + yx =

4ax.(x + 3) + y.(3 + x) =

4ax.(x + 3) + y.(x + 3) =

(x + 3).(4ax + y)

No siempre podemos agrupar en el orden en que viene el ejercicio. Tiene que haber Factor Comn entre los que agrupamos, y el "resultado" debe dar igual (o desordenado u opuesto, como se ve en los ejemplo anteriores).En este caso tuve que agrupar primero con tercero y segundo con cuarto.

EJEMPLO 9: (Polinomio de 6 trminos)

4a - 7x2a + ya + 4z - 7x2z + yz =

a.(4 - 7x2+ y)+ z.(4 - 7x2+ y) =

(4 - 7x2+ y).(a + z)

Aqu hay 6 trminos, y dos maneras posibles de agrupar: 2 grupos de 3 trminos, o 3 grupos de 2 trminos. En este caso agrup de a 3 trminos. (Para verlo tambin de la otra forma, consultar en la EXPLICACIN)

EJEMPLO 10: (Cuando parece que no se puede aplicar el caso, pero se puede)

4x3 - 4x2 + x-1 =

4x2.(x - 1) + x - 1 =

4x2.(x - 1) + 1.(x - 1) =

(x - 1).(4x2+ 1)

Parece que no se pudiera aplicar el caso, porque entre la x y el 1 que quedaron no hay Factor Comn. Sin embargo el caso se puede aplicar, slo se trata de saber reconocer la situacin. En el paso 2 es donde se vislumbra la posibilidad de usar el caso, por el resultado que di la primera agrupacin: (x - 1), que es igual a lo que qued sin agrupar.

FACTOR COMUNEjercicios:

01 xy2 - y2w= y2( x - w )

02 5xy2 - 15y= 5xy( y - 3 )

03 24a3b2 - 12a3b3= 12a3b2( 2 - b )

04 4xy - 8xy2 - 12xy3= 4xy( 1 + 2y - 3y2 )

05 16a4b5 - 20a3b2 - 24a2b6= 4a2b4 ( 4a2b - 5a + 6b2 )

06 xa + 2 - 3xa + 3 - 5xa= xa (x2 + 3x3 + 5)

07 36x2ayb - 24xa + 1yb+1 + 12xay2b= 12xayb ( 3xa - 2xy + yb )

08 x(a + 7) - 5(a + 7)= (a + 7)(x - 5)

09 2x(a - 1) - 3y(a - 1)= (a - 1)(2x - 3y)

10 x(a + 9) - a - 9= (a + 9)(x - 1)

FACTORIZACION POR AGRUPACIONEjercicios: EJERCICIO 1

4 a m y m + 8 a b 2 b y

a) Agrupamos el 1 con el 3 y el 2 con el 4 trminos

( 4 a m + 8 a b ) ( y m + 2 b y )

b) Factor comn en ambos parntesis :

4 a ( m + 2 b ) y ( m + 2 b )

c) Agrupando :

( m + 2 b ) ( 4 a y ) RESPUESTA

EJERCICIO 2

19 a b + 38 a y 6 b x + 12 x y


( 19 a b + 38 a y ) ( 6 b x + 12 x y )


19 a ( b + 2 y ) 6 x ( b + 2 y )

c) Agrupando :

( b + 2 y ) ( 19 a 6 x ) RESPUESTA

EJERCICIO 3

2 a x + 2 w x 10 a y 10 w y


( 2 a x + 2 w x ) ( 10 a y + 10 w y )


2 x ( a + w ) 10 y ( a + w )

c) Agrupando :

( a + w ) ( 2 x 10 y ) RESPUESTA

EJERCICIO 4

8 m x 16 m w + 20 a x 40 a w


( 8 m x 16 m w ) + ( 20 a x 40 a w )


8 m ( x 2 w ) + 20 a ( x 2 w )

c) Agrupando :

( x 2 w ) ( 8 m + 20 a ) RESPUESTA

EJERCICIO 5

3 a x 2 b x 3 a y 2 b y


( 3 a x 3 a y ) ( 2 b x + 2 b y )


3 a ( x + y ) 2 b ( x + y )

c) Agrupando :

( x + y ) ( 3 a 2 b ) RESPUESTAEJERCICIO 6Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:a.

b.

c.

d.

Solucin:a.

Por lo que:EJERCICIO 7b.

Por lo que:EJERCICIO 8c.

Por lo que:

EJERCICIO 9d.

Por lo que:

EJERCICIO 10

Factorice completamentex3-8x2+2x-16

SolucinPaso 1.Agrupar los trminos en una manera que cada grupo se puede factorizar y cada elemento pertenece a un grupo.En este caso, agrupar el primero con el segundo trmino y el tercero con el cuarto trmino(x3-8x2)+(2x-16)

binomio cuadro perfeto

Documents