blog 3 parcial

7/23/2019 Blog 3 Parcial

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Circuitos en serie LR

Algoritmo

Se identifican los datos del problema

se sustituyen los datos en la formula

correspondiente

se elimina fracción de la formula y se deriva la

formula

se sustituye el resultado en m

se multiplica por la formula y se procede a integrar

se despeja para encontrar el valor de la constante

de integración

Ejemplo:

Un circuito LR cuenta con un voltaje de 12 volts

y una inductancia de ½ Henry, indique la corriente

en función del tiempo si inicialmente se

encontraba apagado con una resistencia de 10 Ω

(ohms).

E= 12v

L= 1/2 henry

R= 10 Ω

[1

2

1 0 = 1 2 ] 2

+20i=24

M=∫ =

20 =24



v=20x

dv=20dx

= 1

20 24 20

i* = +c

i=+c

=

i= solución general

Solución particular para cuando la corriente

está apagada

Inicio=apagado

1 = 0

0=

C=-

X=0

C=-

i=

-

∗ solución particular

x=tiempo transcurrido.



Ecuaciones de Bernoulli

Una ecuación diferencial de Bernoulli se

resuelve mediante la sustitución de un factor “w”que es el inverso de la variable dependiente una

ecuación diferencial de Bernoulli se conforma

con la siguiente estructura:

=

Siendo n un exponente no una derivada

Para su resolución se debe convertir la ecuación

en una ecuación lineal modificando la variable

dependiente al sustituir la siguiente expresión.

1 = 1

Para representar el resultado se debe sustituir

nuevamente el valor del factor “w” encontrando

así la ecuación general.

Ejemplo:

Grafique la ecuación particular cuando y (1)=3 y

cuando pasa por el punto (2,2) de la ecuación.

Y´+

=

Y´ + =

N=2

1-n=-1



Se sustituyen los valores y se resuelve la

operación

1 (

1

) = 1

1

=

Se saca a M

M=∫ = ∫ − = −ln = − =

−

–

− w (

)=-x*

−=

−

= 1

Se integran ambas partes

∗ − =1

∗ − =

W=−+

W=−

=

W=+cx

=+cx

Y= −+ solución general



Solución particular:

Y (1)=3

C=+

=+

=

C=

Y=

+ solución particular

Graficar

x Y= +

-3 -

-2 -

-1 -

0 Ind

1 3

2 -

3 -

3

3

-3

-3



Ecuaciones diferenciales lineales

homogéneas

aíces reales

Las raíces son reales se usara

y= Ejemplo:

2 ´ ´ 5 ´ 3 = 0

Convertir a ecuación polinómica

2 5 3 = 0

Se dan los valores de a, b y c de la formula

cuadrática

a= 2 b= -5 c= -3

Se resuelve la formula cuadrática con los

valores

= 5± 5 42322

= 5 ± 74

Se resuelven las dos X´s

=+

= 3

= − = -

Se sustituye en la fórmula del caso 1:

Y=+ −

solución general



aíces iguales

Las raíces son iguales se usara

y= Ejemplo:

10

2 5 = 0


1 0 2 5 = 0

Se dan los valores de a, b y c de la formula

cuadrática

a= 1 b= -10 c=25


valores

= 10± 10

412521

= 1 0 ± 02

Se resuelven las dos X´s

= + = 5

= − = 5

Se sustituye en la fórmula del caso 2:

Y=+ solución general



aíces con números imaginarios

Las raíces son con números imaginarios se usara

= =

Y=+ + −

Y=

Ejemplo:

Y´´+y´+y=0


1 = 0 Se dan los valores de a, b y c de la formula

cuadrática

a= 1 b= 1 c=1


valores

= 1 ± 1 41121

= 1 ± √ 32

Se identifica

± √

i

Se colocan los datos en la ecuación del caso 3:

Y=− √

√ solución general



Grafique la solución particular

Y´´-2y´-8y=0

Cuando y (0)=1

Y´ (0)=2

1: convertir a ecuación polinómica

2 8 = 0

2: Sacar el valor de a, b y c requeridos en la

formula general

a=1 b= -2 c= -8

3: incluirlos en la formula cuadrática

= ± √ 42

= 2± 2 41821

4: dar solución a la formula

X=±

5: dando en

=+

= 4

=−

= -2

6: Se sustituye en la ecuación según el caso 1,2 y3 de las E.D.L.H.

Y= − solución general



7: con la solución general se sustituye el primer

valor que sería: y (0)=1

1= −

1=

= 1 resultado1

8: se continua a derivar la solución general y se

resuelve con: y (0)=2

Y´=4 2−

2=4

2−

2=4 2

= 2 2 4

= + Resultado 2

9: Se procede a despejar a de ambos resultados = 14

4 2 = 2 1

4 4 = 4

4

2

= 2

6 =2

= 26 = 1

3



10: con este resultado respondemos el primer

resultado de

= 1

= 1 =

11: sustituimos los resultados de C en la

solución general para sacar la solución

particular

Y=

− solución particular

12: se tabula y grafica sustituyendo a x según sea

el caso.

x Y=

−

-3 134.47

-2 18.19

-1 2.47

0 1

1 36.44

2 1987.41

3 108 503.19

120

mil

100

mil

80

mil

60

mil

40

mil

-3 20

mil

3



Dependencia lineal

Cuando el Wroskiano es

w=0 las funciones son linealmente dependientes

w≠0 las funciones son linealmente

independientes

Ejemplo:

= = = 4 3 1: ordenamos los datos en fila

W=| x

4 3

|

2: se deriva cada dato 2 veces para tener el mismo

número de columnas y filas

W=

3: se repiten las 2 primeras filas en la parte de

abajo

x 4 3 1 2x 4-6x0 2 -6

x 4 3 1 2x 4-6x0 2 -6x 4 3 1 2x 4-6x



4: Se multiplica cruzado de 3 en 3 empezando de la

parte superior izquierda a la inferior derecha en

diagonal 3 veces y los resultados se suman luego

se restan con los resultados de hacer el mismo

proceso pero ahora de abajo hacia arriba

De arriba hacia abajo

W=

5: De abajo hacia arriba

W=

6: Dando como resultado después de sumar y

restar cada lado

(-12+8x-6+0) – (-6+8x-12)

7: Se suma y restan los valores y nos dará W=0por lo que es las funciones son linealmente

dependientes

x 4 3 1 2x 4-6x0 2 -6x 4 3 1 2x 4-6x

x 4 3 1 2x 4-6x0 2 -6

x 4 3 1 2x 4-6x



Ecuación lineal homogénea

Y´´´-6y´´+11y´-6y=0

1: se convierte a una ecuación polinómica

6 1 1 6 = 0

2: se toman los coeficientes y se procede a buscar

el número de raíces acorde al máximo de Y primas

en este caso es 3

3: primero se ordenan los datos

1 -6 11 -6

4: se buscan los números que puedan dividir

exactamente al último número (-6)

1, 2, 3,-1,-2,-3

Luego se escoge cualquier número

Escogemos el 1

1 -6 11 -61



Se baja el primer número directo

1 -6 11 -61 v

1

Se multiplica el número bajado por el que se

escogió y se coloca el resultado alado del

número bajado

1 -6 11 -61 v 1

1

Se resta o suma el resultado con el número dearriba

1 -6 11 -61 v 1

1 -5Se repite el proceso con el fin de eliminar al

último número que es -6

1 -6 11 -61 v 1 -5 6

1 -5 6 0



Si el último número se elimina el numero escogido

es una raíz siendo =1

Se repite lo mismo con el resultado y se vaneliminando el número del final obteniendo en

total 3 raíces

Se escoge cualquiera de los números que dividen

a -6 exactamente

1 -6 11 -61 v 1 -5 6

1 -5 6 0-2 v 2 -6

1 -3 03 v 3

1 0

=1

=2

=3

Luego sustituimos en orden nuestras raíces en la

fórmula de Ecuaciones diferenciales lineales

homogéneas según sea el caso al que

corresponda

Y=

Entonces , , son independientes.

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