booleova_algebra_i_logicki_sklopovi_-_udzbenik.pdf

090_BLG_Booleova_algebra_20090212_02 12.2.2009

BOOLEOVA ALGEBRA I LOGIKI SKLOPOVI 1

9. BOOLEOVA ALGEBRA I LOGIKI SKLOPOVI

Kljune rijei:

Booleova algebra, De Morganova pravila, distribucija, I (engl. AND), ILI (engl. OR), istina (T, 1), komutacija, la (F, 0), logika algebra, logiki sklopovi, NE (engl. NOT), negacija, tablica stanja, implikacija, ekvivalencija, tautologija, kontradikcija, normalna forma, NILI (engl. NOR), Ekskluzivno ILI (engl. XOR), NI (engl. NAND), poluzbrajalo (engl. half adder), potpuno zbrajalo (engl. full adder)

Logika algebra

Logika ili Booleova algebra je sustav teorema koji rabe simboliku logiku da bi opisali skupove elemenata i odnose meu njima. Booleova algebra dobila je naziv prema svom tvorcu, engleskom matematiaru George Booleu (1815. 1864.). George Boole je u svom djelu Matematika analiza logike elio matematiki obraditi postupke logikog zakljuivanja, pri emu su ulazni podatci mogli imati samo dva stanja: istinito i lano. Razvojem digitalnih raunala otkriveno je da je Booleova algebra vrlo dobro primjenjiva u konstruiranju i analizi rada raunala jer takva raunala takoer imaju samo dva stanja (ukljuen iskljuen, napon maksimalan napon minimalan i sl.). Ponaanje logikih sklopova unutar digitalnih raunala moe se odlino opisati s pomou Booleove algebre. Booleova algebra obrauje znatno ire podruje od elektronikih raunala, pa se i izuava kao posebna disciplina. Ovdje e ukratko biti opisana temeljna naela logike algebre.

Osnovni element logike algebre jest izjava, koja moe biti istinita ili lana. Izjava je npr. Danas je vedar dan ili Medvednica je via od 1000 metara ili 1+1=3. Pitanja NISU izjave i nisu elementi logike algebre (npr. Koliko je sati? nije izjava u smislu logike algebre).

Temeljno je svojstvo izjave istinitost ili lanost. Istinitost izjave oznaava se pojmom istina ili engl. true. Zbog jednostavnosti i kratkoe istinitost izjave esto se oznaava slovom T ili oznakom 1. Lanost izjave oznaava se pojmom la ili engl. false. Zbog jednostavnosti i kratkoe lanost izjave esto se oznaava slovom F ili oznakom 0. Katkad se cijela izjava kratko oznaava jednim slovom, pa se tako npr. moe pisati:

P = Danas je subota (T)

A = Proitao sam knjigu (F)

Slovo P pritom zamjenjuje izjavu Danas je subota, a slovo A izjavu Proitao sam knjigu. Oznake u zagradama upuuju na istinitost izjava: izjava P je istinita izjava, a A je lana izjava.

Izjave se mogu meusobno kombinirati u logike izraze rabei logike operatore..

Logiki operator NE (engl. NOT)

Logika operacija NE naziva se jo i negacija, a ukljuuje jedan operand i jedan operator. Negacija izjave nova je izjava, zasnovana na postojeoj izjavi, koja je lana ako je postojea izjava istinita, odnosno istinita je ako je postojea izjava lana. Primjerice, ako je postojea izjava:

Danas je subota,

onda je njezina negacija:

Danas nije subota.

Operator NE predouje se jednim od simbola: ~ ili ili . U ovoj e se knjizi rabiti simbol . Oznaimo li zbog kratkoe postojeu izjavu jednim slovom (npr. P = Danas je subota), onda se negacija izjave oznaava sa P. Dakle:

P je negacija izjave P.

Umjesto opisne odredbe odnosa izmeu izjave i njezine negacije moe se rabiti tzv. tablica istinitosti ili tablica stanja. Tablica stanja izraava odnose izmeu operanda ovisno o logikoj operaciji. Tablica stanja definicija je logike operacije i mora sadravati sva mogua stanja operanada i logike operacije. Istinitost se oznaava slovom T (od engl. true) ili znamenkom 1, a neistinitost ili la slovom F (od engl. false) ili znamenkom 0. U praksi se rabi samo jedna od te dvije oznake, ovisno o sklonostima. Tablica stanja ili tablica istine za logiku operaciju NE (negaciju):

Bo

ole

ov

a a

lgeb

ra i l

og

iki

sklo

po

vi

1



P P

0 1

1 0

Logiki operator I (engl. AND)

Logika operacija I naziva se konjunkcija. Ukljuuje dva operanda i jedan operator. Operator I predouje se jednim od simbola: ili ili . U ovoj e se knjizi rabiti simbol . Rabe li se slova kao simboliki prikaz izjava, operacija I pie se:

P Q

i ita P i Q.

Tablica stanja logike operacije I govori da je cjelokupna logika operacija istinita ako i samo ako su istinite obje izjave ukljuene u tu operaciju. Tablica stanja logike operacije I :

P Q P Q

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Npr. logiki izraz Dan je sunan I Ne pada kia bit e istinit ako su istinite obje izjave od kojih se sastoji..

Logiki operator ILI (engl. OR)

Logika operacija ILI naziva se inkluzivna disjunkcija, a ukljuuje dva operanda i jedan operator, Operator ILI predouje se jednim od simbola: U ili Iili +. U ovoj e se knjizi rabiti simbol +.

Operacija ILI pie se simboliki:

P + Q

i ita P ili Q.

Tablica stanja logike operacije ILI govori da je cjelokupna logika operacija istinita ako je istinita bilo koja izjava ukljuena u tu operaciju. Tablica stanja logike operacije ILI:

P Q P + Q

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Logiki operator implikacije (=>)

Logika operacija implikacije na odreeni nain odgovara veznicima akoonda . Operator implikacije predouje se simbolom =>. Izraz P=>Q je istinit uvijek osim ako je P istinito, a Q lano. Izjava P se naziva prednjak, razlog ili antecedenta, a izjava Q posljedak, posljedica ili konzekventa. Tablica stanja implikacije je:

Bo

ole

ov

a a

lgeb

ra i l

og

iki

sklo

po

vi

1



P Q P => Q

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

Operacija implikacije pie se simboliki:

P => Q

i ita P implicira Q ili Ako je P onda je Q ili P povlai Q. Matematiki pouci esto se izraavaju implikacijom, npr. Pitagorin pouak glasi: Ako je trokut pravokutan onda u njemu vrijedi c

2=a

2+b

2.

Vrijedi i obrat ovog teorema u kojem je takoer implikacija. Ako u nekom trokutu vrijedi c2=a

2+b

2.onda

je taj trokut pravokutan.

Ako vrijede oba smjera implikacije tj ako P => Q i Q => P onda je rije o novoj logikoj operaciji, ekvivalenciji.

Logiki operator ekvivalencije ()

Logika operacija ekvivalencije na odreeni nain govori da su izjave P i Q jednako vrijedne i odgovara veznicima ako i samo ako, akko, (engl. if and only if, iff). Operator ekvivalencije predouje se simbolom. Izraz PQ je istinit ako su oba izraza ista glede istinitosti tj. ako su i P i Q istinite izjave ili ako su i P i Q lane izjave. Tablica stanja ekvivalencije je:

P Q P Q

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Operacija ekvivalencije pie se simboliki:

P Q

Sloene logike operacije

Osnovne logike operacije mogu se kombinirati u sloene operacije, pa tako npr. moemo sastaviti sloenu logiku operaciju:

Danas je sunan dan ILI Danas je oblaan dan I Iz oblaka pada kia.

Ova se logika operacija sastoji od tri operanda i dva operatora. Uoite dva osnovna logika operatora ILI i I. Zamijene li se izjave slovnim oznakama ta logika operacija poprima oblik:

P + Q R

esto je sloene logike operacije mogue pojednostavniti sluei se nizom jednostavnih pravila. Pojednostavniti logiku operaciju znai smanjiti broj operanada u logikoj operaciji ne mijenjajui pritom tablicu stanja te operacije. Postoji vie postupaka koji pomau pojednostavnjenju, a mi emo ovdje rabiti algebarski postupak. Tim se postupkom zamjenjuju dijelovi logike operacije sluei se skupom pravila za zamjenu. Ovdje su navedena osnovna pravila koja mogu pomoi pojednostavnjenju, odnosno pretvorbi jednoga logikog oblika u drugi, a da se pritom ne izmijeni tablica stanja logike operacije. Tako npr. vrijedi:

Bo

ole

ov

a a

lgeb

ra i l

og

iki

sklo

po

vi

1



P 0 = 0 P + 0 = P

P P = P P + P = P

P P = 0 P + P = 1

P 1 = P P + 1 = 1

P (P + Q) = P P + (P Q) = P

P (P + Q) = P Q P + (P Q) = P + Q

De Morganova pravila

(P + Q) = P Q

(P Q) = P + Q

Komutacija

P + Q = Q + P

P Q = Q P

Distribucija

P (Q + R) = P Q + P R

(P + Q) (R + S) = P R + P S + Q R + Q S

Ova pravila mogu se dokazati rabei tablicu stanja lijeve i desne strane jednakosti. Pokaimo npr. da vrijedi prvo De Morganovo pravilo: (P + Q) = P Q.

P Q P+Q P+Q P Q P Q

0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 1 0 0

1 0 1 0 0 1 0

1 1 1 0 0 0 0

Vidimo da su osjenani stupci jednaki, dokazali smo da vrijedi pravilo. Na taj se nain mogu dokazati i sva ostala pravila.

Primjer

Pojednostavnimo logiku operaciju A + A B.

Rjeenje: A + A B = A (1 + B) = A 1 = A

Primjer

Pojednostavnimo logiku operaciju A B + A B + A C + C

Do rjeenja se moe doi u 4 koraka:

1. korak (distribucija izluivanje A): A (B + B) + A C + C

2. korak (pravilo B + B = 1): A 1 + A C + C

3. korak (pravilo A 1 = A): A + A C + C

4. korak (distribucija izluivanje A): A (1 + C) + C = A 1 + C = A + C

Primjer

Bo

ole

ov

a a

lgeb

ra i l

og

iki

sklo

po

vi

1



Pojednostavnimo logiku operaciju (A + B) C + (A + D) C

Do rjeenja se moe doi u 4 koraka:

1. korak (uklanjanje zagrada): A C + B C + A C + D C

2. korak (izluivanje C): (A + B + A + D) C

3. korak (komutacija): (A + A + B + D) C

4. korak (pravilo A + A = A): (A + B + D) C

Primjer

Pojednostavnimo logiku operaciju A B C + A B C + A B C + A B C

A B C + A B C + A B C + A B C = B C (A + A) + A C (B + B) = B C + A C

Primjer

Pojednostavnimo logiku operaciju A B C + A B C + A B C + A B C

A B C + A B C + A B C + A B C = B C (A + A) + A C (B + B) = B C + A C

Primjer

Logika operacija implikacije P=>Q moe se zamijeniti logikom operacijom P + Q.

Dokaz :

Tablica stanja za sve vrijednosti ulaznih varijabli jednaka je za oba izraza (sjenan je pomoni stupac varijable P):

P Q P => Q P Q P + Q

0 0 1 1 0 1

0 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 0

1 1 1 0 1 1

Tautologija i kontradikcija

Bez obzira na sloenost logike operacije njen konani rezultat je jedan od dva mogua stanja: istina ili la, T ili F, 0 ili 1. Rezultat ovisi o istinitosti ili lanosti svake od izjava (svakog operanda) i o logikoj operaciji.

Sloeni logiki izraz iji je rezultat istinit bez obzira na istinitost izjava od kojih se sastoji naziva se tautologija. U tablici stanja sloenog izraza rezultat je uvijek istinit (T), tj. ima sve vrijednosti 1.

Sloeni logiki izraz iji je rezultat laan bez obzira na istinitost izjava od kojih se sastoji naziva se kontradikcija. U tablici stanja sloenog izraza rezultat je uvijek laan (F) tj. ima sve vrijednosti 0.

Normalne forme

Za logiki izraz koji zadovoljava odreene uvjete kae se da je u normalnoj formi.

Logiki izraz je u konjunktivnoj normalnoj formi ako je to skup logikih izraza meusobno povezanih operatorom I (konjunkcija, engl. AND). Svaki od povezanih izraza mora biti skup osnovnih logikih izjava (operanada) ili negacija osnovnih logikih izjava (operanada) povezanih operatorom ILI (disjunkcija, engl. OR). Primjeri logikih izraza koji su u konjunktivnoj normalnoj formi su:

(A + B) (A + C)

(A + B) (A + B + D) (B + D)

P (Q + R + N + T) (Q + W)

Bo

ole

ov

a a

lgeb

ra i l

og

iki

sklo

po

vi

1



Treba uoiti da su osnovne izjave (operandi) meusobno povezani operatorom ILI (+), te da su tako oblikovani izrazi meusobno povezani operatorom I ().

Rabei konjuktivnu normalnu formu mogue je na temelju tablice stanja pronai logiki izraz koji ta tablica predstavlja. Postupak je ovaj:

1. Pronai sve retke u tablici stanja u kojima je rezultat logike operacije la (F, 0).

2. U svakom retku u kojima je rezultat logike operacije la (F, 0) napisati logiki izraz koji opisuje taj redak, a sastoji se od svih operanada povezanih s operatorom ILI (+).

3. U svakom retku u logikom izrazu dobivenom u toki 2. svaki operand koji ima u tablici stanja vrijednost istina u tom retku (T, 1) treba negirati (invertirati). Operand koji u tablici stanja u tom retku ima vrijednost la (F, 0) treba ostaviti netaknutog.

4. Na kraju treba sve tako dobivene logike izraze povezati logikim operatorom I ().

Primjer

Neka je zadana tablica stanja kao na slici. Operandi su A i B, a rezultat logike operacije je Y. Potrebno je pronai logiki izraz koji odgovara toj tablici stanja, tj. treba napisati logiki izraz za Y. U stupcu Logiki izrazi konjunktivne normalne forme prikazani su lanovi konjunktivne normalne forme dobiveni na temelju navedenih pravila.

A B Y Logiki izrazi konjunktivne normalne forme

0 0 0 A + B

0 1 1

1 0 1

1 1 0 A + B

Zadatak se rjeava prema opisanim koracima.

1. U tablici stanja rezultat logike operacije je la Y = 0 u prvom i etvrtom retku pa samo u tim recima treba napisati logike izraze.

2. U prvom retku tablice stanja operand A = 0, B = 0, pa u logikom izrazu treba ostaviti operande bez promjene. Logiki izraz u prvom retku, dakle, glasi A + B. U etvrtom retku tablice stanja operand A = 1, B =1, pa u logikom izrazu treba negirati A i B (svaki za sebe). Logiki izraz u etvrtom retku, dakle, glasi A + B.

3. Konani rezultat se dobije tako da se izraz iz prvog i etvrtog retka poveu operatorom I (), pa se dobije izraz: (A + B) (A + B). Taj se izraz moe urediti: (A + B) (A + B) = A A + A B + B A + B B = 1 + A B + B A + 1 = A B + A B.

4. Logiki izraz dobiven opisanim postupkom jest Y = A B + A B.

Primjer

Neka je zadana tablica stanja kao na slici. Operandi su A, B i C, a rezultat logike operacije je Y. Potrebno je pronai logiki izraz koji odgovara toj tablici stanja, tj. treba napisati logiki izraz za Y. U stupcu Logiki izrazi konjunktivne normalne forme prikazani su lanovi konjunktivne normalne forme dobiveni na temelju navedenih pravila.

A B C Y Logiki izrazi konjunktivne normalne forme

0 0 0 1

0 0 1 1

Bo

ole

ov

a a

lgeb

ra i l

og

iki

sklo

po

vi

1



0 1 0 0 A + B + C

0 1 1 0 A + B + C

1 0 0 1

1 0 1 0 A + B + C

1 1 0 1

1 1 1 1

Logiki izraz u konjunktivnoj normalnoj formi prikazan tablicom stanja je: Y= (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C).

Logiki izraz je u disjunktivnoj normalnoj formi ako je to skup logikih izraza meusobno povezanih operatorom ILI (disjunkcija, engl. OR). Svaki od povezanih izraza mora biti skup osnovnih logikih izjava (operanada) ili negacija osnovnih logikih izjava (operanada) povezanih operatorom I (konjunkcija, engl. AND). Primjeri logikih izraza koji su u disjunktivnoj normalnoj formi su:

P Q + W + P W

R + A B + R A + A B R

A B D + B D + D B A + B C E

Treba uoiti da su osnovne izjave (operandi) meusobno povezani operatorom I (), te da su tako oblikovani izrazi meusobno povezani operatorom ILI (+).

Na temelju tablice stanja mogue je pronai logiki izraz u disjunktivnoj formi. Postupak je ovaj:

1. Pronai sve retke u tablici stanja u kojima je rezultat logike operacije istina (T, 1).

2. U svakom retku u kojima je rezultat logike operacije istina (T, 1) napisati logiki izraz koji opisuje taj redak, a sastoji se od svih operanada povezanih s operatorom I ().

3. U svakom retku u logikom izrazu dobivenom u toki 2. svaki operand koji ima u tablici stanja vrijednost la u tom retku (F, 0) treba negirati (invertirati). Operand koji u tablici stanja u tom retku ima vrijednost istina (T, 1) treba ostaviti netaknutog.

4. Na kraju treba sve tako dobivene logike izraze povezati logikim operatorom ILI (+).

Primjer

Neka je zadana tablica stanja kao na slici. Operandi su A i B, a rezultat logike operacije je Y. Potrebno je pronai logiki izraz koji odgovara toj tablici stanja, tj. treba napisati logiki izraz za Y. U stupcu Logiki izrazi disjunktivne normalne forme prikazani su lanovi disjunktivne normalne forme dobiveni na temelju navedenih pravila.

A B Y Logiki izrazi disjunktivne normalne forme

0 0 0

0 1 1 A B

1 0 1 A B

1 1 0

Zadatak se rjeava prema opisanim koracima.

1. U tablici stanja rezultat logike operacije je istina Y = 1 u drugom i treem retku pa samo u tim recima treba napisati logike izraze.

Bo

ole

ov

a a

lgeb

ra i l

og

iki

sklo

po

vi

1



2. U drugom retku tablice stanja operand A = 0, B = 1, pa u logikom izrazu treba negirati operand A. Logiki izraz u drugom retku, dakle, glasi A B. U treem retku tablice stanja operand A = 1, B =0, pa u logikom izrazu treba negirati operand B. Logiki izraz u treem retku, dakle, glasi A B.

3. Konani rezultat se dobije tako da se izraz iz drugog i treeg retka poveu operatorom ILI (+), pa se dobije izraz: A B + A B.

4. Logiki izraz dobiven opisanim postupkom jest Y = A B + A B.

Primjer

Neka je zadana tablica stanja kao na slici (stupci A, B, C i Y). Operandi su A, B i C, a rezultat logike operacije je Y. Potrebno je pronai logiki izraz koji odgovara toj tablici stanja. U stupcu Logiki izrazi prikazani su lanovi disjunktivne normalne forme dobiveni na temelju navedenih pravila.

A B C Y Logiki izrazi dijunktivne normalne forme

0 0 0 1 A B C

0 0 1 1 A B C

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 1 A B C

1 0 1 0

1 1 0 1 A B C

1 1 1 1 A B C

Konani je rezultat: Y= A B C + A B C + A B C + A B C + A B C

U primjerima dobivanja logikog izraza u konjunktivnoj i disjunktivnoj normalnoj formi rabila se ista tablica stanja. Pokaite sreivanjem logikih izraza da je dobiven rezultat u oba sluaja za istu tablicu stanja isti.

Primjer

Neka je zadana tablica stanja kao na slici (stupci P, Q i P => Q). Operandi su P i Q, a rezultat logike operacije je P => Q. Na temelju tablice stanja logike operacije implikacije i pretvorbom u konjunktivnu i disjunktivnu normalnu formu pokazati da vrijedi: P=>Q = P + Q.

P Q P => Q Logiki izrazi za konjunktivnu normalnu

formu

Logiki izrazi za disjunktivnu normalnu formu

0 0 1 P Q

0 1 1 P Q

1 0 0 P + Q

1 1 1 P Q

Za konjunktivnu normalnu formu rezultat je: P + Q.

Bo

ole

ov

a a

lgeb

ra i l

og

iki

sklo

po

vi

1



Za disjunktivnu normalnu formu rezultat je: P Q + P Q + P Q = P Q + (P + P) Q =

P Q + 1 Q = P Q + Q

Primijenimo dva puta operaciju negacije na dobiveni rezultat ime se ne mijenja rezultat logike operacije. Nakon prve negacije dobije se izraz (P + Q) Q = P Q + Q Q = P Q. Nakon druge negacije dobije se izraz P + Q ime je dokazano da se u oba sluaja dobije isti rezultat.

Vjeba 1. Logika algebra (vjeba se nalazi u Radnim listovima i na CD-u)

Logiki sklopovi

Raunalo je elektronika naprava pa svoj rad temelji na elektrikim fizikalnim svojstvima. Obradba podataka unutar elektronikog sustava, kakvo je raunalo, mogua je samo s pomou elektrikih veliina: napona i struje. Elektroniko raunalo obraivat e zato samo one podatke koji su predoeni elektrikim veliinama.

Postoji mnogo naina na koje bi se podatci mogli predoiti elektrikim veliinama, ali se pokazalo da je za elektriki prikaz podataka najpogodniji prikaz s dva stanja. Takav prikaz omoguuje jeftinu grau pouzdanih elektronikih sklopova.

Sustavi koji mogu imati konaan broj stanja i kod kojih ne postoje meustanja zovu se digitalni sustavi. Digitalni sustav, primjerice, jest sklopka za paljenje svjetla jer moe biti samo u jednom od dvaju stanja: ukljueno ili iskljueno. Digitalni sustav jest i prometna svjetlosna signalizacija (semafor), koji moe biti u jednom od nekoliko stanja (crveno, uto, zeleno, crveno-uto, iskljueno). Za razliku od digitalnih sustava, postoje i analogni sustavi, koji mogu poprimiti bilo koje stanje izmeu krajnjih vrijednosti. Primjerice, namjetanje glasnoe kod radioprijamnika jest analogno jer ima beskonano mnogo moguih stanja.

Kod digitalnih elektronikih raunala, a takva su praktiki sva raunala danas u uporabi, podatci se predouju s pomou dva mogua stanja: maksimalni napon i minimalni napon (npr. 0 V i 5 V). Zbog toga to je rije o dvama stanjima, raunala se zovu binarnima, a zbog toga to je rije o odvojenim i jasno razluivim stanjima, zovu se digitalnima. Digitalna binarna raunala su, dakle, raunala unutar kojih se podatci predouju samo dvama, i to jasno odvojenim i razluenim stanjima. Kako su velika veina raunala u uporabi upravo digitalna binarna raunala, to se u svakodnevnom govoru najee rabi naziv digitalna raunala ili samo raunala.

Zbog jednostavnosti jedno od stanja zove se logika nula i oznaava s 0 ili velikim slovom s potezom, npr. A (ita se A crtano ili A potez), a pridaje mu se jedna razina napona (npr. 0 V). Drugo se stanje zove logika jedinica i oznaava s 1 ili velikim slovom, npr. A, a pridaje mu se druga razina napona (npr. 5 V).

Oita je slinost digitalnoga binarnog raunala i logike algebre. I u jednom i u drugom sluaju operandi mogu poprimiti jedno od dvaju moguih stanja. To to je kod raunala uobiajeno jedno stanje oznaivati s 0, a ne sa F (odnosno drugo stanje sa 1, a ne sa T) nije bitna razlika. Naela logike algebre (operacije, operandi, pravila logikih odnosa) mogu se zato primijeniti i kod digitalnih binarnih raunala.

Osnovni logiki sklopovi

Sklopovlje elektronikog raunala je vrlo sloeno, ali su osnovni elementi od kojih je graeno raunalo relativno jednostavni i ogranieni na nekoliko osnovnih tipova. Sloeni sustavi grade se spajanjem vie osnovnih elemenata. Osnovni se elementi zovu logiki sklopovi ili vrata, a njihovo se ponaanje opisuje tablicom koja se zove tablica istinitosti ili tablica stanja. Osnovni logiki sklopovi mogu imati jedan ili vie ulaza i jedan izlaz.

Logika vrata Engl. naziv Oznaka

NE NOT

Bo

ole

ov

a a

lgeb

ra i l

og

iki

sklo

po

vi

2



I AND

ILI OR

Iskljuivi ILI Exclusive OR

NI NAND

NILI NOR

NE vrata (logiki sklop invertor, engl. inverter)

NE vrata su najjednostavnija logika vrata sa samo jednim ulazom i jednim izlazom. Na ulazu se moe pojaviti 0 ili 1. Stanje izlaza ovisno je o stanju ulaza i moe se odrediti prema tablici.

A Y

0 1

1 0

NE vrata zovu se jo i invertor jer obru stanje ulaza. NE vrata su graena tako da oponaaju logiku operaciju negacije, pa su im zato tablice stanja jednake. Sukladno oznakama uvedenim kod logike algebre, odnos stanja izlaza i ulaza logikih NE vrata moe se pisati:

Y = A

Stanje izlaza logikih vrata moemo zamisliti kao istinitost ili lanost logike operacije (rezultat) predoene tim vratima.

I vrata (logiki sklop I engl. AND)

I vrata su logiki sklop ili logika vrata s dvama ili vie ulaza i jednim izlazom. Na ulazima se mogu pojaviti bilo koje kombinacije 0 i 1. Stanje izlaza ovisno je o stanju ulaza i moe se odrediti prema tablici.

A B Y

Bo

ole

ov

a a

lgeb

ra i l

og

iki

sklo

po

vi

2



0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Oito je iz tablice stanja da je izlaz 1 samo ako su oba ulaza 1.

Treba uoiti slinost I vrata s logikom operacijom I. Vrata su graena tako da oponaaju logiku operaciju I. Moe se zato pisati:

Y = A B

NI vrata (logiki sklop NI engl. NAND)

NI vrata su logiki sklop ili logika vrata s dvama ili vie ulaza i jednim izlazom. Na ulazima se mogu pojaviti bilo koje kombinacije 0 i 1. Stanje izlaza ovisno je o stanju ulaza i moe se odrediti prema tablici.

A B Y

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0


Treba uoiti da je izlaz NI vrata isti kao da se na izlaz I vrata nadoveu NE vrata (invertor). Kao logiki izraz NI vrata se mogu pisati ovako:

Y = A B

ILI vrata (logiki sklop ILI engl. OR)

ILI vrata su logiki sklop ili logika vrata s dvama ili vie ulaza i jednim izlazom. Na ulazima se mogu pojaviti bilo koje kombinacije 0 i 1. Stanje izlaza ovisno je o stanju ulaza i moe se odrediti prema tablici.

A B Y

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Oito je iz tablice stanja da je izlaz 1 ako je bilo koji od ulaza (ili oba) 1.

Treba uoiti slinost ILI vrata s logikom operacijom ILI. Vrata su i graena tako da oponaaju logiku operaciju ILI. Moe se zato pisati:

Y = A + B

NILI vrata (logiki sklop NILI engl. NOR)

Bo

ole

ov

a a

lgeb

ra i l

og

iki

sklo

po

vi

2



NILI vrata su logiki sklop ili logika vrata s dvama ili vie ulaza i jednim izlazom. Na ulazima se mogu pojaviti bilo koje kombinacije 0 i 1. Stanje izlaza ovisno je o stanju ulaza i moe se odrediti prema tablici.

A B Y

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0


Treba uoiti da je izlaz NILI vrata isti kao da se na izlaz ILI vrata nadoveu u NE vrata (invertor). Kao logiki izraz NILI vrata se mogu pisati ovako:

Y = A + B

Iskljuivo ILI vrata (logiki sklop iskljuivo ILI engl. exclusive OR, XOR)

Iskljuivo ILI vrata su logiki sklop ili logika vrata s dvama ulazima i jednim izlazom. Na ulazima se mogu pojaviti bilo koje kombinacije 0 i 1. Stanje izlaza ovisno je o stanju ulaza i moe se odrediti prema tablici.

A B Y

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Iskljuivo ILI vrata oponaaju istoimenu logiku operaciju (ta operacija nije spomenuta kod logikih operacija). Operand logike operacije oznaava se simbolom pa se operacija simboliki moe prikazati:

Y = A B

Sloeni logiki sklopovi

Meusobnim spajanjem osnovnih logikih sklopova mogue je sagraditi sloene logike sklopove koji sadravaju stotine, tisue, a u suvremenim raunalima i milijune osnovnih logikih sklopova. Bez obzira na sloenost, uvijek je mogue sastaviti tablicu stanja logikog sklopa koja se temelji na tablicama stanja svakog ugraenoga osnovnoga logikog sklopa.

Postupak ili algoritam grae sloenoga logikog sklopa na temelju logike operacije jest:

5. Pojednostavniti logiku operaciju to je vie mogue postupcima opisanim kod logikih operacija.

6. Podijeliti logiku operaciju na dva dijela, tako da je izmeu ta dva dijela jedan od osnovnih logikih operatora.

Bo

ole

ov

a a

lgeb

ra i l

og

iki

sklo

po

vi

2



7. Predoiti logiku operaciju logikim vratima s jednim izlazom i dvama ulazima, pri emu je izlaz cjelokupna logika operacija, jedan ulaz je jedan od dva dijela logike operacije, a drugi ulaz drugi dio logike operacije.

8. Ponoviti postupak za svaki od ulaza tako dobivenoga logikog sklopa promatrajui logiki izraz toga ulaza kao posebnu logiku operaciju.

9. Postupak ponavljati za svaki ulaz sve dok na ulazu logikog sklopa ne bude samo jedan osnovni logiki operand.

Primjer

Treba izraditi sloeni logiki sklop koji je opisan logikim izrazom: A B + C

Rjeenje

Podijelimo logiki izraz u dva dijela odijeljena osnovnim logikim operatorom:

Prvi dio: Y = A B

Drugi dio: C

Operand: + (operand ILI)

Logika vrata koja predouju ovako rastavljenu logiku operaciju su ILI vrata (jer je logiki operand izmeu dva lana ILI).

Jedan od ulaza logikog sklopa jest osnovni operand (C), pa je za taj ulaz postupak zavren. Za drugi ulaz ponovno rastavimo logiku operaciju na dva dijela:

Prvi dio: A

Drugi dio: B

Operand: (operand I)

Logika vrata koja predouju ovako rastavljenu logiku operaciju su I vrata (jer je logiki operator izmeu dva lana I).

Prikazani logiki sklop predouje navedenu logiku operaciju.

Primjer

Treba izraditi sloeni logiki sklop koji je opisan logikim izrazom: Y = A B + C + A D + C D

Rjeenje

Sluei se pravilima za pojednostavnjenje, moe se logiki izraz pojednostavniti:

Y= A B+ A D+ A D+ C + C DY = A (B + D) + C (1 + D)

Y = A (B + D) + C

Podijelimo logiki izraz u dva dijela odijeljena osnovnim logikim operatorom:

Prvi dio: Y = A (B + D)

Drugi dio: C


Logika vrata koja predouju ovako rastavljenu logiku operaciju su ILI vrata (jer je logiki operand izmeu dva lana ILI).

Bo

ole

ov

a a

lgeb

ra i l

og

iki

sklo

po

vi

2



Jedan od ulaza logikog sklopa jest osnovni operand (C), pa je za taj ulaz postupak zavren. Za drugi ulaz ponovno rastavimo logiku operaciju na dva dijela:

Prvi dio: B + D

Drugi dio: A

Operand: (operand I)

Logika vrata koja predouju ovako rastavljenu logiku operaciju su I vrata (jer je logiki operator izmeu dva lana I).

Jedan od ulaza logikog sklopa jest osnovni operand (A), pa je za taj ulaz postupak zavren. Za drugi ulaz ponovno rastavimo logiku operaciju na dva dijela:

Prvi dio: B

Drugi dio: D


Logika vrata koja predouju ovako rastavljenu logiku operaciju su ILI vrata (jer je logiki operator izmeu dva lana ILI).

Prikazani logiki sklop predouje navedenu logiku operaciju. Valja primijetiti da je logiku operaciju bilo mogue rastaviti i na drugaiji nain, pa bi tada sloeni logiki sklop izgledao drugaije. U oba bi sluaja, meutim, ponaanje cjelokupnoga logikog sklopa bilo istovjetno. Time je zadatak rijeen.

Primjer

Treba izraditi sloeni logiki sklop koji je opisan logikim izrazom: Y = A (B + C) + D

Navedena logika operacija ne moe se pojednostavniti, pa se primjenjujui navedeni postupak, dobiva sloeni logiki sklop kao na slici.

Primjer

Treba napisati tablicu stanja i logiki izraz za logiki sklop prema slici.

Bo

ole

ov

a a

lgeb

ra i l

og

iki

sklo

po

vi

2



U tablici stanja treba popunjavati stupce ovim redom:

a) Najprije popuniti stupce A,B i C tako da su zastupljene sve mogue kombinacije stanja.

b) Popuniti stupac Y1 = A + B.

c) Popuniti stupac Y2 = Y1.

d) Popuniti stupac Y = Y2 + C.

A B C Y1 = A + B Y2 = Y1 Y = Y2 + C

0 0 0 0 1 1

0 0 1 0 1 1

0 1 0 1 0 0

0 1 1 1 0 1

1 0 0 1 0 0

1 0 1 1 0 1

1 1 0 1 0 0

1 1 1 1 0 1

Pri izradi tablice stanja treba krenuti s lijeva i popunjavati vrijednosti za izlaze pojedinih logikih sklopova udesno tako da svaki idui sklop udesno ima ve rijeena stanja za svoje ulaze.

Logiki izraz za sklop se moe dobiti ovako

a) Krenuti s desne strane, od izlaza logikog sklopa i napisati logiki izraz za logika vrata kojima pripada taj izlaz: Y = Y2 + C.

b) Za svaki lan tog izraza koji NIJE osnovni operand napisati logiki izraz pripadnih logikih vrata: Y = (Y2) + C = (Y1) + C = (A + B) + C = A B + C. U zadnjem koraku je primijenjeno De Morganovo pravilo.

Primjer

Treba napisati tablicu stanja i logiki izraz za logiki sklop prema slici.

U tablici stanja treba popunjavati stupce ovim redom:

Bo

ole

ov

a a

lgeb

ra i l

og

iki

sklo

po

vi

2



e) Najprije popuniti stupce A,B i C tako da su zastupljene sve mogue kombinacije stanja.

f) Popuniti stupac Y1 = B.

g) Popuniti stupac Y2 = B + C.

h) Popuniti stupac Y3 = A + Y1.

i) Popuniti stupac Y = Y2 Y3.

A B C Y1 = B Y2 = B + C Y3 = A + Y1 Y = Y2 Y3

0 0 0 1 0 1 0

0 0 1 1 1 1 1

0 1 0 0 1 0 0

0 1 1 0 1 0 0

1 0 0 1 0 1 0

1 0 1 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1

1 1 1 0 1 1 1

Pri izradi tablice stanja treba krenuti s lijeva i popunjavati vrijednosti za izlaze pojedinih logikih sklopova udesno tako da svaki idui sklop udesno ima ve rijeena stanja za svoje ulaze.

Logiki izraz za sklop se moe dobiti ovako

c) Krenuti s desne strane, od izlaza logikog sklopa i napisati logiki izraz za logika vrata kojima pripada taj izlaz: Y = Y2 Y3.

d) Za svaki lan tog izraza koji NIJE osnovni operand napisati logiki izraz pripadnih logikih vrata: Y = (Y2) (Y3) = (B + C) (A + Y1) = (B + C) (A + B) = B A + B B + C A + C B = A B + A C + B C.

Primjer Treba napisati tablicu stanja i logiki izraz za logiki sklop prema slici.

A B Y1 = B Y2 = A Y3 = Y1 + A Y4 = Y2 + B Y = Y3 Y4

0 0 1 1 1 1 1

Bo

ole

ov

a a

lgeb

ra i l

og

iki

sklo

po

vi

2



0 1 0 1 0 1 0

1 0 1 0 1 0 0

1 1 0 0 1 1 1

Y = Y3 Y4 = (Y1 + A) (Y2 + B) = (B + A) (A + B) = B A + B B + A A + A B = A B + A B.

Sklop za zbrajanje binarnih brojeva

Sklop za zbrajanje binarnih brojeva je primjer primjene logikih sklopova u raunalu. To je sloeni slijedni logiki sklop iji izlaz odgovara zbroju dva binarna broja na ulazu.

Pravilo za zbrajanje dva binarna broja je:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 i 1 dalje

Ako prvi pribrojnik oznaimo s A, drugi s B, rezultat s Y i prijenos s C tablica stanja logikog sklopa za zbrajanje dva jednoznamenkasta binarna broja ima oblik:

A B Y C

0 0 0 0

0 1 1 0

1 0 1 0

1 1 0 1

Zanemarimo za trenutak prijenos i pronaimo disjunktivnu normalnu formu logikog izraza koji odgovara tablici stanja za zbroj:

A B Y Logiki izrazi za disjunktivnu normalnu formu

0 0 0

0 1 1 A B

1 0 1 A B

1 1 0

Disjunktivna normalna forma logikog izraza je: Y = A B + A B. Logiki sklop koji odgovara tom izrazu je:

Bo

ole

ov

a a

lgeb

ra i l

og

iki

sklo

po

vi

2



Na isti se nain moe nai disjunktivna normalna forma logikog izraza za prijenos:

A B C Logiki izrazi za disjunktivnu normalnu formu

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1 A B

Disjunktivna normalna forma logikog izraza je: Y = A B. Logiki sklop koji odgovara izrazu je:

Poveu li se ta dva sklopa u jedan dobije se sklop:

Izlaz sklopa na slici odgovara zbroju dva jednoznamenkasta binarna broja A i B. Rezultat zbroja je Y, a prijenos je C. Sklop na slici poznat je pod nazivom poluzbrajalo (engl. half adder).

Ako se eli zbrajati dva vieznamenkasta binarna broja tada treba uzeti u obzir prijenos (vidi pravila zbrajanja vieznamenkastih binarnih brojeva). To znai da treba zbrojiti tri binarne znamenke pri zbrajanju znamenki na pojedinom teinskom mjestu binarnih brojeva (dvije znamenke binarnih brojeva i prijenos sa susjednih znamenaka nie teinske vrijednosti). Tablica stanja za zbrajanje tri binarna broja A + B + C je:

A B C Y C1 Logiki izrazi za Logiki izrazi za

Bo

ole

ov

a a

lgeb

ra i l

og

iki

sklo

po

vi

2



disjunktivnu normalnu

formu za Y

disjunktivnu normalnu

formu za C1

0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 A B C

0 1 0 1 0 A B C

0 1 1 0 1 A B C A B C

1 0 0 1 0 A B C

1 0 1 0 1 A B C A B C

1 1 0 0 1 A B C A B C

1 1 1 1 1 A B C A B C

Disjunktivna normalna forma logikog izraza za zbroj je: Y = A B C + A B C + A B C + A B C + A B C + A B C + A B C. Nakon sreivanja izraz glasi: Y = A B C + B C + C.

Disjunktivna normalna forma logikog izraza za prijenos je: C1 = A B C + A B C + A B C + A B C. Nakon sreivanja izraz glasi:C1 = A C + B C. Logiki sklop koji odgovara navedenim izrazima je:

Takav je sklop poznat pod nazivom potpuno zbrajalo (engl. full adder).

Postoje i brojne druge mogunosti konstrukcije logikog sklopa koji e obavljati istu funkciju. Jedna od mogunosti je npr. drugaije srediti logike izraze disjunktivne normale forme. Druga mogunost je rabiti poluzbrajalo kao dio potpunog zbrajala.

Mogue je izraditi logiki sklop koji zbraja vieznamenkasti binarni broj. Napiimo dva binarna vieznamenkasta broja u obliku:

A = A2 A1 A0

Bo

ole

ov

a a

lgeb

ra i l

og

iki

sklo

po

vi

2



B = B2 B1 B0

I rezultat njihovog zbroja u obliku:

Y = Y3 Y2 Y1 Y0

Gdje su s indeksom nula oznaene krajnje desne znamenka, s indeksom jedan susjedne itd.

C3 C2 C1 C0 Prijenos

A2 A1 A0 Pribrojnik A

B2 B1 B0 Pribrojnik B

Y3 Y2 Y1 Y0 Rezultat

Zbrajanje vieznamenkastog binarnog broja mogue je spajanjem vie punih zbrajala prema slici:

Puno zbrajalo

Puno zbrajalo

Puno zbrajalo

Puno zbrajalo

A0

B0

A1

B1

A2

B2

A3

B3

Y0

C0 Y1

Y2

Y3

C3

C1

C2

0

Krajnje desne znamenke pribrojnika A i B su oznaene s indeksom 0. Znamenke lijevo do njih indeksom 1 itd. Krajnje desna znamenka rezultata Y je oznaena indeksom 0. Znamenka lijevo od nje indeksom 1 itd. Kako kod krajnje desnih znamenki pribrojnika nema prijenosa trea je znamenka kod potpunog zbrajala koje zbraja krajnje desne znamenke pribrojnika jednaka 0. Kako je u tom sluaju rije o zbrajanju samo dva binarna jednoznamenkasta broja umjesto potpunog zbrajala na tom se mjestu moe rabiti i poluzbrajalo. Prijenos pojedinog zbrajanja je oznaen slovom C i odgovarajuim indeksom.

I ovakav se zadatak moe rijeiti na mnogo naina. Npr. tako da se napie tablica stanja i iz nje izvedu normalne forme logikih izraza i zatim na temelju toga konstruira logiki sklop. Ovisno o odabranim normalnim formama logikog izraza i o nainu sreivanja izraza mogu se dobiti razliiti logiki sklopovi koji e obavljati istu zadau. Postoje postupci kojima je mogue pronai takav izraz za koji je potrebno utroiti najmanje logikih sklopova a da cjelokupan sklop jo uvijek obavlja istu zadau.

Slijedni logiki sklopovi

Izlaz svih do sad opisanih logikih sklopova ovisi samo o stanju ulaza. Ako je poznato stanje ulaza na temelju tablice stanja moe se sa sigurnou ustanoviti i stanje izlaza. Drugim rijeima da bi se ustanovilo stanje izlaza dovoljno je znati stanje ulaza. Za isto stanje ulaza i izlaz e biti isti.

Slijedni ili sekvencijalni logiki sklopovi su takvi logiki sklopovi kod kojih izlaz ovisi o stanju ulaza ali i o trenutnom stanju logikog sklopa. To znai da takvi sklopovi mogu biti u vie razliitih unutarnjih stanja. Da bi se ustanovilo stanje izlaza slijednog logikog sklopa treba znati stanje ulaza ali i unutarnje stanje sklopa. To znai da za isto stanje ulaza izlaz sklopa moe biti razliit, ovisno o unutarnjem stanju sklopa.

Slijedni sklopovi nuno moraju imati memoriju tj. sposobnost pamenja stanja u kojem se nalaze. Primjer jednostavnog slijednog sklopa je bistabil. To je sklop koji moe biti u jednom od dva stanja.

Bo

ole

ov

a a

lgeb

ra i l

og

iki

sklo

po

vi

2



Izlaz bistabila ovisi o stanju u kojem se nalazi i o stanju na svojim ulazima. Analiza rada slijednih logikih sklopova je mnogo sloenija od analize do sad spomenutih logikih sklopova i nee biti ovdje opisana.

Vjeba 2. Logiki sklopovi (vjeba se nalazi u Radnim listovima i na CD-u)

Saetak

Logika ili Booleova algebra sustav je teorema koji rabe simboliku logiku da bi opisali skupove elemenata i odnose meu njima. Razvojem digitalnih raunala otkriveno je da je Booleova algebra vrlo dobro primjenjiva u konstruiranju i analizi rada raunala.

Logike operacije su: NE (engl. NOT), I (engl. AND) i ILI (engl. OR), implikacija i ekvivalencija.

Tablica stanja izraava odnose meu operandima ovisno o logikoj operaciji. Tablica stanja definicija je logike operacije i mora sadravati sva mogua stanja operanada i logike operacije.

Sloeni logiki izraz iji je rezultat istinit bez obzira na istinitost izjava od kojih se sastoji naziva se tautologija. Sloeni logiki izraz iji je rezultat laan bez obzira na istinitost izjava od kojih se sastoji naziva se kontradikcija.

Osnovne logike operacije mogu se kombinirati u sloene operacije. esto je sloene logike operacije mogue pojednostavniti sluei se nizom jednostavnih pravila.

Za logiki izraz koji zadovoljava odreene uvjete kae se da je u normalnoj formi (disjunktivnoj ili konjunktivnoj).

Kod digitalnih elektronikih raunala, a takva su praktiki sva raunala danas u uporabi, podatci se predouju s pomou dva mogua stanja: maksimalni napon i minimalni napon. Logiki sklopovi predouju logike operacije uporabom elektrikih veliina i osnovni su element elektronikih raunala. Naela logike algebre (operacije, operandi, pravila logikih odnosa) mogu se primijeniti i kod digitalnih binarnih raunala.

Sklop za zbrajanje dva binarna broja naziva se poluzbrajalo (engl. half adder), a sklop za zbrajanje tri jednoznamenkasta binarna broja potpuno zbrajalo (engl. full adder).

Pitanja za provjeru znanja

1. Koje su osnovne logike operacije?

2. to je tablica stanja?

3. to je osnovni element logike algebre?

4. Kako je uobiajeno oznaivati dva mogua stanja izjava (sudova) logike algebre?

5. to su operatori, a to operandi logike algebre?

6. Koji su osnovni operatori logike algebre?

7. to je i emu slui tablica stanja?

8. Koja je logika operacija tautologija, a koja kontradikcija?

9. Koje uvjete mora zadovoljavati logiki izraz da bi bio u disjunktivnoj, a koje da bi bio u konjunktivnoj normalnoj formi?

10. Koji se simboli koriste za logike operatore: NE, I, ILI, iskljuivo ILI?

11. to su logiki sklopovi?

12. Koja je temeljna razlika izmeu digitalnih i analognih sustava?

Bo

ole

ov

a a

lgeb

ra i l

og

iki

sklo

po

vi

2



13. Kakva su to digitalna binarna raunala?

14. Koji su osnovni logiki sklopovi?

15. Koji se shematski simboli rabe za osnovne logike sklopove?

16. Koko se iz tablice stanja moe konstruirati logiki sklop koji odgovara toj tablici?

17. Moe li se na temelju iste tablice stanja konstruirati vie razliitih logikih sklopova koji se ponaaju sukladno tablici stanja?

18. emu slue logiki sklopovi koji se nazivaju poluzbrajalo (engl. half adder) i potpuno zbrajalo (engl. full adder).

Zadatci za vjebu

1. Napiite tablicu stanja za sljedee logike operacije:

a. Y = A + B,

b. Y = A (B + C),

c. Y = A B C + D,

d. Y = (A + B) (C + D),

e. Y = A + B C + A C.

f. Y = A B + A C + A D,

2. Pojednostavnite sljedee logike operacije:

a. Y = A B + A B + A C + B D,

b. Y = A (B + C) + B (A + D) + C (A + D),

c. Y = X (Q + P) + X P + Q.

3. Nacrtajte logiki sklop koji predouje sljedee logike operacije:

a. Implikaciju

b. Ekvivalenciju

c. Y = A (B + C) + B,

d. Y = A B + A C + B C,

e. Y = X + Q (P + X) + Q P,

f. Y = V (W + Z + R) + W (Z + R) + R.

4. Napisati tablicu stanja i logiki izraz za ove logike sklopove:

a.

Bo

ole

ov

a a

lgeb

ra i l

og

iki

sklo

po

vi

2



b.

c.

Bo

ole

ov

a a

lgeb

ra i l

og

iki

sklo

po

vi

2

booleova_algebra_i_logicki_sklopovi_-_udzbenik.pdf

Documents