书书书

内 容 简 介

本书主要论述用向量解决常见几何问题的方法!特别是基于

向量相加的首尾衔接规则的回路法!全书共"章!从被人忽视的

向量回路入手!介绍向量形式的定比分点公式和四边形中位线公

式及其应用!对垂直问题"圆问题"三角形五心问题等作了专题研

究#同时探讨了与向量法密切相关的复数法和质点法#对于不同

解法之间的优劣!列举大量实例进行比较研究!本书是在$绕来绕去的向量法%基础上进一步研究的成果!可

供中学和大学的数学教师及理工科教师"中学生和大学生"数学

爱好者以及数学教育研究者参考!

!图书在版编目!!"#"数据

!向量"复数与质点&彭翕成著!'合肥(中国科学技术大学出版社!#$%&!'!"#$%(")&"&*%#&$**+)&%

!!!向) !"!彭)!#!$ 向量!% 复数!& 质点

'!$'%)*%!!%'%!&'*'(!

!中国版本图书馆(")数据核字*#$%&+第$+&((%号

中国科学技术大学出版社出版发行安徽省合肥市金寨路(+号!#*$$#+*++,(&&,-.//!0/+1!.20!13

中国科学技术大学印刷厂印刷全国新华书店经销

"开本())$44,%#*$44!%&*#!印张()!"'!字数(%("千

#$%&年'月第%版!#$%&年'月第%次印刷印数(%'&$$$册

定价(#'!$$元

序

几何问题千变万化!不同的方法各有自己的长处!

有不少题目用向量法做起来比较简明快捷!也有不少题

目用面积法或质点法更为直观方便"还有一些题目!用

综合法能够巧妙地做出来!用向量法反而显得笨拙!这

些都显示了几何的丰富和优美!

点是几何的基本元素!向量#质点和复数都可以表

示点!而且都有代数运算!所以它们是相通的!

向量方法是解几何问题的通法!翻来覆去只用那几

条规则!此外!面积法#质点法和复数法也是通法!并且

已经有了适用于相当广泛的命题类的机械化算法!面积

可以用向量#质点或复数的运算表示!所以面积法给出

的题解原则上都可以改写成这些方法!质点法的基本公

式都可以写成向量形式或复数形式!所以质点法给出的

题解容易改写成向量或复数的形式!在这个意义上!用

向量法和复数法解几何题实质上也应有适用于相当广

泛的命题类的机械化算法!

用向量解几何题!并非数学家引入向量的主要目

的!向量理论的大用场!是在更多#更高深#更重要的数

学或物理学的分支里!向量的基本思想是把事物简化!

本来用两个数#三个数甚至一万个数表示的东西!在一

定条件下可以用一个字母表示!这样表示之后照样能运

算!必要时又可以分解成两个数#三个数甚至一万个数!

其神通好比孙悟空的毫毛!分开来可以变出成百个东

西!合起来又是一点点!在中学里!学生熟悉的是几何!

用向量解几何问题!是让他们初步体会一下向量的威

力!体验一下分分合合的数学思想的高明之处!

表达面积要用三个点!表达向量要用两个点!表达

质点只要一个点!比较这三种不同的通法!质点法处理

问题时所考虑的对象可以具有最小的$粒度%!所以质点

比向量更基本!既然有的省市在初中教学就讲了向量!

能不能让学生思路再开阔一些!讲点质点几何呢&

质点法的发现基于两点如何相加!从加法想到减

法!两点相减就成了向量!如果先讲向量!把向量说成是

两点相减的结果!再从减法说到加法!就引出了质点几

( 向量"复数与质点

何!这样!不但向量加法的首尾衔接法更加显然!而且把

有向线段#定比分点公式#向量坐标的计算以及力学中

的重心和力矩等知识都联系起来了!笔者曾经在一次中

学生夏令营报告会上用半小时讲质点几何!引起了学生

的很大兴趣!不少同学当时就学会了用质点几何方法计

算一些通常认为比较困难的线段比例计算问题!在中学

讲讲质点几何基本知识!可以帮助学生提高解题能力!

更快更好地学习向量和解析几何!值得一试!

著名数学家华罗庚和吴文俊都特别强调几何要与

代数结合!只讲几何不讲代数!是飞不高#飞不远的!几

何与代数的结合!有坐标方法和非坐标方法两种!用坐

标方法研究几何!发展成了$代数几何%"用代数方法且

尽量不用坐标研究几何!发展成了$几何代数%!向量是

代数几何的基础!也是几何代数的基础!同时更是大学

里要学的数学分析#解析几何和高等代数这些主要数学

课程的基础之一!

目前!中学数学教学还没有引入质点的概念!复数

的篇幅也比之前减少很多!向量法这几年倒是有点$小

热%!考虑到向量#复数与质点三者之间是相通的!结合

)序

起来一同研究也有其意义!希望本书对读者有所启发!

#$%*年%$月%日

* 向量"复数与质点

目!!录

序 *++!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

$!被忽视的向量回路 *%+!!!!!!!!!!!!!!

%!%!向量回路初步 *#+!!!!!!!!!!!!!!

%!#!向量形式的定比分点公式 *%*+!!!!!!!!!

%!*!向量形式的四边形中位线公式 *#"+!!!!!!!

%!垂直与圆问题 **)+!!!!!!!!!!!!!!!!

#!%!垂直问题 **)+!!!!!!!!!!!!!!!!

#!#!圆问题 *'*+!!!!!!!!!!!!!!!!!

&!质点 *"'+!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

*!%!实系数质点解题 *"(+!!!!!!!!!!!!!

*!#!复系数质点解题 *((+!!!!!!!!!!!!!

'!复数 *%%*+!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

&!%!复数与旋转 *%%&+!!!!!!!!!!!!!!!

&!#!复数与坐标 *%*&+!!!!!!!!!!!!!!!

(!三角形的五心 *%'$+!!!!!!!!!!!!!!!!

'!%!重心 *%''+!!!!!!!!!!!!!!!!!!

'!#!垂心 *%+&+!!!!!!!!!!!!!!!!!!

'!*!外心 *%+"+!!!!!!!!!!!!!!!!!!

'!&!内心 *%+(+!!!!!!!!!!!!!!!!!!

'!'!旁心 *%")+!!!!!!!!!!!!!!!!!!

'!+!多心结合 *%"(+!!!!!!!!!!!!!!!!

)!解法比较与转换 *%()+!!!!!!!!!!!!!!!

+!%!解题方法比较 *%((+!!!!!!!!!!!!!!

+!#!解题方法转换 *#*$+!!!!!!!!!!!!!!

*!杂题 *#&'+!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

后记 *#+'+!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

, 向量"复数与质点

书书书

!!被忽视的向量回路

一些资料介绍向量解题!总强调向量法与坐标法之间的转

化!试想一下!倘若向量没有自己的独门武器!总要转化成坐标!

那直接学坐标法就好!何必学向量法!多此一举"

向量解题并不排斥和坐标法合作!但我们接触新事物!总是

想见识一下它与众不同的地方!就好比到了一个没去过的地方!

总想去看一下当地独特的人文景观!品尝有名的风味小吃!回路解题就是向量解题特有的方法!在中学数学教学中!回

路好像并没有引起足够的重视!甚至有人会问#$中学数学教材

上出现过%回路&这两个字么"'

说起来!在平面几何入门时!我们就已经接触到回路了!回

顾三角形的定义#$由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接

所组成的封闭图形叫做三角形'!三角形就构成了一个最简单的

回路!用向量来表示就是#"#"!#$"""$"!这说明!引入向量

可以将几何关系转成代数形式!很多文章都写道$向量是联系几

何和代数的天然桥梁'!为何天然" 却语焉不详!我们认为!从三

角形的定义就可以看出向量法有此特点!三角形是最基本(最重

要的几何图形!构成了几何学的基础!平面几何如此!立体几何

亦如此!用向量回路法常可以按部就班地解题!操作起来十分方便!

但并不是说就没有技巧了!再如何机械化的方法都或多或少存

在技巧!向量法也不例外!所以多看一些例题还是有好处的!但

总的来说!它比综合法简单得多!极少的解题工具!少量的基本

方法!就可以解决大量问题!相对于综合几何那么多定理!解答

时又常需灵机一动地添加辅助线!向量法无疑是大大地划算!向量运算的基本规则很简单!也常见!本书就不重复了!可

参看)绕来绕去的向量法*+张景中(彭翕成著,!

!!!!向量回路初步

用向量法证明余弦定理!是回路法最初级的应用!

将"#"!#$"""$"左右两边平方!可得

"#"#!#$"#!#"#"-#$"""$"#!

即

"##!#$#$#"#-#$%&'#""$#!

这就是通常的余弦定理!在向量解题中!有时不将"#"-#$"展

开!运算起来更简便!一般所说的余弦定理只针对三角形有效!而推导余弦定理

的向量回路法则更基础!对所有多边形都有效!!例!!!"!已知#"#$!"#"(!#$")!$""*!求#

"#"-#$"!#$"-$""!$""-"#"!解法!!

!"#"-#$"!#$"-$""!$""-"#"

!!"$#$#!#"#$$"#

# $$"#!$##$"###

-!- 向量(复数与质点

$"##!"$#$#$#

#

!!"$"##!#$#!$"#

# "$#*!

解法"!由"#"!#$"!$""""!两边平方得

"#"#!#$"#!$""#!#"#"-#$"!##$"-$""!#$""-"#""+!所以

"#"-#$"!#$"-$""!$""-"#"

!"$"##!#$#!$"#

# "$#*!

解法#整体解决问题!相对而言!更简洁漂亮.

!例!!""!已知四边形"#$%!满足"$"$%!"%"#$!

$"$#!$"%$",-+.!求证#"##"#$#!$%#!%"#!证明!

"## "+#$"!$%"!%"",#

"#$"#!$%"#!%""#!#+#$"-$""!$%"-%"",!

只需证#$"-$""!$%"-%"""+!由条件知这是显然的!!例!!#"!四边形"#$% 的边"#和$% 之间的角为!!

证明#

"%#""##!#$#!$%#$#+"#-#$%&'#!#$-$%%&'$!$%-"#%&'!,!

证法!!

"%# "+"#"!#$"!$%",#

""##!#$#!$%#$#+"#-#$%&'#

!!#$-$%%&'$!$%-"#%&'!,!

-"-,!被忽视的向量回路

基于回路法考虑!这几乎是不证自明的!更不用画什么辅助

图形!而使用余弦定理则要先分开处理!再想办法综合!因为一

般所说的余弦定理只对三角形有效!证法"!如图, ,所示!有

"%#""$#!$%#$#"$-$%%&'$"$%!

"$#""##!#$#$#"#-#$%&'#!由于线段"$ 在直线$% 上的射影长等于线段"#和#$

在直线$%上射影的和!即&$"&'!'$!也即

"$%&'$"$%""#%&'!!#$%&'$!

综合起来命题得证!

图! !

!例!!$"!如果"!#!$!%!&依次在半径为,的半圆周

上!求证#

"##!#$#!$%#!%&#!"#-#$-$%!#$-$%-%&%)!分析!解此题的关键是在$半'字上下工夫!正是有个$半'

字!将五个点限定了范围!漏了这个字!就容易举出反例!由

"##!#$#!$%#!%&# 容易想到

-#- 向量(复数与质点

"&"#"+"#"!#$"!$%"!%&",#!

而由于半径为,和)!我们就希望"&是直径!那么"&"# 刚

好就是)!证明!如图, #所示!将"和&移到半圆直径的两端!这

样所求证式子的左边只会增大!

)""&"#"+"#"!#$"!$%"!%&",#

"+"#"!#$",#!+$%"!%&",#!#"$"-$&"

"+"#"!#$",#!+$%"!%&",#

""##!#$#!$%#!%&#!#"#"-#$"!#$%"-%&"!

下面证#"#-#$-$%%#"#"-#$"!

#"#"-#$""#"#-#$%&'+,-+.$$"#$,

"#"#-#$%&'$"&$

""#-#$-$&&"#-#$-%&!

同理#$-$%-%&%#$%"-%&"!命题得证!

图! "

!例!!%"!空间四点"!#!$!% 满足"#"(!#$"/!$%

-$-,!被忽视的向量回路

",,!%""0!则"$"-#%"的取值+!!!,!+#++*年全国高中

数学联赛试题,

1!只有一个!!!!!!!2!有两个

34有四个 5!有无穷多个

解!关键在于#(#!,,#",(+"/#!0#!

"%"#"+"#"!#$"!$%",#

""##!#$#!$%#!#+"#"-#$"!#$"-$%"!$%"-"#",

""##$#$#!$%#!#+#$#!"#"-#$"!#$"-$%"!$%"-"#",

""##$#$#!$%#!#+"#"!#$",-+#$"!$%",

""##$#$#!$%#!#"$"-#%"!于是

#"$"-#%"""%#!#$#$"##$$%#"+!

"$"-#%"只有一个值+!故选1!此题的另一种表述方式是#若四边形"#$% 中!"$'#%!

那么另作四边形"%#%$%%%!满足"#""%#%!#$"#%$%!$%

"$%%%!%""%%"%!虽然这两个四边形的形状未必完全相同!

但一定有"%$%'#%%%!更一般的结论#四边形对边平方和相等(对角线互相垂直!证明!

"##!$%#"#$#!"%#

!(+(#"$("",#!+(%"$($",#"+($"$(#",#!+(%"$("",#!

展开整理即可!

-&- 向量(复数与质点

!例!!&"!设 "%!#&!$' 均 是#"#$ 的 高!) 是 垂

心!求证#

"%-")!#&-#)!$'-$)",#+*#!+#!,#,!

证法!!由圆幂定理得

"%-")""&-"$!!$'-$)"$&-$"!

两式相加得

"%-")!$'-$)"+#!同理

"%-")!#&-#)",#!

#&-#)!$'-$)"*#!

所以

"%-")!#&-#)!$'-$)",#+*#!+#!,#,!

证法#!由+"#"!#$"!$"",#"+得

"#"#!#$"#!$""#!#"#"-#$"!##$"-$""!#$""-"#""+!

即

"#"#!#$"#!$""#$##&"-#)"$#$'"-$)"$#"%"-")""+!

也即

"%-")!#&-#)!$'-$)",#+*#!+#!,#,!

证法#也要用到圆幂定理!但由一个恒等式出发!逐步演算

得出结论!比起多个式子拼凑更紧凑.

!例!!'"!如图, (所示!在四边形"#$%中!"#"##$"#$%"#%"!其中""$#"%!#"$"#$!求证#

-'-,!被忽视的向量回路

)+%&'"!%&'#,$#%&'+"!#,"*!

图! #

证明!设"#的中点为(!"#"#!有

%$""%""!"#"!#$"

"(""+%&'"!6'67",$#(""!(""+%&'#$6'67#,

"(""/%&'"!%&'#$#!6+'67"$'67#,0!

平方得

+%&'"!%&'#$#,#!+'67"$'67#,#",!

即

)%&'"!)%&'#$#%&'"%&'#!#'67"'67#"*!

也即

)+%&'"!%&'#,$#%&'+"!#,"*!!

!例!!("!在#"#$中!求证#%&'"!%&'#!%&'$)(#!

证法!!

%&'"!%&'#!%&'$

!"#%&'"!## %&'"$## !,$#'67#$#

!)#'67$#!,$#'67#$#"

(#$# '67

$#$+ ,,#

#

)(#!

证法#!如图, )所示!设"#"!#$"!$""方向上的单位向

-(- 向量(复数与质点

量分别为!,!!#!!(!则有

%&'"!%&'#!%&'$"$!,-!($!#-!,$!(-!#!

+!,!!#!!(,# "!,#!!##!!(#!#!,-!(!#!#-!,!#!(-!#

"($#+%&'"!%&'#!%&'$,!

而+!,!!#!!(,#*+!所以%&'"!%&'#!%&'$)(#!当且仅当

!,!!#!!(""!即"#"#$"$"时!等号成立!

图! $

注意!在#"#$中!"#"!#$"!$""这三个向量中每两个向

量的夹角是三角形的外角而不是内角!两向量的夹角范围是

/+.!,-+.0!而两直线的夹角范围是/+.!0+.0!将证法#换一种表述可得到证法(!证法$!如图, *所示!设#$是#"#$的最短边!设其

长度为*!取%#"#$"$&!则

%&"#"+%#"!#$"!$&",#"(*#$#*#+%&'"!%&'#!%&'$,!

所以%&'"!%&'#!%&'$)(#!当且仅当%&"+!即"#"#$

"$"时!等号成立!

-)-,!被忽视的向量回路

!!!例!!)"!如图, *所示!点%!& 分别是#"#$ 的边

"#!"$上的点!且满足%#"#$"$&!-!.分别表示#"#$

的外接圆和内切圆半径!请用- 和.表示比值%&#$!

+#++*年亚

洲太平洋地区数学奥林匹克最后一题,

图! %

证明!%&"#

#$"#"+%#"!#$"!$&",#

#$"#

"($#+%&'"!%&'#!%&'$,!

%&'"!%&'#!%&'$"#%&'"!## %&'"$## $#%&'#"!## !,

")'67"#'67##'67

$#!,!

设(是#"#$的内心!/是内切圆与"#的切点!则

#-'67$""#""/!/#".%&8"#!%&8#+ ,#

".'67 "#!

#+ ,#'67"#'67

##

".%&'$#

'67"#'67##

!

-*+- 向量(复数与质点

所以

.-")'67

"#'67

##'67

$#!

($#+%&'"!%&'#!%&'$,"($#)'67"#'67##'67

$#+ ,!,

",$#.-!

所以

%&#$" ,$#.槡 -!

此题可顺便带出欧拉不等式#-*#.!单墫先生的)我怎样解题*也有此题的解法!但篇幅较大!将

近两个页面!而使用回路法!马上得到一个漂亮(对称的三角式!

后面的转化也是不难的!!例!!!*"!如图, 9所示!设一线段00%在#"#$三边

#$!$"!"#所在直线上的射影分别为11%!22%!33%!求证#

11%"-#$"!22%"-$""!33%"-"#""+!

图! &

-++-,!被忽视的向量回路

证明!显然#$"!$""!"#"""!则

+"00%"-+#$"!$""!"#",

"00%"-#$"!00%"-$""!00%"-"#"

"11%"-#$"!22%"-$""!33%"-"#"!

!例!!!!"!证明#如果"!#!$和"%!#%!$%分别是两个

三角形的内角!则

%&'"%'67"!

%&'#%'67#!

%&'$%'67$)%&8"!%&8#!%&8$!

证明!假设固定#"#$!考虑与#%$%"!$%"%"!"%#%"共线且

长度为'67"!'67#!'67$的向量"!#!$!则

%&'"%'67"!

%&'#%'67#!

%&'$%'67$"$

"-#!#-$!$-"'67"'67#'67$ !

而

#+"-#!#-$!$-","+"!#!$,#$"#$##$$#!

要使得"-#!#-$!$-"最小!必须使"!#!$""!此时

#"#$+#",#,$,!对应角相等!

回路法是向量解题的基本方法!但我们也没必要时时刻刻

回到基础上去!完全可以构建新的工具!这样有助于更快速地解

题!下面介绍由回路法推出的两大常用公式#向量形式的定比分

点公式和向量形式的四边形中位线公式!

-!+- 向量(复数与质点

!!#!向量形式的定比分点公式

向量形式的定比分点公式#如图, /所示!已知"0""

$0#"!则

(0""(""!$(#",!$ !

图! '

证明!将(0""(""!"0"和$(0""$+(#"!#0",相加!

应用条件"0""$0#"即得结论!这一公式得来轻松!只用到回路和数乘!它却是消去定比分

点的有效工具!使用时要注意公式的特点#0!"!#三点共线!

(0"!(""!(#"三向量共起点!且(0"前的系数等于(""和(#"前

系数的和!所以更多时候是使用+,!$,(0""(""!$(#"!省去

分式之繁!当$"$,时!"0""#0"!"!#两点重合!这种退化

情形通常是不会发生的!稍微留意即可!!!用向量解决平面几何问题!首先是在图形中选取两个不平

-"+-,!被忽视的向量回路

行向量(""和(#"!那么平面内其他向量均可用(""和(#"唯一

表示!即(0""4(""!5(#"!有序实数对+4!5,可看成(0"

的$坐标'!(""!(#"无需互相垂直!("" !(#" 无需相等!将

$不共线三点确定一平面'的性质发挥得淋漓尽致!具备解析几

何代数化的优点!解题更加灵活!解析几何的创立是数学的一次飞跃!从此!千变万化的几何

问题可以转化成代数形式!化推理为计算!虽然转化成代数形式

之后!可能因为计算量大!有些题目也未必变得简单!但多数情

形还是有章可循的!所以把解析法看作是解几何题的通法!有其

道理!解析法解题!通常做法是建立直角坐标系!从而把平面内的

点和实数对+6!7,一一对应起来!除直角坐标系外!还有斜坐标

系(极坐标系(空间直角坐标系等!那其他的坐标系有何特别之

处呢" 我们先用向量法来探究斜坐标系下的直线的截距式

方程!!例!!!""!如图, -所示!已知直线8与6轴的交点为"

+*!+,!与7轴的交点为#++!+,!其中*,+!+,+!求直线8的

方程!解!设直线上一点的坐标是0+6!7,!作01-#(!02-

"(!分别交("!(#于点6!7!则

(0""(1"!(2""(1("(""!(2(#(#

"!

所以(1("!

(2(#",

!将各点坐标代入!即得6*!

7+",!

-#+- 向量(复数与质点

图! (

!!下面通过一个高考题来说明斜坐标系的用法!!例!!!#"!如图, 0所示!在#"#$中!点(是#$的中

点!过点(的直线分别交直线"#!"$于不同的两点9!:!若

"#""4"9"!"$""5":"!则4!5的值为!!!!!!+#++/年江西省高考试题,

图! )

斜坐标证法!以点"为原点!"#所在直线为6轴!"$所

在直线为7轴建立斜坐标系!设#+,!+,!$++!,,!则

( ,#!+ ,,# !!9 ,

4!+ ,+ !!: +!,+ ,5 !

-$+-,!被忽视的向量回路

9:所在直线为46!57",!将( ,#!+ ,,# 代入方程!可得4

!5"#!坐标法是数形结合的典范!但向量法解题在数形结合方面

做得也不差!

向量证法!#"("""#"!"$""4"9"!5":"!由 9!

:!(三点共线可得4!5"#!若直接用回路法!则要麻烦一些!回路法

4+":"!:9","4"9"""#"""$"!$#"

""$"!#$(""5":"!#$:"!#:("!

比较两端得4":""5":"!#$:""5":"!#+,$5,

-":"!即4"#$5!坐标法需要说明以何为基准建立坐标系!这一说明不可缺

少!少了别人就看不明白!而向量法根据几何关系列出等式!别

人容易理解这是以点"为原点!#!$为单位点建立坐标系!或

者说是以"#"!"$"为基准建立坐标系!建系之后!线段之间的比

例关系可直接代入等式!边写边算!而不要另作说明!比较而言!

向量法在表现形式上更先进!可以把向量几何看作是不依赖于坐标系的解析几何!它具

备解析几何的种种优点!却不被解析几何的种种形式所局限!向

量几何的运算!不仅仅是数的运算!还包括图形的运算1向量解

题在一定程度上摆脱了辅助线!这可能正是莱布尼茨所设想的

-&+- 向量(复数与质点

几何#同时具有分析和综合的特点!而不像欧几里得几何与笛卡

尔几何那样分别只具有综合与分析的特点!!例!!!$"!向量"!#!("$##的起点相同!求证#终点在同

一直线上!

考虑(!+$#,",可知命题成立!

证明!设"!#!("$##的起点为(!终点分别为"!#!$!则

"#""#$"!"$""("$##$""#+"$#,"$#"#"!

所以"!#!$三点共线!

如果从平行四边形法则来看+图, ,+,!则是将(""延长#

倍得到(:"!将(#"反向延长#倍得到(;"!("$##"(:"!(;"

"($"!显然##("+##;$!("-;$!"!#!$三点共线!

图! !*

!例!!!%"!如图, ,,所示!#"#$中!"9 是#$边上的

中线!任作一条直线!使之顺次交"#!"$!"9 于0!;!:!求

证#"#"0!"9":!"$";

成等差数列!

-'+-,!被忽视的向量回路

图! !!

!!证明!由#"9"""#"!"$"得

#"9":":"""#"0"0

"!"$";";"!

由于":"!"0"!";"共起点!且0!;!:三点共线!所以

#"9":""#"0!

"$";!

强调!若"9"!":"同方向!那么"9""9"

":"":!即"9"""9":

-":"!这样一伸一缩的转化非常有用!

至于$由于":"!"0"!";"共起点!且0!;!: 三点共线'这样的说明!熟练之后!可省略!

!例!!!&"!如图, ,#所示!点0是正方形"#$% 中"#延长线上的点!#0"#"#!9 是%$ 的中点!"$ 交#9 于;!

0;交#$于-!求$--#!

图! !"

-(+- 向量(复数与质点

解!$#""#($""!,($0

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即$#$-"#!

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-#"()!

!例!!!'"!如图, ,(所示!已知"11#"$

!"22$"%

!1332"

&!计算#%$%!

图! !#

解!"3"" ,,!&"1"! &

,!&"2"!

即

"3"%"%"" ,

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即

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所以

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-)+-,!被忽视的向量回路