國家圖書館出版品預行編目資料

數學學習領域典範教學示例彙編（一） 著（編、譯）者：劉曼麗，簡清華，徐偉民，侯淑芬，陳淑琳，洪雪芬，吳金聰，

鄭惠萍，梁惠珍，李淑幸，郭怡伶 出版機關：國立屏東教育大學（屏東市民生路4-18號），http://web.npue.edu.tw/，

08-7226141 發行人：劉慶中

99.5 第1版 本書同時刊載於：屏東教大機構典藏資料庫，http://140.127.82.166:8080/dspace/ 350元 展售處： (1)五南文化廣場 地址：400台中市中區中山路6號 Tel：04-22260330 網址：http://www.wunanbooks.com

(2)國家書店 地址：104台北市松江路209號1樓 Tel：02-25180207 網址：http://www.govbookscom.tw/

GPN：1009901591 ISBN：978-986-02-3483-1 請尊重著作權，未經同意請勿翻印

數學學習領域典範教學示例彙編 / 劉曼麗等著. --第 1 版. --屏東市 ： 屏東教育大學, 民 99.05 冊； 公分 ISBN 978-986-02-3483-1（第 1 冊：平裝）.— ISBN 978-986-02-3484-8（第 2 冊：平裝）.— ISBN 978-986-02-3485-5（第 3 冊：平裝） 1.數學教育 2.教學設計 3.小學教學 4.文集 523. 3207 99008707

數學學習領域典範教學示例彙編（一） 著者： 劉曼麗，簡清華，徐偉民，侯淑芬，陳淑琳，洪雪芬，吳金聰， 鄭惠萍，梁惠珍，李淑幸，郭怡伶

國立屏東教育大學 中華民國 99 年 5 月

序 這本教學示例彙編是國立屏東教育大學「96 年度高屏輔導區國民小學

數學領域課程地方教育輔導工作實施計畫」的成果之一。此計畫目的主要是

為輔導區之小學研發和推廣數學領域課程典範教學示例，而執行時間自民國

96 年 7 月至 11 月。整個研發過程包括籌組研發小組、召開小組會議、研發教學示例、邀請專家審查教學示例、修改教學示例和定稿等數個階段。而教

學示例是歷經初稿→外審→修正→再外審→再修正，到最後定稿而成。

研發小組成員包括 3 位教授和 11 位高屏地區的國小教師，而每位教授親自指導 3~4 位教師，共同研發典範教學示例。研發期間，所有組員分別對「典範教學」的看法與內涵以及示例撰寫的格式與架構等先發表個人想法與

意見，並在數次會議中由大家討論與激盪以形成共識。另外，我們希望這本

教學示例能結合理論與實務，所以每篇教學示例皆須經過理論探討（實務要

有理論基礎）並透過研發者親自到教學現場實踐（理論要有實務檢驗），到

最後附上教學省思或建議（含成效探討），提供給教師們參考，以期下一次

的教學會更好。

我們所研發的教學示例，應計畫要求冠上「典範」二字的帽子，感覺上，

有點沉重。但我們的產品在內部作業上確實是經過不斷的討論和修正再經過

兩次的外部審查而篩選出來的。我們研發小組最初總共研發了 10 篇教學示例，經過兩位審查委員的初審結果，其中需小幅修改的有 3 篇、中幅修改的有 2 篇和大幅修改的有 5 篇。再經過原創者針對審查意見逐條修改後，3 篇小幅修改的和 2 篇中幅修改的尚須經過指導教授檢驗和確認，而 5 篇大幅修改的則須再送回兩位原審查委員複審。最後依據審查會議、初審意見、複審

意見與修改結果，有 7 篇通過。也因而誕生了我們的第一本典範教學示例彙編。感謝所有參與的工作者。

當然，我們期望教師們能喜愛我們辛苦所研發出來的教學示例，進而樂

於使用它以嘉惠我們的學生。最終期盼還是希望教師們能透過我們的拋磚引

玉，從消費者晉升到生產者。

劉曼麗 謹識 於國立屏東教育大學數理所

民國 96 年 11 月 9 日

彙編簡介 這本彙編包括 7 篇教學示例，計有圓部分的教學（適用於四年級）、四

邊形面積部分的教學（適用於五年級）、複合形體部分的教學（適用於五年

級）、整數四則混合文字題部分的教學（適用於五年級）、比和比值部分的教

學（適用於六年級）、乘法分配律部分的教學（適用於六年級）以及乘法部

分的教學（適用於二年級）等；涵括了數、量、形等三大主題，並涉及了低、

中、高等不同年級的數學內容。此外，這 7 篇教學示例並結合了學習理論、教學原理或模式、重要議題以及研究（Research Base）等觀點，計有 5E 學習環、後設認知、波利亞數學解題、多元表徵、數學史、數常識（數感）、

數學繪本以及資訊科技等。

為求一致性和協助讀者易於掌握示例的賣點，一開始，每篇教學示例皆

以「引用/以 P 觀點於/融入 M 之教學」之類的名稱出現。其中 P 與 M 部分是分別顯示此篇示例是用了什麼觀點在哪一類的數學概念進行教學，例如

「引用 5E 學習環觀點於圓之教學」、「以數學史融入四邊形面積之教學」等。最後，為能引起讀者的興趣，我們再為每一篇示例名稱冠上一個吸引人的帽

子，就形成了教學示例的全名，例如「圈！圈！奓爾扣魔咒！《引用 5E 學習環觀點於圓之教學》」、「面對面的親密關係《以數學史融入四邊形面積之

教學》」等。

關於每一篇示例的內容，總共分成前言、教學設計架構、教學活動、教

學評量、教學省思或建議以及結語等六個部分。前言部分主要是告訴讀者

「Why、What、How」；即我們為什麼選擇這個觀點和這個數學概念？這個觀點所涉及的理論或內涵是什麼？而這個數學概念的本質或內涵又是什

麼？此兩者該如何結合以進行教學？其次，將「What & How」的重點與其關係呈現在教學設計架構圖內，嘗試幫助讀者先對教學示例有概括性的了

解，再從教學活動和教學評量的部分一窺其全貌。但這教學設計架構圖實在

有夠難產！對大家而言，都是一個艱苦的挑戰。回想起來，每篇架構圖皆是

歷經十數次或數十次來來回回的塗塗改改，有的甚至於推翻又重新架構，但

經過大家的互相切磋和加油打氣，我們還是完成了這不可能的任務。正因為

如此，這教學設計架構圖可謂本彙編的一大特色。最後，在每篇示例末端處

付上研發者的感想，一抒自己參與示例研發的心路歷程，並與讀者分享心得

或收穫。到此，是否對我們所研發的教學示例有點概念了？接著，我們非常

歡迎您繼續看下去囉！

目錄 1.圈!圈!奢爾扣魔咒!《引用 5E 學習環觀點於圓之教學》 ....................................1 作者：侯淑芬 指導教授：劉曼麗

2.面對面的親密關係《以數學史融入四邊形面積之教學》 ................................29 作者：陳淑琳 指導教授：劉曼麗

3.積木的心思您別猜《以資訊融入波利亞數學解題模式於複合形體之教學》 67 作者：洪雪芬 指導教授：簡清華

4.馬蓋先的「撇步」《引用後設認知觀點於整數四則混合文字題之教學》 ......91 作者：吳金聰 指導教授：劉曼麗

5.比比皆是《引用 5E 學習環觀點於比和比值之教學》 ....................................113 作者：鄭惠萍 指導教授：簡清華

6.數感小子玩乘法《引用數常識觀點於乘法分配律之教學》 ..........................133 作者：梁惠珍 指導教授：徐偉民

7.阿曼達勇闖九九關《以數學繪本融入二年級乘法之教學》 ..........................151 作者：李淑幸、郭怡伶 指導教授：簡清華

數學學習領域典範教學示例彚編，2007 年，1-24

1

圈!圈!奢爾扣魔咒! 《引用 5E 學習環觀點於圓之教學》

侯淑芬 高雄市十全國小教師

劉曼麗 國立屏東教育大學數理教育所教授

國小數學教材對圓及其基本要素的處理，較著重在要素名稱與關係的記

憶上，並未幫助學生真正理解這些概念的定義與意涵。學生常會把直徑和半

徑搞混，也分不清楚直徑到底有幾條，而半徑又有幾條。尤其是直徑和半徑

的關係，只是形式上的背誦，時間一久就搞不清楚究竟直徑是半徑的兩倍，

還是半徑是直徑的兩倍。那麼如何幫助學生澄清這些概念而獲得真正的理解

呢？本文所提供的「圈!圈!奢爾扣魔咒!」即是解決此一問題的答案。「圈!圈!奢爾扣魔咒!」是以國小四年級圓及其基本要素－圓心、半徑與直徑的學習為主題，結合數學定義與 5E 學習環的教學模式所設計的教學活動。整個教學活動以虛擬的魔法故事情境串場，藉以引發學生探究學習的興趣，再透過

實作的過程，引導學生逐步建立起對這些概念定義的理解。此外，活動中安

排正例與非例之問題，藉由衝突的情境協助學生建立起正確且符合數學定義

的概念。本文將先說明「圈!圈!奢爾扣魔咒!」教學設計緣起，其次，說明整個教學設計的架構，接著呈現教學活動與教學評量，最後就教學結果提出教

學省思作為改進之道。希望本文所提供的教學活動和教學資源能對教師的教

學有所幫助。

壹、 教學設計緣起

本節先說明選取圓作為本教學活動主題之緣由，再介紹與圓有關之概念

內容，最後說明本教學活動設計之想法。

一、數學主題的選取

在小學教材中，幾何形體的學習是相當重要的一環。學生所學的簡單幾

何圖形主要包括四邊形、三角形與圓。其中四邊形涵括了長方形、正方形、

梯形、菱形與鳶形等；三角形涵括了正三角形（等邊三角形）、等腰三角形、

圈!圈!奢爾扣魔咒!《引用 5E 學習環觀點於圓之教學》

2

鈍角三角形、銳角三角形與直角三角形等。相較之下，圓的概念似乎單純多

了。學生除了在一年級學習辨識簡單幾何圖形時會接觸到圓外，接著便到在

四年級才會學習到圓的基本要素－圓心、半徑與直徑。而一般教材所設計的

教學活動多是透過將同一圓多次對摺，將摺線相交的點命名為圓心，再指出

這些摺線為直徑，最後提出圓心到圓上一點的長為半徑。這樣的教學活動並

未明確告訴學生什麼叫做圓，而學生對於圓的學習，也似乎僅流於記憶要素

名稱與關係。過去的研究（許乃賜，2004；謝貞秀、張英傑，2003）便指出，學生不太清楚什麼是「圓」，有的學生會將虛線所構成的似圓圖形、橢圓或

半圓視為圓，甚至認為橢圓是較長的圓。有的學生無法掌握直徑和半徑的關

係，也不清楚直徑與半徑到底有幾條。此外，能以摺紙方式找出圓心的學生

更是不多。由此可知，圓的概念雖然單純，但學生在學習上仍有困難。因此，

筆者遂以圓為主題，設計教學活動，期望能以之協助學生理解圓的定義，並

清楚掌握圓基本要素之意涵與關係。

二、數學內容的介紹

何謂圓呢？就定義而言，圓（circle）是指封閉的平面曲線，圓上的每一點都與給定的固定點等距。此固定點稱為圓心，而圓上的任一點到圓心的

距離稱為半徑。如從圓的方程式：(x-h) 2+(y-k) 2=r2來看，式中（h,k）是圓心，而 r 是半徑（數學辭典，1999）。對於半徑，數學辭典（1999）上也有嚴謹的定義：半徑（radius）為連接圓心和圓上任何一點的直線線段，亦指此線段的長度，通常記為 r。至於直徑（diameter）的定義則是：通過封閉幾何圖形（尤指圓或球）中心，且端點在圖形的周界或表面上的直線線段，亦指此

線段的長度，通常記為 d。由上述可知，先有一點，使之為圓心，與該點等距的所有點的集合會形成一個圓。圓上任意一點與圓心的連直線段是為半

徑。通過圓心的直線段，若兩端均在圓上，是為直徑。同一圓的直徑為該圓

半徑的兩倍（d=2r）。茲將圓的定義、半徑與直徑的定義說明如下圖 1。

數學學習領域典範教學示例彚編，2007 年，1-24

3

圓：

取一點 O 為圓心 與圓心等距的所有點之集合即為圓。

半徑：

直徑：

圓上任意一點 P與圓心O之距離OP 為半徑。

通過圓心，兩端均在圓上之直線

PQ 為直徑。 圖 1 圓、圓心、半徑與直徑定義說明圖

三、教學設計的想法

筆者深思，既然一般教材之教學活動並未明確指出圓的定義，何不以此

為出發點來設計教學，讓學生直接從數學定義的角度來學習圓。如此一來，

學生不但能清楚學到圓的定義，日後進入中學，更能將之與高中教材銜接。

然而，定義是生硬的，應採用什麼樣的教學模式來設計教學活動以協助

學生學習呢？Trowbrige 和 Bybee（1990）提出的 5E 學習環教學模式，是一種以學生為中心，藉由探究的方式引導學生發展概念的教學模式。此教學模

式主要分成五個階段：投入（Engagement）、探索（Exploration）、解釋（Explanation）、精緻化（Elaboration）和評量（Evaluation）。由於各階段的英文字母開頭皆為 E，故稱為 5E 學習環教學模式。茲將此五階段之意涵分別說明如下：

1.投入（Engagement，簡稱 E1）：利用活動激發學生的興趣，且活動的設計應能讓學生將過去和現在的學習經驗連結起來。

2.探索（Exploration，簡稱 E2）：學生主動操作教具、資料，探索問題與發展概念。

3.解釋（Explanation，簡稱 E3）：學生發表和示範他們對概念的了解或操作過程，而教師可引介對概念、過程或行為正式的註明或定義。

4.精緻化（Elaboration，簡稱 E4）：挑戰或延伸學生對概念的了解，給予學生驗證所學的機會，使其能獲得更多的資訊或發展更高層次的技

巧。

O O O

半徑

P O

直徑

P

Q

O

圈!圈!奢爾扣魔咒!《引用 5E 學習環觀點於圓之教學》

4

5.評量（Evaluation，簡稱 E5）：教師評量學生對概念的理解程度，並鼓勵學生評量自己對概念的了解程度與能力。

對於數學定義的教學，如果能讓學生先從探究中自然而然地經驗定義之

意涵，再引入定義之說明，對學生而言，應是較有意義的學習。基於上述，

筆者認為從數學概念建構的角度來看，教師可以下列方式進行 5E 學習環模式的教學：

1.投入：以故事情節或有挑戰性的問題，引起學生探索的興趣。 2.探索：不直接告知學生概念，安排實際的觀察或動手操作的活動，並透過提問、追問等方式引導其發展數學概念。

3.解釋：鼓勵學生解釋其對概念的了解和想法，並引入正式的數學語言、符號或定義，進而引導學生正確使用數學語言說明自己的想法，

並加強其對於數學語言和數學符號的了解。 4.精緻化：提供不同情境，鼓勵學生驗證或應用所學，進而對概念有更深入的了解。

5.評量：教師透過評量檢核學生對概念的了解，而學生也透過相互檢測了解自己的學習情形。

縱合上述，本教學活動係從數學定義的角度來設計教學活動，並採用

5E 學習環的教學模式，讓學生能從探究中，進行有意義的學習。

貳、 教學設計架構

本教學活動之教學對象為四年級學生。教學目標包括：能理解圓的定

義、能理解圓的基本要素－半徑與直徑的意義，以及能掌握半徑與直徑的關

係。學生應有的先備經驗包括：能辨識圓形，認識點、直線與曲線等。教學

模式則採用 5E 學習環教學模式。

本教學活動安排了四個活動。活動一與活動二的目的在於協助學生理解

圓與半徑的定義。為切合圓的數學定義，在活動一中，教師給予各組學生一

點與一線段（各組的線段長度相同），要求學生找出與此點相距此線段長的

點，讓學生從實際操作中察覺這些點的軌跡會形成圓，以協助其理解圓的定

義。接著，教師說明此點即為圓心，此線段為半徑，並探討半徑的個數。然

而，光是這樣，學生對於半徑的理解還不算完整，教師還需引導學生看出半

數學學習領域典範教學示例彚編，2007 年，1-24

5

徑的一端在圓心上，一端在圓上，進而協助其理解「圓上一點和圓心的連直

線就是半徑」的概念。在活動二中，教師同樣給予各組學生一點與一線段，

要求學生以此點為圓心，此線段為半徑畫圓，目的是讓學生將上一活動所學

的圓心、半徑等數學語言應用出來。在此活動中，教師給予線段長度與活動

一給予的線段長度不同，各組拿到的線段長度也不相同，目的讓學生在操作

後能進一步比較半徑長短與圓大小之關係。由於已引進圓、圓心與半徑的概

念，教師接著進行使用圓規畫圓的教學。

活動三的目的在於協助學生理解直徑的定義，以及直徑與半徑的關係。

一開始，教師將半徑在圓心上的一端延伸至圓上，引入直徑的概念，如下圖

2。

將半徑 OP 逐漸延長，當延長線恰交圓於一點 Q 時，則 PQ 線段為直徑。

圖 2 由半徑概念引入直徑概念說明圖

接著，引導學生看出直徑通過圓心，且兩端均在圓上，進而協助其理解

「兩端在圓上且通過圓心的直線是該圓的直徑」的概念。為澄清學生對直徑

的迷思概念，教師同時呈現正例與非例（如下圖 3）與全班討論何者為直徑，並引導學生理解直徑與半徑間的倍數關係。

圖 3 直徑之正例與非例

在學生理解直徑的定義後，教師給予每位學生一張圓形色紙，透過教師

提問與學生實作引導學生應用直徑的概念解決「如何利用摺紙找圓心」的問

題，並理解「將圓對摺兩次，兩摺線交點即為該圓圓心」的原理。教師先引

直徑

P

Q

O

P O

半徑

P O

圈!圈!奢爾扣魔咒!《引用 5E 學習環觀點於圓之教學》

6

導學生發現由於直徑會通過圓心，因此只要找出兩條不同的直徑，其相交的

點即為圓心；再引導學生察覺直徑會將圓平分成兩半，而將圓對摺所得之摺

線可將圓平分成兩半，因此此摺線即為直徑。只要摺出兩條不同的直徑，相

交之處即為圓心。最後，教師還安排測量日常生活圓形物品直徑與半徑長度

的活動，讓學生將所學應用出來。

活動四的目的在於進行教學評量，一方面是檢測學生是否清楚直徑與半

徑所指為何，是否知道圓規兩腳張開距離為半徑，欲畫出指定直徑長度的

圓，需先將直徑除以 2 求得半徑；另一方面也檢測學生是否能熟練地操作圓規。教師共設計 12 張問題卡，各組學生輪流抽卡後，依照問題卡所述的直徑長度或半徑長度，用圓規畫出指定的圓。其中，直徑題與半徑題各 6 題，共有 6 組數值配對出題。例如直徑題為「請畫出直徑 8 公分的圓」，配對的半徑題即為「請畫出半徑 8 公分的圓」。6 題直徑題的數值亦安排為 2 倍關係，如「請畫出直徑 8 公分的圓」與「請畫出直徑 4 公分的圓」等，6 題半徑題的數值設計亦是如此。各組畫完圓後交換互評，以讓學生從評量他人的

學習活動也了解自己的學習。

本教學活動以「史馬特的魔法世界」故事情境來佈題，並將上述四個活

動設計內涵隱含在故事情境中，以引起學生學習的興趣。茲將四個活動名稱

以及故事情節說明如下：

活動一「小魔蟲在哪裡？」：魔法世界的正氣師史馬特欲追蹤小魔蟲可

能的位置。據線民回報，小魔蟲離紅心的距離有一條繩子那麼長，小魔蟲可

能在哪些地方呢?請幫史馬特畫出小魔蟲所有可能的位置。

活動二「圈!圈!奢爾扣魔咒」：史馬特終於找到小魔蟲，他必須使出奢爾扣魔咒才能打敗小魔蟲。請你幫他畫出魔咒。奢爾扣魔咒就是以小魔蟲為圓

心，以魔帶為半徑，在地板上畫出的圓。

活動三「雙倍魔帶」：史馬特使出奢爾扣魔咒打敗小魔蟲後，突然，魔

帶從圓心的地方逐漸伸長，伸著伸著，最後碰到圓就不動了。魔帶此時變成

了雙倍魔帶。你可以幫史馬特把雙倍魔帶畫出來嗎?雙倍魔帶的兩端都在圓上，且通過圓心，我們就叫它做這個圓的直徑。

活動四「圈!圈!奢爾扣魔咒大賽」：魔法世界定期會舉行「圈!圈!奢爾扣

數學學習領域典範教學示例彚編，2007 年，1-24

7

魔咒大賽」看看哪個團隊最會畫奢爾扣魔咒。

而整個教學設計架構摘要如下圖 4：

圈!圈!奢爾扣魔咒!《引用 5E 學習環觀點於圓之教學》

8 圖 4 教學設計架構圖

精緻化

解釋（E3）

探索（E2）

以史馬特魔

法世界故事

情境帶入問

題，引起學生

的探索興趣。

透過實際操作

讓學生察覺與

某一點等距離

的所有點，其

軌跡會形成一

個圓。

由學生解釋其

想法，教師則透

過提問或追問

引入圓的概念

核心，並將紅心

與圓心、繩子與

半徑做連結。

以圓心與半徑

的語言，要求

學生畫圓，並

連結所學概念

與圓規的使用

方法上。

包括

透過實際操作

讓學生找出通

過圓心，端點

在 圓 上 的 直

線。

包

括

活動一

小魔蟲在哪裡?

（圓、圓心與半徑

的定義）

活動二

圈!圈!奢爾扣魔咒

（用繩子畫圓）

延續活動一

和活動二之

故事情境帶

入問題，引起

學生的探索

興趣。

引導學生應用

直徑的概念解

決「如何利用

摺紙找圓心」

的問題，並應

用所學找出日

常生活常見圓

形 物 品 的 圓

心、並測量其

半徑與直徑。

由學生解釋其

想法，教師則透

過提問或追問

引入直徑的概

念核心，並透過

正例與非例澄

清學生的迷思

概念。再透過全

班討論，澄清

圓、直徑與半徑

的關係。

圓：與某一

固定點等

距離的所

有點，其軌

跡會形成

一個圓。

圓心：此一

固定點即

為圓心。

半徑：圓上

一點到圓

心 的 線

段。（有時

此線段的

長也會稱

為半徑。）

直徑：通過

圓心，端點

在圓上的

線段。（有

時此線段

的長也會

稱 為 直

徑。） 直徑與半

徑 的 關

係：直徑是

半徑的兩

倍。

結

合

投入（E1） 精緻化（E4）解釋（E3） 探索（E2） 評量（E5）

學生畫圓時透過提問檢測學

生是否理解圓心與半徑的概

念。

透過提問與個別實作檢測學

生是否利用圓規畫出給定半

徑的圓。

活動四

圈!圈!奢爾扣魔咒大賽

（圓規畫圓）

透過競賽，

讓學生畫出

指定半徑或

直徑的圓。

再藉由相互

檢測，了解

自己對圓、

圓心、半徑

與直徑的理

解情形。

數

學

定

義

５

Ｅ

學

習

環

教

學

模

式

透過提

問與個

別實作

檢測學

生是否

利用圓

規畫出

給定直

徑 的

圓。

活動三

雙倍魔帶

（直徑的定義、 直徑與半徑的關係）

圓

的

教

學

設

計

數學學習領域典範教學示例彚編，2007 年，1-24

9

參、教學活動

活動一：小魔蟲在哪裡？(圓、圓心與半徑的定義) E1~E3 活動內容說明 備註

一、教師以故事情境吸引學生投入學習 史馬特是魔法世界的正氣師，今天他奉命要追蹤小魔蟲

可能的位置。據線民回報，小魔蟲離紅心的距離有一條繩子

那麼長，小魔蟲可能在哪些地方呢？請幫史馬特畫出小魔蟲

所有可能的位置。

二、小組實際操作，找出魔蟲可能位置

想想看，小魔蟲可能的位置

在哪裡？ 仔細把小魔蟲可能的位置都

畫出來。

仔細把小魔蟲可能的位置都

畫出來。 快要完成了。

1.教師行間巡視時應不斷提示：「要把小魔蟲所有可能會在的

（E1） 每組有一

段長 10公分的繩

子，一張

中間畫有

一點的圖

畫紙。

（E2）

(紅心)

圈!圈!奢爾扣魔咒!《引用 5E 學習環觀點於圓之教學》

10

活動內容說明 備註

位置都要畫出來喔！」。

數學學習領域典範教學示例彚編，2007 年，1-24

11

活動內容說明 備註

2.若發現學生畫出的軌跡未連續（即為數個點圍成一個圓圈）時，可提問：「小魔蟲可不可能在這兩個點之間呢？」「如

果可能，那也要畫出來啊！」 3.當學生補上一點時，應再指著該點與鄰近一點，繼續追問：「那小魔蟲可不可能在這兩個點之間呢？如果可能，是不

是也應該畫出來呢？」。 4.經教師一再追問，學生會發現小魔蟲所在位置可連成曲線。若發現學生畫出軌跡成曲線，也要提問：「小魔蟲可能

在的位置，為什麼會是這樣呢？」

三、全班討論，建構對圓、圓心與半徑定義的了解 1.各組完成後，請學生上台解釋，並透過質疑辨證，得出小魔蟲可能位置的最佳的表示方式如下：

學生完成作品 1 學生完成作品 2

2.教師透過提問與追問引入概念核心： （1）咦？你們畫的是什麼圖形啊？是圓嗎？ （2）你們回想看看，剛才老師要你們解決的是什麼問題？ （3）你們如何操作畫出小魔蟲的可能位置？ （4）小魔蟲在圓上任何一點跟這個點(指紅心)的距離有沒有

一樣呢？

（E3）

小魔蟲可能位置 (紅心)

圈!圈!奢爾扣魔咒!《引用 5E 學習環觀點於圓之教學》

12

活動內容說明 備註

3.教師引入「圓心」和「半徑」兩名詞，並說明其定義： （1）畫出跟某一點（指紅心）保持同樣距離的所有點，這些

點會連成一個圓。 （2）這個紅心，我們把它叫做圓心。 （3）這段繩子，我們叫做半徑，它的長度我們有時也叫做半

徑。 （4）以一個點當圓心，以一個固定長當半徑，跟圓心距離半

徑長的所有點，可以形成一個圓。

活動二：「圈!圈!奢爾扣魔咒」(用繩子畫圓) E4~E5

活動內容說明 備註

一、教師延續活動一的故事情境，鼓勵學生應用所學畫圓 史馬特終於找到小魔蟲，他必須使出「圈！圈！奢爾扣

魔咒」才能困住小魔蟲。請你幫他畫出魔咒。「圈！圈！奢爾

扣魔咒」就是以小魔蟲為圓心，以魔帶為半徑，在地板上畫

出的圓。你們手上的繩子就是史馬特的魔帶。

二、小組實際操作畫圓 1.學生操作過程：

以固定點為圓心，繩子為半

徑在地板上畫圓。 修飾一下。

2.教師到各組巡視時透過提問檢測學生是否理解圓心與半徑的概念：

（1）你們畫的圓心在哪裡？這條繩子長叫做什麼？ （2）圓上任意一點到圓心的距離有多長？ （3）每一點到圓心的距離都一樣嗎？

（E4）

（E4） 每組有一

條不同長

度的繩子

，數枝粉

筆。

（E5）

數學學習領域典範教學示例彚編，2007 年，1-24

13

活動內容說明 備註

3.學生完成作品：

學生作品 1 學生作品 2

三、全班討論，澄清與半徑相關之概念 1.教師展示活動一完成的小組作品：

2.教師提問： （1）這個圓的半徑有幾條？

教師連接圓上任意數點與圓心，強調每一條線都是

半徑，而且都一樣長。 3.教師透過提問澄清圓大小與半徑的關係： （1）每一組畫出來的圓為什麼都一樣大呢？ （2）半徑一樣長的圓會一樣大嗎？ （3）地板上的圓和紙上的圓，哪一個比較大？

四、個別實作，學習使用圓規畫圓 1.教師提問： （1）平常我們會用什麼工具來畫圓呢？ （2）哪些工作的人會使用到圓規呢？ （3）圓規有兩個腳，這兩個腳有什麼不同？ （4）試試看用圓規畫一個圓。

（E4）

（E4） 學生用圓

規，教師

用圓規教

具。

圈!圈!奢爾扣魔咒!《引用 5E 學習環觀點於圓之教學》

14

活動內容說明 備註

（5）尖尖的腳會在紙上戳一個小洞，這個小洞就是什麼？

數學學習領域典範教學示例彚編，2007 年，1-24

15

活動內容說明 備註

（6）兩腳張開的長度就是圓的哪裡？ （7）記得要將手指頭放在圓規的頭上，輕輕轉動，盡量不要

將手指頭放在圓規的腳上，這樣才能畫出漂亮的圓來。 2.學生個別實作： （1）請用圓規畫一個半徑 3 公分的圓。 （2）請用圓規畫一個半徑 2 公分的圓。 （3）半徑 3 公分的圓和半徑 2 公分的圓，哪一個比較大？

（E5）

活動三：雙倍魔帶(直徑，半徑和直徑的關係) E1~E5

活動內容說明 備註

一、教師延續活動二故事情境吸引學生投入學習 史馬特使出「圈！圈！奢爾扣魔咒」困住小魔蟲後，突

然，魔帶從圓心的地方逐漸伸長，伸著伸著，最後碰到圓就

不動了。魔帶此時變成了「雙倍魔帶」。你可以幫史馬特把雙

倍魔帶畫出來嗎？

二、小組實際操作，畫出雙倍魔帶 1.請學生在活動一和二所畫的圓上，畫出一條「雙倍魔帶」。 2.教師行間巡視時應不斷提示：「要注意喔！魔帶伸長後碰到哪裡就不動了呢？所以你們只能畫到哪裡呢？」。

三、全班討論，建構對直徑定義的了解 1.各組完成後，請學生上台解釋，並透過質疑辨證，得出雙倍魔帶的畫法之ㄧ如下：

2.教師透過提問與追問引入概念核心： （1）雙倍魔帶是一條直線段，它的兩個端點在哪裡？ （2）雙倍魔帶有通過圓心嗎？

（E1）

（E2）

（E3）

這條直線就是雙倍魔帶

(紅心)

圈!圈!奢爾扣魔咒!《引用 5E 學習環觀點於圓之教學》

16

活動內容說明 備註

（3）你知道為什麼它叫做「雙倍魔帶」嗎？ （4）雙倍魔帶長度跟魔帶長度有什麼關係？ （5）同一個圓可不可以畫出不同的雙倍魔帶呢？ 3.教師引入「直徑」一詞並說明其定義： （1）雙倍魔帶，我們把它叫做直徑，它的長度我們有時也叫

做直徑。 （2）直徑通過圓心，兩端點在圓上。同一個圓可以畫出很多

條直徑。只要通過圓心，而且兩端都在圓上的直線就是

這個圓的直徑。 （3）因為雙倍魔帶長度是魔帶的兩倍，所以叫做雙倍魔帶。

四、教師透過正例與非例澄清迷思概念 1.說說看，下列各圖中，哪些紅線是直徑？哪些不是直徑？為什麼呢？

A B C

D E F

五、全班討論，澄清圓、直徑與半徑的關係 1.教師提問： （1）同一個圓的直徑都一樣長嗎？

（E3） 正例與非

例圖（附

件 1）

（E3）

數學學習領域典範教學示例彚編，2007 年，1-24

17

活動內容說明 備註

（2）你們那一組畫在地板上的圓和紙上的圓，哪一個的直徑比較長？地板上的圓中，哪一組的圓最大呢？哪一組的

半徑最長呢？ （3）圓的大小和直徑的長短有什麼關係呢？ （4）直徑和半徑有什麼關係呢？ 2.教師總結：

同一個圓的直徑都一樣長。較大的圓，直徑比較長，

半徑也比較長。反過來說，半徑長的圓會比半徑較短的圓

大，直徑長的圓也會比直徑較短的圓大。同一個圓的直徑

會比半徑長，而且直徑是半徑的兩倍。

六、個別實作，透過摺紙找出圓心 1.個別實作：

請學生利用圓規畫一個圓，標示出圓心後將圓剪下，

再將圓對摺，畫出摺線。 2.教師提問： （1）注意觀察，摺線有通過圓心嗎？摺線的兩端點又在哪裡

呢？ （2）通過圓心，且兩端都在圓上的直線我們稱為這個圓的什

麼呢？ （3）再將圓對摺一次，這條摺線也是直徑，兩條直徑相交的

地方是哪裡呢？ 3.教師佈題：

每個人手上有一張圓形色紙（未標示圓心），怎樣透過

摺紙找出圓心呢? 4.個別實作：

請學生透過摺紙找出圓心，並說明所找出之點為圓心

的理由。

七、個別實作，用圓規畫出指定的圓 1.教師佈題：

（E4） 每生一張

方形色紙

、一張圓

形色紙

（未標示

圓心）

（E5）

圈!圈!奢爾扣魔咒!《引用 5E 學習環觀點於圓之教學》

18

活動內容說明 備註

（1）請用圓規畫一個直徑 4 公分的圓。 （2）直徑 4 公分的圓和半徑 2 公分的圓，哪一個比較大？

八、小組實作，解決日常生活情境問題 1.教師佈題：

請找出桌上這些生活常見圓形物品（由學生自行準備）

的半徑與直徑。 2.學生實際操作，先找出圓形物品的圓心，再測量其半徑與直徑。

3.教師提醒學生可將圓形物品先描繪在紙上，再利用摺紙找出圓心。

（E4） 圓形物品

如：光碟

片、硬幣

、膠帶等

。 紙張和直

尺。

肆、教學評量

活動四：「圈!圈!奢爾扣魔咒」大賽(用圓規畫圓) E5 活動內容說明 備註

一、教師佈題 魔法世界定期會舉行「圈！圈！奢爾扣魔咒大賽」，看看

哪個團隊最會畫「圈！圈！奢爾扣魔咒」。

二、學生競賽解題

1.每組發下 1 張四開的圖畫紙，12 張問題卡。 2.請學生輪流抽卡，並根據卡上問題，在圖畫紙上畫出指定的圓。畫完後即將問題卡與圖畫紙傳給下一個組員。

3.在有限時間內完成最多問題者（圓必須畫得完整）獲勝。 4.學生互相檢驗所畫的圓是否符合問題卡的需求：在圓上畫出一條半徑和一條直徑，測量兩者長度後記錄在圓上。

（E5） 問題卡

（附件 2）

數學學習領域典範教學示例彚編，2007 年，1-24

19

伍、教學省思

我們以數學定義的角度切入，配合 5E 學習環教學模式進行圓的教學，結果發現，學生對於圓的學習展現了高度的學習興趣，即使是學習成就低的

學生也樂在學習。由於從探索中逐步建立起對圓概念的了解以及半徑與直徑

等數學名詞的認識，學生並未產生將橢圓視為圓的一種或認為虛線所構成的

似圓圖形也是圓的迷思概念。再者，學生對於半徑與直徑為何以及其關係也

多能掌握良好。此外，我們也發現學生在圓規的使用上除了能較快上手外，

也相當清楚圓規兩腳張開之距離為半徑，不會將之誤認為直徑。由此看來，

這樣的教學設計在教學上有相當不錯的成效。不過，教學者自我省思後發

現，在教學活動一中，小魔蟲離紅心的距離若改以鉛筆等硬質物取代繩子，

學生在操作上可能較為容易。還有，教師在佈題時也應特別留意數值的設

計，避免要求學生畫出如半徑 1 公分的圓，否則對剛使用圓規的學生而言會產生較大的挫折感。再者，由於教師經常需要在黑板上呈現圓，建議教師準

備多張圓形圖片（可在紙張表面貼上膠帶，並以白板筆書寫以利反覆使用），

以節省在黑板上畫圓的時間，使教學的進行更順暢。

最後，審查本教學設計之評審委員建議在活動四後，增加一真實世界問

題，以檢測學生是否能運用所學解決問題。此一建議可檢測學生是否能真正

掌握圓的定義意涵，是本教學設計在評量部份所欠缺的。因此，我們特舉一

例，將活動進行方式及問題略述於下，提供給教師們作參考。

1.活動名稱：投紙球比賽。 2.活動材料：每位學生 1 顆捆有魔鬼粘的紙球。貼有魔鬼粘的靶心紙 1

張，如下圖 5。

捆有魔鬼粘的紙球 貼有魔鬼粘的靶心紙

圖 5 投紙球比賽活動材料

圈!圈!奢爾扣魔咒!《引用 5E 學習環觀點於圓之教學》

20

3.活動場地佈置：如下圖 6。

靶心

投擲線

圖 6 投紙球比賽場地佈置圖

4.活動進行方式： 請數個學生一起站在投擲線前投擲紙球。學生在投擲後會發現投

擲位置與靶心的距離會影響投擲結果。此時教師便可鼓勵學生思考投

擲線應如何畫，才能讓每個人投擲的位置與靶心的距離相同。

陸、結語

國小階段的幾何教學應給予學生豐富的操作經驗，而 5E 學習環教學模式的五個階段：投入、探索、解釋、精緻化與評量，相當符合幾何教學的需

要。透過操作探索，應用解題等過程，學生對於圓的概念，基本要素的定義

均有不錯的了解。相信將這樣的教學模式延伸至圓面積公式的認識、球的概

念、球的基本要素定義等之教學，應該也會有相當不錯的成效。

柒、參考文獻

許乃賜（2004）。動態幾何教學與傳統教學對國小五年級學童圓教學成效之研究。國立台北師範學院數理研究所碩士論文。

謝貞秀和張英傑（2003）。國小三四年級平面圖形概念之探究。國立台北師範學院學報，16（2），97-134。

數學辭典（1999）。貓頭鷹編譯小組。貓頭鷹出版社。

Trowbridge, J. H., & Bybee, R. W. (1990). Applying standards-based constructivism: A two-step guide for motivating students. New York: Cambridge University Press.

數學學習領域典範教學示例彚編，2007 年，1-24

21

附件 1 直徑之正例與非例圖（放大後使用）

A

B

圈!圈!奢爾扣魔咒!《引用 5E 學習環觀點於圓之教學》

22

C D

數學學習領域典範教學示例彚編，2007 年，1-24

23

E F

圈!圈!奢爾扣魔咒!《引用 5E 學習環觀點於圓之教學》

24

附件 2 畫圓大賽問題卡（切割後使用）

A. 請畫出

半徑8公分的圓

B. 請畫出

直徑8公分的圓

C. 請畫出

半徑4公分的圓

D. 請畫出

直徑4公分的圓

E. 請畫出

半徑3公分的圓

F. 請畫出

直徑3公分的圓

G. 請畫出

半徑5公分的圓

H. 請畫出

直徑5公分的圓

I. 請畫出 半徑10公分的圓

數學學習領域典範教學示例彚編，2007 年，1-24

25

J. 請畫出 直徑10公分的圓

K. 請畫出

直徑6公分的圓

L. 請畫出

半徑6公分的圓

圈!圈!奢爾扣魔咒!《引用 5E 學習環觀點於圓之教學》

26

參加「數學學習領域典範教學示例研發」感想

「圈！圈！奢爾扣魔咒」的教學示例有一大部分是我去年（2006）進行

圓教學時所做的教學設計。在教學時我感受到學生進行數學探究與發現的喜

悅，也很高興這樣的嘗試能讓學生進行有意義的學習。然而，教學後不免自

覺到教學處理不佳或不足之處，例如某些布題順序不流暢，以及在由半徑引

入直徑的部分鋪陳太少等。由於參與典範教學示例寫作，使我有機會將這個

教學點子付諸文字，並在劉教授與兩位校外審查委員的指導之下得以修正不

佳之處，補上不足之處。在寫作過程中，我重新思考設計此教學的初始理念，

並針對設計數學定義的部份，再次去翻閱文獻與相關資料以做確認。此外，

我也一一審視各個活動或各個提問銜接的流暢性，以及每一個教學細節，如

教具的使用、時間的掌控等，期望寫出的教學示例能兼顧實務與理論，以不

枉「典範教學」之名。在整個過程中，我修正了原始的教學，也在教授的要

求下再次就修正後的教學進行實地教學。如果沒有參與這次典範教學，我想

無法這麼完整地將自己原本粗糙的教學點子，去蕪存菁，展現出有價值的一

面。

這幾年，一方面在教育現場從事數學教學，一方面進修碩士學位，並參

與劉教授領導的國科會計畫，理論與實際的激盪讓我越來越覺得：一個好的

數學教學應該從數學概念基本的意涵或定義出發。然而，某些數學定義對國

小學生而言似乎稍嫌困難與生硬，雖然自己盡力思索將定義轉化成學生可學

得的方式，並期望能將之隱化在操作或探究中讓學生自然而然地學得，但因

與教學指引所列之教學程序或方法大不相同，難免對自己所設計的教學感到

遲疑：我這樣的教學設計真的好嗎？由於參與典範教學示例寫作，讓我有機

會將自己的教學理念與設計攤在陽光下，讓三位教授審核。而三位教授回覆

意見表達的肯定與讚美，讓我終於可以很有信心的說：我的理念是正確的；

同時我也更期許自己繼續朝這方向設計教學。

然而，心有理念、實際教過是一回事，要將理念與教學以文字完整呈現，

且讓讀者能很快掌握重點就是另一回事了。由於參與典範教學示例寫作，讓

我學得不少教案寫作技巧，也讓我在反覆修稿的過程中，學會如何精簡扼要

地呈現我的教學理念與重點，例如透過繪製教學設計架構圖呈現教學理念與

教學活動的關係；透過繪圖輔助說明生硬的數學定義等。有幸能在三位教授

數學學習領域典範教學示例彚編，2007 年，1-24

27

的指導下修稿，讓我著實獲益良多。

很高興，這個教學示例終於產出。雖然在寫作過程，曾遇瓶頸，我曾苦

思了一個上午，僅寫出一段文字；也曾花了一整天繪製好的教學流程圖，又

花了好幾天修改多次，但看到自己的教學理念與設計得以付梓，那種欣喜難

以言喻。回顧整個過程，我覺得，從下筆到完稿的寫作歷程，從對自己的懷

疑、挑戰到肯定的心路歷程都是我參與典範教學示例寫作的收穫。最後，由

於劉教授特地安排數次典範教學示例寫作會議，讓我們所有參與寫作的教師

們有共同討論、觀摩與互相學習的機會，我覺得能觀摩到其他優秀教師所寫

的有創意、有內涵的典範教學示例，以及其優異的寫作技巧，對我而言也是

另一類的收穫呢！

數學學習領域典範教學示例彚編，2007 年，25-56

29

面對面的親密關係 《以數學史融入四邊形面積之教學》

陳淑琳 屏東縣忠孝國小教師

劉曼麗 國立屏東教育大學數理教育所教授

壹、緣起

面積測量與人類的生活，自古以來就有很密切的關係，所以國小數學教

材有簡單平面圖形的面積測量與計算。然而在學習面積時，學生對於面積的

概念往往流落於公式的背誦，不同面積公式的關連性也常常被忽略。由於忽

略了各公式間的關連，學生對於公式的由來不見得了解，不少學生只是記憶

的堆疊，學了越多的圖形，記的公式就越多也就更混淆，當然也就談不上靈

活應用公式，看到數字就拿來套入公式，這樣所記得的公式是沒有意義的。

公式的記憶不應只是知其然，更應該知其所以然，能說出、畫出或具體操作

展示出公式的意義及推算過程，如此的公式對學生才是有意義、有感覺的。

那麼，如何幫助學生進行有意義的面積公式學習呢？本文擬從結合數學史、

多元表徵及 5E 學習環觀點，提供一個可行的方式。另外，國小教材中許多基本平面圖形面積都是以長方形面積公式為基礎的，平行四邊形只要切一刀

就可組合成長方形，這兩種圖形面積算法較無問題，所以就由平行四邊形以

外的四邊形面積教學出發吧！

一、 教材內容探討

四邊形是指有由四條邊所圍成的封閉圖形，它產生四個頂點、四個角，

國小所處理的四邊形教材主要是凸四邊形，所要認識的特殊四邊形有：正方

形、長方形、平行四邊形、梯形、菱形、鳶形等。四邊形的種類可基於邊的

平行與垂直、長度等關係，或對角線的垂直、平分、長度等關係而定，詳見

表一。根據能力指標「4-s-07 能由直角、垂直與平行的概念，認識簡單平面圖形。」，國小階段主要是由四邊形邊的垂直與平行，以及角是否直角的概

念來認識學習。至於四邊形對角線的垂直、平分、長度等關係則要到國中才

會詳細處理。因此，從基於邊的平行來看，有兩雙對邊分別平行的四邊形是

面對面的親密關係《以數學史融入四邊形面積之教學》

30

平行四邊形，而只有一雙對邊平行的四邊形是梯形。如基於邊的垂直來看，

四個角都是直角的四邊形是長方形。如依邊的長度關係來看，四個邊都等長

的四邊形是菱形，而有兩雙鄰邊分別等長的四邊形是鳶形。正方形則兼具邊

的垂直與長度關係，四個角都是直角而且四個邊都等長的四邊形是正方形，

所以，正方形是長方形和菱形的交集。而面積是平面區域大小的量化表示，

四邊形面積就是用以表示四邊形區域大小的量。

表一 四邊形的種類(引自朱建正，1996)

對邊平行 鄰邊等長 對邊等長 對角線 四邊形

名稱 1雙 2雙

4 個角都是

直角 1 雙 2 雙 1 雙 2 雙 垂直被平分

1 次 互相

平分 等長

正方形 ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ 長方形 ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ 平行四

邊形 ✓ ✓ ✓

梯形 ✓

菱形 ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

鳶形 ✓ ✓ ✓

二、 教學活動設計的理念

九年一貫課程網要中強調數學史的重要：「在教師教學裡，引進與主題

相關的數學史題材，對學童的學習會有很正面的意義，尤其能協助學童將抽

象觀念具體化。因為不論在科技應用層面或思想突破方面，數學重要概念的

演進確有其實用面的考量，因此提供具啟發性的數學史方面的讀物實屬必

要。」

蕭文強（1992）曾提出數學史運用於數學教育上的六大理由：(1)引發學習動機；(2)使數學易於親近；(3)瞭解數學思想發展過程，能增進理解；(4)對數學整體有比較全面的看法和認識；(5)滲透多元文化觀點，瞭解數學和社會發展的關係；(6)提供學生進一步探索的機會和方法。洪萬生（1997）覺得「數學史被認為可以關聯到數學教學的立論基礎─『重演說』。正因為兒童心智成長與數學概念的歷史發展似乎存在了平行關係。」因此，我們有透過

數學概念的歷史發展以了解學生想法的可能（楊淑芬，1992）。曹亮吉（1986）也認為「個人學習數學觀念的最佳途徑應該重蹈人類發展數學觀念的歷

數學學習領域典範教學示例彚編，2007 年，25-56

31

史」。數學是由生產實踐而來的，人類自定居進入農業生活方式後，必須從

事面積計算與測量工作，累積了不少的數學知識與經驗，學生可以認識概念

之源起，其中也有錯誤的概念，可能與學生學習中所有的錯誤類似，這不僅

有助於老師了解學生的困難，也可以讓學生看見數學的從嘗試錯誤中成長，

見識到數學的人文面相，數學並非只是生冷的公式推理。

另外，面積公式是一種抽象的符號表徵，此符號表徵是表徴類型中的一

種。而表徵是用某一種型式，將事物或想法重新表現出來，以達成溝通的目

的；當其所表現的意義能切實掌握後，表徵可進一步地成為運思的材料，來

簡化解題過程（蔣治邦，1994）。Bruner（1966；引自蔣治邦，1994）從運思方式的觀點，將表徵分為三種：動作的（enactive）、圖像的（iconic）以及符號的（symbolic）表徵。Lesh（1979；引自蔣治邦，1994）則由溝通的觀點，提出了數學學習及解題的五種表徵類別：真實情境（ real-world situations）、具體操作物（manipulative aids）、圖畫（pictures）、口語符號（spoken symbols）、以及書寫符號（written symbols），如圖 1。在數學的學習活動中，表徵既是運思的材料，也是溝通的媒介。

圖 1 表徵關係圖（Lesh 和 Behr，1987）

Janvier（1987）認為表徵可使數學學習變得更加有趣及更吸引人，進而使用多重表徵去發展不同的解題，或嘗試從不同的觀點去解題的正向態度。

Dreyfus 和 Eisinberg（1996）認為能夠根據問題情境，彈性的運用適當的數學表徵，如具體操作的、圖表的、符號的…等等具體或抽象的方式，並且在單獨的表徵系統之內以及各個表徵系統之間靈活的轉換，是發展數學思考和

培養解決問題能力的基本要素。如果只會使用抽象符號，不一定真正了解。

Lesh 和 Behr（1987）認為如果學童能在不同的表徵方式中自由轉移，才算是掌握了概念的意義。Schwarz, Nathan 和 Resnick（1996）指出教師連結數

圖畫

語言

符號

真實情境 具體操作物

面對面的親密關係《以數學史融入四邊形面積之教學》

32

個表徵間的教學是幫助學生瞭解的主要方式。

Clark 和 Starr（1986；引自林寶山，2003）的研究發現，學生的記憶量因下列情況而有差異：能記住「讀到」的 10%；「聽到」的 20%；「看到」的30%；「聽到及看到」的 50%；「說過」的 70%；「說過並做過」的 90%，所以學生解面積問題時，語言、具體操作物、圖畫、符號等解題表徵的交互作

用是對於面積公式的了解很有必要的。

由上所述，應用「數學史融入」和「多元表徵」應可幫助學生理解面積

公式，那麼如何進行教學呢？美國生物課程改進計畫（BSCS）發展出 5E 學習環的教學模式，包括投入（engagement 簡稱 E1）、探索（exploration 簡稱E2）、解釋（explanation 簡稱 E3）、精緻化（elaboration 簡稱 E4）與評鑑（evaluation 簡稱 E5）等五個階段（Bybee, 2002）。投入是使教學活動引發學生的興趣而參與，將學生的經驗與課程內容相連結。探索是教師以學生的

共同經驗為基礎，給學生足夠的時間與機會，協助學生進行操作與探索。解

釋是鼓勵學生提出說明、解釋概念和定義，進行辯證與澄清，教師再以學生

的想法為基礎，正式的提出定義、解釋。精緻化是提供學生使用前面提供的

正式的字彙定義和解說的機會，延伸概念、應用概念與技巧在新的情境裡。

評量是教師對學生的理解進行評量，或經由學生評量自己或他人的學習活動

或過程技能。5E 教學模式大致依循 E1→E2→E3→E4→E5 的教學順序，教師可依教學需要再次進行探索、解釋等過程，如 E2→E3→E2→E3 教學流程，或該單元僅到 E1→E2→E3 就可，或因時間有限刪除 E4，所以 5E 教學流程是教師可依教學需要而彈性規劃。

因此，作者嘗試由數學史、多元表徵及五 E 學習環之觀點，設計出此「四邊形面積教學活動」。由生活情境或數學史故事引起學生學習興趣與動機，

以表徵為運思材料及溝通媒介，應用真實情境、具體操作物、圖畫、語言、

符號等進行問題表徵與解題表徵之轉換，提供時間讓學生主動探索，透過一

連串的操作、點數、切割、作圖等逐步形成面積的概念，並在圖形的分合移

補中，求出不同形狀的面積，並解釋說明算法的意義，老師再根據學生的各

種解題表徵，協助學生導引出面積公式，這樣，學生對於面積公式才會有感

覺、有意義。

數學學習領域典範教學示例彚編，2007 年，25-56

33

貳、教學設計架構

本教學活動「四邊形」的面積，指的是非平行四邊形的一般四邊形，放

在平行四邊形、三角形等圖形面積教學之後。

活動一「多少地才夠」，目的在讓學生透過切割（圖形的分）、拼湊（圖

形的合移補）等方式，察覺梯形和平行四邊形面積的關係，進而找出梯形的

面積公式。以表徵系統來看，活動一的問題情境是由繪本故事「多少地才夠」

引入，讓兒童將問題的情境表徵轉換為圖畫表徵（畫出梯形標示求面積的範

圍）、語言表徵（以自己的話說出問題）、具體操作物表徵（做出梯形紙板顯

示問題）後，進行解題，解題時可使用具體操作物（紙板）、圖畫、語言、

符號（算式）等表徵運思及溝通。最後教師依據學生的各種表徵，引導並理

解梯形的面積公式後，融入數學史，介紹「九章算術」及古代梯形面積的算

法，再做公式的應用練習。

兒童面積的迷思概念常出現的有面積與周長的混淆，以及誤用面積公

式，只記得是兩個（或所有）長度的乘積，完全忽略『高』的意義（黃文達，

2003）。因此，讓學生實際切割、拼湊或組合等操作，可以幫助學生瞭解『高』的意義。此外，「多少地才夠」的故事，也可以繼續探究應用在以固定的周

長圍成不同的圖形，做面積的比較。

活動二「風箏怎麼做」，在讓學生透過切割、拼湊的方式，察覺鳶形和

長方形面積的關係，進而找出兩對角線相互垂直的四邊形面積公式。

在經歷好幾種求得面積的方法後，學生可能有「有沒有一種方法可適用

於所有四邊形」的想法，因此，把數學史拉進來，介紹古埃及的幾何學的發

展以及古埃及人的錯誤算法。活動三「古埃及人的算法」的目的除了讓學生

知道數學與人們的生活息息相關之外，也讓他們知道數學也是從錯誤中發展

的，減少一些對數學的畏懼。

本教學活動設計遵循的能力指標是 S-2-08「能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式」。而活動一的學習目標是理解梯形面積

公式，此為必上的教材。活動二的學習目標是能算出鳶形面積，活動三的學

習目標是能算出非平行四邊形、鳶形、梯形之四邊形面積，這兩個活動目標

皆不在能力指標 S-2-08 之內，可做為補充教材，以供延伸參考之用。教學

面對面的親密關係《以數學史融入四邊形面積之教學》

34

設計架構圖如下（多元表徵圖中，實線表示在活動中該兩項表徵會做連結，

虛線表示沒有連結）：

結 合

E2 探索 鼓勵學生操作解題，引導學

生討論解決四邊形面積的

問題。

E3 解釋 學生解釋解題方法，教師根

據學生的解題方法，引導出

四邊形面積公式。

E1 投入 由故事情境引入問題，引起

學生興趣，激發好奇心。

E4 精緻化 教師提供學生使用面積公

式的練習機會。

E5 評量 教師評量學生的學習成果。

學生評估古埃及人的算法

是否正確。

依

教

學

需

求

四邊形面積教學

活動一(梯形)：多少地才夠？

活動二(鳶形)：風箏怎麼做？

活動三(其他四邊形)：古埃及人的算法

先備知識： 平行四邊形面積算法

長方形面積算法

正方形面積算法

三角形面積算法

進 行

包 括

解題表徵語言

具體操作物

圖畫

符號

情境

數學史

。風箏的故事

。古埃及幾何知

識的發展起源

。九章算術簡介

。中國古代梯形

面積的算法

。古埃及人的四

邊形面積算式

多元表徵 5E 教學模式

四邊形面積教學設計

問題表徵語言

具體操作物

圖畫

符號

故事情境

數學學習領域典範教學示例彚編，2007 年，25-56

35

參、教學活動

活動一：多少地才夠？ 活動內容說明 備註

一、故事情境引入(E1) 多少地才夠？(托爾斯泰童話繪本故事)

(一)老師講述故事。 (二)故事探討：

1、百虛崗村的土地是怎麼樣買賣算錢的？ 2、為何村長賣土地是以 1 天來算？ 3、村長還規定了什麼條件？村長為什麼會有這樣的

條件？如果沒有回到出發點，算不算圍出一塊土

地？ 4、帕夏轉了幾個彎回到出發點？他走出來的土地是

什麼形狀？(假設他走的路線很直) 5、最後帕夏得到的土地是什麼形狀？面積是多少？6、如果你是帕夏，你要怎麼走？

學習單一上作答 二、教師佈題(E2)

(一)問題一： 假設帕夏在第一次左轉前走了 20 公里，第二次左轉前走了 8 公里，之後在左轉前又走了 14 公里，最後走回到出發點，帕夏走出來的土地面積是多少？

1、問題表徵的轉換 (1)請用自己的話說出題意。 (2)請在方格上畫出題意(1 格當作 1 公里)。 (3)可剪下紙板表現題意。

2、解題 學生各自解題，可用畫圖、紙板剪貼拼湊、算式

計算等方式解題。 3、解題表徵的連結與解釋(E3)

學生依據其解題表徵，圖畫、紙板操作、算式、

語言等，說明各種不同的解法。

．詳見故事一

．全班討論一

．配合學習單

一 ．引導思考封

閉的圖形才

有面積 ．引導發覺是

梯形 ．2m2長方形．讓學生做價

值判斷

．配合學習單

一

．將問題轉換

為語言、圖

形、具體操

作物表徵

．要求學生至

少有兩種解

題表徵(如算式、畫圖

說明)

面對面的親密關係《以數學史融入四邊形面積之教學》

36

活動內容說明 備註

(二)問題二(E2) 右邊梯形的面積是多少？ (上底 10cm、下底 2cm、高 6cm， 長度請學生自己量)算法可以使用文字、圖畫、算式等。你能不能把算法改成一個算式？

1、教師提示 (1)先想想你會算那些圖形的面積？ (2)梯形能不能拼成這些圖形？

2、分發附件一紙板 提示學生如有需要可剪貼，剪得越少越容易看清

楚。 3、解題

學生各自解題，可用畫圖、紙剪貼板拼湊、算式

計算等至少兩種方式解題，最後將算法整理成一

個算式。 4、解題表徵的連結與解釋(E3)

學生依據其解題表徵，圖畫、紙板操作、算式、

語言等，說明各種不同的解法。 三、教師結論：

(一)命名 梯形平行的對邊分別稱為上底和下底，上底和下底

的距離為高。 (二)梯形面積公式的引導

1、拼成長方形的方法 (1)梯形的面積=(上底＋下底)÷2×高

或梯形的面積＝中心線長×高

(2)梯形的面積=(上底＋下底)×(高÷2)

．學生可能會

回答矩形、

平行四邊形

、三角形 ．配合附件一

．準備剪刀

．多元表徵解

題

．學生會有多

種拼湊方式

合理即可

．可介紹古時

把上底、下

底稱為上邪

、下邪，高稱

為正從 ．中心線指的

是與平行邊

平行的中線

數學學習領域典範教學示例彚編，2007 年，25-56

37

活動內容說明 備註

2、拼成平行四邊形的方法 (1)梯形的面積=(上底＋下底)×高÷2

(2)梯形的面積=(上底＋下底)×(高÷2)

3、剪成兩個三角形的方法 (1)梯形的面積=上底×高÷2＋下底×高÷2

(三)中國古代梯形面積的算法 老師介紹解釋「九章算術」中梯形面積的算法。

四、檢驗(E4) 以公式計算帕夏走出來的土地面積。

五、挑戰一(E4+E5) 實測算出梯形面積的練習作業。

．配合閱讀一

．強調古人的

解題想法也

是和學生一

樣，增強學

生的興趣與

自信 ．由於邊長是

學生自己量

的，可容許

誤差

面對面的親密關係《以數學史融入四邊形面積之教學》

38

活動二：風箏怎麼做？ 活動內容說明 備註

一、風箏的故事(E1) 小真在運動公園看到許多人在放風箏，她也想玩，於

是上網去找製作風箏的資料，找到了許多有關於風箏

的故事，也找到了蘇天富老師的網站--阿富仔風箏屋(http://tainfoo.myweb.hinet.net/view.htm)，網站裏提供了鑽石型簡易風箏製作方法。

二、風箏製作探討

(一)步驟 1 中「將彈光紙量取 55cm*65cm 的大小切下來」，55cm*65cm 是什麼意思？

(二)依照步驟 2 做出來的風箏紙是什麼圖形？ 教師介紹鳶形(圖形及名稱的由來)

(三)這種圖形的邊長之間有沒有什麼關係？ 引導觀察鳶形邊長的長度關係

三、教師佈題(E2) 依照這個方法做出來的風箏紙面積是多少？

(一)問題表徵的轉換 1、請用自己的話說出題意 2、請用圖畫表示題意 3、剪下紙板表示題意

(二)解題 學生各自解題，可用畫圖、紙板剪貼拼湊、算式計

算等至少兩種方式解題。 (三)解題表徵的連結與解釋(E3)

學生依據其解題表徵，圖畫、紙板操作、算式、語

．分發閱讀二

．分發附件二

「鑽石型簡

易風箏製

作」 ．也可依製作

方法，實際

製作

．熟悉長方形

長寬的表示

法

．引導學生注

意有兩對等

長的鄰邊 ．配合學習單

二 ．將問題轉換

為語言、圖

形、具體操

作物表徵 ．如算式、畫

圖說明

．找不同的解

19cm

65cm

55cm

數學學習領域典範教學示例彚編，2007 年，25-56

39

活動內容說明 備註

言等，說明各種不同的解法。 四、教師結論

根據學生的解題方法引導 1、鳶形有兩雙等長的鄰邊，壓出來的兩條折痕是互

相垂直的對角線。 2、鳶形的面積＝對角線長×另一條對角線長÷2

五、延伸探究(E2) 那些四邊形可以利用鳶形的面積算法來算出面積？

(一)教師展示圖卡(平行四邊形、正方形、長方形、梯形、菱形、對角線互相垂直的四邊形)

(二)驗證 算出面積驗證。

(三)結果報告 六、教師總結(E3)

對角線互相垂直的四邊形(包含正方形、菱形)都可以用

對角線長×另一條對角線長÷2 來算出面積。

七、挑戰二(E4+E5) 實測算出對角線互相垂直的四邊形面積的練習作業。

法發表

．學生可能會

答正方形、

平行四邊形

、菱形、梯

形

．配合學習單

二

．由於邊長是

學生自己量

的，可容許

誤差

面對面的親密關係《以數學史融入四邊形面積之教學》

40

活動三：古埃及人的算法 活動內容說明 備註

一、數學史融入(E1) (一)教師提問：

1、我們學過那些四邊形的面積的算法？ 2、有沒有一種可以算出所有四邊形面積的方法？

(二)分發學習單三 閱讀「古埃及人的四邊形面積算法」學習單，了解

古埃及幾何知識的發展起源，以及大約西元前 100年古埃及人四邊形面積的算法。

(三)教師解釋學生不懂的詞句。 二、問題探究(E2)

不是平行四邊形，也不是梯形、鳶形等的其他四邊形

面積像下圖怎麼算？

三、解題

學生各自解題，可用畫圖、紙板剪貼拼湊、算式計算

等至少兩種方式解題。 四、解題表徵的連結與解釋(E3)

學生依據其解題表徵，圖畫、紙板操作、算式、語言

等，說明各種不同的解法。 五、教師結論(E4)

其他四邊形面積的算法：(根據學生的解法) (一)分成兩個三角形

(二)分成一個三角形和一個梯形

六、教師佈題(E4+E5)

．回憶舊經驗

．讓學生猜測

．配合學習單

三

．提供附件三

紙板給有需

要的學生

．如算式、文

字說明

．學生可能還

有其他方法

，合理即可

數學學習領域典範教學示例彚編，2007 年，25-56

41

活動內容說明 備註

古埃及人的四邊形面積算法正確嗎？ (一)教師提問：

1、這個四邊形的面積算對了嗎？ 2、你是怎麼知道的？ 3、如果不對，面積是多少呢？

(二)小組合作解題或個人解題 (三)小組發表結論

七、教師總結 古埃及人的四邊形面積算法在算長方形面積的時候

是對的，但不是長方形的時候就錯了。 八、挑戰三

實測算出其他四邊形面積的練習作業。

．讓學生明瞭

數學公式也

是從推測中

產生，也是

有可能錯誤

的

面對面的親密關係《以數學史融入四邊形面積之教學》

42

肆、教學評量

一、求出下列四邊形的面積

(一)算法：

(二)算法：

(三)算法：

(四)算法：

125cm

100cm

55cm

55cm

33cm

41cm31cm

45cm

4m 5m

3m

6m

12m 9m

10m

5m

數學學習領域典範教學示例彚編，2007 年，25-56

43

伍、教學建議

雖然只有三個活動，但是實施起來大概要六節課才夠，而且老師事前也

要多花點時間準備材料才能順進行。問題表徵的轉換是以往比較少進行的，

所以要花點時間解釋，但要求學生將情境中的問題轉換為圖形表徵，可更清

楚的知道學生是否了解題意，解題前的先備知識是否具備。

以具體操作物、圖形、算式等多元表徵連結來解題，學生對於算式會比

較有感覺，不再是那麼抽象。不過在學生發表溝通解題方法時，展示學生的

解題表徵比較麻煩，學生個人的學習單在黑板上展示根本就看不清楚，若小

組合作解題以白板展示或資訊融入使用單槍、電子白板等效果會更好。

當學生進行紙板圖形的分合移補時，可發現個別差異蠻大，有的小朋友

馬上就拼好了，有的移來移去，就是看不出來，真讓在旁觀看的人替他著急，

這樣的小朋友要讓他多玩七巧板、拼圖等遊戲，增強對平面圖形的感覺，不

然使用面積公式對他來說只是沒有意義的背誦。另外在進行公式的導引時，

根據學生不同的解法，會導出不同樣子的公式，全班沒有統一形式的公式也

無妨，到了國中學代數以後，他們會清楚這些不同形式的公式，其實都是一

樣的。

使用 5E 教學模式，讓學生成為學習活動的主角，老師只是從旁、引導、協助歸納，學生習慣這樣的流程，比較不像以往被動地等老師餵方法、答案，

思考的能力也進步了，這是值得嘗試的教學模式。

本教學活動設計，「四邊形的面積」是讓學生遇到沒算過的四邊形時，

想辦法把該四邊形經由等積異形，改頭換面成為以往舊經驗中的四邊形。本

教學活動結束後，還可再繼續延伸，讓學生製作奇妙的崑崙板，體驗一下任

意的四邊形均可分割重組成一個長方形，可以用長方形的面積算法來出面

積，但理解可能就要到國中才行。

求四邊形的面積也有另類的方法，那就是 Pick 公式，可利用釘板、橡皮筋圍出四邊形，或 1cm 方格紙畫四邊形，先圍出點數相同、面積相同的各種四邊形；再圍出周圍點相同，裏面沒有點，面積相同的各種四邊形；再

進入有內點的情況，經過多次操作，在老師的誘導下，學生也可以導出 Pick

面對面的親密關係《以數學史融入四邊形面積之教學》

44

公式。

數學學習領域典範教學示例彚編，2007 年，25-56

45

陸、參考資料

托爾斯泰（1995）。多少地才夠。(陳若蓮譯寫)。台北市：格林文化。 朱建正（1996）。國小數學課程的數學理論基礎。國科會 85 年度「國小數學

教師培育及檢定模式研究」子計畫報告。 林寶山（2003）。實用教學原理。台北市：心理出版社。 洪萬生（1996）。數學史與代數學習。數學月刊，27（7），2007 年 8 月 1 日，

取自：

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_27_07_1/index.html 袁小明（2003）。數學史。台北市：九章出版社。 曹亮吉（1986）。數學教學與歷史。科學月刊，17（1），39-41。 曾千純（2003）。面積概念的診斷與電腦動態化補救教。南師學報，37（1），

41-61。

黃文達（2003）。青少年的數學概念學習研究－子計劃九青少年的測量概念

學習研究（2/2）。國科會計畫成果報告（NSC-91-2522-S-003-008）。

楊小萍（1984）。風軟紙鳶高。民俗采風。台北市：光華畫報雜誌社。

楊淑芬（1992）。從皮亞傑的認識論談數學史與數學教育的關聯。國立臺灣

師範大學數學研究所碩士論文。

楊淑芬（1992）。數學史在數學教育中的重要性。數學傳播季刊，16（3），

16-22。 蔣治邦（1994）。由表徵觀點探討新教材數與計算活動的設計。載於臺灣省

國民學校教師研習會（主編），國民小學數學科新課程概說（低年級），

60-76。台北市：教育部臺灣省國民學校教師研習會。 蔡聰明（2000）。數學的發現趣談。台北市：三民書局。 蕭文強（1992）。數學史和數學教育：個人的經驗和看法。數學傳播季刊，

16（3），23-29。 篠田幹男，陳昭蓉譯（2004）。圖形的探險。台北市：天下遠見。

Bybee, R. W.(2002). Scientific inquriry, student learning, and the science curriculum. In R. W. Bybee(Ed.), Learning science and the Science of Learning(pp.25-35). Arlington, VA: NSTA Press.

Dreyfus, T. & Eisinberg, T. (1996). On different facets of mathematical thinking. In R. J. Sternberg & T. Ben-Zeev (Eds.), The nature of mathematical

面對面的親密關係《以數學史融入四邊形面積之教學》

46

thinking(pp. 253-284). Mahwah, NJ: Erlbaum. Janvier D. (Ed.) (1987), Problem of representations in mathematics learning and

problem solving. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Lesh, R.,Post, T. & Behr. (1987). Representations and translations among

representations in mathematics learning and problem solving. Problems of representations in teaching and learning of mathematics(pp 33-40). Hillsdale, NJ:Lawrence Erlbaum.

Schwarz, B. B.,Nathan,M.J. & Resnick, L. B. (1996), Acquisition of Meaning for Arithmetic Structures With the Planner. In Stella Vosniadou (Eds.). International Perspectives on the Design of Technology-Supported Learning Environments(pp.105-129). Lawrence Erlbaum, Mahwah, NJ.

數學學習領域典範教學示例彚編，2007 年，25-56

47

柒、學習單及附件

多少地才夠？

托爾斯泰

一個俄羅斯農人帕夏，聽說百虛崗的居民生活悠閒安逸，過著遊牧的生

活，只要送給他們一些禮物，就可以用低廉的價格買下一大片土地。他買了

許多禮物到那裡，果然，村長很開心地答應：「好！一天，一千盧布。」帕

夏想不通，村長解釋說：「就是說，用一千盧布可以買下你在一天之內所能

走的土地。」

帕夏簡直不敢相信：「這可能是好大好大的一片土地呢！」村長笑著回

答說：「不錯，但是如果沒辦法在日落前回到出發點，錢和地都要歸我。」

第二天帕夏起個大早，急忙叫醒僕人和村民。所有人跟著村長到一座小

山丘上，村長把頭上的帽子放在地上，當作出發點。帕夏把一千盧布放在帽

子裡，就拉著僕人衝出去了。

上午過了一半左右的時候，他明知道該往左轉了，卻捨不得前面更肥沃

的土地，快中午了他才往左轉。到了中午，也捨不得坐下來休息，邊走邊咬

了幾口乾糧，繼續走。等到警覺到下午也快一半，才再往左轉。原來他希望

能走出一塊整整齊齊的長方形地，當陽光漸漸弱下來時，他只好改向朝著出

發點加速趕路。太陽已經接近地平線了，卻還看不到站在出發點等他的村長

和村民，慌得拼命趕路。天已經幾乎黑了，太陽在地平線上只剩下最後的一

絲微光，他才隱隱約約地看到遠方出發點的山丘上有著一群人。再回頭一

看，太陽早沒入地平線，他一身汗濕透衣服好幾遍，正懊惱萬分的時候，卻

發現山丘上的人群在為他打氣、吶喊的聲音。他才突然警覺到：山丘上還看

得到最後一絲夕陽，於是他鼓起最後一絲力氣向山上狂奔。當他撲向地面下

來，雙手正好緊緊抓住帽子，夕陽的最後一道光芒正好沒入地平線。村長向

他道賀：「恭喜啊！這片土地全是你的了。」卻發現帕夏已經斷氣了。於是

帕夏的僕人為他挖了一個墓穴：兩公尺長，一公尺寬。

故事一

面對面的親密關係《以數學史融入四邊形面積之教學》

48

多少地才夠？

班 姓名： 一、 故事

帕夏到百虛崗用低廉的價格買土地，村長說：「用一千盧布可以買下你

在一天之內所能走的土地，但是如果沒辦法在日落前回到出發點，錢和地都

要歸我。」

第二天早上帕夏從一座小山丘上出發向前直走，快中午了他才往左轉。

等到警覺到下午也快一半，才再往左轉。當陽光漸漸弱下來時，他只好改向

朝著出發點拼命趕路。當他向山上狂奔回到出發點，夕陽的最後一道光芒正

好沒入地平線，帕夏卻已經斷氣了，於是大家為他挖了一個墓穴：兩公尺長，

一公尺寬。

1. 帕夏走出來的土地是什麼形狀？ 2. 最後帕夏得到的土地是什麼形狀？ 3. 他最後得到的土地面積是多少？ 4. 如果你是帕夏，你要怎麼走？

二、 想一想

1. 假設帕夏在第一次左轉前走了 20 公里，第二次左轉前走了 8 公里，之後在左轉前又走了 14 公里，最後走回到出發點，你能算出帕夏走出來的土地面積嗎？

(1) 請在方格紙上畫出題目的意思。(方格每一邊長當作 1 公里)

學習單一

數學學習領域典範教學示例彚編，2007 年，25-56

49

(2) 這個圖形的面積是多少平方公里？算法可以使用文字、圖畫、算式等。

2. 右邊梯形的面積是多少？（邊的長度請自己量）算法

可以使用文字、圖畫、算式等。

你能不能把你的算法改成一個算

式？

3. 請用梯形面積公式，再算一次帕夏走出來的土地面積是多少？

學習單一背面

面對面的親密關係《以數學史融入四邊形面積之教學》

50

附件一（每組三張）

數學學習領域典範教學示例彚編，2007 年，25-56

51

中國古代梯形面積的算法

大約西元前 50~100 年，中國出現了一本數學著作「九章算術」，它不僅對後來中國數學的發展有很大的影響，對世界數學的發展也有重要的貢獻，

朝鮮和日本都曾經用它作為教科書。

「九章算術」的內容大多和實際生活有密切聯繫，當時各國要按畝收

稅，必須有測量土地、計算面積的方法；要儲備糧食，必須有計算倉庫容積

的方法；要修建灌溉渠道、治河堤防和其他土木工事，必須能計算工程人力；

要修訂一個適合農業生產的曆法，必須能運用有關的天文數據。那時的百姓

掌握了相當豐富的、由日常生活中產生的數學知識和計算技能。「九章算術」

一共收集了二百四十六個應用問題的解法，反映了我們老祖先的智慧。這部

傑出著作的作者是誰呢？現在還得不出確切的答案。

西元前 594 年的時候，就已經有產十抽一的規定，把土地及收成與稅賦聯繫了起來，所以中國古代數學中的平面圖形都是根據田地的形狀來命名

的，那時候把正方形叫做「方田」，把長方形叫做「直田」，三角形稱為「圭

田」，直角梯形稱為「邪(斜)田」，第腰梯形稱為「箕田」。

在梯形面積方面，「九章算術」中的計算方法是「並

兩邪(斜)而半之，以乘正從」。上邪是指梯形的上底，下邪就是梯形的下底，正從是底邊上的高。「並兩邪而

半之」就是上底和下底加起來的一半，「以乘正從」就

是再乘以高。用現在的算式來說，就是： 梯形的面積=(上底+下底)÷2×高

「九章算術」的算法是利用「出入相補」原理作

出的，就是把梯形改變成長方形，用長方形面積的算

法求出來的。

閱讀一

正從

下邪

上邪

面對面的親密關係《以數學史融入四邊形面積之教學》

52

挑戰：等級一

班 姓名： 量一量，算出下列各圖形的面積 1.

2.

3.

挑戰一

數學學習領域典範教學示例彚編，2007 年，25-56

53

4.

風箏的故事

風箏是中國人發明的，它被世界航空史界公認為是最早的飛行器。風

箏的發生與出現，追溯歷史，則有傳遞訊號，交換情報，集團團結等記載，

在西方則有科學的泉源之說。最早的風箏都是模仿鳥類的型態，所以叫做

「紙鳶」或「紙鷂」；後來有人在紙鳶上加上竹笛，風一吹就會發出像箏的

聲音，才又叫做風箏。

關於風箏的起源，有很多種不同的說法。中國最早的風箏相傳是由二

千多年前的哲學家墨翟製造的。他研究試製了三年，終於用木頭製成了一

隻木鳥，但只飛了一天就壞了。墨子製造的這隻「木鷂」就是中國最早的

風箏，也是世界上最早的風箏，到了東漢蔡倫發明了造紙以後才有紙風箏

的出現。

在正史中也有關於風箏的記載，在南北朝的時候，南朝的梁武帝被候

景亂軍包圍，正在一籌莫展的時候，羊侃獻計：何不製作紙鳶向外求援？

於是太子簡文在太極殿外，施放紙鳶向外求援，不幸被叛軍發覺射落，不

久臺城淪陷，梁朝從此也衰微滅亡。

傳說韓信利用風箏測量敵人之城壁，挖掘地下道，攻陷敵陣。他也曾

利用牛皮製成風箏，上面載著很會吹笛子的士兵，在夜晚飛到楚軍軍營上

方，吹奏思鄉的曲子，使得楚軍軍心潰散、士氣瓦解。在古代的戰場上，

風箏不但可以傳遞軍情、測量遠近，還可以用作心理戰呢！

風箏不是只有中國人使用，據說美國開國元老之一的富蘭克林，在風

閱讀二

面對面的親密關係《以數學史融入四邊形面積之教學》

54

雨雷電中放風箏，因為鑰匙和風箏線接觸，迸發出火花，因此發現電的原

理。太平洋上的東南亞群島，還有用風箏捕魚的方法。

放風箏很好玩，製作風箏也很有趣，風箏的造型五花八門、千變萬化，

有簡單的也有繁複的，剛開始製作風箏的人多半從簡易的菱形、鳶形風箏

開始做起，等到心得經驗豐富了，還可以自行創作。看到自己精心設計的

傑作，漂亮輕快地在天空中飛翔，那份喜悅是什麼都比不上的。

數學學習領域典範教學示例彚編，2007 年，25-56

55

風箏怎麼做？

班 姓名：

一、 鑽石型簡易風箏：

1. 依照鑽石型簡易風箏製作的方法，做出來的風箏紙面積是多少？算法可以使用文字、圖畫、算式等。你能把算法改成一個算式嗎？

2. 那些四邊形可以利用鳶形的面積算法來算出面積？

19cm

55cm

65cm

學習單二

面對面的親密關係《以數學史融入四邊形面積之教學》

56

鑽石型簡易風箏製作 蘇天富 90.09.20 材料：0.2cm*0.3cm*55cm 竹子 1 枝、0.3cm*0.3cm*65cm 竹子 1 枝、半開彈光紙一

張、透明膠帶

1.將彈光紙量取 55cm*65cm 的大小切下來，並且將小塊的彈光紙平分剪成三條，

做為風箏的尾部。

2.將大塊的紙張左右對折，壓出一條折痕，並且在折痕上量取 19cm 往下折，抽出折痕之後攤平。沿

著折痕的末端

將紙張割開，

就可以取得一

張鑽石型的風

箏紙。

3.先在風箏紙的正面彩繪你喜歡的圖案。(比較光滑的那一面)

4.把風箏紙左右對折壓平，在風箏紙上押出一條折痕來。

5.打開風箏紙，對準折線，將比較長的一枝竹子貼在風箏紙的背面。(注意：竹子的皮要靠在風箏紙上)

6.將比較短的一枝竹子橫貼在風箏紙背面左右的兩個尖角上。(注意：竹子的皮要靠在風箏紙上)

側面放大圖

灰色的部分為竹子

皮，要靠在風箏紙上。

風箏紙

竹子要貼在這裡。

附件二

短的竹子要

貼在這裡。

膠帶

55cm

65cm

平分成三條

19cm

數學學習領域典範教學示例彚編，2007 年，25-56

57

7.將尾巴貼在風箏的末端。 8.用牙籤穿洞，將風箏線從風箏的正面穿過，斜繞過竹子再繞回正�