磁石と磁極

v7.6 Nov.2019

1st. 2011/04/01Lst. 2019/11/20

1

永久磁石と電磁石永久磁石◎ 電源不要

電磁石× 電源必要

谷腰，``トコトンやさしいフェライトの本,’’ p.19, 日刊工業新聞社

× キュリー温度Tcで自発磁化消失（高温減磁）

× 反磁界による減磁作用

V ViZ L

× 周波数による電流量の変動

N S

N S

インピーダンスの周波数変動により，モータ回転数や発熱量が変化

50, 60 Hz

極性の切替が自在に可能

極性は固定されて切替不可

[K]T

[T]B

CT

◎ 電流量で磁力を調整可能

2

磁気ダイポールの向き

N S

H

コイルの磁化曲線

空気：傾き μ0

[A/ m]H

[T]B

反磁性：傾きμ0μr<μ0

常磁性： 傾きμ0μr >μ0

強磁性※

※ 強磁性はHが大きくなると飽和して非線形になる（単純に比例しない）

1 (1)CH dl N I

1 (2)N IHl

アンペアの法則より

磁路内部の磁界は

(3)H I 磁界 H は電流 I に比例する

C

S

1N

AI

H

3

磁束計

2 (3)d Nde

dt dt

2 2 (4)edt N N BS

2

1 (5)B edtN S

1 (1)CH dl N I

1 (2)N IHl

C

S

1N

A2N

Be

Iアンペアの法則より

磁路内部の磁界は

ファラデーの法則より、2次コイルに誘起される電圧は

(3)の両辺を積分すると

(4)を変形して B について求めると

式(1)よりコア内の磁界は1次コイルに流れる電流に比例し，式(5)より磁性体内部の磁束密度は，2次コイルに発生する誘導起電力の時間積分で求められることが分かる。⇒ Iとeが分かればBH特性を測定できる。

Flux meter磁束計

図のような磁気回路を考える。

4

Rowland ring

H I

tB edt

Kraus, Fleisch, ``Electromagnetics wigh applications, 5th ed.,’’ pp.418-419, McGraw-Hill

初磁化曲線と透磁率

[A/ m]H

[T]BBm

TDK EMC Technology 基礎編，ノイズ対策用フェライトの基礎

大透磁率

5

酒井，``電気電子工学概論,’’ p.87, 丸善出版

5

0

7.69 10rB BH H

i初透磁率

[A/ m]H

r

μr

max

initial

1H 2H

1B

2B

1H 2H

μiのみBの傾きdB/dHに等しいが，それ以外のμは単なる比率B/Hになっていることに注意。

https://www.neomag.jp/

1

0真空透磁率

0m

0i μr=1に漸近

強磁性体の透磁率6

[T]B

[A/ m]H

B=μ0(H+M)

透磁率は初磁化曲線でのみ定義される。

ヒステリシスループ上では定義できない。

B=μ0H (M=0)

初磁化曲線

0 [T]M

μ0MmM H

(2) 2 (3) 3m m mM H H H

線形近似

非線形（強磁性体）

0 0(2) 2 (3) 3

0 0(2) (3) 2

0

0

( )(1 )

m m m

m m m

r

B H MH H H HH H HH

(2) (3) 21r m m mH H ただし，

強磁性体のヒステリシスループ

https://www.magna-tokyo.com/service/yogoshu.html

7

rB

cbH

[T]B

[A/ m]H

磁化の強さのヒステリシス

磁束密度のヒステリシス

0 [T]M

B=μ0H (M=0)

B=μ0(H+M)

μ0M

空気の磁束密度

交流磁界を加えると履歴（軌跡）が異なる＝ヒステリシスと呼ぶ

cjH初磁化曲線

強磁性体の減磁曲線8

宝野，本丸，``すごい！磁石,’’ p.101, 日本実業出版社, 2015 より引用

0 ( )B H M 0M

0H0 CH

0 rM 0 SM

0 ( )B M H

外部磁界

磁化

残留磁化

保磁力

逆磁区の発生

磁化反転

飽和磁化

max( )BH大エネ

ルギー積

H

H

H

H

H逆磁区の拡大

H

磁化

反転

0H

0H

0B H

磁化曲線のうち、第2象限にあるものを減磁曲線と呼ぶ

減磁曲線の例9

https://www.neomag.jp/mag_navi/mames/mame_bhcurves_top.html

この図において，Jはμ0Mに等しい

酒井，``電気電子工学概論,’’ p.89, 丸善出版, 1995

磁化曲線の種類と用途

交流磁場を加えるとループ面積に相当する熱エネルギーが消費される。この消費電力をヒステリシス損または鉄損という。

1880年, E. G. Warburg 鉄の磁化はその前の状態に支配されることを発見。その後J. W. Ewingが磁化に循環性があることを発見し，履歴現象を意味するヒステリシスと命名した。図解版電気学ポケットブック，p.93, オーム社

電磁石向き（軟鉄 : soft）

永久磁石向き（硬鋼 : hard）

[A/ m]H

[T]B

rB

cbH

残留磁気

保磁力線形

非線形

10

非線形

磁区と磁壁の形成イメージ

http://www2.tokuyama.ac.jp/home/~kadowaki/top/souzou/library/1kataya/mokuji.htm より引用

t=t1

t=t2

t=t3

t=t4

横山，電磁気学，p.178, 講談社, 2015

11

磁区と磁壁の詳細構造12

TDK http://www.tdk.co.jp/techmag/ninja/daa00562.htm より引用

東北大学大学院 工学研究科 電子工学専攻 角田・齊藤研究室

http://www.ecei.tohoku.ac.jp/electronic_physics/research/microscope.htm

磁気エネルギーを無駄に放出しないように（磁極が露出しないように）磁区境界では自然に還流磁区構造が形成されている。

岩本ほか，``電子技術,’’ p.208, 実教出版

消磁方法（交流消去法）13

[A/ m]H

[T]B

rB

cH

残留磁気

保磁力

再び飽和する前に極性を切り替える

減衰振動する電流を一次コイルに流す

飽和

C

1N

A2N B

eI

Rowland ringH I S

t

I

キュリー温度以上の高温で消磁する方法もある

1 2 3 4

1

2

3

4

磁化曲線の問題（１）

田中，``解説 電気磁気の考え方・解き方,’’ p.72, 東京電機大学出版局 より引用

【演習】 けい素剛板の鉄心にコイルが200回巻いてある。この磁路に9×10-4 Wbの磁束を作るのに必要な電流を求めよ。ただし，鉄の初磁化BH曲線は図の通りである。

210 [A/ m]H

[T]B

1.0

3 6

1.518

12

13 7

3

答え 0.75 A

[cm]

N

I

14

49 10 Wb 2 23 (13 7) / 2 cm 9 cmS

4

2 2

9 10 1T9 (10 )

BS

300 A/mH

CH dl NI

Hl NI

300 0.5 0.75 A200

HlIN

(15 10) 2 50 cm 0.5 ml

BHカーブよりB=1TのHは

田中，``解説 電気磁気の考え方・解き方,’’ p.72, 東京電機大学出版局 より引用

磁化曲線の問題（２）

[kA/m]H

[T]B

1.0

1

【演習】 長さ l=0.3 m，断面積 S=10-2 m2の鉄心に，コイルが100回巻かれている。電流を I=6 A にした場合の磁束と磁気抵抗および，比透磁率を求めよ。ただし，この鉄の初磁化B-H曲線は図に示す通りである。

1.2

2

A., 1.2×10-2 Wb, 5×104 1/H

15

CH dl NI

Hl NI

100 6 2000 A/m0.3

NIHl

BHカーブよりH=2000 A/mのときの磁束密度Bは

1.2 TB 21.2 10 WbBS

42

100 6 5 10 1/H1.2 10

NIR

31.2 0.6 10 H/m2000

BH

4

70

6 10 477.464 10r

透磁率は

反磁界と自己減磁力

NIHl

0 0lB H NI

0H

0lB H

CH dl NI

0

CH dl

CH dl NI

S

C0

CH dl

0

B Hl NI

0

0B Hl

0 ( )B H M 0

0 0l H H M

H M

l

δが大きいほど反磁界は大きい

(A) ギャップなし環状電流ソレノイド (B) ギャップなし環状ソレノイド

(C) ギャップ付き環状電流ソレノイド (D) ギャップ付き環状ソレノイド

エアギャップ

CSN

I

CS

IN

S

C

エアギャップ

l l

ギャップ内の磁束密度

l

16

伝導電流はゼロ

（磁化電流だけが存在）

環状磁石の減磁係数【演習】 ♠ 磁化 M [A/m] で磁化された環状鉄心がある。この鉄心の磁路の長 さはl [m] で幅 δ [m] のエアギャップが空いている。減磁率を N とするとき，鉄心内部の磁界は Hd = −NM で与えられる。N の値を 求めよ。また，エアギャップ内の磁界 Hg

[A/m] を求めよ。

湯本， 電気磁気学の基礎, p.126, 数理工学社

0m gH l H

0 mlB H

0

0mBH l

0 ( )mB H M

mH M NMl

g ml lH H M

l

S

Cエアギャップ

l

0CH dl

アンペアの法則より

磁性体内部の磁界を Hm , ギャップ部を Hg とすると

ギャップ部の磁束密度を B とすれば

従って，磁束密度は

一方，構成方程式より

（4）と(5)よりHmを求めると

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Nl

(6)を(2)に代入して

(6)

(7)

従って，減磁係数Nは

17

(6)より，δが大きくlが小さいとき，即ちl/δ<<1の薄い板磁石のとき，Nは1に近づく。逆に，δが小さくlが大きいとき，即ちl/δ>>1の非

常に長い棒磁石のとき，Nは0に近づく。

永久磁石の動作点【演習】 左図の特性を有する永久磁石材料を用いて、右図の形状に加工した。エアギャップの磁束密度 B を求めよ。ただし、 l =10 cm，δ=5 mm である。

rBcH

[T]B

[A/ m]H

0.31 T

l

18

[T]B

310 [A/ m]H

直線近似0.8

20

19

3 cos2rmHa

0

0

cossin

rH HH H

cossin

rH HH H

(1a)

(1b)

(3a)

(3b)

(2a)

(2b)

0 3sin sin sin4mH Ha

磁界接線の境界条件 (1b)+(2b)=(3b) より

(b)

磁束密度法線の境界条件 (1a)+(2a)=(3a) より

00 0 3cos cos cos

2mH Ha

(a)

(a)(b)の連立方程式（未知数はHとmのみ）を解けばHとmが求まる。

rHH

pH

m

HH

0H

0 cosH

0 sinH

0 0

a aa

外部印加磁界 磁化による磁界 球内部の一様磁界+ =

【演習】 半径a，透磁率μの磁性体球が一様な磁界H0の中に置かれている．磁性体球が磁化することにより，球内部には一様な磁界Hが生じるものとする．また，球外の磁界は，外部磁界H0と球の中心にある磁気モーメントmの磁気ダイポールによる磁界の和として扱うことができるとする．Hとmを求めよ．

山村，``電磁気学演習[新訂版],’’ p.98, サイエンス社

磁性体球の磁化

3 sin4mHa

03 ,2r

H H

30

142

r

r

m a H

20

山村，``電磁気学演習[新訂版],’’ p.88, サイエンス社 より

磁性体球の減磁係数

03 ,2r

H H

30

142

r

r

m a H

【演習】一様な磁界 H0 の中に半径 a で透磁率μの磁性体球を置いたとき，磁性体内部の磁界 H と磁束密度 B の大きさを求め，減磁率 N が1/3になることを示せ。

03 ,2r

H H

03( 1)( 1) ,

2r

m rr

M H H H

0 ,dH H H

0 0

0 0

3 12

3 ( 2) 12 21 2 12 3( 1) 3

dr

r r

r r

r r

r r

H H H H

H H

M M

dH NM

13

N

00

3 ,2r

r

B H H

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

磁性体球内部の磁界が(1)で与えられることを使うと，磁化は

磁性体内部の磁界が外部磁場と反磁界の合成

で与えられることを使うと，反磁界は

反磁界の定義より

(5)と(6)より，減磁係数は

外部磁界H0が加えられたときの磁性体球の内部磁界Hと磁気ダイポールモーメントm

(3)の結果より

減磁率（減磁係数）のまとめ

球磁石： N=1/3棒磁石で細長い： N=0薄い円筒太磁石： N=1

dH NM

21

13dH M

dH Ml

永久磁石内部の磁界（１）

湯本，``電気磁気学の基礎,’’ p.126, 数理工学社, 2012

B

H

MN

SNS

NS

反磁界 H 磁化 M磁束密度 B

磁極が露出している永久磁石内部では、磁束密度 B を打ち消す方向に磁界 H が発生している。これを反磁界と呼ぶ。

22

N S S NS N S

永久磁石内部の磁界（２）

磁石寸法： X=10 mm, Y=5mm, Z=20 mm, 永久磁石の強さ： 0.5 T磁化の方向： z方向に一様ソフトウェア： Femtet

磁束密度分布 B [T]

ムラタソフトウェア Femtet

23

磁界分布 H [A/m]

N

S

N

S

磁束密度は円環場を形成して閉じている（始まりも終わりもない）

永久磁石内部の磁界（３）磁界分布 H [A/m]

ムラタソフトウェア Femtet

24

N

S

磁石内部のHは磁束密度Bと方向が逆向きになっている。

永久磁石内部の磁界（４）

磁石寸法： X=50 mm, Y=10 mm, Z=65 mm, 永久磁石の強さ： 0.5 T磁化の方向： U字ソフトウェア： Femtet

25

磁界分布 H [A/m]磁束密度分布 B [T]

ムラタソフトウェア Femtet

永久磁石内部の磁界（５）磁界分布 H [A/m]

ムラタソフトウェア Femtet

26

N S

磁石内部のHは磁束密度Bと方向が逆向きになっているが、磁石内部では磁極間の距離が互いに十分離れているので、減磁は小さい。

永久磁石内部の磁束密度と磁界

ムラタソフトウェア Femtet

B H

B H

モデル

モデル

27

保磁片の追加 磁極消失反磁界による自己減磁を抑えるための磁石の休ませ方

市販磁石の磁化方向（着磁方向）

https://www.magna-tokyo.com/service/yogoshu_chakujiPattern.html

円柱型

角型

リング型

http://www.jishaku.co.jp/mag_aboutmag.html

28

(５)２つの磁石の異極並列の磁束分布

(６)２つの磁石同極並列の磁束分布

(７)鉄ヨーク付き２つの磁石の異極対向の磁束分布

(８)鉄ヨークを付きキャップマグネットの磁束分布

磁石の代表的な磁束分布

http://www.neomag.jp/mag_navi/mames/mame_distribution.php

(１)磁石単体の磁束分布

(３)２つの磁石の異極対向の磁束分布

(２)磁性体（鉄）近傍の磁石単体の磁束分布

(４)２つの磁石の同極対向の磁束分布

(９)リング型磁石の磁束分布

29

永久磁石の強度比較

http://www.neomag.jp/mag_navi/mames/mame_comparison.php

30

ネオマグWebセミナー

https://www.neomag.jp/seminar/seminar_top.html

31

磁極（１）

0

1 (1)H B M

m (6)MS Q

H

閉曲面S1

閉曲面S21 1 10 0

1 1 (2)S S SH d s B d s M ds

12 11 130

1 cos90 cos0 0S S SBds Bds ds

S11

S13

12 11 13cos90 0 0

S S SMds ds ds

0 0

1 1 (2)BS BS MS

1(3)

SH d s MS

S12

2(4)

SH d s MS

磁界の定義または B=μ0H+μ0Mより

磁界Hを閉面S1で面積分すると

従って、磁界Hの面積分はN極近傍では+MSに等しい。

同様に磁界Hの面積分はS極近傍では-MSに等しい。

ガウスの法則(5)

(5)SD d s Q

と(3)(4)を比較して、その類似性から

(6)を磁極の強さと定義する

S11+S12+S13

S21+S22+S23

上面

下面

側面 N

S

M

32

磁極版ガウスの法則

積分面を構成する微小面素 [m2]

積分面上の磁界 [A/m]

積分面が閉じていることを示す記号 磁極の

強さ [Am]

積分が積分面Sに沿った面積分であること示す記号

mSH ds Q

内積記号 MS磁極の断面積 [m2]

磁化[A/m]

33

【混同しやすい磁極と磁荷の違いについて】インダクタンスの定義は[H]=[Wb/A]であるから，磁極の強さ[Am]に透磁率μ0 [H/m]を掛けると[Am][H/m]=[Wb]となり，馴染みある電荷に対応した磁気版の言葉「磁荷」の単位になる。即ち，磁極版ガウスの法則の両辺をμ0倍すれば，磁荷に関するガウスの法則になる。

SD d s Q

（復習）誘電体版ガウスの法則

閉面内部に含まれる真電荷（分極電荷除く） [C]

閉面S上の電束密度[C/m2]

積分面Sが閉じていることを示す記号

内積記号表面積

大きさdsで，外向き垂直な方向の微小面積ベクトル[m2]

34

電荷と磁極

0

14QV

r

対応

14m

mQVr

SD d s Q mS

H ds Q

24QDr

24mQHr

204QEr

024mQBr

D H

対応

0 01

E B

対応

01 1

mV V

E V mH V 対応

mV V

E H

35

ガウスの法則 磁気ガウスの法則

001

電束密度[C/m2]

磁界

[A/m] or [N/Wb]

電界[V/m] or [N/C]

磁束密度

[Wb/m2]or [T]

電位[V] or [J/C]

磁位[A] or [J/Wb]

電界[V/m]or [N/C]

磁界

[A/m] or [N/Wb]

電気ダイポールと磁気ダイポール

30

30

cos2

sin40

rQlE

rQlE

rE

3

3

cos2

sin40

mr

m

Q lHr

Q lHr

H

3

3

cos2

sin40

rQlD

rQlD

rD

20

cos4Q lV

r

03

03

cos2

sin4

0

mr

m

Q lBr

Q lBr

B

3

3

cos2

sin40

mr

mr

対応

2 cos4m

mQ lVr

対応

対応

36

mV V

01 1

0 01

E B

D H

001

電束密度[C/m2]

電界[V/m]or [N/C]

電位[V] or [J/C]

磁界

[A/m] or [N/Wb]

磁束密度

[Wb/m2]or [T]

磁位[A] or [J/Wb]

磁気ダイポール（１）【演習】 磁石のまわりの磁界の様子は電気ダイポールの電界の様子と等価であるから、電気ダイポールによる電位 V に対応して、磁気ダイポールによる磁位 Vm を考えることができる。磁極の強さ±Qm の磁石が作る磁位 Vm を求めよ。さらに、磁石のまわりの磁界 H を求めよ。

+

－

Pz

l

mQ

mQ

1r

2r

r

37

3

3

cos2

sin40

mr

m

Q lHr

Q lHr

H

3

3

cos2

sin40

mr

mr

2 cos4m

mQ lVr

磁気ダイポール（２）【演習】 微小ループ電流 I による磁界 H は、ループ面に垂直な方向に極をもつ微小磁石（微小磁気ダイポール）と等価である。微小ループの面積を S [m2]、ループ電流を I [A] としたとき、磁気ダイポールモーメントは m=IS で与えられる。微小ループ電流による磁界 H を求めよ。さらに，この磁界 H は距離 l 離れた磁極 ±Qm = ±MS が作る磁界と等価であることを示せ。

Pz

I

rS

3

3

cos2

sin40

rmH

rmH

rH

3 3 3

3 3 3

cos cos cos2 2 2

sin sin sin4 4 40

mr

m

Q l MSl ISHr r r

Q l MSl ISHr r r

H

38

CI M dl Ml

+

－

Pz

l

mQ

mQ

1r

2r

r

mQ MS

磁極の問題【演習】 比透磁率μr の鉄心部分と空隙がある。起磁力 F を加えたとき，次の各量を求めよ。 (教科書, 演習 7.7)(1) 磁束(2) 鉄心中の磁化の強さ(3) 鉄心の両端に現れる磁極の強さ

S

r

l

0 r

r

Fl

( 1)r

r

Fl

( 1)r

r

FSl

39

地磁気の三要素40

前田，生物は磁気を感じるか 磁気生物学への招待，pp.16-17, 講談社

East

North

H VH H H

HH

VH

：Declination 偏角・・・日本では 5°- 9°（時代によって``－”にも変動）

：Dip 伏角・・・日本では約50°（〃）

偏角φ，水平成分HH（または全磁力H），伏角（または鉛直成分HV）の三つが測定されている。この三つを地磁気の三要素と呼ぶ。

N

S

South

West

ふっかく