capitulo4_molas_v1_2001

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Elementos de Máquinas 1 - Capítulo 4 - Molas - Notas de Aula 1

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CENTRO TECNOLÓGICO

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

EMC 5330 - ELEMENTOS DE MÁQUINAS I

NOTAS DE AULA

CAPÍTULO 4 - MOLAS

Prof. André Ogliari

Florianópolis, SC

Abril de 2001




Notas

O presente texto foi elaborado para uso exclusivo no ensino da disciplina de Elementos de

Máquinas 1 para os cursos de graduação em engenharia da Universidade Federal de Santa Catarina. Trata- se de notas de aula baseadas em referências clássicas de elementos de máquinas, como os livros de Shigley e Juvinall. Também foram incluídos alguns textos adicionais conforme as referências citadas.

Como esse material encontra-se em sua primeira versão alguns pontos ainda deverão ser melhorados ao longo do tempo, seja em sua formatação, bem como abrangência nas explicações definidas.

O presente material também inclui a contribuição de outros professores do Departamento de Engenharia Mecânica de UFSC, que já ministraram essa disciplina, seja na forma de notas de aula, bem como de exercícios resolvidos.

Espera-se que esse material possa ajudar aos alunos dos cursos de elementos de máquinas 1 no aprendizado do conteúdo e não se pretende substituir os livros clássicos nessa área. Esse material deve ser

considerado como complemento para a disciplina.

Prof. André OgliariAbril de 2001




4 - Introdução

Conforme SHIGLEY, 1984, as molas são elementos mecânicos usados para diversos propósitos:exercer força, proporcionar flexibilidade, armazenar energia, manter peças em contato, provocardeslocamentos, entre outros.

WAHL, 1963, define uma mola como um corpo elástico cuja função principal é defletir ou distorcersob carga e recuperar a forma original quando o carregamento deixa de atuar. Embora muitos corpos sejam

de materiais elásticos e irão distorcer sob carregamento, nem todos são considerados como molas. Umaviga estrutural de aço, por exemplo, sofre deflexão sob dado carregamento, mas no entanto não éconsiderada como uma mola, pois sua função é permanecer rígida.

Conforme JUVINALL, 1983, as molas são usualmente, mas não necessariamente, feitas de metal.Os plásticos podem ser usados quando as cargas são leves. Blocos de borracha freqüentemente temfunções de molas, como em amortecedores e montagens para isolar vibrações em vários tipos de máquinas(motores, por exemplo). As molas pneumáticas, por sua vez, tomam a vantagem da compressibilidade dosgases. Em aplicações de elevadas cargas e espaço reduzido (baixas deflexões), as molas hidráulicas tem-se mostrado eficientes; elas operam com base na pouca compressibilidade dos líquidos.

4.1 - Princípios e funções de molas

As molas podem ser consideradas como um tipo particular de armazenadores de energia mecânica.

Além delas, insere-se nessa categoria, elementos de massa (pêndulos) e roda livre (volantes), por exemplo.As molas, de modo geral, podem ser classificadas conforme mostrado na Figura 1 (HÖHNE, 1991).

Nota-se três grupos principais: molas de corpos sólidos, de fluído e de gás. Ainda, com relação ao tipo decarregamento tem-se: molas de tração/compressão, de flexão e de torção.

Particularmente, nesse estudo, está-se interessado nas molas de corpos sólidos detração/compressão e de torção, do tipo helicoidais.

Molas

Molas de corpos sólidos

Molas metálicas Molasnão metálicas

Molas

de Fluído de Gás S o l i c i t a ç ã o

T r a ç ã o

C o m p r e s s ã o

F l e x ã o

T o r ç ã o

Molas de FlexãoPlana

Molas de FlexãoHelicoidal

Molas de Flexãoem formas de

Disco

Mola Plana deflexão de plástico

de compressão

Molas planas detração

Mola anular Mola deborracha

só de compressão

Mola laminar Espiral Torção Mola prato

Molas especiais

Mola demembrana

Tira bi-metálica

Disco bi-metálico

Barra de Torção

Mola helicoidal decompressão

Mola helicoidal detração

Mola de torçãoem forma de disco

Molas em forma decone, de barril e

parabólica

Figura 4.1 - Classificação geral de molas (HÖHNE, 1991)

4.2 - Características mecânicas das molas - exemplos

As molas são elementos que geralmente operam dentro do limite elástico do material. Seucomportamento, em função da carga e deflexão, pode ser de três tipos principais, conforme ilustra a Figura4.2. Esse comportamento depende da forma geométrica e da fixação da mola com o sistema decarregamento. A figura 4.3 mostra exemplos de molas com características ou comportamentos

progressivos. Neste caso, as molas helicoidais possuem um aumento linear extra da força com odeslocamento devido às variações no passo, na forma, nas dimensões/rigidez e na forma de operação(restrições).




1

2

3

s

F

1 - Lineares

2 - Progressivas

3 - Atenuantes

Figura 4.2 - Curvas características de molas (HÖHNE, 1991)

F

s b

F

F

s a

F

s d

F

s c

a) o passo de hélice não é constanteb) mola cônica

c) combinação de duas molas com coeficientes diferentesd) duas molas com limitador de curso

Figura 4.3 - Exemplos de molas progressivas (HÖHNE, 1991)

A figura 4.4 a seguir mostra exemplos de molas com características não lineares.

F

F

s

F

F

s

F

s

F

s

F

a ) m o l a l a m i n a r , m o m e n t o d e f l e x ã o a u m e n t a c o m a d e f o r m a ç ã ob ) c o m a c a r g a a p l i c a d a a o b r a ç o s o c o m p r i m e n t o d a m o l a v a r i ac ) m o l a l a m i n a r c u r v a d a , c o m c o m p r i m e n t o c r e s c e n t e s o b c a r g a

a b c

Figura 4.4 - Exemplos de molas não lineares.




4.3 - Principais requisitos no projeto de molas

Além de cumprir a função a que se destinam, as molas devem ser projetadas sob um conjunto derequisitos, conforme destacados a seguir:

• satisfazer a função de maneira econômica; • satisfazer requisitos de espaço e apresentar vida satisfatória em serviço;

• evitar fadiga e relaxação excessiva; • apresentarem alta confiabilidade (válvulas em aeronaves, p.e.); • sempre que possível, baixo peso, volume e comprimento.

4.4 - Elementos elásticos - principais características

Quando se deseja máxima eficiência dos elementos elásticos, ou seja, por exemplo, máximotrabalho para mínima massa, deve-se, para uma dada força, proporcionar maior deflexão do elemento,conforme pode ser observado na figura 4.5, a seguir.

F SW .

2

111 =

S1 S2

F

S

F SW .21

22 =

12 W W >

W1 W2

barra mola

12 SS >

→

Figura 4.5 - Trabalho realizado em diferentes configurações de elementos elásticos.

Nota-se, na Figura 4.5, que devido ao pequeno deslocamento proporcionado por uma barra dematerial dútil, por exemplo, quando uma dada força é aplicada, ter-se-á um pequeno trabalho realizado peloelemento elástico. Para compensar isso, essa barra deveria ser muito longa o que inviabilizaria, muitoprovávelmente, a configuração física do sistema. No caso das molas, como as deflexões são grandes aquantidade de trabalho produzido ou energia armazenada será maior.

4.5 - Carregamento em molas helicoidais de compressão

Considere uma espira de uma dada mola helicoidal sujeira a uma carga de compressão F, conformeindicado na Figura 4.6.

F

FFy

Fx

MMy

Mx

α

Figura 4.6 - Forças atuantes na mola




Quando a mola é carregada axialmente por uma força F, numa dada seção normal ao eixo do fio,existe um momento M = P.(D/2), o qual atua num plano perpendicular ao eixo da mola. As componentestangencial e normal da força e do momento são:

αsenF F x =

αcosF F y =

e

αcos M M x = αsen M M y =

Uma vez que, para grande parte das molas usuais, os ângulos de hélice α são pequenos (entre 6 e9 graus), assume-se, para o cálculo das tensões, que α = 0. Dessa forma, despreza-se as cargas My e Fx .Para as cargas Mx e Fy adota-se a seguinte nomenclatura e representação (Figura 4.7):

F

T

Figura 4.7 - Representação de cargas atuantes na mola

De acordo com a Figura 4.7, a carga F tende a cisalhar o fio e a carga T tende a torcê-lo, gerandotensões de cisalhamento devido a força cortante e devido a torção.

4.6 - Tensões em molas helicoidais

A figura 4.8 mostra uma mola helicoidal de compressão, de fio de seção circular, carregada por umaforça axial F. Designa-se D o diâmetro médio da mola e d o diâmetro do fio.Agora considere que a mola seja cortada em algum ponto e que o efeito da parte removida seja

substituído pelas forças internas. Assim, como mostra a figura, a parte removida deverá exercer uma forçacortante F e uma torção T, para manter o equilíbrio.

d

F

F

D

F

FT

Figura 4.8 - Mola de compressão.




De acordo com a figura 4.8, as tensões geradas por F e T são:

A

F =τ

3.

.16.d

T

J

r T

πτ ==

(seção circular cheia) (4.1)

A combinação dessas tensões mostra que na parte interna da mola as tensões se adicionam,conforme mostrado na Figura 4.9.

devido ao momentotorçor T

devido a forçacortante F

eixo damola

ττ

Figura 4.9 - Superposição das tensões de cisalhamento

4.6.1 - Tensões devido ao momento torçor

Para estabelecer as tensões devido à torção, considerando as características da mola, considera-sealgumas premissas básicas:

• o material é homogêneo; • uma seção plana do material, perpendicular ao eixo de um membro circular, permanece plana após a

aplicação da torção, isto é, não ocorre empenamento ou distorção da seção;

• as deformações angulares variam linearmente a partir do eixo central

Segue-se, das premissas anteriores, que a tensão de cisalhamento devido àtorção é proporcional àdeformação e se mantêm lineares ao longo do eixo do elemento, conforme mostradas na figura 4.10.

F

F

TdA

τmax.

ρ

τ(ρ)

c

T

T

Figura 4.10 - Tensões devido àtorção




De acordo com a figura 4.10, considerando-se um elemento de área dA, a força (dF = τ.dA) que agenesse elemento é dada por:

A A d c

d ... max)( τρ

τ ρ =(4.2)

Assim, a parcela de torque (dT) transmitida por esta parcela de força será:

A AT d c

d c

d ..... max

2

max τρ

ρτρ ==

(4.3)

Assim, o torque total será:

Ad c

T ∫ = 2max ρτ

(4.4)

A quantidade Ad ∫ 2ρ

é o momento polar de inércia da seção transversal e dado conformea seguir:

Ad J ∫ = 2ρ(4.5)

Portanto, a tensão cisalhante máxima devido àtorção é dada por:

J

r T máx

.. =τ

(4.6)

onde c = r (raio da seção circular) do elemento.

Sabendo que,

2

. DF T =

e 32

. 4d J

π=

(4.7)

Então, a tensão máxima de cisalhamento, correspondente à torção, sem considerar os efeitos dacurvatura da mola, é:

3. .

..8

d

DF máx

πτ =

(4.8)

τmax.

onde:F = carga aplicada sobre a mola;D = diâmetro médio da mola;d = diâmetro do fio da mola.




4.6.2 - Tensões devido à força cortante

Para estabelecer as tensões devido àforça cortante, considere a figura 4.11 abaixo:

F

FT

FF

τ

d

Figura 4.11 - Tensões devido a força cortanteAssim,

A

F =τ

(4.9)

Sabendo que, A = ππ.d4, a tensão cisalhante máxima devido ao esforço cortante será:

4.

.4

d

F

πτ =

(4.10)

τ

d

onde:F = carga aplicada sobre a mola;d = diâmetro do fio da mola.

Das equações anteriores, considerando-se os efeitos combinados de torção e cisalhamento obtém-se a seguinte expressão para as tensões na mola, sem considerar os efeitos da curvatura da mola.

23. .

.4

.

..8

d

F

d

DF máx

ππτ +=

(4.11)

τmax.

=

τmax.




Definindo-se C = D/d, como o índice de curvatura da mola, como sendo uma medida da curvaturada espira, obtém-se a seguinte expressão para as tensões cisalhantes na mola:

+=

C d

DF máx

5,01

...8

3.π

τ(4.12)

Essa expressão estabelece a tensão cisalhante máxima na parte interna da mola sem considerar oefeito da curvatura da mola e o acréscimo na tensão de cisalhamento devido ao efeito da força cortante.O fator entre parênteses é definido como fator multiplicativo da tensão cisalhante. Assim, omitindo-se o sub-indice máx., a tensão cisalhante máxima pode ser escrita por:

3.

..8d

DF K s

πτ =

(4.13)

O efeito da força cortante se deve ao fato de que as tensões cisalhantes devido a força cortanteapresentam diferentes valores na seção do elemento. Seu valor máximo ocorre no eixo neutro da seção,

conforme mostrado na figura 4.12, e vale 1,23.(F/A) (Timoshenko, 3 ed. p 351).

τmáx = 1,23.(F/A)

d

Figura 4.12 - Efeito da força cortante

Substituindo esse valor na equação da tensão cisalhante obtém-se:

4 / ).(.23,1

...8

23.d

F

d

DF

ππτ +=

(4.14)

Resultando em:

+= C d DF 615,01. ..8 3π

τ(4.15)

Em geral, para carregamento estático, após ocorrer um certo escoamento nas bordas internas do fioda mola, as tensões estarão mais uniformemente distribuídas de modo que o fator 1,23 devido ao efeito daforça cortante é freqüentemente omitido.

Para aplicações sob carregamento estático em temperaturas elevadas assume-se algumas vezesque as tensões estarão suficientemente redistribuídas de modo que as tensões podem ser calculadas semcorreção, ou seja,

3.

..8

d

DF

πτ = (4.16)




4.6.3 - Efeito da curvatura

O efeito da curvatura foi primeiramente estudado por WAHL, 1963, para o qual estabeleceu umfator de correção para as tensões na mola, conforme dado pela equação 4.17.

C C

C K w

615,0

4.4

1.4+

−

−=

(4.17)

Conforme se observa inclui-se no fator de Wahl o efeito da força cortante.A teoria para deduzir o fator de Wahl é um tanto complexa (veja Capítulo 19 em WAHL, 1963), mas

o efeito da curvatura pode ser observado pelas considerações a seguir.Seja uma barra reta submetida àtorção, conforme mostrado na Figura 4.13.

Figura 4.13 - Barra reta submetida àtorção

Tomando-se um elemento infinitesimal dessa barra verifica-se as seguintes condições:

dx

d τmax

τmax=τ

γ =τ /G

dx

d γ

dx = tg.γ ≅ dx.γ = dα

xd d

d .2

. γ α ≈ou d

d d x..2 γ

α =

Para um fio ou barra de comprimento L, tem-se:

Gd

L

d d x

L

.

..2

.

.2

0

τγ

α == ∫ Logo, L

d G

.2

..ατ = (4.18)

sendo αα a deflexão angular entre as extremidades do fio.




De acordo com a equação (4.18) verifica-se que a tensão de cisalhamento é inversamenteproporcional ao comprimento e a partir dessa observação constata-se o efeito da curvatura conformemostrado na Figura 4.14, a seguir. Em outras palavras, como a distância cd é maior que ab, pela equação4.18, as tensões em b serão maiores do que as tensões em d.

a b

c d

c.d > ab τb > τd

Figura 4.14 - Observação do efeito da curvatura nas tensões na mola

Dessa maneira, considerando o efeito da curvatura e o efeito da força cortante, amboscontemplados pelo fator de Wahl, as tensões de cisalhamento na parte interna da mola são dadas por:

3.

..8

d

DF K w

πτ =

onde, C C

C K w

615,0

4.4

1.4+

−−

=(4.19)

Esse efeito será mais pronunciado para molas com pequeno índice C e o acréscimo na tensãodevido ao efeito da curvatura é similar a um fator de concentração de tensões.Quando o carregamento for estático o primeiro termo do fator de Wahl não deverá ser usado, pois

se considera que a curvatura é essencialmente um fator de concentração de tensões, o qual não éusado para carregamentos estáticos e porque também, ocorre escoamento localizado (aceitável) nasbordas interiores do fio aliviando as tensões.

Em geral, segundo JUVINALL, 1983, diante dos aspectos anteriores, tem-se a recomendação deque C > 3 para molas usuais (para a maioria das molas helicoidais C situa-se entre 6 e 12, segundoSHIGLEY, 1984). Assim,

CARGA ESTÁTICA CARGA DINÂMICA

C K S

5,01+=

C C

C K w

615,0

4.4

1.4+−−=

e

3 2

8. . 8.. .

. .s s

F D F K C K

d d τ

π π= =

ww

K C d

F

d

DF K .

..8

...8

23 ππτ ==

(4.20)

OBSERVAÇÃO:

Conforme SHIGLEY, 1984, se o efeito da curvatura (1 termo do fator de Wahl) for usado comoum redutor do limite de resistência a equação para o cálculo da tensão na mola será dada, mesmo diantede fadiga, por:




+=

C d

DF 5,01

...8

3.π

τ

Demais teorias para o cálculo das tensões em molas apresentam as seguintes expressões:

−+

++−=

1

1

16

31

161

41

1.

..8

2

2

3max

c

cccc

d

DP

πτ

+++= 323max

1

8

7

4

51

.

..8

cccd

DP

πτ

para c > 3 e ângulo de hélice igual a zero (Göhner, apud. WAHL, 1963),

4.6.4 - Orientações de projeto considerando fatores de correção e indice de mola

Os valores de Kw, Ks, KwC e KsC, conforme as equações anteriores estão registrados num gráfico,mostrado na Figura 4.15, a seguir, indicando as faixas preferidas de projeto de molas.

2 4 86 10 12 141.0

1.1

1.3

1.2

1.4

1.6

1.5

1.8

1.7

2

4

8

6

10

14

12

18

16

K w

e K s

K w C e K s C

Índice de Mola, C=D/d

C K S

5,01+=

C C

C K w

615,0

4.4

1.4+

−−

=

Correção da tensão somente paracarregamento estático

Correção da tensão incluindo efeito docisalhamento e da curvatura, paracarregamento dinámico (fadiga)

KwC

KsC

Kw

Ks Faixa preferida paraextremidades planas

Faixa preferida paraextremidades não planas

Figura 4.15 - Parâmetros de projeto de molas




4.7 - Deflexões em molas helicoidais

A equação para a deflexão de molas helicoidais pode ser obtida usando o teorema de Castigliano,como segue. Esse teorema estabelece que, “quando um corpo elástico é defletido por qualquer combinação de cargas, a deflexão em qualquer ponto e em qualquer direção é igual a derivada parcial da energia de deformação com relação a carga naquele ponto e na direção considerada .” Esse teorema se traduz naseguinte expressão:

Q

U

∂∂

=∆(4.21)

onde∆ = deflexão∂U = variação parcial da energia de deformação e∂Q = variação parcial da carga aplicada sobre os elementos

Assumindo que a deflexão devido ao carregamento transversal é desprezível, a deflexão será dadasomente pelo torque aplicado àseção do fio da mola. Para carregamento àtorção em seção circular cheia,a energia de deformação é dada por:

J G

LT U

..2.2

=(4.22)

ondeU = energia de deformação a torçãoT = torque aplicado no elementoL = comprimento do elementoG = módulo de elasticidade transversal eJ = momento polar de inércia.

e a deformação será:

dx J G

QT T L

o ..

) / .(

∫ ∂∂

=∂ (4.23)onde,

Q = F eJ = (π.d4)/32, para seção circular cheia.

Substituindo esses valores na equação 4.23 e considerando N = o número de espiras ativas (ouseja, descontada a parte das extremidades que não participam na deflexão porque elas não estão emcontato com os apoios), obtém-se:

( )( )

( )θ

π

π

d D

d G

D DF N

.232 / ..

2 / 2 / .2

04

=∂ ∫

(4.24)Resolvendo 4.24,

∫ =∂ N

d d

DF π

θπ

2

04

3

32 / .

..4

(4.25)ou

Gd

N DF 4

3

.

...8=∂

(4.26)

OBSERVAÇÃO:Em SHIGLEY, 1984, a deformação ∂ é tratada por y (veja equação (f), p. 259.).




A constante de mola K ou rigidez pode ser obtida usando a equação 6, lembrando que K = F/ ∂.Assim,

N D

Gd F K

3

4

.8

.=

∂=

(4.27)

Observando-se a mola, conforme mostrada na figura 4.16, a seguir, verifica-se que os passos são

diferentes entre as espiras (o passo denota o espaçamento axial entre espiras adjacentes). Quando essamola é carregada, as espiras ativas próximas às extremidades irão comprimir primeiro, tornando-se,portanto, inativas. Á medida que sucessivas espiras comprimirem, a mola se tornará crescentemente rígida(o número de espiras ativas N diminui progressivamente), aumentando o valor de K (veja eq. 4.27), tendo-se uma característica progressiva.

F

F

s

o passo de hélice não é constante

Figura 4.16 - Mola com comportamento progressivo (HÖHNE, 1991)

4.7.1 - Análise da flambagem em molas helicoidais de compressão

As molas carregadas sob compressão agem como colunas e devem ser verificadas sob flambagem,

particularmente para grandes relações entre o comprimento livre da mola e o diâmetro médio, ou seja,molas “compridas”.A figura 4.17, a seguir, apresenta resultados de condições de flambagem para molas de

compressão sob dois tipos de apoios. A curva A se aplica quando uma das extremidades da mola écomprimida contra uma superfície plana e a outra, contra uma superfície esférica (ou articulada). A curva Bse aplica quando ambas as extremidades da mola estão apoiadas contra superfícies planas e paralelas.

BA

B

0 2 64 8 10

A

0

0,2

0,6

0,4

Razão entre o comprimento livre e o diâmetro médio, ll /D R a z ã o e n t r e a d e f l e x ã o

e o c o m p r i m e n t o

l i v r e , y

/ l l

Figura 4.17 - Condições de falmbagem (Shigley, 1984)

Caso se observe condição de flambagem, a mola deverá ser reprojetada, seja em seu comprimentolivre ou diâmetro médio. Caso contrário, pode-se resolver ou minimizar esse problema envolvendo a mola

em uma barra circular ou configurando-a dentro de um tubo.




4.7.2 - Extremidades das molas de compressão e número de espiras ativas

As molas helicoidais de compressão podem apresentar-se sob quatro tipos de extremidades,conforme ilustradas na figura 4.18.

a b c d

Figura 4.18 - Tipos de extremidades de molas de compressãoDe acordo com Juvinall:

(a) extremidades em ponta (Ls = (Nt + 1).d)(b) extremidade em ponta retificada (Ls = Nt.d)(c) extremidade em esquadro (Ls = (Nt + 1).d)(d) extremidade em esquadro retificada (Ls = Nt.d)

onde,Ls = comprimento de corpo sólido da molaNt = número total de espirasd = diâmetro do fio da mola.

No projeto de molas de compressão é usual desprezarem-se os efeitos da excentricidade docarregamento devido ao tipo de extremidade usada. Costuma-se desprezar, também, os efeitos dastensões residuais causadas por tratamento térmico ou encruamento. No entanto, esses dois fatores sãolevados em conta através de um aumento no fator de segurança.

4.7.3 - Molas de tração - extremidades

Muitas das considerações para o projeto de molas de compressão se aplicam ao projeto de molasde tração. Entretanto, alguns pontos devem ser destacados.

Primeiro, as molas de tração não têm uma “parada por sobrecarga” automática, como no casodaquelas de compressão. Uma sobrecarga estática pode elongar a mola até a falha. Isto é crítico,

principalmente na instalação. Além disso, as molas de compressão mesmo quebradas podem continuarmantendo as partes em separado, o que não acontece com molas de tração. Em situações críticas as molasde compressão são preferíveis.

As molas de tração geralmente são fabricadas com uma pré-carga, a qual mantém as espiras emcontato. A tensão inicial corresponderá à carga necessária para separa as espiras umas das outras. Osfabricantes recomendam que a tensão inicial seja tal que resultem em tensões dadas por:

(0, 4 0,8) r ini

Sa

C τ =

(4.28) onde,

Sr = limite de resistência do material eC = índice da mola

As molas de tração devem, necessariamente, ter meios de transferir a carga do suporte para seucorpo. Embora isso possa ser feito com uma peça rosqueada ou um gancho, estas soluções aumentam ocusto do produto acabado. Assim, geralmente se empregam métodos conforme mostrados na Figura 4.19.




Gancho semicircular Gancho alongado

Gancho pequeno e torcido Gancho alongado e torcido

Figura 4.19 - Tipos de extremidades de molas de tração

Ao se projetar uma mola com extremidade em gancho deve-se considerar o efeito da concentraçãode tensões. A figura 4.20 mostra um método muito usado em projeto de extremidades de molas. Testes

experimentais mostram que o fator de concentração de tensões é dado aproximadamente por:

ir

r K 0=

(4.29)

onde,K = fator de concentração de tensões;r0 = raio médio do gancho;ri - raio interno do gancho

r0ri

r0

ri

r0ri

r0

ri

Projeto usual Projeto melhorado

Figura 4.20 - Projeto de extremidades para molas de tração

Na figura 4.20, o caso (b) (projeto melhorado) é melhor, pois apresenta menor braço de alavanca,reduzindo a flexão. As tensões nos ganchos para molas de tração são dadas conforme a Figura 4.21

ri

r0 F

σ(M)

σ(F)

D

Figura 4.21 - Tensões nos ganchos das molas de tração




I

r M M

.)( =σ

(4.30)mas,

2

. DF M =

e 64

. 4d I

π=

(4.31)daí,

3)( .

..16

d

DF M

πσ =

(4.32)

Nota-se, da equação (4.32), que a tensão devido àflexão, sem considerar a carga normal, é duasvezes maior do que a tensão de cisalhamento devido àtorção.

Considerando o efeito da concentração de tensões (equação 4.29), a tensão normal na seção serádada por:

=

i

M r

r

d

DF 03)( .

..16

πσ

(4.33)

4.8 - Materiais para molas - limites de resistência

As molas são fabricadas tanto a frio como a quente, dependendo das dimensões, do índice da molae das propriedades desejadas. Em geral, o fio tratado termicamente não deve ser usado se D/d <4 ou se d>6 mm. Nesses casos, ao enrolarem-se as espiras induzem-se tensões residuais com a flexão. Umtratamento suave pode aliviar essas tensões (Shigley, 1984).

Existe uma grande variedade de materiais para molas, incluindo aços carbono, aços-liga, açosresistente àcorrosão, assim como materiais não ferrosos, como bronze fosforoso, latão para molas, entreoutros. A tabela 7.1 do Shigley apresenta os aços comumente utilizados.

Os limites de resistência dos materiais para molas varia com o diâmetro do fio. Uma equaçãoempirica aproximada para designar esse valor é dada a seguir:

mrt d

AS =

(4.34)onde,

Srt = limite de resistência àtração;A = constante relacionada àresistência (veja TABELA 7.2, Shigley);d =diâmetro do fiom = coeficiente angular (veja TABELA 7.2, Shigley);

Exemplo:

Seja uma mola de aço corda de piano onde m = 0,146 e A = 2170 MPa (dados da Tabela 7.2,

Shigley)

)(21701

2146,0

MPaSrt ==

)(19612

2146,0

MPaSrt

==

Embora a resistência ao escoamento por torção seja necessária ao projeto da mola, dispõe-se depouca informação sobre essa propriedade. Utiliza-se uma relação aproximada entre a resistência aoescoamento e a resistência àruptura por tração, dada por:

rt eSS .75,0=

(4.35)onde,

Se = limite de escoamento àtração




Considerando-se a energia de distorção, obtém-se:

eseSS .577,0=

(4.36)onde

Sse = limite de escoamento a torção

OBSERVAÇÕES:

• Deve-se preferir dados experimentais e específicos para cada material. Quando for necessário utilizar as estimativas dadas pelas equações 4.35 e 4.36, deve-se empregar coeficientes de segurança maiores.

• As tensões mais severas as quais uma mola de compressão está sujeita corresponde ao seu carregamento até a condição de corpo sólido (todas as espiras se tocam). Tipicamente, então, a tensão de cisalhamento (calculada por τ = ((8.F)/( π.d 2 )).CK s ), com F igual a carga requerida para fechar a mola na condição de corpo sólido), deve ser menor do que S se .

• Uma vez que as tensões são limitadas pela condição de corpo sólido, segue que as molas podem ser mais tensionadas em suas cargas de trabalho se a máxima carga de trabalho se torna aquela de fechamento em corpo sólido. É necessário, entretanto, promover uma suficiente folga de contato

(diferença no comprimento da mola entre a máxima carga e a posição de corpo sólido da mola) para possibilitar diferenças nas tolerâncias, expansão térmica diferencial e desgaste das partes. Arecomendação usual para a folga de contato é de aproximadamente 10% da deflexão total da mola na máxima carga de trabalho.

4.9 - Problema exemplo (Juvinall)

Uma mola helicoidal com extremidades em esquadro é necessária para exercer uma força de 267 Nnum comprimento que não pode exceder a 63,5 mm e 476 N no comprimento que é 12,7 mm mais curta. Amola deverá ter um diâmetro externo menor ou igual a 38 mm. A carga é essencialmente estática.Determinar um projeto satisfatório usando um fio ASTM 229 temperado em óleo.

SOLUÇÃO:

1 - Em primeiro lugar vamos representar graficamente as condições necessárias para o funcionamento damola requerida. Isso é feito pela figura 4.22, abaixo.

D+d ≤ 38 mm

M O L A L I V R E

Ll

267 N

M O L A C O M C

A R G A

M Í N I M A

< 6 3 , 5 m m

467 N

M O L A C O M C

A R G A

M Á X I M A

12,5 mmFs

M O L A

S Ó L I D A

folga decontato

Figura 4.22 - Condições de operação de uma mola de compressão




2 - Diante das condições mostradas, a rigidez requerida para mola é dada por:

) / (165,12

267467mm N

F F k =

−=

∂∆∆

=∂

=

3 - Conforme a recomendação, a folga de contato deve ser de 10% da máxima carga de operação:então

mmK

F máx

cont 92,216

4671,01,0. ===∆

4 - A máxima força que deve ser resistida no comprimento de corpo sólido será de:

( ) N K F F cont máx Ls7,513)16.(92,2467... =+=∆+=

5 - O projeto deve prosseguir de maneira a se encontrar uma combinação adequada de D e d parasatisfazer os requisitos de tensões. Uma maneira de obter essa combinação é igualar a tensão na condiçãode corpo sólido com o limite de resistência ao cisalhamento do material. Isso é dado por:

( ) seF S

s L=τ

Para carregamento estático, a tensão de cisalhamento é dada por:

3.

..8

d

DF K s

πτ =

onde,

+=

C K s

5,01

e, d

DC =

Dessa maneira, a condição a ser satisfeita é dada por:

se

L

sF Sd

DF

K s

s L == 3.

..8

πτ ou,se

L

sF Sd

C F

K s

s L == 2.

..8

πτ

6 - Nesse caso, o limite de escoamento ao cisalhamento é obtido por:

msed

AS ).75,0.(577,0=

Assim, a condição a ser satisfeita fica:

m

L

s

d

A

d

C F K s ).75,0.(577,0

.

..82

=

π Nessa expressão dispõe-se dos valores da carga FLs, e dos parâmetros A e m (retirados da tabela

7.2, do Shigley, para aço temperado em óleo, A = 1880 MPa e m = 0,186).Portanto, se faz necessário estabelecer um valor adequado de C = D/d para determinar K s e os

valores de D e d.

7 - Valor para o índice de mola C

O índice de mola, conforme Shigley, para a maioria das molas situa-se em 6 a 12. Observando-se aFigura 7.2, do Shigley, verifica-se que o valor de Ks varia pouco na faixa compreendida de C entre 6 e 12.Nesse caso, adotando-se um índice de mola C = 8, obtém-se:

0625,185,01 =

+=sK




Substituindo esse valor na equação anterior e resolvendo para o diâmetro do fio d, obtém-se:

186,02

1880).75,0.(577,0

.

8).7,513.(80625,1

d d =

π ou,186,02

57,81307,11119

d d =

Resultando em

mmd 22,4= Também,

mmd C D 76,33)22,4.(8. ===

8 - Com esses valores para D e d, verifica-se a condição imposta para o diâmetro externo, ou seja, queD+d≤38 mm, com os valores calculados tem-se:

OK d D →≤=+→≤+ 3898,3722,476,3338 OBSERVAÇÕES:

• O valor d = 4,22 mm é o menor admissível. Se 4 mm for considerado, por exemplo, as tensões de cisalhamento serão maiores que o limite de resistência do material.

• Se o valor de d = 4,5 mm a condição para o diâmetro externo não será atendida • Assim, deve-se recalcular os valores adotando-se um novo valor para C.

9 - Supondo d = 4,5 mm e da condição para o diâmetro externo, obtém-se D = 33,5 mm. Daí, o valor para oíndice de mola será C = 33,5/4,5 = 7,44, o qual ainda se encontra dentro da faixa recomendada.

Verificando a condição de tensões para esses novos valores, obtém-se

m

L

sd

A

d

C F K s ).75,0.(577,0

.

..82

=π

2,1615513 =→< ncomOK MPa MPa

Como se trata de carregamento estático, essa condição pode ser aceita. Portanto, a mola terá:

mm D

mmd

5,33

5,4

=

=

10 - Com esses valores pode-se determinar o número de espiras ativas N, a partir da seguinte expressão:

N D

Gd K

3

4

.8

.=

Resolvendo para N, com G = 79,3 GPa, obtém-se:

N

x3

34

)5,33.(8

103,79.)5,4(16 =

Resultando em

75,6= N espiras ativas

11 - Na maioria dos casos, que envolvem placas contatando as extremidades das molas tem-se que:

2+≈

N N t Essa relação resulta do fato de que ambas as extremidades da mola devem ser suportadas em pelo

menos uma espira completa para satisfazer o requisito de que a carga resultante coincida com o eixo damola.




12 - Da equação anterior obtém-se:

75,8275,6 =+≈t

N

13 - Como a mola considerada apresenta extremidades em esquadro, o comprimento de corpo sólido Ls édado por:

mmd N L t s 87,43)5,4).(175,8().1( =+=+=

14 - Quando a força Fs for descarregada a mola irá alongar numa distância de Fs /K, resultando em:

mmK

F s L 106,32

16

7,513===∆

Logo, o comprimento livre da mola será:

mm L L sl 97,75106,3287,43 =+=∆+=

15 - Quando a mola estiver carregada com a força mínima, ou seja, 267 N, o comprimento da mola será:

mmK

F L L l 28,59

16

26797,75)267(

)267( =−=−=

que é menor do que a condição necessária, ou seja, < 63,5 mm.

16 - Verificação da flambagem (condições):

423,097,75

106,32==

∆

l

s

L

26,25,33

97,75==

D

Ll

Com esses valores, conforme a figura 7,5 do Shigley, para a curva B, verifica-se que a mola não iráflambar.

17 - Baseado nas análises anteriores, a mola resultante para esse problema é:

d = 4,5 mm

D = 33,5 mm

N = 6,75

Ll = 75,97 mm

4.10 - Fadiga

As molas quase sempre estão sujeitas àfadiga por solicitação dinâmica. Em muitos casos a vida damola pode ser um pequeno número de ciclos (alguns milhares, por exemplo, no caso de uma mola decadeado ou de interruptor elétrico). Porém, algumas molas, como aquelas de válvulas de motores (comandode válvulas) devem suportar milhões de ciclos sem apresentar falhas, devendo, então, ser projetadas paravida infinita.

No caso de eixos e vários outros elementos de máquinas é muito comum à solicitação dinâmicaalternada, conforme mostra a figura 4.23, abaixo.




+

-

τa

τm=0

Figura 4.23 - Solicitação alternada

No entanto, as molas helicoidais nunca são usadas ao mesmo tempo como molas de tração ecompressão. De fato elas são geralmente montadas com um pré-carregamento de forma que a carga detrabalho sempre seja adicional. Nesse sentido as molas são carregadas dinamicamente, como mostra afigura 4.24 abaixo, ou seja, carga do tipo carga variada.

+

-

τa

τm

τminτmax

Figura 4.24 - Solicitação variada

A pior situação irá acontecer quando não há pré-carga, ou seja, τmin. = 0, pois nesse caso a molafica “solta” a cada ciclo de carga.

Ao se analisar as molas helicoidais para encontrar causas de falha por fadiga é aconselhávelaplicar-se o fator de concentração de tensões cisalhantes, Ks, tanto para as tensões médias como para asalternadas. Isso resulta em:

3...8

d

DF K a

saπ

τ =e

3...8

d

DF K m

smπ

τ =

onde, Fa e Fm, são definidas como segue (Figura 4.25):

Fmin.Fmáx. Fm

FaLl

Fmin

LFmin

Fmax

LFmax

Figura 4.25 - Condições de carregamento

De acordo com a figura anterior, tem-se:

2.min.max F F F m +=

2.min.max F F F a −=




OBSERVAÇÃO:• Deve-se usar o efeito da curvatura Kc, como um fator de redução da resistência a fadiga.

4.10.1 - Critérios de falha por fadiga

Na seção 5.22 do Shigley, mostra-se que uma falha por torção ocorre sempre que,

sna S=τ ou sema S=+= τττ max onde,

τa = tensão cisalhante alternada;τm = tensão cisalhante média;Ssn = limite de fadiga ao cisalhamento por torção eSse = limite de escoamento ao cisalhamento por torção

Diante desses critérios, tem-se o diagrama conforme mostrado abaixo (Figura 4.26):

Ssn

τm

SsnSse-Ssn

τa

45°Sse

sna S=τ

snsem SS −=τ

τm

τa

τm

τa

Figura 4.26 - Regiões para análise de molas àfadiga

De acordo com o diagrama anterior há duas regiões para análise da segurança a falha por fadiga. A

primeira delas, definida pelo critério snaS=τ

mostra que a tensão média não tem influência, se

esta for menor do que snsem SS −<τ. Nesse caso, o fator de segurança será dado por:

a

snSn

τ=

No segundo caso, ou seja, quando snsem SS −>τconsidera-se a região definida pelo

critério snsem SS −=τ., ou seja, a reta inclinada. Nesse caso, o fator de segurança será dado por:

ma

seSn

ττ +=

O limite de escoamento ao cisalhamento, é determinado usando as seguintes relações:

mrt d

AS =

rt eSS .75,0=

eseSS .577,0=

ou,

msed AS ).75,0.(577,0=

onde A e m são parâmetro obtidos, por exemplo, na Tabela 7.2 do Shigley.




Com relação ao limite de fadiga ao cisalhamento por torção emprega-se, conforme Shigley, osresultados dos estudos de ZIMMERLI. Ele verificou que as dimensões, o material e a resistência à traçãonão têm nenhum efeito sobre o limite de resistência à fadiga (somente para vida infinita) das molas dediâmetro inferior a 10 mm. Os resultados obtidos por ZIMMERLI foram:

MPaSsn310=′

, para molas não endurecidas superficialmente e

MPaSsn 465=′

, para molas endurecidas superficialmente com granalhas.

Esses resultados são válidos para os seguintes materiais: corda de piano, aço ao carbono paraválvulas, aço ao cromo-vanádio para válvulas e liga de cromo-silício para válvulas. Ainda, esses valores jáse encontram corrigidos para acabamento superficial e tamanho, porém não estão corrigidos para aconfiabilidade, temperatura ou concentração de tensões.

No caso de projeto para vida finita, algumas considerações devem ser feitas para a determinaçãodo limite de fadiga, como segue (Figura 4.27).

S’sn

N

S

S’f

10N

10 1010

Figura 4.27 - Determinação de vida finita

Considerando a linha S-N num diagrama logxlog, pode-se escrever a equação da linha S-N como:

b N mS f +−=′ log.log

onde m e b são os parâmetro da reta.Essa linha deve passar pelos pontos 0,9 Srt a 103 ciclos e S’n a 106 ciclos, levando as seguintes

equações para os parâmetro da reta:

n

rt

S

Sm

′=

.9,0log.

3

1

e n

rt

S

Sb

′=

2).9,0(log

Entretanto, como existem poucos dados sobre o valor do limite de ruptura Srt por torção para açospara molas, emprega-se a seguinte relação Ssr = 0,6.Srt, Daí,

n

rt

S

Sm

′=

.6,0log.

3

1

e n

rt

S

Sb

′=

2).6,0(log

Com esses valores na equação S-N pode-se determinar o limite de fadiga àtorção para vida finitada seguinte forma:

m

b

fs N

S10

=′

para 103

≤ N ≤ 106

OBSERVAÇÃO:• O limite de fadiga para vida finita à torção S’fs não está corrigido pelos efeitos de

temperatura, confiabilidade e concentração de tensões.




Uma explicação em maiores detalhes sobre os critérios adotados para a fadiga no projeto de molaspode ser visualizada no diagrama abaixo (Figura 4.28), conforme Juvinall.

Sse

τa

τm=0+

-

τa

τm=0

τa / τm=1+

-

τa

τm

τa / τm<1+

-

τa

τm

τa / τm=0+

-

τm

τm

Ssn

Figura 4.28 - Critério de falha àfadiga

Lembrando que, freqüentemente as molas são carregadas por carga flutuante, elas nãoexperimentam tensões reversas. No caso limite, a carga vai a zero e é reaplicada novamente. Assim,conforme o diagrama, a região de interesse para a análise de fadiga em molas é dada entre:

0=m

a

τ

τ

e

1=m

a

τ

τ

Portanto,

sna S=τe snsem SS −=τ

4.10.2 - Problema envolvendo fadiga

Uma mola de compressão é fabricada por corda de piano, com as seguintes características:D = 12 mm Nt = 21 espiras com extremidades em esquadro retificadad = 2 mm Pré-carga = 30 NLl = 60 mm Carga máxima = 120 NVerificar se esta mola está segura contra falha por fadiga.

1 - Cálculo das solicitações:

2.min.max F F

F m+

= 2

.min.max F F F a

−=

N F m 752

30120=

+=

N F a 45

2

30120=

−=

2 - Fator devido ao efeito da força cortante (conforme Shigley)

08,12 / 12

5,015,01 =+=+=C

K s




3 - Cálculo das tensões:

3.

..8

d

DF K a

saπ

τ =e

3.

..8

d

DF K m

smπ

τ =

MPaa 6,185

2.

)12).(45.(808,1

3

==π

τ

e MPa

m 4,3092.

)12).(75.(808,1

3

==π

τ

4 - Limites de resistência

Da Tabela 7.2, Shigley, para aço corda de piano, A = 2170 MPa e m = 0,146

MPad

AS

mse7,848

2

2170).75,0.(577,0).75,0.(577,0

146,0===

5 - Limites de fadiga:

Segundo ZIMMERLI, para mola sem endurecimento superficial,

MPaSsn 310=′

O efeito isolado da curvatura é dado por,

s

wc

K

K K =

e C C

C K

w

615,0

4.4

1.4+

−−

=

Assim,

16,108,1

252,1==cK

Então, o limite de fadiga corrigido será:

MPaK

SS

c

snsn 2,267

16,1

310==

′=

6 - Verificação da segurança:Como,

MPa MPaSS snsem 5,5812,2677,8484,309 =−<→−<τ

Então o fator de segurança é dado por:

43,16,185

2,267===

a

snSn

τ

7 - Se fosse carregamento estático,

0=aτe n

S seam =+= τττ max

Resultando em

74,24,309

7,848

max === τ

seS

n

Portanto, o projeto se encontra adequado.




4.11 - Molas helicoidais de torção

As molas de torção são usadas em vários mecanismos que necessitam de torque para operarem.Exemplo dessas molas é mostrado na figura 4.29.

Figura 4.29 - Exemplo de molas de torção

4.11.1 - Tensões em molas de torção

Uma mola de torção é sujeita àação de momento fletor, o qual produz tensões normais no arame,conforme pode ser observado na figura 4.30.

F

θr

Figura 4.30 - Tensões geradas numa mola de torção.

De acordo com a figura 4.30, o fio da mola pode ser analisado como uma viga curva sujeita a ummomento fletor M = F.r. Isso está mostrado em maiores detalhes na Figura 4.31, incluindo-se as expressõesdas tensões normais geradas na seção do fio.

M=F.r

σ0

σi

Figura 4.31 - Tensões atuantes na seção do fio da mola

De acordo com a figura 4.31, as tensões normais são:

f W

M k 00 =σ

e f

iiW

M k =σ

(4.37)




onde,

)1.(.4

1.4 2

−−−

=C C

C C k i

e )1.(.4

1.4 2

0 +−+

=C C

C C k

(4.38)sendo,

M = momento fletor;W

f= módulo da seção (W

f= I/c =

π.d3 /32)

C = índice de mola;K0 e Ki = fatores de concentração de tensões na borda externa e interna respectivamente;

Substituindo-se nas expressões das tensões o módulo da seção e o momento fletor, obtém-se:

300 .

..32

d

r F k

πσ =

e3.

..32

d

r F k ii

πσ =

(4.39)

Nota-se, nas molas de torção, em relação as molas helicoidais de compressão e de tração as quaisproduzem tensões de cisalhamento àtorção, que a tensão residual provocada durante o enrolamento do fioda mola está na mesma direção que as tensões de operação durante a utilização da mola. Isso pode ser

visualizado na Figura 4.32.

F

Tensões de operação

Tensões residuais

Figura 4.32 - Tensões residuais e de operação em molas de torção

Baseado nessa observação, se a mola de torção é submetida a carregamento que tende a enrolaras espiras, as tensões residuais serão “úteis” pois terão sinal contrário às tensões de operação. Nessesentido as molas de torção podem ser projetadas para operarem em níveis de tensões iguais ou superioresao limite de escoamento do material.

4.11.2 - Deflexão em molas de torção

A deflexão angular de molas de torção pode ser determinada pelo teorema de Castigliano(∆=δU/ δQ). No caso da flexão, a energia de deformação é dada por (veja seção 3.7 Shigley):

∫ =

I E

dx M U

..2

.2

(4.40)A força F aplicada na mola se desloca segundo a distância r.θ, conforme indicado na figura 4.33

abaixo.




F

θr

r.θ

Figura 4.33 - Deflexão de mola de torção.

Dessa forma, a deflexão angular será dada por:

Q

U

∂∂

=∆ou

dx I E

r F

I E

dxr F

F F

U r

N D N D

∫ ∫ =

∂∂

=∂∂

=..

0

222..

0 .

.

..2

...

ππ

θ

Resolvendo essa equação, obtém-se:

E d N Dr F

. ....64 4=θ(4.41)

onde θ é a deflexão da mola em radianos.Considerando a deflexão da mola de torção, sua rigidez ou a constante da mola é determinada

como segue.

N D

E d r F K

..64

.. 4

==θ (4.42)

Na prática, a constante de mola também pode ser expressa como o torque necessário para enrolaruma espira da mola. Isto é obtido multiplicando-se a equação anterior por 2.π. Assim,

[ ]mm N N D

E d

N D

E d K K .

..2,10

.)2.(

..64

.)2.(

44

===′ ππ

(4.43)

Essas equações foram desenvolvidas (SHIGLEY, 1984) sem levar em conta a curvatura. Testesexperimentais mostram que a constante 10,2 deve ser um pouco maior, ou seja,

[ ]mm N N D

E d

K ...8,10

.4

=′ (4.44)




4.11.3 - Fadiga em molas de torção

Nas molas de torção as solicitações são de flexão e a análise de fadiga é feita considerando odiagrama de Goodman (figura 4.44) como critério de falha. Assim,

σa

σmSrt

Sn

Sr /n’

Sn /n

σm

σa

Condição desegurança

O

A

D B

C

F

E

Figura 4.44 - Diagrama para análise da fadiga.

De acordo com o diagrama da figura 4.44, as seguintes relações podem ser estabelecidas, para adeterminação do fator de segurança.

'

'

nn

n

S

S

n

S

S

DO

BO

CO

AO

rt

rt

n

n =→===

DE

DO

FE

COFEDCOD =→≈

^^

mrt

r

a

n

n

S n

S

n

S

σσ −=

Resolvendo

rt

m

n

a

SSn

σσ+=

1

onde,

mrt d

AS =

e rt nSS .5,0=′

e nbanSK K S ′= ..

OBSERVAÇÃO:Neste caso, não se considera os fatores Ks e Kc por serem aplicados a tensões de cisalhamento em

molas de tração e compressão.

4.11.4 - Problema

Uma mola de torção, conforme a figura abaixo é fabricada de arame corda de piano com diâmetrode 1,8 mm. Pede-se para calcular:

a) o torque no limite de escoamento;

b) o torque no limite de fadiga (n = 1) sendo que F varia entre 0 e F.




F

r = 25,4 mm

F

d=1,8 mmDe =15 mm

SOLUÇÃO:

1) Limite de escoamento:Para mola corda de piano, conforme a tabela 7.2 tem-se:

A = 2170 MPa e m = 0,146 Daí,

MPad

AS

mrt 19928,1

2170146,0

===e

MPaSS rt e 1494)1992.(75,0.75,0 ===

2) Fatores ampliadores da tensão

)1.(.4

1.4 2

−−−

=C C

C C k i

e )1.(.4

1.4 2

0 +−+

=C C

C C k

33,78,1

8,115

=

−

== d

D

C Daí,

11,1)133,7.(33,7.4

133,733,7.4 2

=−

−−=ik

e

905,0)133,7.(33,7.4

133,733,7.4 2

0 =+−+

=k

Assim, as tensões críticas irão ocorres nas bordas internas da mola e valem:

3.

..32

d

r F k ii

πσ =




3) Torque para o limite de escoamento

eii Sd

r F k ==

3.

..32

πσ

Logo,

mm N T r F r F

.770.1494

8,1.

..3211,1

3==→=

π

4) Torque para o limite de fadiga (n=1)Carga: 0 a FTorque: Tmin = 0e Tmax = T = F.rComponentes alternada e médiaTa = T/2 e Tmed = T/2Tensões

3.

.32

d

T k a

iaπ

σ =e

3.

.32

d

T k med

imed π

σ =

T

T

d

T k a

ia .97.08,1.2

.32.11,1

.

.3233

===ππ

σ

e

T

T

d

T k med

imed .97,08,1.2

.3211,1

.

.3233

===ππ

σ

5) Limite de fadiga

MPaSS rt n 992)1992.(5,0.5,0 ===′e

MPaSK K S nban 5,627996).1.(63,0.. ==′=

ondeKa = 0,63 para aço laminado a frio (figura 5,17, p.176, Shigley) eKb = 1, para d < 7,6 mm (p. 177)

Assim, para n = 1

mm N T T T

SSn rt

m

n

a .4921992

.97,0

5,627

.97,0

1

11=→+==+=

σσ

6) Conclusão:O torque a fadiga (492 N.mm) é menor que o torque ao escoamento (770 N.mm) emaproximadamente 56%. Diante desse torque (àfadiga), pede-se: qual será a deflexão angular, se o númerode espiras ativas for de 4,25?

Nesse caso, o torque para enrolar uma espira da mola é dado por:

[ ]voltamm N N D

E d K / .3587

25,4.2,13.8,10

10.207.8,1

..8,10

. 344

===′

Assim, o número de voltas para o torque máximo encontrado será:

voltas

voltasmm N

mm N

K

T nvoltas 137,0

/ .3587

.492==

′

=

Portanto, a deflexão angular será:ooo 32,49)360.(137,0)360.( === voltasnθ




Referências Bibliográficas

1. HÖHNE, G. Projeto de componentes de mecânica de precisão, vol. 2, Apostila. Curso de Pós-graduação em Engenharia Mecânica. Departamento de Engenharia Mecânica, UFSC, Florianópolis, SC,1991.

2. SHIGLEY, J.B., Elementos de Máquinas. vol. I e II, LTC editora S.A., 1984.

3. JUVINALL, R.C. Fundamentals of machine component design. John Wiley & Sons Inc., 1983.4. NORTON, R.L. Machine Design: an integrated approach. Prentice-Hall, 1996.

capitulo4_molas_v1_2001

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