★ 引言 对于数的运算，如果对于数 ，存在数 ，使得 ，则称数 为数 的倒数，记作 。

a b 1abab 1b a

从而有 1aa b

b

对于矩阵运算，是否有相似之处呢？ ★ 逆矩阵的概念

设 A 为 n 阶方阵，如果存在 n 阶方阵 B ，使得 AB=BA=E ，则称矩阵 B 为方阵 A 的逆矩阵，记作 B=A-1. 逆矩阵也称为非奇异矩阵。

例如： 1 2 3 2 3 2 1 2 1 0

1 3 1 1 1 1 1 3 0 1

所以1

1 2 3 2

1 3 1 1

当然 1

3 2 1 2

1 1 1 3

★ 逆矩阵存在的充分必要条件

11 21 1

12 22 2*

1 2

n

n n nn

nA A A

A A AA

A A A

性质 EAAAAA **

2 、逆矩阵存在的充分必要条件

方阵 A 可逆 det 0A 且A

AA

*1

推论：如果 A 是 n 阶方阵，则 1* nAA

推论：如果 A 可逆，则A

A11

注意足标的变化

1 、方阵 的伴随矩阵 ( )ij n nA a

为元素 的 代数余子式 ijA ija

例 1 判断下面的矩阵是否可逆，如果可逆，则求逆矩阵

312

213

311

A

2163

4200

3121

0021

B（ 1 ） （ 2 ）

1 1 3 1 1 31 3

det 3 1 2 2 0 1 1 00 1

2 1 3 1 0 0

A

解 因为

所以矩阵 A 可逆

131

2111

A 532

2312

A 112

1313

A

031

3121

A 3

32

3122

A 112

1123

A

121

3131

A 7

23

3132

A 213

1133

A

211

735

101*A所以 1

1 0 1

5 3 7

1 1 2

A

（ 2 ）因为

1 2 0 0

1 2 1 3

0 0 2 4

3 6 1 2

B

所以，矩阵 B 不可逆

1 2 0 0

1 2 1 30

0 0 2 4

0 0 1 2

例 2 用逆矩阵求解线性方程组

353

2522

132

321

321

321

xxx

xxx

xxx

解 将方程组改写成矩阵形式，得

3

2

1

153

522

321

3

2

1

x

x

x

因为 015

153

522

321

因而有

23 13 4 1 11

13 8 1 2 015

4 1 2 3 0

所以，系数矩阵 A 可逆1

1

2

3

1 2 3 1

2 2 5 2

3 5 1 3

x

x

x

解 记原矩阵方程为 AXB=C ，因为

621

41

A 2

11

02

B

所以，矩阵 A 、 B 都可逆

在原方程两边同时左乘 A-1 ，右乘 B-1 ，得

04/1

11

21

01

2

1

10

13

11

42

6

111CBAX

例 3 求解矩阵方程

10

13

11

02

21

41X

★ 逆矩阵的性质

1 、逆矩阵是唯一存在的。

2 、 AB=E BA=E

3 、若 A 可逆，则 A-1 也可逆，且 . 1 1( )A A

4 、若 A 可逆，数 ，则 0 1 11( )A A

5 、若 A 、 B 为同阶可逆矩阵，则 1 1 1( )AB B A

6 、若 A 可逆，则 1 1( ) ( )T TA A

7 、 11A A

（此性质可将定义简化）

解 1 *3 2A A

* *3

4

3

4

3A A

21

2

64 16

27 27

1 *1

32AA

**1

23

A

AA

例 4 设三阶方阵 A 的伴随矩阵为 ，且 ，求

1 *3 2A A

*A1

2A

★ 分块矩阵的概念

用穿过矩阵的横线和竖线将矩阵 A 分割成若干个子块，以这些子块为元素的矩阵 A 称为分块矩阵。

例如31 32

41 4

11 1 13 14

23 24

35

15

25

2

21

33 34

432 4

2

454

2

a

a a

a

a

Aa

a a

a a

a

a a

a

a

a

a a

a a

则 A 可记作21

121

3

1

2 2

13

2A

AA

A

A A

A

称 A 为以子块 A11 、 A12 、 A13 、 A21 、 A22 、 A23 为元素的分块

矩阵。

1 2 3 4

5 6 7 8

4 3 2 1

8 7 6 5

1 2 3 4

5 6 7 8

4 3 2 1

8 7 6 5

如：

则不是分块矩阵。

★ 分块矩阵

★ 分块矩阵的加减运算

设 A 、 B 同型，且采用完全相同的分块方法，得

11 12 1

21 22 2

1 2

s

s

r r rs

A A A

A A AA

A A A

11 12 1

21 22 2

1 2

s

s

r r rs

B B B

B B BB

B B B

则

11 11 12 12 1 1

21 21 22 22 2 2

1 1 2 2

s S

s S

r r r r rs rs

A B A B A B

A B A B A BA B

A B A B A B

注意： A i j 与 B i j 同型

★ 分块矩阵的数乘及转置

设将 A 分块得

11 12 1

21 22 2

1 2

s

s

r r rs

A A A

A A AA

A A A

R

则

11 12 1

21 22 2

1 2

s

s

r r rs

A A A

A A AA

A A A

11 21 1

12 22 2

1 2

T T T

T T Tr

T r

s s rT T T

s

A A A

A A AA

A A A

1 0

0 n

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

n n nn

p p p

p p p

p p p

记作 1 2 ... nP P P1 0

0 n

1 2 ... nP P P

列分块

分块矩阵的转置运算——子块当作元素转置后子块本身再转置。如

3 2 1 0

3 1 4 5

3 3 3 6

T

3 13 2

3 3

41

3

50

6

TT

TT

TT

3 3 3

2 1 3

1 4 3

0 5 6

先把子块当作元素运算，然后子块再运算。

—— 只适用于矩阵的加、减、数乘、相乘、转置等运算。

★ 分块矩阵的乘法运算

11 12 1

21 22 2

1 2

s

s

r r rs

A A A

A A AA

A A A

11 12 1

21 22 2

1 2

t

t

s s st

B B B

B B BB

B B B

设 A 、 B 矩阵分块得

则

11 12 1

21 22 2

1 2

t

t

r r rt

C C C

C C CAB

C C C

其中1

s

ij ik kjk

C A B

注意： A 的列块数 =B 的行块数； A i k 的列数 =B k j 的行数

例题：设1 0 0 0

0 1 0 0

1 2 1 0

1 0 0 1

A

1 0 1 0

1 2 0 1

1 0 3 1

1 1 2 0

B

将 A 、 B 适当分块，计算 AB

解 将 A 、 B 作如下分块：在一、二行之间插入横线， 在一、二列之间插入竖线（如题目所示），则

1

0EA

A E

1

2 3

B EB

B B

则 1

1 1 2 1 3

B EAB

A B B A B

而 1

1 0 1 0

1 2 0 1B E

1 1 2

1 2 1 0 1 0 4 4

1 0 1 2 0 1 2 1A B B

1 3

1 2 3 1 4 3

1 0 2 0 3 0A B

所以

1 0 1 0

1 2 0 1

4 4 4 3

2 1 3 0

AB

1 、矩阵的分块运算分两步完成，首先，视子块为元素，按 矩阵的运算法则作第一步运算，然后，在子块的运算中， 再进行实质上的矩阵运算。

2 、在对矩阵进行分块时，必须遵守相应运算的前提条件。 如：相加减的矩阵，需采取完全相同的分块方法；相乘 时，左矩阵的列块数必须等于右矩阵的行块数，同时还 须保证子块运算时的左子块的列数必须等于右子块的行 数。

★ 小结：

★ 分块对角矩阵 如果可将矩阵 A 进行适当分块，得到如下形式，则称矩阵 A 为分块对角矩阵。

11

22

ss

A

AA

A

其中 A i i 为方阵子块，其余子块

均为零子块

★ 分块对角矩阵的性质 （ 1 ） 11 22 ssA A A A

（ 2 ）若 A 可逆，则

111

11 22

1ss

A

AA

A

★ 分块对角矩阵11

22

0 ... 0

0 0 0

... ... ... ...

0 0 0 ss

A

AA

A

其中对角线上的子块全是方阵，其余子块是零矩阵。如

2 3 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 9

0 0 0 2 0 8

0 0 0 3 0 7

（方阵）

2 3 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 9

0 0 0 2 0 8

0 0 0 3 0 7

是 不是

例题

解 将 A 分块：一、二行，三、四行之间各插入横线， 在一、二列，三、四列之间各插入竖线，则

11

22

33

A

A A

A

其中 11 22 33

2 1 1 31, ,

3 2 4 2A A A

所以 14A 1

1 0 0 0 0

0 2 1 0 0

0 3 2 0 0

0 0 0 1/ 7 3/14

0 0 0 2 / 7 1/14

A

1 0 0 0 0

0 2 1 0 0

0 3 2 0 0

0 0 0 1 3

0 0 0 4 2

A

，求 |A| 及 A-1设